Einführung in das Mathematikstudium und dessen Umfeld

Einführung in das Mathematikstudium und dessen Umfeld (Unterrichtsfach LVA 457 C Fuchs, K Fuchs, C Karolus Wiederholung Schulstoff III WS 5/6 5 Vektorrechnung In diesem Kapitel sollen einige Grundlagen aus der Vektorrechnung, insbesondere im R und R, behandelt werden Ein Vektor im R n ist ein (geordnetes n-tupel x x x= x n Wir schreiben dafür auch manchmal x= (x,, x n T (T steht für transponiert Der Vektor = (,, T heißt Nullvektor und wird mit dem Ursprung des Koordinatensystems identifiziert (nicht zu verwechseln mit der Zahl Zwei Vektoren x= (x,, x n T und y = (y,, y n T sind gleich, wenn sie komponentenweise übereinstimmen, also x i = y i für alle i =,,, n gilt Vektoren können als gerichtete Pfeile angesehen werden So hat beispielsweise der Vektor ( im R die rechts abgebildete Gestalt Geometrisch gesehen sind zwei Vektoren gleich, wenn sie die gleiche Länge und gleiche Richtung haben Die Summe zweier Vektoren ist durch die koordinatenweise Addition definiert, also u v u + v u v u + v u n + λ v n = u n + v n Ebenso ist das Produkt eines Vektors mit einem Skalar λ R definiert als u λu u λu u n = 57 λu n

(nicht zu verwechseln mit dem Skalarprodukt zweier Vektoren Geometrisch kann die Summe zweier Vektoren folgendermaßen interpretiert werden: hängt man die beiden Pfeile u und v aneinander, so ist u + v durch den Vektor vom Ausgangspunkt zum Endpunkt gegeben Das Multiplizieren eines Vektors u mit einem Skalar λ stellt hingegen eine Streckung des Vektors um den Faktor λ dar Dabei wird lediglich die Länge des Vektors verändert, seine Richtung bleibt gleich Dadurch erhält man also parallele Vektoren Zwei Vektoren u, v sind parallel, wenn es ein t R gibt, sodass u= t v Bsp 5 Es seien u= 5, v = 6 45, w= 4 Die ersten beiden Vektoren sind parallel, denn die Gleichung u= t v führt auf I : = t, II : = 6t, III : 5 = 45t Jede der Gleichungen führt auf t = / und somit folgt u= / v Im Gegensatz dazu sind u und v nicht parallel, denn es müsste für ein t R gelten, dass I : = t, II : = 4t, III : 5 = t 58

Die ersten beiden Gleichungen liefern zwar denselben Parameter t = /, jedoch muss nach der letzten Gleichung t = 5 sein Also gibt es keinen gemeinsamen Wert für t, dh es gibt kein t mit u= t w Also sind die beiden Vektoren nicht parallel Die Länge eines Vektors v = (v,, v n ist durch seinen Betrag (bzw Norm v gegeben, v = v + v + + vn Da die damit definierte Funktion eine Normfunktion ist, wird dies auch kurz als die Norm von v bezeichnet und auch als v geschrieben Unter einem Einheitsvektor versteht man einen Vektor der Länge Zu jedem Vektor w erhält man einen zugehörigen Einheitsvektor w, indem man w durch Multiplikation mit dem Skalar auf die Länge skaliert w Bsp 5 Zum Vektor w= ( berechne man den Einheitsvektor w Es ist w = + ( = und somit ist w = ( = ( / / Das Skalarprodukt zweier Vektoren u= (u,, u n T und v = (v,, v n T ist definiert durch : R n R n R, u v u v u n v n = u v + + u n v n Achtung: Das Skalarprodukt zweier Vektoren ergibt keinen Vektor, sondern eine relle Zahl Das Skalarprodukt ist beispielsweise bei der Berechnung von Winkel von Bedeutung, denn es gilt: Satz 5 Für den von zwei Vektoren v und u eingeschlossenen Winkel α gilt cos α = v u v u Beweis: Nach dem Cosinussatz gilt für das von den Vektoren u und v aufgespannte Dreieck, dass v u = u + v u v cos α Gleichbedeutend damit ist offenbar u v cos α = u + v v u 59

Nun gilt aber Damit erhalten wir v = v + v + + v n, u = u + u + + u n, v u = (v u + (v u + + (v n u n u + v v u = (v u + v u + + v n u n = v u Oben eingesetzt ergibt dies aber gerade Daraus folgt die Behauptung u v cos α = v u Bsp 54 Man bestimme jenen Winkel α 8, welchen die beiden Vektoren u= ( 4 7 und v = ( 5 miteinander einschließen Es ist u v = +5 =, u = 65, v = 4 und damit cos α = 65 4 Damit erhalten wir α 549 Es sei u ein Vektor des R n Ein Normalvektor von u ist ein Vektor v des R n, welcher orthogonal zu u ist, dh u und v schließen miteinander einen Winkel von 9 ein Ist α ein Winkel zwischen u und v, so ist dies genau dann der Fall, wenn cos α = Daraus ergibt sich sofort das folgende Orthogonalitäts-Kriterium Satz 55 Zwei Vektoren u und v stehen genau dann orthogonal aufeinander, wenn u v = Im R kann man auf folgende Weise ganz leicht einen Normalvektor zu einem gegebenen Vektor bestimmen: Ist u= ( x y, so ist ( y x der um 9 nach links gekippte Vektor und ( y x der um 9 nach rechts gekippte Vektor Zwischen Punkten und Vektoren besteht eine enge Beziehung: Jedem Punkt P (p,, p n entspricht in eindeutiger Weise sein Ortsvektor p p P = also dem Vektor vom Ursprung zum Punkt P (oft wird dafür auch OP geschrieben 6 p n,

