Sript zur. Vorlesung Quantenmechani Freitag den 8. Juli 11. 15 Zeitabhängige Störungstheorie 15.1 Übergangswahrscheinlicheit Betrachten wir nun den abstraten Fall eines Teilchens mit Hamilton Operator wobei Ĥ 1 (t) eine relativ leine Störung ist. Beispiele: Ĥ(t) = Ĥ +Ĥ1(t) Ĥ ist Hamilton-Operator für zwei isolierte Systeme; Ĥ 1 beschreibt eine (schwache) Wechselwirung. Ĥ ist Hamilton-Operator für ein isoliertes System; Ĥ 1 beschreibt den Einfluss eines eletrischen oder magnetischen Feldes. Annahme: Das Spetrum des Operators Ĥ ist beannt und disret: Ĥ ψ n = E n ψ n Zum Zeitpunt t = ist das System in einem Ĥ-Eigenzustand ψ i. Problemstellung: Was ist die Wahrscheinlicheit dass das System bei einer Messung zu einem späteren Zeitpunt t in einem anderen Ĥ-Eigenzustand ψ f gefunden wird? Diese Wahrscheinlicheit wird als P fi (t) geschrieben. DieÜbergangswahrscheinlicheit P fi(t)annwiefolgtauseinerexatenlösungderschrödinger- Gleichung berechnet werden: Sei ψ(t) die Lösung der Schrödinger-Gleichung i ψ(t) = Ĥ ψ(t) t mit Ĥ = Ĥ +Ĥ1 und ψ() = ψ i dann gilt: P fi (t) = ψ f ψ(t). 136
Eine exate Lösung der Schrödinger-Gleichung ist meistens unmöglich. Deshalb: Entwiclung in Potenzen von Ĥ1. Dieses Verfahren wird nun beschrieben. Es wird zeitabhängige Störungstheorie genannt und wurde von Dirac entwicelt. Für einen allgemeinen Zustand ψ(t) gilt dass man diese in den Basiszuständen ψ entwiceln ann ψ(t) = c (t) ψ mit c (t) = ψ ψ(t). Ohne Störung Ĥ1 gilt da c (t) = c ()e i E t c (t) = ψ ψ(t) = ψ e i Ĥt ψ() = e i Êt ψ ψ(). Daher schreibt man (mit Störung Ĥ1) (Ohne Störung Ĥ1 wäre c zeitunabhängig.) c (t) = c (t)e i Êt. Aus der Schrödinger-Gleichung folgt nun dass einerseits i ) (Ĥ t ψ(t) = +Ĥ1 ψ(t) = E c (t)e i Êt ψ + c (t)e i Êt Ĥ 1 ψ während anderseits i t ψ(t) = i c (t)e i t Êt ψ = i c i t e Êt ψ + E c (t)e i Êt ψ. Man nimmt nun ein Salarprodut mit ψ n : i c n t = c (t)e i (En E )t ψ n Ĥ1 ψ. Man sucht nun eine Lösung mit c n () = δ ni ; die gesuchte dann P fi (t) = c f (t). Übergangswahrscheinlicheit ist 137
Diese Lösung ann gefunden wurden als Entwiclung von Potenzen in Ĥ1. Man schreibt c n (t) = c () n (t)+ c (1) n (t)+... wobei c (j) n proportional ist zu (Ĥ1) j. Ohne Störung Ĥ1 galt dass c n (t) zeitunabhängig ist. Daraus folgt dass c () n (t) = δ ni. Für c (1) n findet man dann d c (1) n (t) dt = i ψ n Ĥ1(t) ψ e i (En E )t c () (t) (Rechts erscheint der. Ordnung Koeffizient c () (t) da es schon einen expliziten Fator Ĥ1 gibt.) Mit c () (t) = δ i folgt hieraus dann dass c (1) n (t) = i dt ψ n Ĥ1(t ) ψ i e i (En E i)t. Für die Übergangswahrscheinlicheit P fi(t) ergibt sich dann dass P fi (t) = c (1) f (t) = 1 dt ψ f Ĥ1(t ) ψ i e i (E f E i )t. 15. Beispiel: Harmonischer Oszillator in einem zeit-abhängigen eletrischen Feld E(t) Als einfaches Beispiel betrachten wir nun einen ein-dimensionalen harmonischen Oszillator der Masse m Frequenz ω und Ladung e in einem zeit-abhängigen eletrischen Feld E(t). Der Hamilton-Operator ist dann Ĥ(t) = Ĥ +Ĥ1(t) Ĥ = ˆp m + 1 mω x Ĥ 1 (t) = ee(t)ˆx. Zum Zeitpunt t = ist der Oszillator in dem Ĥ-Eigenzustand n i. Die Matrixelemente der Störung Ĥ1 sind in der Ĥ-Eigenbasis: n Ĥ1 n = ee(t) n ˆx n. Mit ˆx = x (â+â ) x = mω 138
