BE 1 Gegeben ist die Funktion mit x Analysis Augabengruppe 1 1 1 und Deinitionsbereich x 1 x 3 D IR\ 3; 1. Der Graph von wird mit G bezeichnet. x zu jedem der drei olgenden Terme äquivalent ist: 2 2 1 ; ; x 1 x 3 2 2 x x 3,5 x 2,5 a) Zeigen Sie, dass 3 b) Begründen Sie, dass die x-achse horizontale Asymptote von G ist, und geben Sie die Gleichungen der vertikalen Asymptoten von G an. Bestimmen Sie die Koordinaten des Schnittpunkts von G mit der y-achse. Abbildung 1 zeigt den Graphen der in IR deinierten Funktion p:x,5 x 2 2,5, die die Nullstellen x 3 und x 1 hat. Für 1 x D gilt x. p x 5 c) Gemäß der Quotientenregel gilt ür die Ableitungen und p die p x Beziehung x ür x D. p x 2 Zeigen Sie unter Verwendung dieser Beziehung und ohne Berechnung von x und px, dass x 2 einzige Nullstelle von ist und dass G in 3; 2 streng monoton steigend sowie in 2; 1 streng monoton allend ist. Geben Sie Lage und Art des Extrempunkts von G an. 2 Abb. 1
d) Berechnen Sie 5 und 1,5 und skizzieren Sie G unter Berücksichtigung der bisherigen Ergebnisse in Abbildung 1. 3 2 Gegeben ist die Funktion h:x x 1 e mit Deinitionsbereich 1 Dh 1;. Abbildung 2 zeigt den Graphen G h von h. a) Begründen Sie anhand des Funktionsterms, dass Zeigen Sie rechnerisch ür x D h x. Gegeben ist erner die in h lim h x gilt. x, dass ür die Ableitung h von h gilt: D h deinierte Integralunktion H : x x h t dt. b) Begründen Sie ohne weitere Rechnung, dass olgende Aussagen wahr sind: α) Der Graph von H ist streng monoton steigend. β) Der Graph von H ist rechtsgekrümmt. Abb. 2 6 c) Geben Sie die Nullstelle von H an und bestimmen Sie näherungsweise mithile von Abbildung 2 die Funktionswerte H,5 sowie H 3. Skizzieren Sie in Abbildung 2 den Graphen von H im Bereich,5 x 3. 3
3 In einem Labor wird ein Verahren zur Reinigung von mit Schadstoen kontaminiertem Wasser getestet. Die Funktion h aus Augabe 2 beschreibt ür x modellhat die zeitliche Entwicklung des momentanen Schadstoabbaus in einer bestimmten Wassermenge. Dabei bezeichnet h x die momentane Schadstoabbaurate in Gramm pro Minute und x die seit Beginn des Reinigungsvorgangs vergangene Zeit in Minuten. 3 a) Bestimmen Sie au der Grundlage des Modells den Zeitpunkt x, zu dem die momentane Schadstoabbaurate au,1 Gramm pro Minute zurückgegangen ist. 1 1 Die in IR \ 3; 1 deinierte Funktion k:x 3,2 x 1 x 3 stellt im Bereich,5 x 2 eine gute Näherung ür die Funktion h dar. 2 b) Beschreiben Sie, wie der Graph der Funktion k aus dem Graphen der Funktion aus Augabe 1 hervorgeht. 1 5 c) Berechnen Sie einen Näherungswert ür 1 1 h x dx, indem Sie den Zusammenhang h x dx k x dx verwenden. Geben Sie die Bedeutung dieses Werts im Sachzusammenhang an.