Der Vektor von einem Punkt P zum Punkt Q wird mit P Q bezeichnet und durch P Q= Q P berechnet ( Spitze minus Schaft Dazu beachte man die äquivalente Beziehung P + P Q= Q und ihre geometrische Interpretation: Geraden Durch zwei Punkte P und Q ist eine Gerade festgelegt Alternativ dazu ist eine Gerade auch durch einen Punkt P und eine Richtung r (etwa dem Vektor P Q eindeutig bestimmt: Man gelangt zu jedem beliebigen Punkt auf der Geraden, wenn man zunächst zu P geht und sich von dort aus nur weit genug in die vorgegebene Richtung (oder gegebenenfalls in die entgegengesetzte Richtung bewegt Damit kann man jede Gerade g im R n durch eine Gleichung der Gestalt g : X= P +t r, t R beschreiben Man nennt dann r einen Richtungsvektor der Geraden und t einen Parameter Entsprechend heißt diese Art einer Geradengleichung Parameterdarstellung Indem man den Parameter alle möglichen Werte aus R durchlaufen lässt, erhält man jeden Punkt auf der Geraden Ist r ein Richtungsvektor von g, so ist auch jeder zu r parallele Vektor ein Richtungsvektor der Geraden Auf diese Weise können Geraden im R n beschrieben werden Im R können Geraden auch in anderer Form beschrieben werden, nämlich in der sogenannten Normalvektorform (manchmal einfach als allgemeine Gleichung bezeichnet Es sei P ein Punkt auf g und n= (n, n T ein Normalvektor von g (ein Vektor, welcher auf jeden Richtungsvektor von 6

g normal steht Es liegt ein Punkt X genau dann auf g, wenn der Vektor P X parallel zu g ist Das ist aber genau dann der Fall, wenn P X normal auf n steht, dh die Menge aller Punkte X = (x, y auf g wird beschrieben durch die Gleichung g : n P X=, oder gleichbedeutend oder wiederum gleichbedeutend g : n X= n P, g : n x + n y = n x P + n y P Man beachte, dass man diese Gleichung sofort in die dazu äquivalente altbekannte Form y = kx + d, k, d R umformen kann Ist eine Gerade durch die Gleichung ax + by + d = gegeben, so ist n= ( a b ein Normalvektor der Geraden Ist n normiert (also ein Einheitsvektor, dann nennt man diese Form der Geradengleichung die Hessesche Normalform von g In höheren Dimensionen (also im R n für n ist es nicht mehr möglich, Geraden durch Gleichungen dieser Form zu beschreiben, denn allein durch einen Punkt und einen Normalvektor ist dann die Lage der Geraden nicht mehr eindeutig bestimmt Hingegen werden allgemein durch Gleichungen dieser Gestalt sogenannte Hyperebenen (dh affine Teilräume mit Dimension n des R n beschrieben und eine Gerade ist nichts anderes als eine Hyperebene des R 5 Vektorrechnung im R ausgewählte Beispiele Bsp 56 Es seien die beiden Punkte A(, und B(, gegeben Eine Gleichung der dadurch festgelegten Geraden erhalten wir folgendermaßen Als Richtungsvektor eignet sich AB, ( AB= B A= 4 Damit ist eine Parameterdarstellung von g ( ( g : X= + t 4 Wir könnten aber auch einen anderen Punkt und einen anderen, zum oben verwendeten Richtungsvektor parallelen Vektor als Richtungsvektor verwenden Somit ist zum Beispiel 6

auch g : X= ( + s ( eine Parameterdarstellung von g Man beachte, dass es sinnvoll ist, bei verschiedenen Parameterdarstellungen von (nicht unbedingt derselben Geraden verschiedene Bezeichnungen für den Parameter zu verwenden, damit es zu keinen Verwechslungen kommt Durch die beiden Darstellungen wird zwar dieselbe Gerade beschrieben, aber für einen festen Punkt ist der Wert des Parameters unterschiedlich, je nachdem welche Gleichung man verwendet So liegt zum Beispiel der Punkt R(, auf g, denn ( = ( + ( 4 Mit der anderen Gleichung entspricht dem Punkt ein anderer Wert des Parameters: ( ( ( = + ( Möchten wir überprüfen, ob ein gegebener Punkt auf der Geraden liegt, etwa S(4,, so überprüft man ob es einen Wert für s gibt, sodass die Gleichung für unseren Punkt gilt Es muss also gelten I : 4 = + s, II : = s Die erste Gleichung führt auf s =, die zweite auf einen anderen Wert, s = Also gibt es keinen Wert für s, sodass die S die Geradengleichung erfüllt Somit liegt der Punkt nicht auf der Geraden Bsp 57 Die Gerade g ist durch die beiden Punkte A( 7, und B(, 5 festgelegt Man gebe jeweils eine Gleichung von g in Parameterdarstellung und in Normalvektorform an 6

