Skrpt Computatonal Pyscs I, FSU-Jena, Prof. T. Pertsc, CP_Skrpt_WS0/4,..0 Computatonal Pyscs I gelesen von Prof. Tomas Pertsc m WS 0/4 an der Fredrc-Scller-Unverstät Jena Skrpt Computatonal Pyscs I, FSU-Jena, Prof. T. Pertsc, CP_Skrpt_WS0/4,..0 Ausgewälte Lösungsvorscläge... 90 0. Enfürung und Motvaton.... Grundlegende Metoden der numerscen Matematk... 5. Zalendarstellung m Computer... 5. Dskretserung... 6. Dfferentaton... 7.. Felerabscätzung... 8.. Verbesserung der Konvergenzordnung... 9.. Abletungen öerer Ordnung.....4 Spektralveralten der Abletungsoperatoren....4 Integraton....4. Recteckregel....4. Trapezregel... 5.4. Smpson-Regel... 6.4.4 Bode-Regel... 6.4.5 Intervalltelungsverfaren... 6.4.6 Gauss-Quadratur... 9.5 ullstellen und Etrema... 0.5. ullstellen von Funktonen ener Veränderlcen... 0.5. Etrema von Funktonen ener Veränderlcen... 7.5. Mnma von Funktonen mererer Veränderlcer... 9.6 Interpolaton....6. Interpolatonsformel von Lagrange... 4.6. De Splne-Interpolaton... 5.6. Ratonale Appromaton... 8. Lneare Glecungssysteme... 40. Implementerung n Computer-Algebra-Systemen... 40. Gauss-Jordan-Elmnaton... 4. Löser für trdagonale Matrzen... 44.4 LU-Zerlegung (Dekomposton, Faktorserung)... 45.5 Iteratve Verbesserung der Lösung... 47.6 Egenwertprobleme... 48. Fourer-Transformaton... 50. De dskrete Fourer-Transformaton... 5. Fast-Fourer-Transformaton... 5. Das Abtastteorem... 54 4. Gewönlce Dfferentalglecungen... 57 4. Anfangswertaufgabe (AWA)... 57 4.. Enscrttverfaren... 58 4. Randwertaufgaben für gewönlce Dfferentalglecungen... 7 4.. Metode der fnten Dfferenzen... 7 4.. Sceßverfaren... 7 5. Partelle Dfferentalglecungen... 74 5. Elementar Metoden zur Lösung von partellen Dfferentalglecungen mt Fnte- Dfferenzen-Metode für Anfangswertaufgaben... 75 5. Stabltätsanalyse nac von eumann... 79 5. Splt-Step-Verfaren... 8 Ergänzung zu den Kapteln... 84 Interpolaton n öeren Dmensonen... 86
Skrpt Computatonal Pyscs I, FSU-Jena, Prof. T. Pertsc, CP_Skrpt_WS0/4,..0 0. Enfürung und Motvaton Computatonal Pyscs st en Querscnttsfac aus den Berecen Matematk, Pysk und Informatk. Zel der Vorlesung Computatonal Pyscs I st de Vermttlung der Grundlagen pyskalscer Modellbldung, der Smulaton pyskalscer Systeme mttels computergestützter Metoden, der Datenanalyse und der Vsualserung. Es andelt sc dabe um enen Enfürungskurs, der sc an den Bedürfnssen der Pysk orentert. Der Kurs erebt desalb nct den Anspruc enes matematsc funderten umerkkurses oder ener Informatkvorlesung. Zum grundlegenden Verständns pyskalscer Systeme snd analytsce Lösungen unabdngbar. Unter dem Gesctspunkt der Anwendung auf reale pyskalsce Problemstellungen snd analytsce Lösungen aufgrund der mest erforderlcen starken ärungen edoc nur bedngt braucbar. Mt dem rapden Ansteg der Verfügbarket lestungsfäger Computertecnk entwckelt sc desalb de pyskalsce Modellbldung n zu Modellen, de mt numerscen Standardverfaren gelöst werden können. Des erlaubt de Untersucung bedeutend kompleerer Systeme, one de otwendgket ergebnsbeenflussender starker ärungen be der Modellbldung. Lösungsgenaugket Wenn pyskalsce Epermente durc numersce Verfaren smulert werden, muss edoc scergestellt werden, dass de numersce ermttelte Lösung nrecend gut mt der eakten (analytscen) Lösung und damt mt der realen Pysk überenstmmt. Problematsc st dabe, dass de analytsce Lösung des numersc untersucten Problems mest nct bekannt st oder äufg gar nct estert. Zur Bescrebung der Feleregenscaften numerscer Lösungsverfaren für pyskalsce Probleme werden äufg dre Felerkrteren angewandt, de edoc stark mtenander verbunden snd. Des snd de Kondton, de Stabltät und de Konsstenz. De Kondton st ene Egenscaft des Problems selbst und st desalb unabängg vom spezfscen Lösungsverfaren. De Kondton bescrebt de Abänggket der Lösung von ener Störung der Engangsdaten, da auc dese mest nur mt begrenzter Genaugket bekannt snd. Demgegenüber st de Stabltät ene Egenscaft der numerscen Lösungsmetode. Se bescrebt de Abänggket der numerscen Lösung von gestörten Engangsdaten m Verglec zur analytscen Lösung. Insbesondere bescrebt de Stabltät damt auc de Robustet enes numerscen Verfarens gegenüber Rundungsfelern. De Konsstenz st wederum ene Egenscaft des numerscen Verfarens. Dese bescrebt, nwewet durc das Verfaren wrklc das gegebene matemsc-pyskalsce Problem gelöst wrd oder ob nct etwa de Skrpt Computatonal Pyscs I, FSU-Jena, Prof. T. Pertsc, CP_Skrpt_WS0/4,..0 4 numersce berecnete Lösung, aufgrund res numersc formulerten Lösungsansatzes, ganz systematsc en alternatves Problem löst. Skalerung notwendger Ressourcen En weteres Krterum für den Erfolg numerscer Metoden legt m Ressourcenbedarf zur Berecnung der numerscen Lösung und dabe nsbesondere dessen Skalerungsveraltens nsctlc der Dmensonaltät des Problems. So erlauben de mesten numerscen Verfaren auc eute noc ledglc de Lösung ser klener Probleme, da der Bedarf an Computerrecenzet, Computerspecer oder mmer mer auc de für de Berecnungen erforderlc Energe ser scnell mt der Dmenson des Problems wäcst. Als Dmenson wrd erbe de Anzal der Freetsgrade der Lösung, also z.b. de Anzal zu berecnender freer Lösungspunkte, bezecnet. Es st desalb wctg, möglcst effzente numersce Verfaren zu entwckeln, de auc mt begrenzten Computerressourcen de nrecend akkurate Berecnung relevanter pyskalsc Aufgabenstellungen erlauben. Letztlc bestet de Aufgabe, de entwckelten numerscen Algortmen n ener Programmersprace umzusetzen. Dazu wrd n der Vorlesung Computatonal Pyscs I de Programmerumgebung MATLAB (bzw. de Programmersprace MATLAB) verwendet, da dese berets nac gernger Enarbetungszet zu ersten Ergebnssen fürt und gleczetg auc be fortscretender utzerkenntns mmer bessere/effzentere Lösungen erlaubt.
