Seite 14 von 25. Grundlagen der Elektrotechnik. x y z. gradf. div gradf divf div grad f f 0. c t c t x y z

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1 athind Seite 14 von 5 Kapitel: Elektrodynaik Wellengleichung der elektroagnetichen Welle Differenzialoperator Nabla i dreidienionalen karteichen Koordinatenyte 79 Laplace-Operator 78 d lebert-operator 7 Skalarfeld f fx,y,z E 1 E ; x c t B 1 B ; x c t x y z 71 ektorfeld v vx,y,z eränderliche elektriche und agnetiche Felder erzeugen einander gegeneitig. Der Nabla Operator it ein vektorieller Differentialoperator und hat allein tehend keine Bedeutung. Er u auf ein Skalar oder einen ektor angewendet werden. gradf f div v v rot v v... Laplace Operator Skalarfelder fx,y,z die der Laplacegleichung f x y z genügen, ind quellen- und wirbelfrei, wegen: F grad f f f f f divgradf x y z divf divgrad f f rotf rotgrad f 1 1 ; c t c t x y z Der d lebert Operator it ein linearer Differentialoperator der zweiten Ordnung. Er tellt eine erallgeeinerung de Laplace Operator für den 4 dienionalen Minkowki Rau dar und findet daher i Rahen der peziellen Relativitättheorie (SRT) nwendung. wobei: c Lichtgechwindigkeit In eine Skalarfeld wird jede Punkt PP x,p y,p z de vo Feld erfüllten Rau ein betiter bolutwert F Fx,y,z zugeordnet. P P P P Beipiele für Skalarfelder ind die Teperatur in eine Rau oder da Potential. In eine ektorfeld wird jede Punkt PP x,p y,p z de vo Feld erfüllten Rau ein betiter ektor (Betrag, x,y,z zugeordnet. Richtung, Orientierung) P P P P 7 73 Gradient eine Skalarfelde Divergenz eine ektorfelde f f f gradf,, f x y z Der Gradient gibt die Richtung de teilten ntieg de Skalarfelde an. Da Reultat it ein ektorfeld. v v x y vz divv v x y z Die Divergenz eine ektorfelde it ein Maß für die Exitenz von Quellen oder Senken. Da Reultat it ein Skalarfeld. Beipiele für ektorfelder ind der Wäreflu oder die elektriche oder agnetiche Felärke. Da Produkt de Nabla-Operator it eine Skalarfeld f(x,y,z) nennt an Gradient. Der Gradient ordnet eine Skalarfeld ein ektorfeld zu, welche die Richtung der größten Zunahe de Skalarfeld anzeigt. Da Skalarprodukt vo Nabla-Operator it eine ektorfeld v nennt an Divergenz. Die Divergenz it ein Skalarfeld, welche für jeden Punkt de Rau angibt, ob dort Feldlinien enttehen (Quelle) div vx oder verchwinden (Senke) div v x. Die Divergenz it a Ort einer poitiven Punktladung größer Null, da dort Feldlinien enttehen. Stand vo: Die jeweil aktuellte erion findet ich auf: athind.co Für diee Werk nehen wir u.a. 4f und 6 UrhG in npruch.