Um einen möglichen Richtungsvektor von g zu bestimmen, berechnen wir zunächst AB= ( 5 ( 7 = ( 8 8 ( Damit ist ( ( g : X= + t 5 eine Parameterdarstellung von g Um eine Gleichung in Normalvektorform von g zu erhalten, gibt es verschiedene Möglichkeiten Es sollen an dieser Stelle drei davon vorgestellt werden Eine Möglichkeit ist die folgende: da ( ein Richtungsvektor von g ist, ist ( ein Normalvektor Die Gleichung bestimmen wir aus n X= n A, also ( ( x y = ( ( 5, also g : x y = 4 Alternativ dazu hätten wir auch einfach aus der Parameterdarstellung t eliminieren können: Aus der Parameterdarstellung ergibt sich I : x = + t, II : y = 5 + t Daraus erhält man x y = 5, also wieder g : x y = 4 Eine dritte Möglichkeit ist diese: aus dem Richtungsvektor r = ( lesen wir die Steigung k = ab Wir setzen für g die Gleichung y = kx + d an Nachdem A(, 5 g folgt 5 = + d, also d = 4 Somit ergibt sich die Gleichung y = x + 4, oder gleichbedeutend in Normalvektorform g : x y = 4 Bsp 58 An der Geraden g : x + 4y = ist der Punkt P ( 4, zu spiegeln Den Spiegelpunkt P erhalten wir, indem wir durch P eine zu g normal verlaufende Gerade h bestimmen, diese mit g schneiden und schließlich vom Schnittpunkt S den Vektor P S 64

abtragen Die Gerade g hat den Normalvektor ( 4, also ist ( 4 ein Normalvektor von h Damit erhalten wir eine Gleichung von h, h : 4x y = 4( 4 ( = ( Als Schnittpunkt von g und h ergibt sich somit S( 54/7 5/7 Damit ergibt sich für den Spiegelpunkt P = S + P S= S P = ( ( 54 4 = ( ( 4 5 7 5 7 6 59 Bsp 59 Von einem Deltoid ABCD kennt man A(,, C(, 5 sowie die Länge der Diagonale BD = Der Schnittpunkt E der beiden Diagonalen teilt die Strecke AC im Verhältnis : Man berechne die Eckpunkte B und D, sowie den Umfang u und den Flächeninhalt F Wir berechnen zunächst den Diagonalenschnittpunkt E Da E die Strecke AC im Verhältnis : teilt, ist AE = AC Daher ergibt sich E = A + AC ( = + (( 5 ( ( 4 = + ( 5 = ( Es gilt ( AC ( BD ( BD Wegen BD = = 5 erhält man die Eckpunkte B und D, indem man von E aus einen Vektor der Länge 5 = / in Richtung ±( abträgt Wegen ( = + = 5 hat der Vektor aber bereits die richtige Länge und wir berechnen ( ( ( ( D= E 5 6 + = + =, B= E ( = ( 5 ( = ( 4 (man beachte, dass der Vektor ( der um 9 nach linksgekippte Vektor ( ist und somit in Richtung BD zeigt Damit haben wir die Eckpunkte B(4, und D(6, bestimmt 65

Den Umfang berechnen wir, indem wir die Strecken AB und BC aus den Vektoren und BC bestimmen: ( ( ( 4 AB= = AB = 4 ( ( ( 4 9 BC= = BC = 5 AB = 9 + 6 = 5, BC = 8 + 4 = 85 Damit erhalten wir U = (5 + 85 84 für den Umfang Für die Fläche F berechnen wir BD =, AC = + 6 = 8 F = 8/ = Bsp 5 Ein Kreis mit Radius r = hat im Punkt P (6, y die Tangente t P : x + y = Man bestimme den Mittelpunkt und die Gleichung des Kreises Zunächst bestimmen wir y aus der Tangentengleichung Dabei erhalten wir y =, also P (6, Aus der Tangentengleichung lesen wir den Normalvektor n t = ( ab Es gilt n t MP und n t = 9 + 4 = Als Mittelpunkt von k kommen somit zwei Punkte infrage: ( ( M = P =, ( ( M = P 9 + = Es gibt also zwei mögliche Kreise: Einen mit Mittelpunkt M (, und einen mit Mittelpunkt M (9, Wir geben die Kreisgleichung in der Form (x x m + (y y m = r an: k : (x + (y + =, k : (x 9 + (y = AB 66

Man hätte die Kreise auch in etwas anderer Form beschreiben können Tatsächlich ist die Menge der Punkte auf dem Kreis gerade dadurch charakterisiert, dass sie alle denselben Abstand vom Mittelpunkt haben, nämlich r Also kann man auch schreiben k : MX = r, ( oder gleichbedeutend k : x xm = r, y y m oder gleichbedeutend k : (x x m + (y y m = r Gegenseitige Lage von Geraden im R In der Ebene können zwei Geraden g und h die folgenden Lagebeziehungen aufweisen: Sind die Geraden nicht parallel, so schneiden sie sich in einem gemeinsamen Schnittpunkt g h = {S} Falls sie parallel sind, so sind sie entweder disjunkt parallel, dh sie haben keine Punkte gemeinsam, oder sie sind identisch parallel, dh die beiden Geraden fallen zusammen und haben somit unendlich viele gemeinsame Punkte ( ( 4 Bsp 5 Die Gerade g ist gegeben durch g : X= + t, die Gerade 4 4 h ist festgelegt durch die beiden Punkte A(, 9 und B(, 7 Man bestimme die gegen- 67

seitige Lage der beiden Geraden und gegebenenfalls ihren Schnittpunkt und Schnittwinkel Wir bestimmen zunächst eine Gleichung von h Um einen Richtungsvektor r h zu bestimmen, berechnen wir AB= ( 7 ( 9 = ( ( =: r h Damit ist eine Gleichung von h gegeben durch ( ( h : X= + s 9 Die beiden Geraden sind nicht parallel, denn für ihre Richtungsvektoren gilt ( ( 4 Daher müssen sich die beiden Geraden schneiden Den Schnittpunkt bestimmen wir, indem wir die beiden Geraden schneiden ( ( ( ( 4 g h : + t = + s I : 4 + t = + s, 4 4 9 II : 4 4t = 9 + s Daraus erhalten wir den richtigen Parameter für S: t = (und s = Es folgt ( ( ( 4 S= + ( =, 4 4 8 also schneiden sich g und h im Punkt S(, 8 Den Schnittwinkel bestimmen wir als denjenigen Winkel, den die beiden Richtungsvektoren miteinander einschließen, cos α = r g r h r g r h = ( 4 ( = 9 + 6 + 5 Daraus erhalten wir den Schnittwinkel α 98 Der Komplementärwinkel α = 8 α 8687 kann ebenfalls als Schnittwinkel angesehen werden 68