Skrpt Computatonal Pyscs I, FSU-Jena, Prof. T. Pertsc, CP_Skrpt_WS0/4,..0 5. Grundlegende Metoden der numerscen Matematk. Zalendarstellung m Computer Im Computer werden alle Berecnungen m sog. Bnärsystem ausgefürt. Jede Zal wrd desalb n enem Bnärcode dargestellt, d.. se wrd ausscleßlc durc ullen und Ensen repräsentert {0 }. Dabe korrespondert de Poston der ullen oder Ensen n der gesamten Bnärzal mt der entsprecenden Zweerpotenz. Der Übersetzungsmecansmus se an desem Bespel verdeutlct: Bnärzal: 0 0 0 0 7 Zweerpotenz: 6 5 4 0 8 64 6 8 4 64 8 4 78 Ene zum Bnärsystem kompatble Darstellung st das Headezmalsystem 0 4 5 6 7 8 9 A B C D E F De eadezmale Darstellung der Dezmalzal 78 st dann 0 0 0 0 0 0 8 4 8 4 4 8 4 4E In der umerk werden zwe Grundtypen von Zalen untersceden. Des snd enersets Integertypen, d.. ganze Zalen mt oder one Vorzecen und unterscedlcem Werteberec. Der zwete Grundtyp snd Realtypen, mt denen ratonale Zalen dargestellt werden können. Aus desen beden Grundtypen können dann wetere Zalentypen und Strukturen, we z.b. komplee Zalen, abgeletet werden. Specerplatzbedarf Inneralb spezeller Zalentypen wrd mest noc nac dem für de ewelge Darstellung erforderlcen Specerplatz untersceden. Für dese Kategorserung der Typen erfolgt de Entelung mest nac folgendem Muster: 6 64 8 bt Deses Muster berut auf der Adresserung des Specers m Computer mt enem Raster von 8/6 bt. Des bezecnet den klensten separat zu lokalserenden Specerabscntt. Dabe snd: E Skrpt Computatonal Pyscs I, FSU-Jena, Prof. T. Pertsc, CP_Skrpt_WS0/4,..0 6 bt Specerenet mt 0 oder belegt 8 bt Byte 6 bt Wort 04 bt = kbt Egenscaften der Zalentypen Durc den endlcen Zalenvorrat m Bnärsystem mt begrenztem Specer wrd de Dynamk und Auflösung enes Zalentyps bestmmt. De Dynamk st das Verältns vom größtem zum klensten Betrag und de Auflösung der Abstand zweer benacbarter Zalen. Dabe werden dese Egenscaften nct endeutg durc den engesetzten Specerplatz bestmmt, sondern können geegnet gegenenander abgewogen werden. Als Bespel se er ene äufg angewandte Auftelung der Bts be enem 64 Bt Realtyp nac dem IEEE-Standard bescreben. Dese ergbt sc aus der alblogartmscen Darstellung der Zalen entsprecend: mt z m s= Sgnum: Bt m= Mantsse: 5 Bt e= Eponent: Bt De Dynamk deses Zalentyps bestmmt sc vor allem aus dem Eponenten. 0 0 e ( ) 004 0 04 08 08 0 0 De Auflösung st dabe nur relatv zum ewelgen Zalenwert zu bestmmen, da Auflösung über dem gesamten darstellbaren Werteberec stark varert. De Auflösung bestmmt sc m Wesentlcen aus der Mantsse. s 0 5 6. Dskretserung Um numersce Berecnungen vornemen zu können, st es notwendg, kontnuerlce Argumenten- und Wertevertelungen auf endlce dskrete Argumenten- und Wertemengen abzublden. Des können enfac de Funktonswerte an dskreten Stellen, den sog. Stützstellen, sen. Alternatv können als Wertemenge z.b. auc de Mttelwerte n Intervallen um de ewelgen dskreten Stützstellen denen. Ene wetere Möglcket, um kontnuerlce Wertevertelungen mt ener endlcen Zal von Werten zu bescreben, st de Entwcklung der kontnuerlcen Wertevertelung n en Funktonensystem. Dabe wrd ene endlc Zal von Entwcklungskoeffzenten als dskrete Wertemenge numersc weterverarbetet. e
Skrpt Computatonal Pyscs I, FSU-Jena, Prof. T. Pertsc, CP_Skrpt_WS0/4,..0 7 Be der Dskretserung wrd prnzpell zwscen äqudstanter und nctäqudstanter Dskretserung untersceden. Be der äqudstanten Dskretserung blebt der Abstand zwscen den Stützstellen, unabängg vom zu lösenden Problem, stets konstant. Ene Anpassung der Dskretserung an das Problem erfolgt nur global für den gesamten Lösungsberec. Be der nctäqudstanten Dskretserung wrd der Stützstellenabstand den lokalen Egenscaften des Problems angepasst und dementsprecend varert. Um de Screbwese dskretserter Wertevertelungen zur otaton der Algortmen effzenter zu gestalten, werden z.b. de Funktonswerte f mt f f bezecnet. für dskrete Argumenten Wesentlcer Gegenstand der numerscen Matematk und auc deser Vorlesung st de Formulerung matematscer Operatoren für de Anwendung auf dskrete Wertevertelungen. Man sprct dabe von der Dskretserung der Operatoren. Dabe werden aus analytscen Ausdrücken ren algebrasce Formulerungen.. Dfferentaton Als erstes Bespel für enen solcen dskreten Operators werden wr de dskrete Verson der uns bekannten Dfferentaton beandeln. Dabe wrd für ene gegebene Dskretserung f der Funkton f en dskreter Dfferental- D f( ) : f ' gesuct. operator Zur Abletung des dskreten Dfferentatonsoperators geen wr von der Defnton der uns bekannten Abletung aus. Ene möglce Defnton, st de des Grenzwertes des rectssetgen (vorwärts) Dfferenzenquotenten: f( ) f( ) f( ) f( ) lm 0 Im Gegensatz zur analytscen Lösung mt Ausfürung des Grenzübergangs, wrd für de dskrete Verson des Dfferentaloperators der Dfferenzenquotent numersc mt enem endlcen berecnet. [ ( )] f( ) f( ) D f Alternatv kann de Abletung des dskreten Dfferentaloperators auc ausgeend vom lnkssetgen (rückwärts) Dfferenzenquotenten erfolgen: [ ( )] f( ) f( ) D f Codebespel (Dfferentaton ) =0.0; %Stützstellenabstand =0::*p; %Dskretserung des Argumentenberecs y=sn(); %Berecnung der dskreten Funktonswerte 4 y=sn(-); %Berecnung Funktonswerte an versetzten Stützstellen 5 df = (y y)/; %Berecnung der dskreten Abletung 6 Skrpt Computatonal Pyscs I, FSU-Jena, Prof. T. Pertsc, CP_Skrpt_WS0/4,..0 8 7 plot(,y); %grafsce Darstellung der Funktonswerte 8 old on; %Grafkausgabe für wetere Darstellung analten 9 plot(,df,'r'); %grafsce Darstellung der Abletung.. Felerabscätzung Für de numersce Lösung st ene Abscätzung der durc de Dskretserung ervorgerufenen Feler von Bedeutung. Deser sogenannte Dskretserungsfeler bezecnet de Abwecung des Ergebnsses der numerscen äerungsrecnung vom eakten analytscen Ergebns: E f( ) D [ f( )] Allgemene Egenscaften des dskreten Dfferentaloperators: D f konvergent: lm D f konvergert (nur bs zum Rundungsfeler) 0 D f konsstent: konvergert gegen rctgen Wert ( lm E 0) Bede Operatoren (rectssetger und lnkssetger) snd konsstent, wel mt lm E 0 der dskrete Operator n de kontnuerlce Defnton überget 0 (zumndest für stetg dfferenzerbare Funktonen). Es st allerdngs von großer Bedeutung, mt welcer Abänggket von der dskrete Operator gegen de eakte analytsce Lösung konvergert. Zum Verständns soll folgende Erläuterung elfen. Es st zu untersceden, dass enersets en Feler durc de Dskretserung des Operators engefürt wrd, der sog. Dskretserungsfeler. In desem Bespel st des