Seminar Versiherngsrisiko n Rin Prof. Dr. H. Shmili 3.6 Ying Zho Klassishe Rintheorie 7.8 Die Laplae Transformation er Überlebenswahrshein lihkeit In iesem Abshnitt sehen wir, wie φ rh ie Laplae Transformation bestimmt ist. Def: Sei h(y) eine Fnktion für alle y. Die Laplae Transformation ist efiniert als h (s) e h( y) y Eigentshaft von Laplae Transformation: h h () Seien, zwei Fnktionen, eren Laplae Transformationen existieren, n seinen n zwei Konstanten. Dann gilt: e ( h( y) + h( y)) y h () s + h () s () Laplae Transformation eines Integrals: Sei h eine Fnktion,eren Laplae Transformation existiert n sei H(x) x hyy ( ). Dann gilt: H () s h ()/ s s (3) Laplae Transformation einer Ableitng: Sei h eine ifferentierbare Fnktion, eren Laplae Transformation existiert. Dann gilt: e ( h( y)) y y sh () s h() (4) Laplae Transformation einer Faltng : Seien, h wie oben, efiniere, h h(x) x h( y) h ( x y) y. Dann gilt: h () s h () s h () s (5) Laplae Transformation einer ZV : sei X H, wobei H(). Dann gilt: sx E[ e ] e H( y).
Falls ie Verteilng stetig ist n mit Dihte h, gilt es : sx E[ e ] h () s Wir können ie Eigenshaft er Laplae Transformation bentzen m φ wie folgen z bestimmen: As (7.6) haben wir λ λ φ( ) φ( ) f( x) φ( x) x Eig.3 sφ () s φ() s λ λ e ( φ( ) f ( x) φ( x) x) λ s λ s e φ( ) e f( x) φ( x) x) λ λ φ () s f () s φ () s sφ () s φ() λφ () s λf () s φ () s φ () s φ () s λ f s ( ( )) (7.) Falls f eine rationale Fnktion ist, können wir φ bestimmen rh Invertieren von φ
3 7.9 Rekrsive Berehng In iesem Abshnitt beshreiben wir zwei rekrsive Methoen, ie zr Grenze n Approximation er Rin/Überlebenswahrsheinlihkeit führen. 7.9. Die Verteilng es maximalen Gesamtverlsts Um ie rekrsive Formel (4.) z bentzen müssen wir zerst zeigen ass Φ ie Verteilngsfnktion von einer zsammengesetzten geometrishen ZV ist. Def. & Bez.: Der Gesamtverlst Prozess { ()} s.. Ut () Lt () L: er maximale Gesamtverlstprozess Bem : Φ ist VF von L. Beweis. Wir wissen Ψ ( ) PU [ ( t) < ] > Φ ( ) PU [ ( t) t > ] PLt [ ( ) t > ] PL [ ] Lt ist efiniert als Lt () St () t t >. wir wissen L (), L ist eine niht negative ZV > Φ () PL [ ]. Bem : λm Ψ () Beweis. Wir wissen L~ Φ ( ), Φ () PL [ ] nah Eigenshaft 5 er Laplae-Transformation sl s L s E e e Φ X i () [ ] () s Φ () + e Φ( )
4 Φ + Φ Φ () s ( s) () sφ () s (7.) sφ() ( ( )) s λ f s sl ( ) [ ] L s s E e s E (7.6) (). Un rh l Hopital haben wir as (7.6) L () s s Φ() + s λ f () s s NR: Def f () s e f( y) y > s f () s e f( y) y s e s f ( y ) y ye f ( y) y > s f () s s ye f( y) y s yf( y) y m Φ() L () s s λm () Φ() λm > λm Φ () > λm Ψ () Bem 3: L ist zsammengesetze geometrishe ZV. Beweis. wir wissen S(t) ist ein zsammengesetzeter Poisson.-Prozess, n besitzt nabhängige n stationäre Zwähse. L(t)S(t)-t besitzt ah nabhängigen n stationären Zwähse. Definiere : Betrag vom i-ten Zwahs (z em neen Nivea es Gesamtshaens) L i Wir wissen er maximale Gesamtverlst ist größer als Nll, wenn er Übershss nter em Anfangskapital fällt, n mit er Wahrsheinlihkeit Ψ ().
