8. Potentiale und Felde zeitabhängige adungs- und Stomveteilungen 8. Retadiete Potentiale Kapitel 4.3: Maxwellgleihungen können duh Einfühung von skalaem Potential ( t, ) Mit und Vektopotential A(, t) entkoppelt weden B ot Aund E gad A / t folgt aus den Maxwellgleihungen in oenzeihung t (, t) (, t) (, t) () (, ) (, ) (, ) () t A t A t J t Potentiale sind noh übe Eihbedingung (oenzkonvention) veknüpft: div A ` / t Gleihungen () und () sind inhomogene Wellengleihungen. ösung mit Methode de Geenshen Funktion (Kapitel 3.3.) Suhen zunähst ösung de Geenshen Funktion de obigen Diffeentialgleihungen i( k kt) e ( t / ) G(, t) ( ) ( t) G(, t) d k dk G (, t) t ( ) 4 3 ( ) 4 k k /
Geenshe Funktion ( + G ) (, t) etadiete Geenshe Funktion (fü uns nu von Inteesse) Geenshe Funktion ( G ) (, t ) avaniete Geenshe Funktion Aus de Geenshen Funktion folgen die ösungen de inhomogenen Wellengleihungen fü (, t) d ' dt ' G ( ', t t ') ( ', t ') d ' 3 (+) 3 3 ( + ) 3 A t d ' dt ' G ( ', t t ')( J ( ', t d ( ', t ' / ) ' J ( ', t ' / ) (, ) ')) ' ' und A : ösungen fü zeitlih veändelihe Quellen ähnlih den ösungen fü Potentiale im statishen Fall, wi müssen abe aufzeit des Signals beüksihtigen In die Potentiale zum Zeitpunkt t geht niht die Quellenveteilung zum Zeitpunkt t ein, sonden die Veteilung zu einem füheen Zeitpunkt t ' t t t ' etadiete Zeit Retadieungszeit (aufzeit des Signals vom Ot 'zum Ot )
8. Elektomagnetishe Felde bewegte Punktladungen Vogegeben: Bahn de Punktladung ( t) ( t ) (= Ot de adung zu Zeit t) adungsdihte (, t) ( ( t )) und Stomdihte J (, t) v( t) ( ( t )) (mit v( t) ( t ) ) skalaes Potential ( ( t / )) ( ( t )) ( ( t )) ( t t) (, t) d d dt d 3 3 3 dt Neue Integationsvaiable: ( t ( t ( t ) / )) ( t ) ( t ) dt d ( ( t )) ( ( t )) t t t t t t dt dt t ( ( )) ( ) ( ( t )) v( t ) R( t ) v ( t ) mit R( t ) ( t ) ( t ) R( t ) R( t t) v ( t t) ( t ) (, t) dt R( t t ) R( t t ) R( t ) v ( t ) / R( t ) R( t )
Damit ehalten wi fü das skalae Potential: (, t) R( t ) R( t ) v ( t ) / mit R( t) (t) und t t Rt ( ) Analog folgt aus v ( 3 t) ( ( t)) A (, t) d fü das Vektopotential A (, t) v ( t ) R( t ) R( t ) v ( t ) / mit R( t) (t) und t t Rt ( ) Obige Gleihungen fü das skalae und Vektopotential eine bewegten Punktladung weden als iénad-wiehet-potentiale bezeihnet. Wegen de Retadieung t t R( t ) / sind die Potentiale alledings nu fü Spezialfälle einfah auswetba. Beispiele:. Ruhende Punktladung t v t A t t ( ) =konst. ( ) (, ), (, ) 4
. Geadlinig gleihfömig bewegte Punktladung (siehe Übung) t v t ( ) t (, ) 4 vt v vt v t v (, ) (, ) A t t Fü die elektomagnetishen Felde de bewegten Punktladung folgt damit E(, t) B t v R() t 4 v R ( t) sin v (, ) ( E,) t mit R( t) v t, Winkel zwishen R und v 3/ 3 B-Feld zu v und zu E, B-Feld bildet Keise um Bewegungsihtung, E E entlang Vebindungslinie zwishen momentane Position de adung und Beobahtungspunkt, "abgeplattet" in v -Rihtung
8.3. Hetzshe Dipol (zeitabh. elektishe Dipol) Quellen elektomagnetishe Wellen: beshleunigt bewegte adungen und zeitlih veändel. Stöme Einfahe Beispiele: zeitabhängige elektishe Dipol zeitabhängige magnetishe Dipol Übung Zeitabhängige elektishe Dipol (am Uspung): adungsdihte (siehe Übung Blatt 9/Aufg. ): (, t) p( t) ( ) D Stomdihte (aus Kontinuitätsgleihung): D pt () JD ( ) p ( ) JD(, t) p ( ) t t Vektopotential: ', ' / ' / ( ') / J t 3 p t 3 p t A (, t) d ' d ' 4 ' 4 ' 4
Skalaes Potential: ', t ' / p t ' / ' ( ') p t ' / ' 3 3 3 (, t) d ' d ' d ' ( ') 4 ' 4 ' 4 ' p t ' / p 4 ' 4 3 d ' ( ')( ) Aus A (, t ) und (, t) und folgen die Felde t / E(, t) gad (, t) A (, t) t und B t (, ) ot A (, t) Magnetfeld B(, t) p 4 p e mit ( e p p t), t t, E t e p e p e p e p e p e p 3 4 Elektishes Feld (, ) 3 3 Anmekungen: E t e 3 p e p 4 Fü den statishen Dipol gilt p und damit B sowie (, ) 3 epoduzieen das Egebnis aus de Elektostatik Die einzelnen Teme von E und B haben unteshiedlihe Potenzen von unteshiedlih shnell ab und klingen damit
Fü das Fenfeld (goße Entfenungen ) sind nu Teme elevant. Sie sind alle popotional zu p! B(, t) p( t) e 4 E(, t) e p e p e p e B e 4 4 Fü das Fenfeld bilden e, B und E ein Deibein! Wellen sind fü seh goße Kugelwellen mit Amplitude /, abe lokal wie ebene Wellen Enegieabstahlung des Hetzshen Dipols: Fü die Enegieabstahlung (Enegietanspot ins Unendlihe) ist nu das Fenfeld von Bedeutung! p Enegieflussdihte besitzt Zylindesymmetie, abe anisotop bezüglih de -Rihtung Rihtwikung eine Antenne
Abgestahlte eistung des Dipols (= Enegiefluss duh Kugelobeflähe mit Radius R) p ( t )sin P da S d dsin R p ( t 6 R 6 R ) Spezialfall: hamonish oszillieende Dipol p( t) p os t p( t) p os t P( t) 4 p os ( t R / ) 6 Mittelung übe eine Shwingungspeiode T : Pt () p 4 stake Feuenzabhängigkeit 4! (Gund fü Himmelsblau und Abendot)