de Berecnung des Dfferenzenquotenten für endlce statt der Ausfürung des Grenzübergangs. Anderersets entstet en Feler durc de Ausfürung der Berecnungen als numersce Operatonen mt Computerzalen endlcer Genaugket, sodass be eder elementaren Recenoperaton (+, -, *, /, ) en sog. Rundungsfeler auftrtt. Deser Rundungsfeler st unvermedbar und sene Größe st mest nur scwer abzuscätzen. Im Bespel st es verständlc, dass der Rundungsfeler der Dvson umso größer st, e klener der Dvsor st. Ene Formulerung des dskreten Dfferentaloperators st desalb umso besser, e scneller der Dskretserungsfeler mt klener werdendem gegen ull get, da dann der be zu klenem auftretende Rundungsfeler vermeden werden kann. Ene Herletung der Konvergenzegenscaften des dskreten Dfferentaloperators kann folgendermaßen erfolgen: Voraussetzung: f dfferenzerbar und f ' bekannt De Abänggket der Konvergenz von betracten wr am Bespel des rectssetgen Dfferentaloperators, [ ( )] f ( ) f( ) D f 0
Skrpt Computatonal Pyscs I, FSU-Jena, Prof. T. Pertsc, CP_Skrpt_WS0/4,..0 9 mt Hlfe ener Taylorentwcklung der Defnton: 4 f ( ) f( ) f( ) f( ) f( ) O( ) (*) 6 ersetzen wr f ( ) n D[ f ( )] durc (*) D[ f( )] f( ) f( ) f( ) O( ) 6 D [ f( )] f( ) O( ) Egenscaften: Der dskrete Dfferentaloperator konvergert demnac n erster Ordnung. Der Dskretserungsfeler get mndestens mt gegen ull. Für den lnkssetgen Dfferentaloperator verläuft de Recnung analog. Skrpt Computatonal Pyscs I, FSU-Jena, Prof. T. Pertsc, CP_Skrpt_WS0/4,..0 0 f( ) f( ) D f f f O 6 D f f O [ ( )] ( ) ( ) ( ) [ ( )] ( ) ( ) konvergert mndestens mt Anand der Bespelfunkton sn( ) lässt sc de unterscedlce Genaugket der dskreten Dfferentaloperatoren grapsc darstellen. Stencl-otaton Ene verkürzte Screbwese st de sogenannte Stencl-otaton (Stencl = Scablone), welce de Vorfaktoren vor den Funktonstermen bezüglc notert. De beden berets defnerten Operatoren screben sc dann folgendermaßen: f( ) f( ) [0 ] rectssetg / vorwärts f( ) f( ) [ 0] lnkssetg / rückwärts.. Verbesserung der Konvergenzordnung Durc gescckte Kombnaton verscedener langsam konvergenter Dfferentaloperatoren st es möglc komplee Dfferentaloperatoren zu konstrueren, be denen sc de fürenden Felerterme der Enzeloperatoren gegensetg aufeben und somt der komplee Gesamtoperator mt öerer Ordnung konvergert. Zel: Elmnaton des -Felerterms Ansatz: Kombnaton des rectssetgen und des lnkssetgen Dfferentaloperators [0 ] [ 0] [ 0]. Es resultert der sog. zentrale Dfferentaloperator f ( ) f( ) D[ f( )] mt verbesserten Konvergenzegenscaften. Felerabscätzung: Abletungen der Funkton sn( ) be Anwendung verscedener dskreter Dfferentaloperatoren m Verglec zur analytscen Abletung. Deses Verfaren lässt sc weter verbessern, ndem durc Hnzufügen weterer Operatoren zum Gesamtoperator der ewels fürende Felerterm elmnert wrd. Ene Möglcket st z.b., dass man n der Stencl-otaton des zentralen Operators zu enem breteren Stencl überget, d.. von zu und dann versuct, durc Kombnaton verscedener Operatorformen den ²- Term zu elmneren. f( ) f( ) [ 000] 4 4 4 f ( ) f( ) O( ) 6 Demnac ergbt folgende Kombnaton
Skrpt Computatonal Pyscs I, FSU-Jena, Prof. T. Pertsc, CP_Skrpt_WS0/4,..0 4 f O D[ f( )] [808] f 8f 8f f 4 [ 0 ] [ 0 0 0 ] ( ) enen Dfferentaloperator, der mt konvergert... Abletungen öerer Ordnung Um öere Abletungen darzustellen, startet man weder be der Taylorentwcklung f f f f f 6 O f f f f f 6 O 4 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 4 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) Adderen der beden Glecungen und Umstellen nac f '' f( ) f( ) f( ) f O D [ ] ( ) ( ) konstruert enen Dfferentaloperator zweter Ordnung, der mt zweter 4 Ordnung konvergert (beacte O ( )/ O ( ))...4 Spektralveralten der Abletungsoperatoren Bser aben wr untersuct, we sc de Dfferentaloperatoren n Abänggket vom Stützstellenabstand der Dskretserung veralten. Durc den Ensatz der Taylorentwcklung aben wr dabe mplzt angenommen, dass es sc be den abzuletenden Funktonen um nrecend glatte Funktonen andelt, be denen de Taylorentwcklung konvergert. Für verscedene abzuletende Funktonen wrd dese Anname unterscedlc gut gewärlestet sen. Wr wollen desalb nun untersucen, we sc de Dfferentaloperatoren n Abänggket von der Form der Funkton veralten, auf de se angewandt werden. un können wr allerdngs dese Untersucung nct für alle möglcen Fälle abzuletender Funktonen enzeln durcfüren. Wr sucen stattdessen nac enem verallgemenerungsfägen Ergebns. Für lneare Operatoren, we z.b. de zu untersucenden Dfferentaloperatoren, egnen sc de armonscen Funktonen ep( k ) (Lösungen der Oszllatorglecung mt der Oszllatonsfrequenz k bzw. sog. Fourer-Moden) ser gut als allgemene Testfunkton, da de Wrkung enes Operators auf alle Fourer- Moden de gesamte Informaton über den Operator entält. Skrpt Computatonal Pyscs I, FSU-Jena, Prof. T. Pertsc, CP_Skrpt_WS0/4,..0 Be der Untersucung wrd das Konvergenzveralten n Abänggket vom Parameter k, d.. dem Verältns der Oszllatonsperode der Testfunkton ( /k ) zum Stützstellenabstand, betractet. k f( ) e k f ( ) ke De Bestmmung von f mttels des zentralen Dfferentaloperators ergbt k ( ) k ( ) k k e e e k k D[e ] e e k k sn( k) e sn k f ( ) f ( )snc( k) k k Der Dskretserungsfeler n Abänggket von der Oszllatonsfrequenz k, der sog. spektrale Feler, st demnac Es f snc( k) snc () 0.8 0.6 0.4 0. 0 0 4 Plot von f ( ) snc( ) mt ullstellen be,,, Aus dem Grapen lassen sc ser enfac de spektralen Egenscaften des Operators ablesen: k snc( k) O([ k] ), d.. für nederfrequente bzw. langwellge Funktonen bestzt der zentrale Dfferentaloperator, we wr oben berets geseen aben, ene Konvergenz n. Ordnung k snc( ) 0, d.. für ocfrequente bzw. kurzwellge Funktonen, be denen de Oszllatonsperode genau mt dem Stützstellenabstand überenstmmt, kann der zentrale Operator sogar verscwnden k snc( k) 0, d.. der zentrale Dfferentaloperator lefert be Anwendung auf ser ocfrequent oszllerende Funktonen sogar das falsce Vorzecen