5 P(Nn) P( L >, L >,... L >, L für t>n) n P( L > )P( L > )...P( L > )P( L für t>) n Ψ() Φ().h N hat eine geometrishe Verteilng n t t wir wissen ass L i nabhängig n ientish n nabhägig von N ist. L ist zsammengesetzt geometrish verteilt. Jetzt betrahten wir ie Verteilng von L. Setze K( x) P[ L x] k: ie zgehörige Dihte k E sl [exp{ }]
6 m Bem. kx ( ) ( Fx ( )) Beweis: Wir wissen 4. sl sl E[ e ] E[ E( e N) ] E k N [ ( s) ] n k () s P( N n) n n n k s Ψ Φ n ( ) ( ()) () () ( k ( s) ()) n Φ Ψ n Φ() ihe k ( s) Ψ () geom. Re (7.8) as (7.6) haben wir sl sφ() Ee [ ] s λ f s ( ( )) sφ() Φ() > s λ f ( s) Ψ () k ( s ) ( ) λm Ψ () > k s f s ( ) () () ms m > k( x) ( F( x) ) ie Verteilng von L ist stetig,.h. falls wir (4.) bentzen m Φ z approximieren, müssen wir zerst iese Verteilng iskretisieren. Nah Abshnitt 4.7. mahen wir folgenes: N Definiere L L, i, N : zsammengesetzt geometrish verteilt, { L, i } i ii. i L hat ie Verteilngsfnktion (entsprehen er iskretisierten Verteilng) K,i n ie Wahrsheinlihkeitsfnktion k, x K( x+ ) K( x) für x,,... für x : K ( x) K( x),.h. K ist eine obere shranke von K.
7 Analog können wir eine iskretisierte Verteilng K erstellen, ie ntere Shranke von K ist. N Definiere L L, i, N wie oben, { L, i } i ii mit VF K n Wahrsheinlihkeitsfnktion i k, x K( x) K( x ) für x,,3... für x : K ( x) K( x) K ( ) K( ) K ( ) für (5.7) > K K K ( ) ( ) ( ) Φ ( ) P[ L ] P[ L ] + P[ < L ] Φ () + PL [ n n N n] Φ () + PL [ N n] PN [ n] n n n () () () K ( ) Φ + Ψ Φ (7.9) n > PL [ ] PL [ ] PL [ ] (7.) n PL [ < ] PL [ < ] PL [ < ] für > : PL [ < ] < PL [ ] n PL [ < ] < PL [ ] a L, L iskret sin. Wir finen ie Grenze von Φ : PL [ ] Φ( ) PL [ <. ] L, n L, sin iskrete ZV, Φ ( ) P[ L ], Φ ( ) P[ L ] nah 4. > Φ() Φ () Ψ ()k, für,,3,... Φ ( ) Φ () +Ψ() k, jφ( j) Ψ() k, j n Φ () Φ() für,,3,... Φ () Φ () +Ψ() k, Φ( j) j j
8 7.9. Rekrsive Berehnng in einem iskreten Zeitmoell In iesem Abshnitt wir erklärt wie ie Rinwahrsheinlihkeit in nenliher Zeit n in enliher Zeit von einem iskreten Zeit-Risikomoell approximiert wir. Def.: Im klassishen Risikomoell efinieren wir ie Rinwahrsheinlihkeit in enliher Zeit als N( s) Ψ ( t, ) P [ + s xi < für s mit < s t] wobei N(s) ~Poisson ( λ s) i setze ( + θ ) λm, λ m Die Approximation wir in 3 Shritten konstriert. Shritt: Diskretisieren. Für i,,3,... ersetze x i rh x,i, wobei x,i iskrete ZV verteilt af,,,..., für >. Die Verteilng von X,i soll so gewählt ass sie eine gte Approximation z er Verteilng von Definiere X i ist. } N( s) Ψ ( t, ) P [ + ( + θ ) s x, i < für ein s, mit < s t] i Dann ist Ψ ( t, ) eine gte Approximation z Ψ ( t, ). Shritt: Die monetäre Einheit änern. Für i,,3... efiniere X, X, i i efiniere N( s) Ψ( wt, ) Pw [ + ( + θ) s X < für s, mit < s t], i i Beh.: Ψ (, t) Ψ ( t, ) N( s) θ, i i Beweis: Ψ ( t, ) P[ + ( + ) s X < ] N( s) P { + ( + θ) s X, i < > i
