Wichtige zeitdiskrete Folgen.8 Einheitsimpuls.6 δ(n) = {, n, n = δ(n).4.2 - -5 5 n
Wichtige zeitdiskrete Folgen Einheitssprung u(n) = u(n) = = {, n <, n δ(n k) k= n k= u(n).8.6.4.2 δ(k) - -5 5 n 2
Beispiele für die Verarbeitung zeitdiskreter Folgen. y(n) = x(n) + x(n ) { }, n {, } Impulsantwort: h(n) =, sonst = δ(n) + δ(n ) 2. y(n) = x(n) x(n ), n = Impulsantwort: h(n) =, n =, sonst = δ(n) δ(n ) 3
Diskrete Faltung Gegeben: System mit Impulsantwort h(n) Eingangssignal x(n) = x(i)δ(n i) Ausgangssignal y(n) = i= i= x(i)h(n i)! = x(n) h(n) Definition der Diskreten Faltung: a(n) b(n) = a(i)b(n i) = i= j= a(n j)b(j) mit j = n i 4
z-transformation Definition der einseitigen z-transformation X(z) = x(n)z n n= Definition der zweiseitigen z-transformation X(z) = Z{x(n)} = x(n)z n n= 5
z-transformation r =., ϕ =.4π.5 z n = ( r )n e jϕn Realteil Imaginärteil -.5-2 3 4 5 n 6
z-transformation r =., ϕ =.5π.5 z n = ( r )n e jϕn Realteil Imaginärteil -.5-2 3 4 5 n 7
z-transformation r =., ϕ =.π.5 z n = ( r )n e jϕn Realteil Imaginärteil -.5-2 3 4 5 n 8
z-transformation r =., ϕ =.97π.5 z n = ( r )n e jϕn Realteil Imaginärteil -.5-2 3 4 5 n 9
z-transformation r =.2, ϕ =.5π.5 z n = ( r )n e jϕn Realteil Imaginärteil -.5-2 3 4 5 n
z-transformation 2 r =.9, ϕ =.5π 5 z n = ( r )n e jϕn Realteil Imaginärteil 5-5 - -5-2 2 3 4 5 n
Zweiseitige z-transformation 4 r =.5, ϕ =.7π 3 2 z n = ( r )n e jϕn Realteil Imaginärteil - -2-3 -4-2 - 2 n 2
Zweiseitige z-transformation 4 r =.95, ϕ =.43π 3 2 z n = ( r )n e jϕn Realteil Imaginärteil - -2-3 -4-2 - 2 n 3
Konvergenz der z-transformation Bedingung für Konvergenz: x(n)r n < Zerlegung von x(n) in rechtsseitige (kausale) Folge x + (n) = u(n)x(n) und linksseitige (akausale) Folge x (n) = u( n)x(n) Konvergenzbereich von x + (n): z > ρ + Konvergenzbereich von x (n): z < ρ X(z) = Z{x(n)} = x(n)z n existiert, falls ρ > ρ + n= im Konvergenzbereich ρ + < z < ρ 4
Konvergenz der z-transformation Im(z) ρ + ρ Re(z) G Konvergenzbereich G der z-transformation 5
Inverse z-transformation X(z) = Z{x(n)} ist eine Laurent-Reihe mit Kreismittelpunkt z = Potenzreihenentwicklung möglich: X(z) = c k z k mit c k = X(ζ)ζ k dζ 2πj k= C: geschlossener Integrationsweg in G entgegen Uhrzeigersinn C Substitution von x(n) = c n Inverse z-transformation: x(n) = 2πj C X(z)z n dz 6
z-transformierte spezieller Folgen x(n) X(z) Konvergenzbereich δ(n) z C u(n) = z z > z z u( n ) = z z < z z u(n)z n z = z z > z z z z u(n) cos ω n z 2 z cos ω z 2 2z cos ω + z > 7
Bedeutung Linearität Zeitverschiebung Eigenschaften der z-transformation Eigenschaft Z{ax(n) + by(n)} = ax(z) + by (z) Z{x(n n )} = z n X(z) Modulation Z{z n x(n)} = X(z/z ) Differentiation von X(z) Z{nx(n)} = z dx(z) dz Konjugiert komplexe Folge Z{x (n)} = X (z ) Zeitumkehr Faltung Z{x( n)} = X(/z) Z{x(n) y(n)} = X(z)Y (z) 8
Inverse z-transformation Für beliebige Funktionen: Anwendung des Residuensatzes k X(ζ)dζ = Res[X(z); a i ] 2πj C i= mit a i im Integrationsweg eingeschlossenen Singularitäten In der Praxis: häufig gebrochen rationale Funktionen M M b i z i z N b i z M i X(z) = i= = N a i z i i= N z M i= i= a i z N i 9
Inverse z-transformation Lösungsmöglichkeit für gebrochen rationale Funktionen: Partialbruchzerlegung Einfachster Fall: nur einfache Pole z i und M < N N A i X(z) = z i= i z ) mit A i = ( z i z X(z) z=zi x(n) = u(n) N i= A i z n i 2