Skrpt Computatonal Pyscs I, FSU-Jena, Prof. T. Pertsc, CP_Skrpt_WS0/4,..0.4 Integraton umersce Integratonsverfaren erlauben de Berecnung des bestmmten Integrals ener Funkton f ( ) auf enem Intervall [ ab, ] b a A d f. Es sollen nun Verfaren vorgestellt werden, mt denen solce Berecnungen mt möglcst weng Recenaufwand und oer Genaugket durcgefürt werden können. Zuerst betracten wr dazu sog. Standardverfaren, welce auf der Dskretserung des Integratonsntervalls beruen. Entsprecend wrd das zu ntegrerende Intervall n Telntervalle zerlegt und de resulterenden Telntegrale werden genäert. Zur Verenfacung der Betractung geen wr von ener äqudstanten Dskretserung aus. Durc dese Zerlegung des Intervalls [ ab, ] ergeben sc glecgroße Telntervalle I [, ] mt der Intervallbrete bzw. ausgedrückt durc de Intervallgrenzen ( b a)/. Skrpt Computatonal Pyscs I, FSU-Jena, Prof. T. Pertsc, CP_Skrpt_WS0/4,..0 4 Man wrd lect enseen, dass deser Mttelwert zemlc aufwendg zu berecnen st. Für langsam veränderlce Funktonen st der Funktonswert m Mttelpunkt des Telntervalls edoc ene gute Appromaton des Mttelwertes des st de Idee der Recteckregel. f ( ) f f So ergbt sc das gesamte Integral zu b a 0 0 0 A d f f f Recteckregel: äerung des Gesamtntegrals durc merere Rectecke mt Höe des Funktonswertes m Telntervallmttelpunkt. Zerlegung des Gesamtntervalls [ ab, ] n glecgroße Telntervalle I [, ]. Dabe st 0 a, b. De Fläce unter der Kurve n dem n Telntervalle zerlegten Gesamtntervall st dann De Aufgabe bestet nun darn, genau zu bestmmen. 0 A d f. A f d m -ten Telntervall möglcst.4. Recteckregel De ausrecend scmalen Telntervalle appromeren wr nun durc Rectecke der Brete. De Höe der Rectecke sollte egentlc dem Mttelwert des Funktonswertes m ewelgen Telntervall entsprecen. Felerbetractung für Telntegral Um den durc de äerung verursacten Feler analyseren zu können, betracten wr ene Taylorentwcklung um den Mttelpunkt enes Telntervalls f( ) f f ' f ''!! 4 f ''' O! De ungeraden Terme der Taylorentwcklung verscwnden be der Integraton über Telntervalle. 5 f df 0 f 0O f O. 4 Egenscaften Telntegral st mt. Ordnung genau n. Da m Gesamtntegral edoc ~/ felerbeaftete Summanden steen, konvergert das Gesamtntegral nur n. Ordnung, mt dem Recteckfeler Gesamtfeler:
Skrpt Computatonal Pyscs I, FSU-Jena, Prof. T. Pertsc, CP_Skrpt_WS0/4,..0 5 ERecteck f O 4 4. 0 Vortele deses Verfarens snd, de ser enface Implementerung und der Fakt, dass kene Funktonswerte an den Intervallgrenzen benötgt werden und dadurc kene Probleme mt eventuellen Sngulartäten an den Intervallgrenzen auftreten..4. Trapezregel Be deser Metode werden de Telntegrale durc Trapeze genäert, de den Verlauf der Funkton vermentlc besser darstellen können als Rectecke. Das Integral screbt sc dann als 0 0 0 b a f f A d f f f f f f f Trapezregel: äerung des Gesamtntegrals durc merere Trapeze. Felerbetractung für Telntegral Durc Verglec mt der Struktur der Recteckregel, set man, dass Funktonswert m Intervallmttelpunkt genäert wrd durc f f f Felerberecnung erfolgt durc Ersetzen von f n Recteckregel durc Somt f f f f O f d f f O f O 5 0 0 Egenscaften Sowol Recteck- als auc Trapezregel konvergeren n. Ordnung mt. 4 Skrpt Computatonal Pyscs I, FSU-Jena, Prof. T. Pertsc, CP_Skrpt_WS0/4,..0 6 Feler der Trapezregel st edoc doppelt so groß we be Recteckregel. Trapez-Verfaren lässt sc m Verglec zu Recteckregel aber ser enfac rekursv von auf verfenern, da de scon berecneten Stützstellen weder benutzt werden können.4. Smpson-Regel Bser at de symmetrsce Entwcklung um den Intervallmttelpunkt berets zum Verscwnden der ungeraden Abletungen gefürt. Jetzt sollen wetere Felerterme elmnert werden, um de Genaugket der Integralnäerung zu verbessern. Ene Möglcket st das Smpson-Verfaren, be welcem de zu ntegrerende Funkton n den Telntervallen durc Parabeln appromert wrd. 5 f d f 0 f 0O. Dese Verbesserung wrd durc das Appromeren der zweten Abletung durc den dskreten Dfferentaloperator mt -Punkt-Stencl [ ]/ errect. f f f 5 5 f d f O f 4f f O. De Summaton über Telntervalle,,5,..., ergbt be geradem für das Gesamtntegral 4 A f0 4ff 4 f... 4f f O. Egenscaften Wr eralten so en Verfaren, das n 4. Ordnung konvergert und für Polynome bs enscleßlc. Grades sogar eakt st..4.4 Bode-Regel Das Verfaren der Appromaton durc Polynome lässt sc natürlc noc weter verbessern. Z.B. lefert de Bode-Regel mt 4 64 4 64 4 f ( ) f f f f f 45 45 45 45 45 ene Formel, de n 6. Ordnung konvergert (nrecende Glätte vorausgesetzt) und für Polynome bs zum 5. Grad eakt st..4.5 Intervalltelungsverfaren De Felerkontrolle für Standardverfaren, de auf der Zerlegung des Gesamtntegratonsntervalls n vele Telntervalle und äerung der Funkton n desen klenen Telntervallen, beruen, lässt sc durc folgenden Algortmus lect mplementeren.
Skrpt Computatonal Pyscs I, FSU-Jena, Prof. T. Pertsc, CP_Skrpt_WS0/4,..0 7 Ablauf:. Vorgabe ener Zelgenaugket ε. Wal von und Berecnung von A. Halberen der Intervallbrete, Berecnung von A 4. Scrtt solange wederolen bs A A Abbruckrterum der Intervalltelung: De Felerscranke wrd aus der Dfferenz zweer aufenanderfolgender Intervalltelungen abgescätzt. Bespelmplementerung für Integraton mttels Standardverfaren Das folgende Codebespel zegt ene enface Implementerung der Trapezregel n MATLAB. Dabe soll de Integralberecnung auf Telntervallen rekursv wederolt werden, so lange der gescätzte Feler ene bestmmte Toleranz überscretet. Für de Felerabscätzung wrd ausgenutzt, dass de Smpson-Regel m Verglec zur Trapez-Regel enen kleneren Feler aufwest und de Dfferenz beder Feler zur Abscätzung des absoluten Felers verwendet werden kann. Codebespel A A (Integratonsverfaren, Trapez- /Smpson-Regel) functon [Int I]=trapez(f,I,tol) % [Integral Intervall] = trapez(@func_name,intervall,toleranz) % berecnet das Integral ener uebergebenen Funkton f % n den Grenzen I() bs I() mttels Trapezregel und ener % Toleranz tol % De Funkton gbt den berecneten Integralwert % und den Vektor der Gtterstruktur zurueck %Trapezregel Int = (I()-I())/ * (feval(f,i()) + feval(f,i())); %Smpsonregel S = (I()-I())/6 * (feval(f,i()) + 4*feval(f,(I()+I())/) + feval(f,i())); Skrpt Computatonal Pyscs I, FSU-Jena, Prof. T. Pertsc, CP_Skrpt_WS0/4,..0 8 end end Int = Int + Int; I = [I;I(:end)]; De Implementerung des Integratonsalgortmus erfolgte für ene belebge zu ntegrerende Funkton. Bespelaft wollen wr das Integral der Snus- Funkton A sn( ) d 0 berecnen. Das analytsce Ergebns st erfür zur Betractung des numerscen Felers berecenbar A. De zu ntegrerende Snus-Funkton muss noc als allgemene Integratonsfunkton für de Übergabe an de Integratonsfunkton mplementert werden: Codebespel (Defnton des Integranden) functon y=f() % Trgonometrsce-Funkton y=sn() y=sn(); 4 end un können wr uns das Ergebns berecnen und de Funkton nklusve der Stützstellen zecnen lassen. Codebespel 4 [Int I] = trapez(@f,[0 p],0.0); Int =lnspace(0,p,00); 4 y=f(); 5 y=f(i); 6 plot(,y,i,y,'') (Aufruf der Integratonsfunkton) Wr eralten A.9879, was berets ene gute Abscätzung des eakten Ergebnsses st. De Genaugket leße sc durc Verklenerung der Zeltoleranz weter verbessern. De egentlce Stärke von MATLAB legt n enem umfangrecen Repertore an berets mplementerten Funktonen. Das numersce Integreren mt Hlfe der Trapezregel lässt sc n MATLAB z.b. vel scneller realseren: f(abs(int-s)>=tol*(i()-i())) I = [I();(I()+I())/;I()]; [Int I] = trapez(f,i(:),tol); [Int I] = trapez(f,i(:),tol); Codebespel 5 X = 0:p/00:p; Y = sn(x); (Trapezregel als MATLAB-Funkton)