Abstand eines Punktes von einer Geraden Es gibt verschiedene Möglichkeiten, den Abstand eines Punktes von einer gegebenen Geraden zu bestimmen Eine davon ist die folgende: Man stelle die Gleichung jener Geraden auf, welche durch den Punkt verläuft und normal auf g steht Man schneide die beiden Geraden und berechne damit ihren Schnittpunkt S Man berechne die Entfernung von P und S, indem man den Betrag des Vektors P S bestimmt Eine andere Möglichkeit ist folgende: Es sei Q irgend ein Punkt auf der Geraden g Man bestimme die Länge des Vektors P Q und den Winkel α, den P Q mit g einschließt Den Abstand d von P zu g kann man aus der Gleichung sin α = berechnen (man betrachte d P Q dazu das rechtwinkelige Dreieck aus P, Q und dem Lotfußpunkt von P auf g Eine dritte Möglichkeit: Wir gehen davon aus, dass Q ein Punkt auf der Geraden g und n ein Einheitsnormalvektor von g ist Dann kann man zeigen, dass der Abstand von P zu g gegeben ist durch d = P Q n Abstand zweier paralleler Geraden Der Abstand zweier paralleler Geraden ist dasselbe wie der Abstand eines Punktes der ersten Gerade von der zweiten Gerade Dementsprechend kann man den Abstand ermitteln Bsp 5 Man berechne den Abstand der beiden Geraden ( ( ( g : X= + t h : X= + s 7 9 ( Wie oben bereits angemerkt, gibt es mehrere Wege Eine Möglichkeit ist folgende: Wir bestimmen eine zu g und h normal liegende Gerade l, schneiden diese mit den zwei Geraden und bestimmen den Abstand der beiden Schnittpunkte S und S voneinander Da ( parallel zu g und h liegt, liegt ( normal dazu und kann als Richtungsvektor für l verwendet werden Als Startpunkt wählen wir einfach den Punkt (, 7, dann ist dies auch gleich der Schnittpunkt S von l und g Eine Gleichung von l ist also gegeben durch l : X= ( 7 + λ 69 (

Wir bestimmen S aus h l Dazu lösen wir das Gleichungssystem Es ergibt sich λ = und somit Aus S = I : s = + λ, II : 9 + s = 7 + λ ( 7 + ( = S S = ( 9 ( 7 = ( erhalten wir für den Abstand d = S S = + = Alternativ dazu kann man zum Beispiel die oben beschriebene Abstandsformel verwenden Sie besagt, dass der Abstand eines Punktes P von einer Geraden g gegeben ist durch d = P Q n, wobei Q ein beliebiger Punkt auf g und n ein Einheitsnormalvektor (also ein Normalvektor mit Länge ist Wir berechnen den Abstand der beiden Geraden, indem wir den Abstand des Punktes P (, 7 von der Geraden h (auf welcher der Punkt Q(, 9 liegt damit bestimmen Es ist n = ( und wir erhalten mit P Q= ( wieder den Abstand ( d = Merkwürdige Punkte im Dreieck ( ( 9 = 4 = Hier sollen noch kurz verschiedene Geraden angesprochen werden, welche zur Bestimmung merkwürdiger Punkte im Dreieck Verwendung finden Darunter fallen Inkreismittelpunkt (als Schnittpunkt der Winkelsymmetralen, Schwerpunkt (Schnittpunkt der Schwerelinien, Höhenschnittpunkt (Schnittpunkt der Höhenlinien und Umkreismittelpunkt (Schnittpunkt der Seitensymmetralen Schwerpunkt, Höhenschnittpunkt und Umkreismittelpunkt liegen auf einer Geraden, der Eulerschen Geraden Winkelsymmetralen sind also von Bedeutung, um den Inkreismittelpunkt von Dreiecken zu bestimmen Den Richtungsvektor einer Winkelsymmetrale kann man einfach mithilfe der Parallelogrammregel bestimmen: Sind u und v die beiden Vektoren, die den Winkel miteinander einschließen, so ist u + v ein Richtungsvektor der winkelhalbierenden Geraden 7

Bsp 5 Vom Dreieck mit den Eckpunkten A( 4,, B(, und C(8, 8 sind die Winkelsymmetralen und der Inkreismittelpunkt zu bestimmen Wir bestimmen zunächst die Vektoren ( 4 AB =, AC= ( 9, ( BC= 9 Wir bezeichnen mit w a die Winkelsymmetrale durch A, mit w b die Winkelsymmetrale durch B und mit w c die Winkelsymmetrale durch C Dann ist ein Richtungsvektor von w a gegeben durch AB + AC, und analog für die beiden anderen Geraden Damit erhalten wir r a = 4 r b = 4 r c = ( ( ( 4 + = + ( = ( ( 7, + 9 9 5 9 5 9 ( ( ( 4 = + ( = ( 7 + 9 9 5 9 5 9 ( ( + = ( ( + 9 9 + 9 9 5 8 Die Winkelsymmetralen beschreiben wir in Parameterdarstellung: ( ( w a : X 4 = + t, ( ( w b : X = + s, ( ( w c : X 8 = + u 8 ( Um den Inkreismittelpunkt zu bestimmen, müssen wir den Schnittpunkt der Winkelsymmetralen berechnen Wir schneiden zum Beispiel w a und w b Dazu lösen wir das Gleichungssystem I : 4 + t = s II : + t = + s, 7

