4.4 Beispiele ökonomischer Funktionen Zusammenhänge zwischen ökonomischen Grössen wie Preis, produzierte Stückzahl, Gewinn, usw. werden häufig mittels Funktionen beschrieben. Die Funktion ist damit ein mathematisches Modell für die (beobachtbare) Wirklichkeit. Bereits relativ einfache Modelle (Funktionen) können einen ökonomischen Sachverhalt qualitativ richtig wiedergeben. Die ökonomischen Grössen werden dabei als reelle Zahlen definiert, auch wenn z.b. die produzierte Stückzahl nur natürliche Werte annehmen kann. Der Grund liegt in der einfacheren mathematischen Behandlung, von Funktionen mit stetigen x-werten (vor allem später in der Differential- und Integralrechnung). Quantitativ richtig = mengenmässig richtig Qualitativ richtig: verhaltensmässig richtig, z.b. richtiges Steigungs- und Krümmungsverhalten Ernest Peter Propädeutikum Mathematik für die Betriebsökonomie, Block 8-1- 4.4.1 Kostenfunktion Die Gesamtkostenfunktion K(x) liefert den Zusammenhang zwischen der produzierten Menge x eines Guts in Mengeneinheiten ME (z.b. in Tausend Stück) und den anfallenden Kosten in Geldeinheiten GE (z.b. in Tausend Fr). Sie besteht aus den fixen Kosten K f und einem von der produzierten Stückzahl x abhängigen Teil K v (x), den variablen Kosten. K(x) = K v (x) +K f (vergl. Abbildung 4.87 Seite 208) Aus der vernünftigen Annahme: K f = K(0) d.h. die Fixkosten sind die Gesamtkosten für eine Nullproduktion, folgt: Mit K v (x) = K(x)- K f : K v (0) =0 Lösen Sie die Übung 1 im Übungsblatt Die Stückkostenfunktion k(x) oder durchschnittliche Kosten sind die Gesamtkosten pro Stück (genauer pro ME): k(x) = K(x)/x Die variablen Stückkosten sind definiert als: k v (x) = K v (x)/x Die fixen Stückkosten als k f (x) = K f /x Frage: K f ist konstant. Ist k f auch konstant oder ist es von x abhängig? k f (x) verhält sich wie die Funktion f(x) = 1/x (vergl. Abb. 4.88 Seite 209) Das heisst, je mehr ich produziere, desto kleiner werden die Fixkosten pro Stück. Damit gilt: lim x k f (x) = 0 und lim x 0+ k f (x) = Lösen Sie die Aufgabe 27 Seite 231-32 Ernest Peter Propädeutikum Mathematik für die Betriebsökonomie, Block 8-2- 1
Konkrete Kostenmodelle/-funktionen Lineare (oder proportionale) Gesamtkosten: z.b. K(x) = 1,3x+96; x 0 Für dieses Beispiel gilt: K v (x) = 1,3x, K f = 96, k v (x) = 1,3, k f =96/x Für alle linearen Kostenfunktionen gilt: die variablen Gesamtkosten sind proportional und die variablen Stückkosten konstant. Da k f (x) = 96/x sich für x Null nähert, so nähert sich k(x) = k v + k f (x) für x der konstanten Funktion f(x) = k v (vergl. Abb. 4.90 Seite 210) d.h. die Stückkosten sind für grosse Stückzahlen praktisch konstant Progressiv wachsende Gesamtkosten: (über-proportional wachsend) d.h. K(x) ist monoton wachsend und konvex (vergl. Abb. 4.91 Seite 210) z.b. K(x) = 0,2x 2 +50 ; x 0 (vergl. Abb. 4.91 Seite 210) Für dieses Beispiel gilt: K v (x) = 0,2x 2, K f = 50, k v (x) = 0,2x, k f =50/x D.h. die variablen Stückkosten sind hier linear (vergl. Abb. 4.92 Seite 210) Und weil k f (x) wieder gegen Null geht: Die Stückkosten sind hier für grosse Stückzahlen praktisch linear Allgemein: die Stückkosten steigen mit steigenden Stückzahlen an D.h. progressiv wachsende Gesamtkosten sind für grosse Stückzahlen ungünstig. Ernest Peter Propädeutikum Mathematik für die Betriebsökonomie, Block 8-3- Konkrete Kostenmodelle/-funktionen 2 Regressiv