Technische Universität Darmstadt Institut für Werkstoffe und Mechanik im Bauwesen Fachgebiet Statik Prof. Dr.-Ing. Jens Schneider Hauptfachklausur Teil 3 / Statik IV im Wintersemester 2013/14, am 21.03.2014 Die Bearbeitungszeit dieser Klausur beträgt 90 min. Als Hilfsmittel sind alle Mitschriften Vorlesungsunterlagen, Hörsaalübungen, alte Klausuren, etc.) und Taschenrechner ohne Statik-Programme erlaubt. Handys und Computer sind nicht erlaubt und werden, sofern während der Klausur verwendet, als Täuschungsversuch gewertet. Bitte legen Sie ein amtliches Ausweisdokument und Ihren Studentenausweis vor sich auf den Tisch. Bearbeitung: Beschriften Sie Blätter ausschließlich einseitig. Jede Aufgabe ist auf einem neuen Blatt Papier zu bearbeiten. Bearbeiten Sie keine der Aufgaben auf den Blättern der Aufgabenstellung, es sei denn, Sie werden hierzu in der Aufgabenstellung aufgefordert. Nach Ablauf der Bearbeitungszeit: Beenden Sie die Bearbeitung. Nummerieren Sie alle von Ihnen beschrifteten Blätter durch. Anschließend trennen Sie die Heftung der Aufgabenstellung auf und fügen für jede Aufgabe die jeweilige Aufgabenstellung mit der dazugehörigen Lösung mit Hilfe der Ihnen ausgeteilten Büroklammern zusammen. Abschließend falten Sie dieses ausgefüllte) Deckblatt einmal in der Mitte und heften es umfassend um Ihre gesamte bearbeitete Klausur. Name, Vorname: Matrikelnummer: Studiengang: 1
Name, Vorname: Hauptfachklausur Teil 3 / Statik IV Matrikelnummer: Studiengang: 21.03.2014 Aufgabe 1 Bearbeitungszeit: 45 Min. R-A R-A p r m r0 r m r0 a a b d c d Bild a Bild b Gegeben: Die oben dargestellten Kreisringplatten. Abmessungen: Belastung: Querkontraktionszahl a=1,0 m, d=3,0 m m r0 =10 knm/m ν=0,2 Gesucht: 1. Geben Sie für die in Bild a dargestellte Kreisringplatte die notwendige Anzahl von Integrationsbereichen und alle Rand- und Übergangsbedingungen an. 2. Ermitteln Sie für p=0 und ohne äußeres Auflager Bild b) die Schnittgrößen m r und m ϑ aus der allgemeinen Lösung der Differentialgleichung für die angegebenen Zahlenwerte. 3. Skizzieren Sie qualitativ für das System in Bild b die Biegelinie wr) und bestimmen Sie K so, dass die Durchbiegung w d am Außenrand 5 cm nicht übersteigt. Der Lösungsweg muss eindeutig erkennbar und nachvollziehbar sein. 2
1. Geben Sie für die in Bild a dargestellte Kreisringplatte die notwendige Anzahl von Integrationsbereichen und alle Rand- und Übergangsbedingungen an Integrationsbereiche: 1. Integrationsbereich: 2. Integrationsbereich: 3. Integrationsbereich: Randbedingungen: ) ) ) ) Übergangsbedingungen Integrationsbereich 1-2: ) ) ) ) ) ) ) ) Übergangsbedingungen Integrationsbereich 2-3: ) ) ) ) ) ) 2. Ermitteln Sie für und ohne äußeres Auflager Bild b) die Schnittgrößen und aus der allgemeinen Lösung der Differentialgleichung für die angegebenen Zahlenwerte. Homogene Differentialgleichung der Kreisringplatte:
Lösungsansatz für Bild b: ) ) ) ) ) )) ) [ )] [ )] [ ) ) ))] ) Randbedingungen für Bild b: ) ) ) ) Aufstellen des Gleichungssystems zur Ermittlung der Koeffizienten: ) ) ) [ )] [ )] [ ) ) ))] ) Gleichungssystem zur Ermittlung der Koeffizienten: ) ) ) ) )) ) ) )