Skrpt Computatonal Pyscs I, FSU-Jena, Prof. T. Pertsc, CP_Skrpt_WS0/4,..0 9 Skrpt Computatonal Pyscs I, FSU-Jena, Prof. T. Pertsc, CP_Skrpt_WS0/4,..0 0 Z = trapz(x,y) %lefert Z =.9998.4.6 Gauss-Quadratur Es bestet wetern das Zel der genauen äerung des Integrals mt wengen Funktonsberecnungen. In den bser dskuterten Standardverfaren wurde dafür das Integratonsntervall [a,b] n vele Telntervalle [, + ] zerlegt, n denen de zu ntegrerende Funkton mt Polynomen erster bzw. zweter Ordnung genäert wurde. Jetzt wollen wr dese Idee aufgrefen und das gesamten Intervall [a,b] durc ene analytsc ntegrerbare Funkton oer Ordnung näeren, z.b. mt Hlfe ener ortogonalen Bass P (Legendre o.ä.). Obwol des prnzpell zu ener ser oen Genaugketsordnung füren kann, st Vorsct geboten. Hoe Ordnung bedeutet nur oe Genaugket, wenn de Funkton nrecend glatt st, m Snne ener guten Appromerbarket durc en Polynom. Ene Funkton f ( ) wrd nun also durc enen Satz von Polynomen ausgedrückt n f ( ) P( ) mt n klen weng Basselemente 0 De Bestmmung der Koeffzenten folgt aus der Ortogonaltät der P b a d P( ) P ( ) Daraus lässt sc en lneares Glecungssystem für de Koeffzenten ableten, dessen Lösung äufg de wesentlce numersce Aufgabe darstellt. Das zu lösende Integral bestmmt sc dann aus b a b n n d f ( ) d P( ) w f ( ) mt a w als Gewctskoeffzenten mt w, als den für enen ewelgen Polynomtyp zu bestmmenden Gewctskoeffzenten. Egenscaften Der äerungsfeler st klen, wenn f ( ) gut n gewälte Bass P entwckelbar st. De Abscätzung des Felers st allgemen nur scwer möglc. De bekannteste Gauß-Quadratur st de Gauß-Legendre-Integraton auf dem Intervall [ ;] durc Legendre-Polynome. Um das Verfaren auf belebge Intervalle [ ab ; ] anzuwenden st ledglc ene Varablentransformaton vorzunemen. Aufgabe Integraton mt Trapezregel Füren Se ene numersce Integraton nac der Trapez-Regel für de Funkton A 0 sn( ) d von Hand (mt Tascenrecner) für 4 bzw. 8 Telntervalle durc. Aufgabe Integraton mt Smpson-Regel Screben Se en Programm (Funkton), um de Smpson-Regel n MATLAB zu mplementeren. utzen Se dabe de m obgen Codebespel gezegte Funkton f (functon y = f()) und testen Se es durc de Integraton der n der vorergen Aufgabe genannten Funkton..5 ullstellen und Etrema n Englsc-spracger Lteratur: ullstellensuce = Root Fndng.5. ullstellen von Funktonen ener Veränderlcen De Aufgabe st das Fnden von ullstellen von f( ) m Intervall ab., De mesten computergestützten Lösungsansätze beruen auf Iteratonsverfaren, de enen Startpunkt n ab, nac verbessern bs f * 0. De nacsteenden Abbldungen verdeutlcen dabe enge Stuatonen, de be der Suce nac ullstellen auftreten können. De Wal enes spezellen Verfarens zu Suce nac ullstellen rctet sc oft nac den Egenscaften der betracteten Funkton f( ). Ene solerte ullstelle m Intervall [a,b] st durc den Vorzecenwecsel der Funktonswerte f(a) und f(b) an den de ullstelle engrenzenden Intervallgrenzen a und b gekennzecnet.
Skrpt Computatonal Pyscs I, FSU-Jena, Prof. T. Pertsc, CP_Skrpt_WS0/4,..0 Es können be glecen Vorzecen der Funktonswerte an den Intervallgrenzen dennoc z.b. doppelte ullstellen m Intervall esteren. Skrpt Computatonal Pyscs I, FSU-Jena, Prof. T. Pertsc, CP_Skrpt_WS0/4,..0.5.. Bsekton Be der Bsekton wrd das Intervall, welces anfänglc berets genau ene ullstelle enscleßt, albert. Dann wrd untersuct, welces der resulterenden Telntervalle wetern de ullstelle enscleßt und deses wederum albert, usw. bs de Intervallgrenzen, welce de ullstelle enscleßen, nrecend dentsc snd. Für de Feststellung der Estenz der ullstelle n enem Telntervall muss nur das Vorzecen von f ( ) untersuct werden und nct der Wert von f ( ). Das kann recentecnsc von großem Vortel sen. Das Verfaren konvergert zwar langsam aber dafür mt oer Sceret, d.. n edem Iteratonsscrtt wrd ene vorersagbare Verbesserung erzelt. Das nacsteende Struktogramm verdeutlct noc enmal das Verfaren der Bsekton. Be Vorzecenwecsel der Funktonswerte an den Intervallgrenzen muss dennoc nct zwngend ene ullstelle esteren falls de Funkton f() m Intervall [a,b] Unstetgketen aufwest. Scematscer Ablauf des Bsektonsverfarens unter der Anname f ( a) 0 f ( b) 0. De Implementerung berut auf enem rekursven Funktonsaufruf. Dese Funkton zegt, dass durcaus ene große Anzal ullstellen n enem Sucntervall esteren kann..5.. Sekantenverfaren Für das Sekantenverfaren wrd mt den zwe Funktonswerten f ( ) und f ( ) ene Sekante konstruert. De Etrapolatons- oder Interpolatonslne ergbt dann enen Scnttpunkt mt der -Acse der den älteren der beden Startwerte ( ) ersetzt. Für de Argumente der Funkton ergbt sc folgende Iteratonsformel f( ). f ( ) f( )
Skrpt Computatonal Pyscs I, FSU-Jena, Prof. T. Pertsc, CP_Skrpt_WS0/4,..0 Egenscaften konvergert scneller gegen ullstelle (für lneare Funktonen n enem Scrtt) Konvergenz nct scer, d.. nct n edem Iteratonsscrtt wrd zwangsläufg Verbesserung erzelt neues Intervall [, ] scleßt nct mmer ullstelle en Da be desem Verfaren der enner zwangsläufg klen wrd und gegen ull konvergert, st es snnvoll ene Abbrucbedngung enzufüren (Dabe st ε de relatve Mascnengenaugket): f f 0 f Illustraton des Sekantenverfarens. De enzelnen Punkte snd n der Reenfolge rer Benutzung n der Iteratven Verbesserung des Sucntervalls nummerert. Codebespel 6 Sekantenverfaren functon [,,status] = sekante(0,,tol,tol,no) %0,: Startwerte %tol: Toleranz fuer Funktonswert 4 %tol: Toleranz für Funktonsargument 5 %no: maamle Anzal an Iteratonen 6 7 %grapsce Ausgabe 8 ab = -0.4; _old=000;f_old=000; 9 as on; 0 plot( [-5 5], [0 0]); % -Acse zecnen old on; set(fndob(gca,'type','lne','color',[0 0 ]),'Color', 'black','lnewdt',) p=(-5):0.:(5); 4 for =::(0) Skrpt Computatonal Pyscs I, FSU-Jena, Prof. T. Pertsc, CP_Skrpt_WS0/4,..0 4 5 f() = f(p()); 6 end 7 plot(p,f,'lnewdt',); 8 = 0; fa = f(0); fb = f(); 9 f abs(fa) > abs(fb) 0 a = 0; b = ; else a = ; b = 0; tmp = fb; fb = fa; fa = tmp; end 4 % Iteraton der Sekante 5 wle < no 6 s=fb/fa; r=-s; 7 t=s*(a-b); % Ansteg zwscen den zwe Punkten der Sekanten 8 =b-t/r; % konvergert gegen ullstelle 9 f=f(); % konvergert gegen ull 0 % Ausgabe der Punkte der Sekante f abs(_old-)<0. && abs(f_old-f)<0. ab=ab-0.; end 4 _old=; f_old=f; 5 plot(,f,'ro','lnewdt',); 6 tet(+ab, f,numstr(+),'horzontalalgnment','left') 7 f t == 0 8 status = 'Verfaren wurde nct durcgefuert.'; return 9 end 40 f abs(f) < tol 4 status = 'Verfaren konvergert, Loesung berecnet.'; return 4 end 4 f abs(-b) < tol*(+abs()) 44 status = 'Verfaren konvergert, Loesung berecnet.'; return 45 end 46 = +; 47 f abs(f) > abs(fb) 48 a = ; fa = f; 49 else 50 a = b; fa = fb; b = ; fb = f; 5 end 5 end 5 status = 'Iteratonszal ueberscrtten';.5.. Regula Fals (False Poston Metod) De bsergen Verfaren zegten entweder ene ser langsame Konvergenz (Bsekton) oder kene scere Konvergenz (Sekantenverfaren). De Regula Fals erwetert das Sekantenverfaren um de zusätzlce Bedngung, dass de neue Sekante nur durc de beden letzten Iteratons-
Skrpt Computatonal Pyscs I, FSU-Jena, Prof. T. Pertsc, CP_Skrpt_WS0/4,..0 5 Skrpt Computatonal Pyscs I, FSU-Jena, Prof. T. Pertsc, CP_Skrpt_WS0/4,..0 6 punkte gezogen wrd, welce de ullstelle enscleßen. Damt wrd ene scerere Konvergenz erzwungen. Konkret bedeutet des de Unterscedung n zwe Fälle: f ( ) f ( ) 0, In desem Fall werden der neue und der letzte Iteratonspunkt weterverwendet. f ( ) f ( ) 0, Oder es werden m anderen Fall der neue und der vorletzte Iteratonspunkt weterverwendet, da nur dese de ullstelle wetern enscleßen. Dadurc konvergert das Verfaren gegenüber dem Sekantenverfaren mancmal langsamer, allerdngs wrd en Abdrften der Iteratonspunkte von der ullstelle verndert. In desem Bespel würden sowol mt dem Sekantenverfaren als auc mt der Regula Fals vele Iteratonen zum Fnden der ecten ullstelle benötgt. Auc vele andere Verfaren ergeben er kene Verbesserung. Wetere Ergänzungen zur Felerbetractung des Verfarens steen m Anang. Regula-Fals (False Poston Metod): De näcsten Iteratonspunkte müssen dabe stets de ullstelle enscleßen. Bevor wr zu enem weteren Verfaren kommen, soll de nacsteende Abbldung noc enmal verdeutlcen, dass sowol das Sekantenverfaren als auc de Regula-Fals nur bedngt geegnet snd, um ene ullstelle scnell zu fnden..5..4 ewton-rapson Be desem Verfaren wrd f ( ) durc ene Taylorentwcklung genäert (mest nur n erster Ordnung - lnear), wofür de Abletung f ( ) bekannt sen muss. Dann glt f( ) f( ) f ( ) 0 woraus de Iteratonsformel abgeletet werden kann f ( ) f ( ) Egenscaften quadratsce Konvergenz mt folgender Felerentwcklung f ( ) E E f ( ) n edem Scrtt Verdopplung der korrekten Stellen errect ser scnell Mascnengenaugket funktonert nur scer n der äe von ullstellen gut auf merere Dmensonen verallgemenerbar kombnerbar mt Sekantenverfaren/Regula-Fals: erst Regula-Fals bs n äe der ullstelle (da allgemene Konvergenz), dann ewton Rapson (da scnell zur Mascnengenaugket)!
Skrpt Computatonal Pyscs I, FSU-Jena, Prof. T. Pertsc, CP_Skrpt_WS0/4,..0 7 Skrpt Computatonal Pyscs I, FSU-Jena, Prof. T. Pertsc, CP_Skrpt_WS0/4,..0 8 Aufgabe Bsektonsverfaren Implementeren Se das Bsektonsverfaren n MATLAB. utzen Se dazu das obge Struktogramm. Aufgabe 4 Struktogramm der Smpson-Regel We könnte en Struktogramm der Regula Fals ausseen?.5. Etrema von Funktonen ener Veränderlcen Da das Auffnden von ullstellen äufg aufwendg st und numersc soweso ne zu ener eakten Lösung mt f( * ) 0 fürt, wrd dese Aufgabenstellung oft n en Mnmerungsproblem umgewandelt. Dabe wrd ausgenutzt, dass für ene ullstelle das Quadrat der untersucten Funkton auc en Mnmum at. Auc sonst stellt das Auffnden des Mnmums ener Funkton ene äufg zu lösende Aufgabe dar. Deswegen werden wr nun Algortmen untersucen, um Mnma effzent zu lokalseren. Damt st auc de Frage nac eventuellen Mama beantwortet, da dese Mnma des Rezproken der zu mamerenden Funkton snd. Damt en Mnmum m Intervall [ ac, ] estert, muss für ene m Intervall [ ac, ] stetge, nac unten bescränkte Funkton folgendes gelten: Wenn für en Punktetrpel a<b<c (oder c<b<a) f b f a und f b f c st, so folgt daraus de Estenz enes Mnmums m Intervall [ ac., ].5.. Verfaren des goldenen Scntts (Golden Secton Searc) In Analoge zum Bsektonsverfaren bestet de Aufgabe darn, enen neuen Punkt zu wälen, entweder m Intervall [a,b] oder m Intervall [b,c]. Zuerst bestmmen wr de Funktonswerte be f( b), f( ). Für den Fall f b f st das näcste Punktetrpel (a, b, ). Für f b f nemen wr das Trpel (b,, c). Der Mttelpunkt des Trplets st dann der Abszsse am näcsten und st bs dan unser Mnmum. Desen Scrtt der Enscactelung wederolen wr solange, bs de Intervallbrete ene bestmmte Toleranz unterscretet. We sollte nun de Intervalltelung erfolgen, damt unabängg vom Funktonsverlauf ene optmale Konvergenz zum Mnmum erfolgt? Das st glecbedeutend mt der Forderung, dass de neue Intervallgröße unabängg vom Erfolgsfall der Telung sen soll, d.. das neues Intervall soll n edem Fall glec groß sen. oder 4 4 Forderung für effzenten Iteratonsverlauf Intervallredukton soll glec bleben (nct langsamer werden) Lösungsansatz Verältns der Telntervalllängen ( / ) soll be folgenden Iteratonen konstant bleben Verklenerung des Sucntervalls mt konstanter Rate Fall f 4a : neues Trpel st,, 4 dann soll / / sen Fall f 4b : neues Trpel st, 4, dann soll / /( ) sen Durc Elmnaton von c aus beden Glecungen folgt: b a / ( b/ a) mt der Lösung: b/ a ( 5)/.680989... Deses Verältns entsprct dem goldenen Scntt und st de gesucte Bedngung für de Poston von..5.. Quadratsce Interpolaton (Parabolc Interpolaton) De Metode des Goldenen Scnttes st n rer Art spezell für den worst case, der bem Sucen des Mnmums auftreten kann, ausgelegt, d.. für en unkooperatves Mnmum. Befndet man sc edoc berets n der äe enes Etremums, kann man de Funkton mest nrecend gut durc ene parabolsce Funkton näeren? De Metode der quadratscen Interpolaton legt durc en gegebenes Punktetrpel ene Parabel und wält den neuen Punkt nae des Scetels. Dese Metode st für geegnete Funktonen ser effzent. Für ergbt sc folgender Zusammenang b ba f b f c bc f b f a ba f b f cbcf b f a Mt dem klensten Intervall, das dre Punkte umfasst wrd deser Vorgang so oft wederolt bs de gewünscte Genaugket errect st. Folgende Abbldung soll de Metode noc enmal verdeutlcen. Möglce Fälle der Engrenzung enes Mnmums nac der Intervalltelung.
