Produktionswirtschaft 50 - Substitutionale Produktionsfunktion MKK Klausur 0/0 A Ein Unternehmen fertigt unter Einsatz dreier Faktoren i, i =,,, mit den Faktoreinsatzmengen r i gemäß der Produktionsfunktion x = f ( r,r,r ) = r r r. die Ausbringungsmenge x eines Endproduktes. Die konstanten Faktorpreise betragen: q = 6, q = 8 und = q [ ] ME. a) Um welche Art von Produktionsfunktion handelt es sich hierbei? Welchen Homogenitätsgrad weist diese Produktionsfunktion auf? b) Bestimmen Sie die Kostenfunktion bei totaler Faktorvariation. Wie lässt sich der Kostenverlauf ökonomisch begründen? c) Ermitteln Sie die Kostenfunktion, wenn von Faktor höchstens r = 6 Mengeneinheiten eingesetzt werden können. Erklären Sie den Kostenverlauf ökonomisch. Hinweise / Erklärungen / Definitionen, die nicht Teil der Lösung sind, sind hier blau gekennzeichnet worden. Rolf Baumanns/ Sandra Schmidt/Sabine Hahn SS 007 Seite von 8
Produktionswirtschaft 50 - Substitutionale Produktionsfunktion MKK a) Die Produktionsfunktion ist wegen Allg. Form der CB-Fkt. α α α 0 x = f ( rr,, r ) = r r r = α r r r, 0< α0 = const., 0 αi = const. <, i =,,, eine COBB-DOUGLAS-Produktionsfunktion mit abnehmenden Grenzerträgen bei partieller Faktorvariation. Zudem ist die Produktionsfunktion wegen f ( λr, λr, λr ) = ( λr ) ( λr ) ( λr ) + + = λ f ( rr,, r ) ( r r r ) = λ linearhomogen. Homogenitätsgrad t: λ t x = x(λr,...,λr i ) im Bsp. t=! t= linearhomogen; Die prozentuale Veränderung des Outputs ist gleich der prozentualen Veränderung des Inputs. t> überlinearhomogen; Die prozentuale Veränderung des Outputs ist ist größer als die prozentuale Veränderung des Inputs. t< unterlinearhomogen; Die prozentuale Veränderung des Outputs ist geringer als die prozentuale Veränderung des Inputs. Rolf Baumanns/ Sandra Schmidt/Sabine Hahn SS 007 Seite von 8
Produktionswirtschaft 50 - Substitutionale Produktionsfunktion MKK b) Bei uneingeschränkter Faktorvariation sind die Minimalkostenkombinationen durch die folgenden notwendigen Bedingungen charakterisiert: Verhältnis der Grenzproduktivitäten = Preisverhältnis bei zwei Produktionsfaktoren eine Gleichung; bei drei Produktionsfaktoren drei Gleichungen (davon könnte man eine sparen, da sich das Verhältnis aus den beiden anderen ergibt. Diese. Gleichung ist aber eine gute Kontrollmöglichkeit, ob man sich verrechnet hat.) x r r r q r 6 = = = r = r, x q r 8 r r r x r r r q r 6 = = = r = 6 r, x q r r r r Den nachfolgenden Rechenschritt kann man sich hier sparen(siehe oben), indem man die Lösung r = 6r nach r = /6 r auflöst und in die erste Lösung r = (/6 r ) einsetzt υ r = ¼ r x r r r q r 8 = = = r = r. x q r r r r Einsetzen von r = r( r ) und von = ( ) die kostenminimale Einsatzmenge = ( ) der Ausbringungsmenge x : Hieraus erhält man dann weiter: r r r in die Produktionsfunktion liefert r r x von Faktor in Abhängigkeit von x = r ( ) ( ) r 6r = r = r r = x. x r = r =, r = 6 r = x, so dass insgesamt die folgende Kostenfunktion resultiert: 6 K( x) = qr ii( x) = 6 x+ 8 x+ x = x. i= Rolf Baumanns/ Sandra Schmidt/Sabine Hahn SS 007 Seite von 8
Produktionswirtschaft 50 - Substitutionale Produktionsfunktion MKK r Produktionsisoquanten Expansionslinie Kostenisoquante Diese Kostenfunktion ist linear. Dies ist darauf zurückzuführen, dass die Produktionsfunktion homogen ist, denn dann sind die zugehörigen Isoklinen, d.h. der geometrische Ort aller Punkte im Faktorraum, an denen dieselbe Grenzrate der Substitution (Tangentensteigung der Isoquanten) vorliegt, Halbgeraden durch den Ursprung. Bei konstanten Faktorpreisen ist die Steigung der Kostengerade konstant und demnach ist auch der Expansionspfad, d.h. der geometrische Ort aller Minimalkostenkombinationen eine Halbgerade durch den Ursprung. Die Minimalkostenkombinationen