ergibt dies n Ĥ1 n = ee(t)x ( nδn n 1 + (n+1)δ n n+1). Hieraus folgt dass nur Übergangswahrscheinlicheiten zu Zustände n f mit n f = n i ±1 nicht null sind (in 1. Ordnung). Mit E ni ±1 E ni = ±ω findet man dann dass P ni +1n i (t) = (n i +1)e mω P ni 1n i (t) = n ie mω dt E(t )e iωt dt E(t )e iωt Bemerungen: Die Übergangswahrscheinlicheit P n i +1n i (t) ist lein wenn E lein ist. Dies bleibtsofürbeliebig langezeitt essei denne(t)istproportionaltoe ±iωt. IndemFallistdas Feld mit dem Übergang n i n f resonant und wächst die Übergangswahrscheinlicheit mit der Zeit t an. 15.3 Übergangswahrscheinlicheit pro Zeiteinheit Unter bestimmten (häufig auftretenden) Bedingungen hat P fi (t) die Form P fi (t) = Γ fi t wobei Γ fi die Übergangswahrscheinlicheit pro Zeiteinheit ist. Um das Ergebnis für die Übergangswahrscheinlicheit P fi (t)indieseformzubringen brauchenwirzuersteinenmathematischen Hilfssatz: lim dt e iαt = πtδ(α). Beweis: Sei F(αt) = t dt e iαt. Dann gibt explizite Berechnung dass F t F(αt) = 4 sin ( αt ) α. 139 α t
Aus F(αt) = t dx sin x x = πt folgt dass F(αt)/πt eine Darstellung der δ-funtion ist im Limes t. Bemerung: Da die δ-funtion nur in einem Integral definiert ist hat dieser Hilfssatz nur eine Bedeutung wenn die Funtion F(αt) = dt e iαt über α integriert wird. Für die weitere Berechung müssen wir nun zwischen zwei Fälle unterscheiden. 1. Fall: DerHamilton-OperatorĤ hateindisretesspetrum aberdieenergie-eigenwerte liegensehrdichtaufeinander. WirbetrachtenP fi (t)füreinensatz{df}möglicherendzustände f für den Fall dass es nur Sinn macht f {df} P fi(t) auszurechnen die Matrixelemente f Ĥ1 i unabhängig von f sind für f {df} die Energie-Eigenwerte E f für f in {df} so dicht aufeinander liegen dass A(E f ) ν df (E f )de f f {df} wobei ν df (E) die Zustandsdichte der Zustände in {df} ist und de f die Größe von dem Satz {df} möglicher Endzustände im Energie-Raum. A ist eine willürliche Funtion. moegliche Endzustaende f> Satz {df} de f 1a. Ĥ 1 ist zeit-unabhängig: P fi (t) = t groß 1 f Ĥ 1 i t dt e i (E i E f )t π f t Ĥ 1 i δ(e f E i ). 14
Hier haben wir die oben hergeleitete Identität benutzt. Dann folgt: Γ fi = π f Ĥ1 i δ(e f E i ). Die Übergangswahrscheinlicheit pro Zeiteinheit zu irgendeinem Zustand im Satz {df} ist dann: Γ {df}i = π f Ĥ1 i ν df (E i ). Dieses Ergebnis wurde von Fermi die goldene Regel genannt. 1b. Ĥ 1 hat eine harmonische Zeitabhängigeit Ĥ 1 (t) = Ĥ1ωe iωt +Ĥ 1ωe iωt. Dann folgt ähnlich wie im Fall 1a: Γ fi = π f Ĥ1ω i δ(e f E i ω)+ π f Ĥ 1ω i δ(ef E i +ω) und daher Γ {df}i = π f Ĥ1ω i ν df (E i +ω)+ π f Ĥ 1ω i ν df (E i ω). Wenn E f > E i : Absorption; Wenn E f < E i : Emission (stimuliert von der Störung Ĥ1).. Fall: Ĥ 1 beschreibt eine inohärente lineare Superposition von Störungen mit Frequenzen ω. Die Dichte der Frequenzen ist ρ(ω). Für eine feste Frequenz ennen wir Γ fi bereits (siehe Fall 1b oben). Für die angelegte inohärente Superposition finden wir dann: Γ fi = π f Ĥ 1ω i ρ(ω fi ) mit ω fi = E f E i wenn E f > E i und wenn E f < E i. Γ fi = π f Ĥ 1ω i ρ(ωfi ) mit ω if = E i E f 141