Skrpt Computatonal Pyscs I, FSU-Jena, Prof. T. Pertsc, CP_Skrpt_WS0/4,..0 9 Skrpt Computatonal Pyscs I, FSU-Jena, Prof. T. Pertsc, CP_Skrpt_WS0/4,..0 0 Das Mnmum wrd be deser Metode durc Interpolaton von Parabeln gesuct. Durc dre Punkte,, der gegebenen Funkton (durcgezogene Lne) wrd ene Parabel gelegt (gestrcelte Lne). Deren Scetelpunkt fürt zum neuen Punkt 4 der gegebenen Funkton. un wrd durc de Punkte,,4 ene Parabel gelegt (gepunktet) usw. So st der Scetelpunkt 5 der zweten Parabel scon nae dem wrklcen Mnmum der Funkton..5. Mnma von Funktonen mererer Veränderlcer Ecte ullstellensuce st n öeren Dmensonen etrem scwerg aber Mnmerung st mest möglc. De Mnmerungsverfaren aus dem letzten Abscntt werden wr desalb auf merdmensonale Funktonen erwetern..5.. Downll-Smple-Metode De Downll-Smple-Metode st en auf Mnma kondtonerter Sucalgortmus für enen Smple. En Smple st en n-dmensonale Punktmenge aus n+ Punkten, wobe de Verbndungslnen zwscen den Punkten allesamt lnear unabängg snd. Im Zwedmensonalen st des en Dreeck, m Dredmensonalen en Tetraeder. Spegelung P S Epanson/Kontrakton Grapsce Darstellung der Smpleoperatonen an enem D Smple P Das Verfaren set mt der Implementerung nac elder und Mead folgendermaßen aus:. Wäle belebge Punkte, de enen Smple aufspannen und bestmme deren Funktonswerte. Suce den Besten Punkt B und Sclectesten Punkt S (klenster/ größter Funktonswert). Der Punkt S wrd um den Smplemttelpunkt gespegelt und:.a Wenn der neue Punkt P besser als alle anderen st, dann strecke den Smple n deser Rctung und ersetze den Punkt S durc den neuen gestreckten Punkt P..b Ist der Punkt P nur besser als Punkt S, dann ersetze Punkt S durc Punkt P.c Ist der Punkt P sclecter als Punkt S, dann kontraere den Smple unter Bebealtung der anderen Punkte. 4. Wederole de Scrtte und bs das Smplevolumen nrecend klen st. Je nac Problemstellung st es noc möglc, de Punkte unabängg von den oben genannten Implementerungsscrtten mmer etwas stocastsc zu verändern, um en Festfaren des Smple zu verndern..5.. Mnmerung n alternerende Rctungen Ene andere Mnmerungsmetode greft drekt auf de berets m vergangenen Abscntt vorgestellten Konzepte für de endmensonale Mnmerung zurück. Be der Mnmerung n alternerende Rctungen werden für ene n-dmensonale Funkton endmensonale Mnmerungsaufgaben n n verscedene Rctungen nacenander gelöst. Für enen gegebenen Startpunkt P und Rctung u P, u wrd folgendermaßen vorgegangen mn f Pu P Pu mn f P u P P u f P u P P u mn Das Verfaren wrd so lange ausgefürt, bs n alle Rctungen kene wesentlce Verbesserung mer zu erzelen st. De Wal der Mnmerungsrctungen beenflusst wesentlc de Effzenz des Verfarens. De enfacste Wal für de Mnmerungsrctungen snd de Koordnatenacsen, allerdngs st des mestens nct de effektvste Varante.
Skrpt Computatonal Pyscs I, FSU-Jena, Prof. T. Pertsc, CP_Skrpt_WS0/4,..0 Skrpt Computatonal Pyscs I, FSU-Jena, Prof. T. Pertsc, CP_Skrpt_WS0/4,..0 gute Konvergenz y sclecte Konvergenz Gebete mt guter und sclecter Konvergenz der Mnmerung n alternerende Rctungen. Metoden zur Rctungsfestlegung werden wesentlc danac untersceden, ob se de Kenntns der Abletung der zu mnmerenden Funkton n de Rctungsfestlegung enbezeen oder nct. Zel be der Rctungswal st das Auffnden von konugerten Rctungen mt der Egenscaft, dass de Mnmerung n u nct durc de nacfolgende Mnmerung n Rctung u beenträctgt wrd, d.. dass nac der Mnmerung n Rctung u man auc entlang u noc m Mnmum stzt..5.. Gradentenverfaren (Steepest Descent) Ene Metode zur effektven Rctungswal, be welcer de Abletungsbldung enbezogen wrd, st das Verfaren des stelsten Absteges, das auc als Gradentenverfaren bekannt st. De Idee st, dass de Sucrctung entgegen der des Gradenten stet, d.. P P f P mn f P tf P mt Egenscaften Das Problem der Metode des stelsten Absteges st es, dass das Verfaren n ser "scmalen Tälern" dazu negt, sc dem Mnmum n enem Zck-Zack- Kurs zu näern. De Ursace legt darn, dass der neue Mnmerungspfad mmer gegen den Gradenten n enem konkreten Punkt stet, dese Rctung muss nct notwendgerwese zum Mnmum füren. Zudem st der Gradent n der äe enes lokalen Mnmums numersc nur scwer zu bestmmen. t Gutes und sclectes Bespel des Gradentenverfarens Was snd konugerte Rctungen? Metode zur Abletung konugerter Rctungen zuerst Mnmeren entlang u bs zum Punkt p danac stet Gradent senkrect auf u nun Taylor-Entwcklung nac um Ursprung p f f p c b  f f p, p f c f p b f  p mt p (Hesssematr) mt deser äerung Berecnung der Ortsabänggket des Gradenten von f f  b Veränderung des Gradenten be Verscebung: f  Resulterendes Vorgeen: zuerst Mnmerung entlang u danac Mnmerung entlang u bestmmt wrd:, wobe u aus folgender Bedngung konugert wenn Gradent senkrect zu u blebt 0 uf u Âu d.. es muss de Hessematr am Punkt p berecnet werden und danac en lneares Glecungssystems zur Bestmmung von u gelöst werden
Skrpt Computatonal Pyscs I, FSU-Jena, Prof. T. Pertsc, CP_Skrpt_WS0/4,..0 Egenscaften der resulterenden Metode Wal von lnear unabänggen paarwese konugerten Mnmerungsrctungen ( Dmensonen) dadurc für quadratsce Funkton Mnmerung n Scrtten quadratsce Konvergenz: mt edem Scrtt doppelte Anzal rctger Stellen edoc komplzerte und auf Abletungsbldung beruende Bestmmung der Rctungen.5..4 Powell s Metode Wenn das Blden von Abletungen vermeden werden soll, betet sc Powell s Metode an. Dese erzeugt paarwese zuenander konugerte Rctungen one Abletungsbldung. Dazu wrd de folgende Sclefe nrecend oft durclaufen, wobe anfänglc de Sucrctungen entlang der Koordnatenacsen gewält werden.. Startpunkt p 0. für,, Verscebung von p zum Mnmum entlang u bs Punkt p. für,, setze u u und u p p (mttlere Rctung) 0 4. Verscebe p zum Mnmum entlang u und p0 p, danac eustart be. Egenscaften Iteratonen notwendg für de Mnmerung ener quadratscen Form Problem: Rctungen u werden lnear abängg nur Telraum von wrd mnmert Verbesserung: z.b. nac -malgem Ausfüren der obgen Scrtte (,,,4) Rückker zu Enetsvektoren e oder noc besser: ersetze n Scrtt () de Rctung mt dem stärksten Ansteg, da dese scon voll mnmert st Bemerkung In der Pras st äufg de sog. Konugerte-Gradenten-Metode de Metode der Wal (see Lteratur, z.b. umercal Recpes)..6 Interpolaton Um aus Messungen gewonnene Daten pyskalsc nterpreteren zu können, st es mestens notwendg de Messwerte zu nterpoleren bzw. zu etrapoleren. Im Folgenden werden dafür geegnete Verfaren vorgestellt, sodass der Funktonsverlauf möglcst nae an den Messwerten legt. Skrpt Computatonal Pyscs I, FSU-Jena, Prof. T. Pertsc, CP_Skrpt_WS0/4,..0 4 Her wrd sc auf Interpolatonsverfaren konzentrert. De Etrapolaton auf Argumentenberece außeralb des bekannten Intervalls kann mest nct durc allgemengültge Metoden erfolgen, sondern sollte stark durc das Wssen um das generelle Veralten des pyskalscen Problems geprägt sen. Bespelwese könnte aus der Pysk der Aufgabenstellung bekannt sen, mt welcer Potenz ene Größe sc be der Annäerung an enen Grenzwert verändert..6. Interpolatonsformel von Lagrange (wrd auc als Laplace sce Interpolatonsformel bezecnet) Be der Lagrange-Interpolaton get man von n bekannten Punkten aus, y f ( ),, y f ( ),, n, yn f ( n) de durc das Polynom P von Grad ( n ) verbunden werden sollen ges.: Polynom vom Grade ( n ), welces alle Punkte verbndet n n y P A 0 Zur Bestmmung der Koeffzenten Multplkaton von Wert y mt Polynom n A wält man en enfaces Vorgeen ten Grades...... p n k k telen durc p man erält y p n 0 mt k k k y p k y k das Polynom, welces de Interpola- n n k damt st Pn y k k k tonsaufgabe löst, da k n n k( ) k k k k P P y y Egenscaften Da mt dem Grad des Polynoms auc de Anzal der Mama und Mnma stegt (en Polynom n-ten Grades at n- Etrema), negt de Interpolatonsfunkton zum Sclängeln. Zusätzlc ergeben sc numersce Probleme be der Polynombestmmung für oe Stützstellenzalen (als Faustregel: ab >00), da dann de numersce Produktberecnung nstabl wrd. Her betet sc ene Interpolaton n Telntervallen an (see Splne-Interpolaton m näcsten Kaptel).