Daraus gewinnen wir den richtigen Parameter für den Schnittpunkt, nämlich t = 4, bzw s = 4, und der Schnittpunkt ist somit gegeben durch ( ( ( 4 8 S= + 4 = Der Höhenschnittpunkt ist der Schnittpunkt der Höhenlinien, also derjenigen Geraden, welche normal auf eine Seite des Dreiecks stehen und durch den gegenüberliegenden Eckpunkt verlaufen Bsp 54 Man bestimme den Höhenschnittpunkt des Dreiecks mit den Eckpunkten A( 5,, B(, 5 und C(5, 7 Um den Höhenschnittpunkt H zu bestimmen, stellen wir zunächst die Geraden der Höhenlinien auf Wir bezeichnen mit h a jene Gerade, welche normal auf die Seite a verläuft und durch den Punkt A geht und analog für h b und h c Dazu berechnen wir die Vektoren BC = AC = AB = ( 5 45 ( = n 7 b, ( 5 5 ( ( = n a, = n c Wir schreiben die Geraden in Form einer Gleichung Damit erhalten wir die Geraden h a : x + y = 5, h b : x + 7y = + 7 5 = 95, h c : x + y = 5 + 7 = 75 Den Höhenschnittpunkt erhalten wir, wenn wir zwei der Geraden miteinander schneiden (die Wahl der beiden Geraden ist unwichtig, der Schnittpunkt ist derselbe Wir berechnen H indem wir h a und h b schneiden Indem wir deren Gleichungen addieren erhalten wir y =, also y = Damit ergibt sich x = 55 und somit die Lösung H(55, 7

5 Vektorrechnung im R In diesem Abschnitt soll noch ein kleiner Überblick zum Rechnen mit Geraden und Ebenen im dreidimensionalen Raum gegeben werden Geraden im R Geraden im R werden analog zum R (und wie auch in höheren Dimensionen in Parameterdarstellung angegeben, also in der Form X= P + t r, t R Im Gegensatz zum R ist es nun nicht mehr möglich, Geraden in Normalvektorform zu beschreiben, denn allein durch die Angabe eines Punktes und eines zur Geraden normal liegenden Vektors ist die Gerade nicht mehr eindeutig festgelegt Dies führt uns zu folgender Beobachtung: Zu einem Vektor r R ist dessen Normalvektor eindeutig bis auf skalare Vielefache, dh ist r = ( a b, so folgt n= λ ( a b für ein λ R Im R allerdings gibt es unendlich viele Möglichkeiten, wie ein zu r R normaler Vektor liegen kann nicht nur seine Länge, auch seine Richtung ist nicht mehr eindeutig Allerdings sind alle seine Normalvektoren parallel zu einer gemeinsamen Ebene Man könnte auch sagen, je drei der Normalvektoren sind linear abhängig Wir werden weiter unten noch auf das Rechnen mit Ebenen zurückkommen Lagebeziehungen zweier Geraden im Raum Bevor wir uns weiter mit Normalvektoren auseinandersetzen, stellen wir fest, dass es neben den drei Lagebeziehungen zweier Geraden, die wir schon aus dem R kennen (nämlich schneidend, disjunkt parallel oder identisch nun noch eine weitere Möglichkeit gibt, wie zwei Geraden im Raum liegen können: nun können sie nämlich auch windschief sein In dieser Situation sind sie weder parallel, noch haben sie einen gemeinsamen Schnittpunkt sie führen in einem gewissen Abstand aneinander vorbei Wie im R überprüft man bei der Lagebestimmung zunächst auf Parallelität um je nach Situation weiter vorzugehen Sind beide Geraden parallel, so überprüft man noch, ob sie identisch sind, indem man etwa nachrechnet, ob ein Punkt der einen Gerade auch auf der anderen Gerade liegt Falls die Geraden nicht parallel sind, so versucht man einen gemeinsamen Schnittpunkt zu ermitteln Je nachdem ob dies möglich ist, liegt entweder die eine oder die andere Situation vor 7

Bsp 55 Es sind folgende zwei Geraden gegeben, welche auf ihre gegenseitige Lage hin untersucht werden sollen: 6 g : X= + t, h : X= 5 + s 7 Nachdem (,, T (,, T gilt, folgt, dass g und h nicht parallel sind Folglich sind sie entweder windschief, oder sie schneiden sich Wir versuchen einen gemeinsamen Schnittpunkt zu ermitteln Dazu setzen wir 6 + t = 5 + s 7 Daraus erhalten wir das Gleichungssystem I : t + s = 5 II : t + s = III : t = 7 Aus den ersten beiden Gleichungen ergibt sich s=4 und t= Dies steht offenbar im Widerspruch zur letzten Gleichung, also gibt es keinen gemeinsamen Schnittpunkt Somit liegen die beiden Geraden windschief zueinander Kreuzprodukt Wie wir gesehen haben, ist im R zu einem gegebenen Vektor die Lage eines Normalvektors nicht mehr eindeutig bestimmt Dies ändert sich, wenn wir zwei Vektoren u und v gegeben haben, welche nicht parallel zueinander sind In diesem Fall ist die Lage eines zu beiden Vektoren orthogonalen Vektors wieder (bis auf skalare Vielfache eindeutig festgelegt So einen Vektor kann man mit dem Kreuzprodukt bestimmen Def 56 Das Kreuzprodukt (auch vektorielles Produkt oder inneres Produkt zweier Vektoren im R ist definiert mittels : R R R, u v u v u v u u v v = (u v u v u v u v Insbesondere zwei Eigenschaften des vektoriellen Produkts sind sehr nützlich, wenn man mit Vektoren im R rechnet: u v steht im rechten Winkel sowohl auf u als auch auf v u v ist gleich der Fläche des von u und v aufgespannten Parallelogramms 74