2 athind Seite 15 von 5 Kapitel: Elektrodynaik Rotor eine ektorfelde Divergenz der Rotation eine ektorfelde it Null Rotation de Gradienten eine Skalarfelde it Null Gauß cher Integralatz Stoke cher Integralatz v v z y y z vx v z rotv v z x vy v x x y Die Rotation eine ektorfelde it ein Maß für Drehbewegungen bzw. für die Wirbel de ektorfelde. Da Reultat it ein ektorfeld. div rotv v ; Da Kreuzprodukt vo Nabla-Operator it eine ektorfeld v nennt an Rotation. Die Rotation it ein ektorfeld, welche angibt, wie tark ich da ektorfeld f in eine betite Koordinatenrichtung ändert. Wirbelfelder ind quellenfrei rot grad f f ; Skalarfelder ind wirbelfrei div v d O O dv... do... v do rot vd v d d... d... Da oluenintegral der Divergenz eine ektorfelde v it gleich de Oberflächenintegral de ektorfelde v über eine gechloene Oberfläche O. Da oluenintegral teht dabei für die i oluen enthaltenen Quellen oder Senken und Oberflächenintegral teht für den Flu de ektorfelde durch die gechloene Oberfläche. Da Oberflächenintegral der Rotation eine ektorfelde v über eine beliebige Flache it gleich de Linienintegral de ektorfelde v läng einer gechloenen Linie. Der Wirbelflu durch die Oberfläche eine räulichen Bereich it gleich Null, da dabei die Randkurve der gechloenen Fläche auf einen Punkt zuaengezogen wird, verchwindet da zugehörige Linienintegral. 767 D-E-B-H Felheorie der Elektrodynaik elektriche Felder C Ex,t in bzw. Dx,t in agnetiche Felder Hx,t in bzw. Bx,t in T Der Wirbelflu de ektorfelde v it für alle Flächen die von der gleichen Randkurve berandet werden gleich gro, dh. unabhängig von der Getalt der Fläche. Die Elektrodynaik it eine Felheorie für da elektriche und da agnetiche Feld, wobei zu jede Zeitpunkt t und an jede Raupunkt x j e ein ektor D-E-B-H definiert it. Die 4 Maxwell'chen Gleichungen bilden die Bai der Theorie de elektroagnetichen Felde. Stand vo: Die jeweil aktuellte erion findet ich auf: athind.co Für diee Werk nehen wir u.a. 4f und 6 UrhG in npruch.

3 athind Seite 16 von 5 Kapitel: Elektrodynaik Foren der 4 Maxwell Gleichungen für tationäre und für dynaiche Felder Integralfor und Differentialfor der 1. Maxwellgleichung in Differentialfor. Maxwellgleichung in Differentialfor 3. Maxwellgleichung in Differentialfor 4. Maxwellgleichung in Differentialfor erknüpfung beziehungen zu den Man untercheidet folgende Foren der : nach der rt de Felde: o tationäre Feld o zeitlich rach veränderliche Feld nach der Schreibweie: o Differentialfor o Integralfor Die tationären gelten für zeitunabhängige Felder. E kann da E und da B-Feld unabhängig voneinander betrachtet werden. Die dynaichen gelten auch für ich zeitlich rach veränderliche Felder und ind eine ervolltändigung der tatichen. Diee Forulierung der tellt ein Syte gekoppelter Differentialgleichungen dar. i tationären Feld: roth S L Die Differentialfor der geht von Wirbeldichte und Quellendichte au. Die Integralfor der geht von Wirbeltärke und Quellentärke au. i ich zeitlich rach verändernden Feld: D el D roth wahrv ; t t E 1 E rotb B S L ; t c c t i tationären Feld: rote i ich zeitlich rach verändernden Feld: B rote ; t i tationären Feld: el divd wahr i ich zeitlich rach verändernden Feld: dive ; i tationären Feld: divb i ich zeitlich rach verändernden Feld: divb ; i tationären Feld: DEP BHMHJ i ich zeitlich rach verändernden Feld: DE BH nerkung zur elektrichen Polariation P PeE D EP x,t in E el wahr D E; BH 1 c ; Leitungtrodichte wobei: Solange ich ein elektriche Feld ändert, it e von ringförig gechloenen agnetichen Feldlinien ugeben. Magnetiche Felder ind Wirbelfelder und enttehen i Rau u elektriche Ströe. Solange ich ein Magnetfeld ändert, it e von ringförig gechloenen elektrichen Feldlinien ugeben it: wahre elektriche Ladungdichte D elektriche erchiebungtrodichte wobei: D E; Elektriche Felder ind Quellenfelder, deren Quellen die elektrichen Ladungen ind. Magnetiche Felder ind ier Quellenfrei. E gibt keine agnetichen Ladungen und keine agnetichen Monopole. Magnetiche Feldlinien ind ier gechloen. C Px,t in elektriche Polariation: In Materie it die elektriche Polariation zuätzlich zu den wahren elektrichen Ladung eine Quelle der elektrichen Felärke, da in Sue elektrich neutraler Materie Oberflächenladungen da elektriche Feld i Inneren de Körper abchwächen. Mx,t in Magnetiierung J x,t in T agnetiche Polariation e elektriche Suzeptibilität, dienionloe Polariationkontante Stand vo: Die jeweil aktuellte erion findet ich auf: athind.co Für diee Werk nehen wir u.a. 4f und 6 UrhG in npruch.