ergeben sich an den Stellen, an denen Kostengerade und Isoquante die gleiche Steigung haben. Da jede Isoquante an der Stelle ihrer Minimalkostenkombination die gleiche Steigung aufweist, liegen alle diese Minimalkostenkombinationen auf einer Isokline, die eine Halbgerade durch den Urr Darstellung der Minimalkostenkombination bei substitutionalen PF (hier nur zwei Produktionsfaktoren!) Expansionslinie: Verbindung der Minimalkostenkombinationen Expansionslinie muss nicht in Form dieser Ursprungsgeraden verlaufen. Im Fall von Faktorrestriktionen kann die Expansionslinie bei Eintreten der Faktorrestriktion einen Knick aufweisen, so dass sie zweigeteilt verläuft. Isokline: Der geometrische Ort aller Punkte im Faktorraum, an denen dieselbe Grenzrate der Substitution zwischen zwei Faktoren vorliegt oder auch an dem das Faktoreinsatzverhältnis konstant ist (dies ist nur eine andere Beschreibung der Grenzrate der Substitution). Wenn die Produktionsfunktionen homogem von Grade t, mit t = const. Sind, dann sind die Isoklinen Geraden durch den Nullpunkt. Rolf Baumanns/ Sandra Schmidt/Sabine Hahn SS 007 Seite von 8
Produktionswirtschaft 50 - Substitutionale Produktionsfunktion MKK sprung ist. Damit ist auch der Expansionspfad eine Halbgerade durch den Ursprung. Da der Expansionspfad eine Gerade durch den Ursprung ist, bleibt das Verhältnis der eingesetzten Faktoren an den Stellen der Minimalkostenkombination auf jeder Isoquante, d.h. für jedes Ausbringungsniveau konstant. Deshalb bewirkt die Linearhomogenität der Produktionsfunktion, dass sich die Faktoreinsatzmengen nicht nur wegen des konstanten Faktoreinsatzverhältnisses proportional zueinander, sondern zugleich auch proportional zur Ausbringungsmenge verhalten. Infolgedessen besteht zwischen der Summe der mit den konstanten Faktorpreisen bewerteten Faktoreinsatzmengen, also den Produktionskosten, und der Ausbringungsmenge ebenfalls ein proportionaler Zusammenhang. Im Ergebnis führt dies zu einem linearen Kostenverlauf. Kostenfunktion ist Linear überproportional unterproportional Produktionsfunktion ist Linear homogen Unterlinear homogen Überlinear homogen Isoklinen sind der geo- Halbgeraden durch den In der r /r -Darstellung In der r /r -Darstellung metrische Ort aller Punkte Ursprung Geraden, deren Schnitt- Geraden, deren Schnitt- im Faktorraum, an denen punkte mit den Isoquanten punkte mit den Isoquanten dieselbe Grenzrate der immer weiter auseinander immer näher zusammen Substitution zwischen zwei liegen, je höher das Aus- liegen je höher das Aus- Faktoren vorliegt oder bringungsniveau ist. In der bringungsniveau ist. In der auch an dem das Faktor- r/x-darstellung sind es r/x-darstellung sind es einsatzverhältnis konstant unterproportionale Kurven überproportionale Kurven ist (dies ist nur eine andere durch den Ursprung durch den Ursprung Beschreibung der Grenzrate der Substitution). Expansionspfad ist Halbgerade durch den In der r /r -Darstellung In der r /r -Darstellung Verbindung der Minimalkostenkombinationen Ursprung Expansionspfad muss nicht in Form dieser Ursprungsgeraden verlaufen. Im Fall von Faktorrestriktionen kann die Expansionslinie bei Eintreten der Faktorrestriktion einen Knick aufweisen, so dass sie zweigeteilt verläuft. Gerade, deren Schnittpunkte mit den Isoquanten immer weiter auseinanderliegen, je höher das Ausbringungsniveau ist. In der r/x-darstellung sind es unterproportionale Kurven durch den Ursprung. Geraden, deren Schnittpunkte mit den Isoquanten immer weiter auseinanderliegen, je höher das Ausbringungsniveau ist. In der r/x-darstellung sind es unterproportionale Kurven durch den Ursprung. Verhältnis der eingesetzten Faktoren Bleibt konstant Steigt überproportional Steigt unterproportional Rolf Baumanns/ Sandra Schmidt/Sabine Hahn SS 007 Seite 5 von 8