wachsende Gesamtkosten: (unter-proportional wachsend) d.h. K(x) ist monoton wachsend und konkav (vergl. Abb. 4.93 Seite 211) z.b. K(x) = x 0,8 +72 ; x 0 (vergl. Abb. 4.93 Seite 211) Berechnen Sie für dieses Beispiel K f, K v, k f und k v. Allgemein: die Stückkosten fallen mit steigenden Stückzahlen und werden für grosse x beliebig klein Ertragsgesetzliche Funktion: K(x) ist monoton steigend: zuerst konkav, dann konvex (vergl. Abb. 4.95 Seite 211) z.b. K(x) = 0,9x 3-11x 2 +52x +100 ; x 0 Eine genaue Analyse wird erst später mit den Mitteln der Differentialrechnung möglich sein. Unstetige Kostenfunktionen: Sie entstehen z.b. durch Hinzuschalten zusätzlicher Produktionslinien, falls die Produktionskapazität nicht mehr ausreicht (vergl. Abb. 4.97 Seite 213). Auch die Stückkostenfunktion weist dann in der Regel Sprünge auf (vergl. Abb. 4.98 p. 213) Ernest Peter Propädeutikum Mathematik für die Betriebsökonomie, Block 8-4- 2
4.4.2 Angebotsfunktion Annahme: wir haben bezüglich eines Guts eine vollkommene Konkurrenzsituation d.h. es gibt eine grosse Zahl von Anbietern und Nachfragern Und es gibt keine Preisabsprachen unter den Anbietern (keine Kartelle) Die Angebotsfunktion p 1 (x): sieht den Markt aus Anbietersicht. p ist der Preis des Guts in Abhängigkeit der angebotenen Menge x Abb. 4.99 Seite 214 zeigt mit p 1 (x) eine typische Angebotsfunktion. Um sie zu verstehen, müssen wir statt p 1 in Abb. 4.99 die Umkehrfunktion x 1 (p) betrachten, d.h. die produzierte Stückzahl x in Abhängigkeit des Marktpreises p. Als Faustregel gilt: je höher der Marktpreis p, desto grösser die vom Anbieter angebotene Stückzahl. Dies unter der Annahme, dass die produzierte Stückzahl auch wirklich verkauft werden kann. Ernest Peter Propädeutikum Mathematik für die Betriebsökonomie, Block 8-5- 4.4.2 Nachfragefunktion oder Preis-Absatz-Funktion Dem Verhalten des Anbieters steht ein ganz anderes Verhalten des Nachfragers gegenüber. Die Nachfragefunktion oder Preis-Absatz-Funktion p 2 (x): sieht den Markt bei vollkommener Konkurrenzsituation aus Nachfragersicht p ist der Preis des Guts in Abhängigkeit der gekauften Menge x Um sie zu verstehen, betrachten wir in Abb. 4.99 wiederum die Umkehrfunktion x 2 (p), d.h. die gekaufte Menge x in Abhängigkeit des Marktpreises p. Je tiefer der Marktpreis, desto mehr wird gekauft. Der Schnittpunkt der zwei sich widersprechenden Angebots- bzw. Nachfragefunktion bestimmt den tatsächlichen Preis: den Konkurrenzpreis oder Gleichgewichtspreis (vergl. Abb. 4.99). In ihm stimmen Angebot und Nachfrage überein und dort wird sich bei vollkommener Konkurrenz der Marktpreis einpendeln. Lösen Sie die Übung 2 im Übungsblatt Ernest Peter Propädeutikum Mathematik für die Betriebsökonomie, Block 8-6- 3
Erlös-/Umsatzfunktion und Gewinnfunktion Die Umsatz- oder Erlösfunktion E(x) gibt den Umsatz (eines Anbieters an als Funktion der umgesetzten Gütermenge x (E in Geldeinheiten GE, x in Mengeneinheiten ME) E(x) = x p(x) wobei p(x) die Preis-Absatz-Funktion ist. d.h. man nimmt die Preis-Absatz-Funktion, nicht die Angebotsfunktion. Oder E(p) = x(p) p falls die Umkehrfunktion x(p) gegeben ist. Lesen Sie die Beispiele 1-3 Seite 214-15 Die Gewinnfunktion G(x) ist definiert als Umsatz Kosten, d.h. G(x) = E(x)-K(x) = x p(x) K(x) Die Gewinnzone ist derjenige Bereich, wo G(x)>0 (vergl. Abb. 4.102 Seite 216) Die Nullstellen heissen Gewinnschwellen. Lesen