Einsetzen der Zahlenwerte: ) ) ) ) ) Lösen des Gleichungssystems liefert: ) ) ) [ ) ] ) ) [ ] ) ) [ ] 3. Skizzieren Sie qualitativ für das System in Bild b die Biegelinie ) und bestimmen Sie K so, dass die Durchbiegung am Außenrand 5 cm nicht übersteigt. ) [ ) ] Auflösen nach liefert: [ ) ]
Name, Vorname: Hauptfachklausur Teil 3 / Statik IV Matrikelnummer: Studiengang: 21.03.2014 Aufgabe 2 Bearbeitungszeit: 50 Min. y M M b x P a a Gegeben: Die oben dargestellte Rechteckscheibe und die dazugehörige Airy sche Spannungsfunktion: F=A 1 x 3 +A 2 xy+a 3 x 3 y+a 4 y 2 +A 5 y 3 Abmessungen a, b Belastung: Moment M und Einzellast P Querkontraktionszahl ν und Scheibendicke t Gesucht: 1. Geben Sie die Randbedingungen an den durch M bzw. P belasteten Rändern der Scheibe an. 2. Bestimmen Sie die Koeffizienten A i durch Koeffizientenvergleich und setzen Sie diese in die vollständige Airy sche Spannungsfunktion F ein. 3. Ermitteln Sie die Funktion der Normalspannungen σ y x,y). 4. Entscheiden Sie, welcher der FE-Spannungsplots für σ y x,y) auf der folgenden Seite zu dem gegebenen System passt. Begründen Sie Ihre Antwort. Hinweise: P ist durch einen parabolischen Schubspannungsverlauf, M durch einen linearen Normalspannungsverlauf zu ersetzen. Der obere Scheibenrand y=b) ist unverschieblich gelagert. Der Lösungsweg muss eindeutig erkennbar und nachvollziehbar sein. 3
Name, Vorname: Hauptfachklausur Teil 3 / Statik IV Matrikelnummer: Studiengang: 21.03.2014 FE-Spannungsplots für σ y x,y) 1 3.07 2.97 2.90 2.82 2.75 2.67 2.59 2.52 2.44 2.36 2.29 2.21 2.14 2.06 1.98 1.91 1.83 1.75 1.68 1.60 1.53 1.45 1.37 1.30 1.22 1.14 1.07 0.99 0.92 0.84 0.76 0.69 0.61 0.53 0.46 0.38 0.31 0.23 0.15 0.08 0.02 FE-Spannungsplots für σ y x,y) 2 4.00 2.00 0.00 6.48 6.16 5.84 5.51 5.19 4.86 4.54 4.21 3.89 3.57 3.24 2.92 2.59 2.27 1.95 1.62 1.30 0.97 0.65 0.32 0.00-0.32-0.65-0.97-1.30-1.62-1.95-2.27-2.59-2.92-3.24-3.57-3.89-4.21-4.54-4.86-5.19-5.51-5.84-6.16-6.48 0.00 2.00 4.00 6.00 8.00 10.00 m Z Y X Spannung in lokal y im Element in MPa, Lastfall 1 sum_px=9924.8 kn. Min=-6.48) Max=6.48) Der Lösungsweg muss eindeutig erkennbar und nachvollziehbar sein. 4 M 1 : 42
1. Geben Sie die Randbedingungen an den durch M bzw. P belasteten Rändern der Scheibe an Randbedingungen für den rechten und linken Rand : Schubspannungen Normalspannungen : ) ) Randbedingungen für unteren Rand : Die Gleichungen führen auf folgendes lineares Gleichungssystem LGS): ) ) ) Lösen des LGS liefert die Konstanten:
) ) 2. Bestimmen Sie die Koeffizienten A i durch Koeffizientenvergleich und setzen Sie diese in die vollständige Airy sche Spannungsfunktion F ein. Spannungen: ) Koeffizientenvergleich für Schubspannungsgleichung : Koeffizientenvergleich für Normalspannung : Randbedingung der Normalspannung :
Alternativer Lösungsvorschlag zu Teilaufgabe 2. Ermittlung der Schubspannung : Ermittlung der Normalspannung : Ermittlung der Normalspannung : Das Integral der Normalspannung muss gerade Null ergeben: Außerdem ist die Normalspannung :
Vollständige Airy sche Spannugnsfunktion : ) ) 3. Ermitteln Sie die Funktion der Normalspannungen 4. Entscheiden Sie, welcher der FE-Spannungsplots für auf der folgenden Seite zu dem gegebenen System passt. Begründen Sie Ihre Antwort. Begründung: Spannung