Skrpt Computatonal Pyscs I, FSU-Jena, Prof. T. Pertsc, CP_Skrpt_WS0/4,..0 5 Skrpt Computatonal Pyscs I, FSU-Jena, Prof. T. Pertsc, CP_Skrpt_WS0/4,..0 6 Außeralb des Intervalls verält sc de Funkton we en Polynom n-ten Grades und st daer für ene Etrapolaton nct geegnet. Der Feler der Interpolaton nneralb des Interpolatonsntervalls (d.. de Abwecung des Polynoms von der egentlcen de Stützstellen verbndenden Orgnalfunkton) ängt m Wesentlcen von der Wal der Lage der Stützstellen ab. Für äqudstante Stützstellen st deser Feler an den Intervallrändern tendenzell besonders groß. Des kann durc ene optmerte Stützstellenwal umgangen werden, wenn z.b. als Stützstellen de ullstellen des Tscebysceff-Polynoms gewält werden. Es wrd en Polynom gesuct, das durc alle roten Krese get. De Lagrange- Interpolaton (blauer Plot) mt ren Etremwerten (blaue Punkte) wect dabe von der Splne-Interpolaton (grüner Plot) stark ab. (En Kodescnpsel zur Lagrange-Interpolaton und desem Plot fndet man m Anang) Bemerkung Das Tscebysceff-Polynom st Lösung der Dfferentalglecung y y n y 0 Für ganzzalge n ergeben sc als Lösungen Polynome, deren ullstellen durc bescreben werden. cos 0, n n.6. De Splne-Interpolaton De Lagrange-Interpolaton atte zum Enen starke Oszllatonen, zum Anderen st se nstabl be der Bestmmung großer Produkte. En besseres und wet verbretetes Verfaren st de Splne-Interpolaton, be der de Funkton nur n ewels klenen Telntervallen nterpolert wrd. Dabe werden de verscedenen Interpolanten nrecend glatt anenandergesetzt und Polynome gerngeren Grades genutzt. Bemerkung Splne: (aus Scffsbau) begsame Holzlatte durc alle Punkte legen und deren Spannung mnmeren Lösung enes Varatonsproblems z.b. mnmeren von d[ s( )]² De gebräuclcsten Splnes snd kubsce, d.. Polynome drtten Grades. Ansatz: Der Splne, s soll zwemal stetg dfferenzerbar sen. Daraus ergeben sc an den Intervallgrenzen folgende Bedngungen s y - stetger Anscluss an vorergeenden Splne s y s' s' s'' s'' - stetger Anscluss an nacfolgenden Splne - Stetgket der. Abletung s s - Stetgket der. Abletung '' '' n n 0 - kraftfree Enspannung an den Enden Dabe snd n edem Intervall ver Parameter für en Polynom drtten Grades anzupassen. Auf n Intervallen ergbt des 4( n ) Parameter und genauso
Skrpt Computatonal Pyscs I, FSU-Jena, Prof. T. Pertsc, CP_Skrpt_WS0/4,..0 7 vele Bedngungen. We das daraus entsteende lneare Glecungssystem gelöst werden kann, wrd n enem späteren Kaptel vorgestellt. Bespelrecnung für den enfacen Fall mt äqudstanten Stützstellen (Bemerkung: Im Folgenden snd de Superskrpts n a en Inde und kene Potenzen.) Gegeben seen de Stützstellen mt dem äqudstanten Abstand, y,, n Der Splne m Intervall, s mt, at dann de Form s y a a a 6 mt den Koeffzenten = Abletungen der Ft-Funkton an der Stelle. Aus den Ansclussbedngungen folgt y y a a a 6 a a a a (*) a a a und an den Rändern st zusätzlc a 0 a 0 n Durc Ensetzen der Glecungen nenander lässt sc en lneares Glecungssystem für a fnden. Aus desem können dann de anderen Koeffzenten ( a, a ) bestmmt werden. Dafür wrd de letzte Glecung von (*) nac a a a a umgestellt / und n de anderen beden Glecungen engesetzt. Des ergbt Skrpt Computatonal Pyscs I, FSU-Jena, Prof. T. Pertsc, CP_Skrpt_WS0/4,..0 8 y y a a a 6 a a a a De obere Glecung von (**) wrd an den Intervallgrenzen und + aufgestellt. Aus desen beden Glecungen wrd a elmnert ndem de untere Glecung von (**) be aufgestellt wrd. Daraus folgt y a a a a y a 5a a a 6 6 y y a a a 6 Durc Elmnaton von a ergbt sc (**),, n 6 a 4a a yy y be,, n Mt den Randbedngungen lassen sc aus desem Glecungssystem alle zweten Abletungen a ermtteln. De anderen beden Koeffzenten ( a, a ) lassen sc dann durc Ensetzen n de entsprecenden Glecungen lect bestmmen..6. Ratonale Appromaton De bser dskuterten Interpolatonsverfaren zecnen sc durc ene oe Flebltät des Funktonenansatzes aus, d.. se lassen sc auf velfältge Probleme anwenden. Telwese erfordert das zu lösende Interpolatonsproblem edoc de Wal enes spezfscen, problemangepassten Funktonenansatzes. Falls de zu nterpolerende Funkton Polstellen aufwest, erscent folgender Polynomansatz günstg Pn y Qm wobe Pn ( ) und Qm ( ) Polynome vom Grade n bzw. m snd. De Anzal der bekannten Stützstellen k bestmmt de Polynomgrade durc mn. eben der Anzal der Pole ( m) kann z.b. mt m n de pyskalsce Informaton über das asymptotsce Veralten berücksctgt werden (für große st y ~ ). De Werte der Polynome lassen sc durc en Glecungssystem an den Stützstellen k bestmmen
Skrpt Computatonal Pyscs I, FSU-Jena, Prof. T. Pertsc, CP_Skrpt_WS0/4,..0 9 P y Q a 0 ak ak... f k b k bk... n k k m k Skrpt Computatonal Pyscs I, FSU-Jena, Prof. T. Pertsc, CP_Skrpt_WS0/4,..0 40. Lneare Glecungssysteme Im Folgenden werden Verfaren zu Lösung von lnearen Glecungssystemen vorgestellt. Dabe betracten wr Systeme algebrascer Glecungen der Form a a a... a nn b a a a... ann b a a a... ann b... a a a... a b m m m mn n m Des können wr auc n der Matrdarstellung screben als  b Wobe  de Koeffzentenmatr st und b en Spaltenvektor. a a... a n b a a... a n  b, b....... am am am amn bm Ene alternatve Formulerung des Problems st n f f a b,, n,, m 0 mt. Implementerung n Computer-Algebra-Systemen Für de Anwendung von Lösungsalgortmen n Computer-Algebra-Systemen wrd das Problem zuerst nac verscedenen Gesctspunkten caraktersert. Wenn de Vektoren b und de glece Dmenson aben lässt sc das Problem am enfacsten lösen. Ist edoc ene Zele oder Spalte degenerert, d.. se st nct von den anderen Zelen bzw. Spalten lnear unabängg, treten Sngulartäten auf. Dese müssen gesondert betractet werden. Falls de Vektoren unterscedlce Dmensonen aben ergeben sc kompleere Aufgabenstellungen. Im Falle enes unterbestmmten Problems ergeben sc Lösungsräume, de vom Computer nur Bespelaft berecnet werden können. Für überbestmmte Probleme kann der Computer zur Lösung ener Mnmerungsaufgabe engesetzt werden (see Kaptel "ullstellen und Etrema") deren Lösung das lneare Glecungssystem "möglcst gut" löst. Her Konzentraton auf den Fall A (n m): Probleme be analytscer Lösung: degenererte Probleme ene Zele (Spalte) st Lnearkombnaton von anderen Zelen (Spalten) zelendegenerert (spaltendegenerert)