Sie die Beispiele 1 und 2 Seite 215-16 Die Stückgewinnfunktion g(x) ist definiert als: g(x) = G(x)/x = p(x)-k(x) (Preis minus Stückkosten) Der Deckungsbeitrag D(X) ist definiert als D(x) = E(x)-K v (x) = G(x)+K f d.h. man subtrahiert vom Erlös nur die variablen Kosten. Oder anders gesagt: der Deckungsbeitrag muss mindestens die Fixkosten decken Lösen Sie die Übung 3 im Übungsblatt Der Deckungsbeitrag pro Stück d(x) ist definiert als d(x)=d(x)/x = p(x)-k v (x) Lesen Sie das Beispiel Seite 217 unten Lösen Sie die Aufgabe 28 Seite 232 Ernest Peter Propädeutikum Mathematik für die Betriebsökonomie, Block 8-7- 4.4.3 Produktlebenszyklen, Investitionen, Logistische Funktionen Der Produktelebenszyklus U(t) beschreibt den mengenmässigen Umsatz eines Produktes in Abhängigkeit (im Verlauf) der Zeit. Abb. 4.104 Seite 218 zeigt einen typischen Produktelebenszyklus Lösen Sie die Übung 4 im Übungsblatt Die Investitionsfunktion I(p) zeigt die Investitionsfreudigkeit einer Volkswirtschaft, einer Branche oder eines Unternehmens in Abhängigkeit des Zinssatzes p Abb. 4.105 Seite 218 zeigt einen typischen Verlauf. Je höher der Zinssatz, desto tiefer die Investitionslust. Eine Logistische Funktion B(t) gibt den Bestand (die Durchdringung) eines Konsumguts in Abhängigkeit (im Verlauf) der Zeit t wieder. Und zwar für Bestände, welche durch eine Sättigungs-Grenze definiert sind (vergl. Abb. 4.106 Seite 219), z.b. die Anzahl Computer pro Haushalt. a Solche Funktionen haben die Form: B( t) = 1+ αt b e Und der lim t B(t) = a ist die Sättigungs-Grenze. D.h. der Funktionsgraph nähert sich im Verlauf der Zeit immer mehr der Sättigung. Lösen Sie die Aufgabe 29 Seite 232 Ernest Peter Propädeutikum Mathematik für die Betriebsökonomie, Block 8-8- 4
Textaufgaben Textaufgaben sind die Anwendung des gelernten Stoffs an wirklichkeitsnahe Situationen. Um sie zu lösen zu können müssen Sie: Die Theorie verstehen Die Rechenregeln üben Verwenden Sie einen Lösungsplan (vergl. Block2): 1. Um welches Thema handelt es sich bei der Aufgabe 2. Welche Funktion oder welcher Wert ist gesucht? 3. Welche Variablen und Funktionen sind gegeben 4. Welche Zusammenhänge bestehen zwischen den gegebenen Variablen/Funktionen und den gesuchten? -> Aufstellen von Gleichung(en) und Formeln 5. Auflösen der Gleichung nach der gesuchten Variablen/Funktion mit Hilfe der in der Theorie gelernten und in den Übungen angewendeten algebraischen Rechenregeln. Üben wir das am Beispiel der Kurztest-Aufgaben Ernest Peter Propädeutikum Mathematik für die Betriebsökonomie, Block 8-9- Aufgaben Lesen Sie das Skript bis zur nächsten Präsenz nochmals durch. Lösen Sie die darin angegebenen Übungen aus dem Buch und aus dem Übungsblatt fertig. Lesen Sie Purkert Kap. 4.4 Machen Sie den Kurztest Lösen Sie die prüfungsnahem Aufgaben Bei Problemen Mail an boek@kmu-dir.ch oder epeter@fernfachhochschule.ch Ernest Peter Propädeutikum Mathematik für die Betriebsökonomie, Block 8-10- 5
Ziele Die Studierenden kennen die wichtigsten ökonomischen Funktionen: Kostenfunktion, Angebot- und Nachfragefunktion, Ertragsfunktion, Gewinnfunktion sowie Stückgewinnfunktion und Deckungsbeitrag. Sie können die Gewinnzone bestimmen. Sie kennen die Umsatzkurve eines typischen Produktelebenszyklusses. Sie kennen Investitionsfunktion und Logistikfunktion. Ernest Peter Propädeutikum Mathematik für die Betriebsökonomie, Block 8-11- 6