Ersteres ist zum Beispiel nützlich, um einen Normalvektor einer Ebene zu bestimmen Die zweite Eigenschaft kann man bei der Berechnung des Flächeninhalts von Dreiecken verwenden: Sind P, Q, R die Eckpunkte des Dreiecks, so gilt A = P Q P R Ebenen im R Durch drei Punkte im Raum ist (sofern sie nicht auf einer Geraden liegen nicht nur ein Dreieck, sondern auch dessen Trägerebene festgelegt Im Sinne der linearen Algebra ist eine Ebene des R ein zweidimensionaler affiner Teilraum des R (allgemeiner ist eine Hyperebene des R n ein (n -dimensionaler affiner Teilraum des R n Salopp gesagt, ist also eine Ebene des R eine unendlich ausgedehnte nichtgekrümmte Fläche im Raum, sozusagen das zweidimensionale Analogon einer Geraden Eine Ebene ist beispielsweise festgelegt durch drei Punkte, welche nicht auf einer Geraden liegen ein Punkt und zwei Richtungsvektoren der Ebene, welche nicht parallel sind einen Punkt und einen Normalvektor der Ebene zwei parallele Geraden zwei schneidende Geraden Analog zur Beschreibung von Geraden im R können Ebenen im R in Parameterdarstellung oder in Normalvektorform beschrieben werden: Ebenengleichung in Parameterdarstellung Um eine Gleichung einer Ebene in Parameterform angeben zu können, benötigt man einen Punkt P der Ebene sowie zwei nicht parallele (man könnte auch sagen, zwei linear unabhängige Richtungsvektoren r und r Darunter versteht man (wie wir es schon von den Geraden kennen Vektoren, welche parallel zu der Ebene liegen Um von einem Punkt der Ebene zu jedem anderen zu gelangen, 75

reicht es nicht aus, nur in eine Richtung vor und zurück gehen zu können man muss sich auch nach links und rechts bewegen können Daher sind für Ebenen zwei (nichtparallele Richtungsvektoren notwendig Die Ebene kann dann in der folgenden Form beschrieben werden E : X= P +t r +s r, s, t R Als Richtungsvektoren eignen sich alle Vektoren AB mit A, B E Ebenengleichung in Normalvektorform Wie bei Geradengleichungen im R sind die Punkte einer Ebene dadurch charakterisiert, dass der Verbindungsvektor von einem festen gegebenen Punkt P der Ebene zu ihnen stets im rechten Winkel auf den (jeden Normalvektor der Ebene steht Damit kann man auf die selbe Weise, wie bereits für Geraden im R bekannt, die Gleichung für Ebenen in Normalvektorform begründen; ist n ein Normalvektor der Ebene (dh ein Vektor, der im rechten Winkel auf jeden Richtungsvektor von E liegt, so ist eine Gleichung der Ebene gegeben durch E : n X= n P bzw E : n x + n y + n z = d, wobei d = n x p + n y p + n z p Umgekehrt kann man aus so einer Gleichung wiederum einen Normalvektor der Ebene aus den Koeffizienten ablesen Die folgende Graphik verdeutlicht beide Sichtweisen (links für die Parameterdarstellung, rechts für Normalvektorform Bsp 57 Es seien die Punkte A(,,, B(4, 4, und C(6,, 5 gegeben Man stelle falls möglich eine Gleichung der durch A, B, C festgelegten Ebene (a in Parameterdarstellung bzw (b in Normalvektorform auf Liegt der Punkt P (,, auf der Ebene? (a Wir bestimmen zunächst die beiden Vektoren AB und AC AB= AC= 4 4 6 5 = = 76 4 6 =: r, =: r

Weil AB AC ist, liegen A, B, C nicht auf einer gemeinsamen Geraden und sie legen somit eine Trägerebene fest Offenbar sind dann auch r und r parallel zur Ebene und es gilt r r, also können wir die beiden Vektoren als Richtungsvektoren verwenden Eine Gleichung der Ebene ist somit E : X= + t + s Der Punkt P liegt genau dann auf der Ebene, wenn es s und t gibt, sodass = + t + s Aus den ersten beiden Zeilen ergibt sich t = und s = Wenn P E ist, muss auch die Gleichung aus der letzten Zeile mit denselben Parameterwerten erfüllt sein Doch es ist + = 4 Also liegt P nicht auf der Ebene (b Wir bestimmen einen Normalvektor der Ebene, indem wir das Kreuzprodukt der beiden in (a bestimmten Richtungsvektoren berechnen (offenbar muss ein Normalvektor der Ebene auf alle Richtungsvektoren der Ebene normal stehen r r = = =: n Damit erhalten wir aus der Gleichung n X= n A und aus n A= = die Gleichung E : x y z = Wir überprüfen wieder, ob P auf der Ebene liegt, indem wir seine Koordinaten in die Ebenengleichung einsetzen Es sist aber, also liegt P nicht auf E Lagebeziehungen einer Geraden und einer Ebene Eine Geraden g und eine Ebene E können im R die folgenden Lagebeziehungen aufweisen: entweder sie sind disjunkt parallel, die Gerade liegt vollständig in der Ebene oder aber die Gerade und die Ebene schneiden sich in genau einem gemeinsamen Schnittpunkt 77