4 athind Seite 17 von 5 Kapitel: Elektrodynaik Maxwellgleichung in Integralfor pere che Geetz. Maxwellgleichung in Integralfor Faraday che Induktiongeetz dd Hd di Mit Berückichtigung de Maxwell chen 1 erchiebungtro Ed; c t 1 BdI Ed; c t it: I.. Konvektiontro Da Linienintegral eine Magnetfelde über eine Schleife it proportional zu Stro durch die Schleife. db Änderungen der agnetichen Induktion erzeugen ein elektriche Feld von Ed d gleiche Betrag aber ugekehrten orzeichen. Ladungen Q ind die Quellen de elektrichen Felde Maxwellgleichung in Integralfor Gaußcher Satz für die elektriche Felärke (i akuu) Dd Q Q Ed Der Gauß che Satz tellt den Zuaenhang her zwichen der von einer Fläche eingechloenen Ladung und der elektrichen Felärke auf eine Punkt einer die Ladung ugebenden Gauß chen Fläche dar. wobei: it jener Flächenvektor, der enkrecht auf die Oberfläche teht und nach außen zeigt. d it da Flächenintegral über die gechloene Oberfläche, oit über die Hülle de ouen Ed Fluß de E-ektorfelde durch die Oberfläche Der Flu eine elektrichen Felde durch eine gechloene gauß che Fläche it proportional zur eingechloenen Ladung. ; keine Ladung eingechloen, ; Ladung eingechloen Maxwellgleichung in Integralfor Gaußcher Satz für die agnetiche Induktion (i akuu) Der Gauß che Satz für die elektriche Felärke agt oit au, da wenn da Flächenintegral poitiv / negativ it, die Sue der von der Oberfläche eingechloenen Ladung poitiv / negativ ein u. Poitive Ladungen ind daher die Quellen de elektrichen Felde, und negative Ladungen ind deen Senken. Bd ; Magnetfelder haben keine Quellen oder Senken, da e keine agnetichen Monopole gibt, die Feldlinien ind in ich gechloen. Uind induzierte Spannung in agnetiche Flu in Wb t Zeiteinheit d 78 Induktiongeetz U ind ; Die pro Windung induzierte Spannung it proportional zur Änderung de agnetichen Flue durch die Spule pro Zeiteinheit. di Uind L ; L Induktivität der Spule di Änderung der Strotärke pro Zeiteinheit Stand vo: Die jeweil aktuellte erion findet ich auf: athind.co Für diee Werk nehen wir u.a. 4f und 6 UrhG in npruch.

5 athind Seite 18 von 5 Kapitel: Elektrodynaik 781 Durchflutungatz n HdrotHd dik k1 78 Elektricher Flu Dd =C 783 Elektricher Hüllenflu o n Dd divdd d Q 784 Magneticher Flu Bd =Wb 785 Magneticher Hüllenflu o Bd divbd k1 k Stand vo: Die jeweil aktuellte erion findet ich auf: athind.co Für diee Werk nehen wir u.a. 4f und 6 UrhG in npruch.