Analysis Augabengruppe 2 BE 1 Der Graph G einer in IR deinierten Funktion 3 :x ax bx mit a,b IR besitzt im Punkt O einen Wendepunkt mit waagrechter Tangente. a) W1 1 ist ein weiterer Wendepunkt von G. Bestimmen Sie mithile dieser Inormation die Werte von a und b. (Ergebnis: b) Bestimmen Sie Lage und Art des Extrempunkts von G. Die Gerade g schneidet G in den Punkten W und 2. a 1, b 2) c) Zeichnen Sie unter Berücksichtigung der bisherigen Ergebnisse G sowie die Gerade g in ein Koordinatensystem ein. Geben Sie die Gleichung der Geraden g an. 6 d) G und die x-achse schließen im IV. Quadranten ein Flächenstück ein, das durch die Gerade g in zwei Teillächen zerlegt wird. Berechnen Sie das Verhältnis der Flächeninhalte dieser beiden Teillächen. n 2 Gegeben ist die Schar der in IR deinierten Funktionen n :x x 2x mit n IN sowie die in IR deinierte Funktion :x x 2. a) Die Abbildungen 1 bis zeigen die Graphen der Funktionen, 1, 2 bzw.. Ordnen Sie jeder dieser Funktionen den passenden Graphen zu und begründen Sie drei Ihrer Zuordnungen durch Aussagen zur Symmetrie, zu den Schnittpunkten mit den Koordinatenachsen oder dem Verhalten an den Grenzen des Deinitionsbereichs des jeweiligen Graphen. Abb. 1 Abb. 2 Abb. 3 Abb. 3 b) Betrachtet werden nun die Funktionen n mit n. Geben Sie in Abhängigkeit von n das Verhalten dieser Funktionen ür x und ür x an. 6
3 In der Lungenunktionsdiagnostik spielt der Begri der Atemstromstärke eine wichtige Rolle. Im Folgenden wird die Atemstromstärke als die momentane Änderungsrate des Lutvolumens in der Lunge betrachtet, d. h. insbesondere, dass der Wert der Atemstromstärke beim Einatmen positiv ist. Für eine ruhende Testperson mit normalem Atemrhythmus wird die Atemstromstärke in Abhängig- keit von der Zeit modellhat durch die Funktion g:t πsin π t 7 mit Deini- 8 2 tionsmenge IR beschrieben. Dabei ist t die seit Beobachtungsbeginn vergangene Zeit in Sekunden und gt die Atemstromstärke in Litern pro Sekunde. Abbildung 5 zeigt den durch die Funktion g beschriebenen zeitlichen Verlau der Atemstromstärke. Abb. 5 2 a) Berechnen Sie g1,5 und interpretieren Sie das Vorzeichen dieses Werts im Sachzusammenhang. 2 b) Beim Atmen ändert sich das Lutvolumen in der Lunge. Geben Sie au der Grundlage des Modells einen Zeitpunkt an, zu dem das Lutvolumen in der Lunge der Testperson minimal ist, und machen Sie Ihre Antwort mithile von Abbildung 5 plausibel. c) Berechnen Sie 2 gtdtund deuten Sie den Wert des Integrals im Sachzusammenhang. (Teilergebnis: Wert des Integrals:,5 ) 3 d) Zu Beginn eines Ausatemvorgangs beinden sich 3,5 Liter Lut in der Lunge der Testperson. Skizzieren Sie au der Grundlage des Modells unter Berücksichtigung des Ergebnisses aus Augabe 3c in einem Koordinatensystem ür t 8 den Graphen einer Funktion, die den zeitlichen Verlau des Lutvolumens in der Lunge der Testperson beschreibt. Die Testperson benötigt ür einen vollständigen Atemzyklus Sekunden. Die Anzahl der Atemzyklen pro Minute wird als Atemrequenz bezeichnet. e) Geben Sie zunächst die Atemrequenz der Testperson an. Die Atemstromstärke eines jüngeren Menschen, dessen Atemrequenz um 2 % höher ist als die der bisher betrachteten Testperson, soll durch eine Sinusunktion der Form h:t a sin b t mit t und b beschrieben werden. Ermitteln Sie den Wert von b.