Die Vorgehensweise zur Bestimmung der gegenseitigen Lage ist wieder dieselbe wie bisher Zunächst untersucht man, ob Gerade und Ebene parallel sind Dies kann man zum Beispiel machen, indem man überprüft, ob ein Normalvektor der Ebene normal auf den Richtungsvektor der Geraden steht Ist dies der Fall, so schaut man für einen Punkt der Geraden, ob er auch ein Punkt der Ebene ist, um zu unterscheiden ob g E gilt oder nicht Falls Gerade und Ebene disjunkt parallel sind, kann man noch den Abstand der Geraden von der Ebene bestimmen, indem man den Abstand eines Punktes der Geraden von der Ebene ausrechnet (siehe weiter unten Falls keine Parallelität vorliegt, so müssen sich die Objekte in genau einem Punkt schneiden In dem Fall kann man noch den Schnittpunkt sowie den Schnittwinkel ausrechnen Den Schnittwinkel α (wir verstehen darunter in weiterer Folge stets denjenigen Schnittwinkel α mit α 9 kann man folgendermaßen berechnen Man bestimmt zunächst den Winkel β, den die Gerade mit einem Normalvektor der Ebene einschließt Der gesuchte Schnittwinkel ist dann die Ergänzung dieses Winkels auf 9 Bsp 58 Es seien die Gerade g und die Ebene E gegeben durch 6 g : X= + t, E : x + y 4z = 4 5 Wir zeigen, dass sich g und E schneiden und bestimmen den gemeinsamen Schnittpunkt S sowie den Schnittwinkel α ( < α 9 Zunächst stellen wir fest, dass ein Normalvektor n E der Ebene und ein Richtungsvektor r g der Geraden gegeben sind durch n E = 4, r g = Wären die Ebene und die Gerade parallel oder würde die Gerade gar in der Ebene liegen, so müsste n E r g gelten Also berechnen wir das Skalarprodukt n E r 6 g = = 4 78 6

Nachdem die beiden Vektoren nicht normal aufeinander stehen, schneiden sich E und g in (genau einem Punkt S Wir berechnen S, indem wir die beiden Objekte schneiden Dazu lesen wir aus der Gleichung von g ab, dass x = +6t, y = t und z = 5+t Durch Einsetzen in die Gleichung von E erhalten wir ( + 6t + (t 4( 5 + t = 4 Es ergibt sich t = Mit diesem Parameterwert berechnen wir 6 4 S= + ( = 5 8 Den Schnittwinkel berechnen wir, indem wir zunächst den Winkel β berechnen, den die Gerade g mit dem Normalvektor der Ebene einschließt Der gesuchte Schnittwinkel α ergibt sich dann als Ergänzung auf 9 cos β = r g n E r g n E = 6 4 6 + 4 + 9 9 + 44 + 6 = 9 Daraus erhalten wir β = cos (/9 775 und somit α = 9 β 95 Abstand eines Punktes zu einer Geraden oder einer Ebene Im R kann man den Abstand d eines Punktes P von einer gegebenen Geraden g zum Beispiel folgendermaßen berechnen: Man wählt irgendeinen Punkt A auf der Geraden Dann gilt offenbar für den von AP und der Gerade eingeschlossenen Winkel α, dass sin α = d AP Somit folgt d = AP sin α Um den Abstand eines Punktes P von einer Ebene E zu berechnen, kann man zum Beispiel folgendermaßen vorgehen Man bestimmt eine Gerade g durch P, welche normal auf E verläuft Diese schneidet man mit der Gerade und erhält deren Schnittpunkt S Der gesuchte Abstand ist dann d = P S 79

Eine andere Möglichkeit ist es, die Formel d = AP n zu verwenden, wobei A ein beliebiger Punkt auf der Ebene und n ein Einheitsnormalvektor von E ist Bsp 59 Die Eckpunkte des Tetraeders ABCD haben die Koordinaten A(,,, B(7,,, C(, 6, und D(,, 9 Man berechne die Höhe h auf die Grundfläche ABC und das Volumen V des Tetraeders Wir berechnen zunächst die Vektoren 7 6 AB= = 8, AC= 6 = 4 4 Um die Abstandsformel verwenden zu können, berechnen wir einen Einheitsnormalvektor 8

n der Trägerebene von ABC Dazu bilden wir zunächst das Kreuzprodukt n= 6 8 4 4 = Damit ist ein Einheitsnormalvektor der Ebene 6 6 n = 6 + + 56 = 56 56 56 = 6 56 4 6 56 = Die gesuchte Höhe entspricht dem Abstand von D von der Ebene E durch ABC Damit berechnen wir h = d(d, E = AD n 4 = = (4 +8 4 = 8 4 Das Volumen berechnen wir mittels V = G h, wobei G die Grundfläche, also der Flächeninhalt des Dreiecks ABC ist Diese können wir mittels bestimmen Damit ergibt sich also G = AB AC G = 6 + + 56 = 56 = 6 4 4 = Das Volumen berechnet sich demnach aus V = G h Lagebeziehungen zweier Ebenen = = 6 Analog zur Situation zweier Geraden im R sind die möglichen Lagebeziehungen zweier Ebenen im R wieder die, dass die Ebenen disjunkt parallel oder identisch parallel liegen können, oder aber dass sie sich in einer gemeinsamen Geraden schneiden 8