9 N( s) P + ( + θ ) s X, i < i Ψ ( t, ) 3. Shritt: Zeiteinheit änern. Setze λ ( + θ ),.h. as Prämieneinkommen pro Zeiteinheit ist. N ( s) Def. 3Ψ ( wt, ) Pw [ + s x, i < für s, mit < s< t] (7.) i Wobei N () s hat Poisson Verteilng mit m s ( + ) θ Ψ ( w,( + θ ) t) Ψ ( w, t) > 3 > Ψ( t, ) 3Ψ (,( + θ ) t).h. 3 Ψ( t, ) gibt ie Rinwahrsheinlihkeit in stetiger Zeit. Wir können 3 Ψ( t, ) approximieren rh n Ψ ( t, ) P [ + n Zi für ein n mit i n,,3,...t] Wobei Zi hat eine zsammengesetzte Poisson Verteilng mit Shaenzahlng wie X,i λ ( + θ ) n inivieller > Ψ( t, ) Ψ (,( + θ) t) 7.9.3 Nmerishe Illstration In iesem Abshnitt betrahten wir ie nmerishe Illstration von en Approximationsmethoen.. Illstration F( x) e x, x wir wissen fr, θ Ψ ( ) exp + θ (+ θ ) m ie Methoe er Grenze in 7.9. z bentzen setzen wir
m kx ( ) f( x) e x θ, 7. zeigt ie Werte er Grenzen von Ψ ( ). Mit wahsenem κ weren ie nteren Grenzen wahsen n ie oberen Grenzen fallen, n zm Beispiel mit 3 erhalten wir af zwei Nahkommenstellen gernete Grenzen.6, ann ist af zwei Nahkommenstellen Ψ( ).6 κ n mit wahsenem ist es möglih noh mehr übereinstimmene Nahkommastellen z erhalten. 7.3 zeigt wie man ie Approximation rh Mittelwertbilng er Grenze erhält. Dies gibt eine sehr gte Approximation, besoners wenn κ ist.
7.4 zeigt ie Approximation nter Anwenng er rekrsiven Berehnng von 7.9.. Illstration Inivielle Shaenforerng hat Verteilng Pa(4, 3) es gibt keine explizite Lösng für Ψ aber man kann Ψ gt approximieren 7.5 zeigt mit Methoen von 7.9. für k ist er Wert sehr nahe vom ehten Ψ. 7. Approximative Berehnng er Rinwahrsheinlihkeit Iee von De Vylershe Methoe: Wir approximieren ie Wahrsheinlihkeit vom abslten Rin von einem klassishen Risikoprozess {U(t)} t rh einen klassishen Risikoprozess {U(t)} % t mit folgene Eigenshaften: U() % Poisson Parameter ist λ%
Das Prämieneinkommen pro Zeiteinheit ist % Die Verteilng er iniviellen Shaenzahlng ist F % ( x ) exp{ % x } λ λ As (7.) φ( ) exp{ ( ) } für F(x) e x x % λ % λ foglt φ( % ) exp{ ( % ) } % % % n rh Momentvergleih können wir % λ, %, % bestimmen.. setze E[U(t)] E[U % (t)] + t + λ m + % t + % λ t/% % + λ m + % λ /%. setze E[( U( t) E[ U( t)]) ] E U% t % [( ( ) E[ U( t)]) ] wir wissen U(t)-E[U(t)] -S(t) + λ mt V[S(t)] V[ St %()] λm % λ/ % 3 3 3. setze E[( U( t) E[ U( t)]) ] E[( U% ( t) E[ U% ( t)]) ] Sk[S(t)] Sk[ S % (t)] 3 λm 3 6 % λ/ % % 3 m/ m 3 λ % 9 λm /m 3 3 % 3 λm /m 3 n ie Vorassetzng für ie Anwenng er De Vylershen Approximation ist ie Existenz von en ersten 3 Momenten er iniviellen Shaenzahlng.