Um zu überprüfen, ob einer der beiden Parallelitäts-Fälle vorliegt, kann man etwa die Normalvektoren der beiden Ebenen betrachten Sind diese parallel, so sind es auch die Ebenen In dem Fall kann man wieder deren gegenseitigen Abstand dadurch berechnen, dass man den Abstand eines Punktes der einen Ebene von der anderen ermittelt Falls die Ebenen nicht parallel sind, so kann man noch die gemeinsame Schnittgerade bestimmen Bsp 5 Gegeben sind die beiden Ebenen E : X= + t 7 4 E : x + y 4z = 8 + s Wir bestimmen einen Normalvektor der ersten Ebene, indem wir das Kreuzprodukt der beiden Richtungsvektoren berechnen, n = 4 = 4 Einen Normalvektor der anderen Ebene lesen wir einfach aus der Gleichung ab, n = 4 Offenbar sind die beiden Normalvektoren parallel, also sind es auch die Ebenen Wir überprüfen, ob der Punkt P (,, 7 auf E liegt, ( + 4 7 = 8 Dies ist also der Fall Also sind die beiden Ebenen identisch Bsp 5 Gegeben sind die beiden Ebenen E : 4x y+5z = 8 und E : x+y+z = 4 Der Vergleich der beiden Normalvektoren ergibt sofort, dass E und E nicht parallel sind, denn aus 4 = t 5 8

würde sich in jeder Koordinate ein anderer Wert für t ergeben Somit schneiden sich die Ebenen in einer gemeinsamen Schnittgerade Um diese zu bestimmen, können wir folgendes machen: Wir setzen eine der Variablen gleich dem Parameter s, sagen wir z = s Damit erhalten wir aus den beiden Ebenengleichungen I : 4x + y = 8 5s, II : x + y = 4 s Es folgt x = s und y = s Damit erhalten wir die Schnittgerade g : X= x y z = s s/ s = + s / Hier sei zuletzt noch angemerkt, dass man bei dieser Methode zur Bestimmung der Schnittgeraden folgendes beachten muss: Kommt eine der Variablen in beiden Ebenengleichungen nicht vor (wir gehen hier davon aus, dass beide Ebenen in Form einer allgemeinen Gleichung vorliegen, so muss man den Parameter gerade dieser Variablen gleichsetzen (warum? Es kann aber nicht sein, dass in zwei Variablen in beiden Gleichungen nicht vorkommen, denn dann wären die Ebenen parallel Aufgaben Es sei a= ( 5 und b = ( 7 Berechnen Sie a b, b, a und den Winkel α, den die beiden Vektoren miteinander einschließen Überprüfen Sie, ob es sich bei den Punkten A(,, B(, 5, C(5, 5 um Eckpunkte eines Quadrates handeln kann Wenn ja, bestimmen Sie den vierten Eckpunkt D Stellen Sie die folgenden Geraden in Parameterdarstellung dar: (a x y = 5, (b x = 9 4 Gegeben ist g : X= ( 4 + t ( 6 Bestimmen Sie eine Gleichung von g in Normalvektorform 5 Geben Sie eine Gleichung jener Geraden an, welche durch den Punkt P (, geht und eine Steigung von 6 aufweist 8

6 Bestimmen Sie den Abstand des Punktes P (, 5 von der Geraden ( ( g : X= + t 4 7 Man zeige, dass die beiden Geraden g : x 5y = 7 und h : X= ( + t ( 5 identisch sind 8 Bestimmen Sie die gegenseitige Lage von g : X= ( + t ( 4 und h : 4x y = 9 Bestimmen Sie die gegenseitige Lage der Geraden g : X= ( 6 + t ( 5 8 und h : 4x+y = und berechnen Sie gegebenenfalls Schnittpunkt und Schnittwinkel bzw im Falle der Parallelität den Abstand der Geraden Die Basis eines gleichschenkligen Dreiecks ABC mit der Spitze C(4, 9 hat die Länge 4 5 und liegt auf der Geraden x y = Man berechne A und B Gegeben ist das Dreieck ABC mit A(,, B(, und C(, 4 Geben Sie eine Darstellung der Seitensymmetralen des Dreiecks an und ermitteln Sie die Koordinaten des Umkreismittelpunktes sowie den Radius dem Umkreises Legen die Punkte A(,,, B(,, und C(4,, 5 eine eindeutige Ebene fest? Geben Sie eine Parameterdarstellung sowie eine Gleichung in Normalvektorform der Trägerebene von ABC an Prüfen Sie, ob der Punkt P (,, 4 auf der Ebene E liegt, wobei E : X= + t + s 4 Geben Sie die Schnittpunkte A, B, C der Ebene E : 7x 4y + 4z = 8 mit den Koordinaten-Achsen an und zeichnen Sie das Dreieck ABC in einem Koordinatensystem 5 Spiegeln Sie den Punkt P (5,, 7 an der Ebene E : 4x + y = 8 6 Geben Sie eine zur Ebene E : x 7y + z = parallele Gerade g an, welche von E den Abstand 6 hat 7 Geben Sie eine zur Ebene E : 5x 6z = 8 normale Gerade g an, welche durch den Punkt P (, 9, verläuft 84