Produktionswirtschaft 50 - Substitutionale Produktionsfunktion MKK Der Expansionspfad gibt die Richtung an, in welche sich die Minimalkostenkombination bei zunehmendem Ausbringungsniveau verschiebt. In der r /r - Darstellung sind dies immer Geraden (Ausnahme: Wenn Faktorrestriktionen auftreten, kann der Expansionspfad geteilt sein. Die Einzelstücke sind aber immer noch Geraden). Diese Gerade gehen nicht immer zwangsweise durch den Ursprung und sie verlaufen auch nicht immer zwingend von links unten nach rechts oben (s. Klausur 0 / 0 A (hat Stütz auch im Seminar gerechnet)). c) Im Unterschied zu Aufgabenteil b) ist nun der Faktoreinsatzmenge des zweiten Faktors beschränkt. Entsprechend kann die in Aufgabenteil b) hergeleitete Minimalkostenkombination nur so lange realisiert werden, wie die verfügbare Menge an Faktor noch nicht ausgeschöpft ist. Wird dann mit steigender Ausbringungsmenge schließlich die Faktorrestriktion bindend, dann lassen sich die Kosten nur noch durch Variation der Einsatzmengen der Faktoren und minimieren, während die Einsatzmenge des zweiten Faktors konstant gehalten wird (eingeschränkte Kostenminimierung). Die kritische Ausbringungsmenge ˆx, bei der die verfügbare Menge an Faktor erstmals vollständig eingesetzt wird, ergibt sich direkt aus der Umkehrung der in Aufgabenteil b) ermittelten Funktion der kostenminimalen Einsatzmenge von Faktor : x r = ˆx = r = 6 = 8. Ab dieser Ausbringungsmenge ˆx = 8 ist die Einsatzmenge von Faktor mit steigender Ausbringung konstant, so dass hinsichtlich der Produktionsfunktion für x 8 gilt: x = f ( r,r,r ) = r ( 6) r = r r. Bei eingeschränkter Faktorvariation sind dann die Minimalkostenkombinationen durch die notwendige Bedingung charakterisiert. x r r q r 6 = = = r = 6r x q r r r Rolf Baumanns/ Sandra Schmidt/Sabine Hahn SS 007 Seite 6 von 8
Produktionswirtschaft 50 - Substitutionale Produktionsfunktion MKK Das Problem reduziert sich auf ein Problem mit zwei Produktionsfaktoren, so dass eine Gleichung ausreicht. Da r konstant gehalten wird, gilt die entsprechende Gleichung mit r und r aus Aufgabenteil b) nach wie vor und muss nicht zwingend neu bestimmt werden. Setzt man = ( ) r r r in die Produktionsfunktion bei eingeschränkter Faktorvariation ein, so liefert dies die kostenminimale Einsatzmenge von Faktor in Abhängigkeit von der Ausbringungsmenge x, x 8: ( ) 6 x x= r r = r r =. Hieraus erhält man die kostenminimale Einsatzmenge des dritten Faktors x 6 6 x r = r = = 6 und durch Einsetzen die Kostenfunktion für Ausbringungsmengen x 8: ( 8) ( 8) 6 x 86 x K x = = + + qr ii x = x + 8. 6 8 i= Im Ergebnis lautet dann die Kostenfunktion bei beschränkt verfügbarer Faktoreinsatzmenge r 6: Teil 6 für0 8, x x K( x) = x + 8 für x 8. 8 Diese Kostenfunktion besteht aus zwei Teilen: Der lineare erste Teil ergibt sich unmittelbar aus der uneingeschränkten Kostenminimierung bei linearhomogener Produktionsfunktion und konstanten Faktorpreisen (siehe Aufgabenteil b)) und braucht hier nicht weiter erläutert zu werden. Teil Der nichtlineare zweite Teil der Kostenfunktion resultiert dagegen aus der Tatsache, dass zur Minimierung der Produktionskosten nur noch die Einsatzmengen des ersten und des dritten Faktors variiert werden können. Erhöht man nun die Einsatzmengen dieser beiden Faktoren, indem man diese mit dem gleichen Faktor multipliziert, dann erhöht sich die Ausbringungsmenge nur um einen geringeren Faktor; dieser entspricht bei der hier gegebenen COBB- DOUGLAS-Produktionsfunktion der Summe der Produktionselastizitäten der beiden Faktoren und. Diese Summe ist <. Bei einer mit proportionaler Erhöhung der variierbaren Faktoreinsatzmengen nur unterproportional wachsenden Ausbringungsmenge muss die hieraus resultierende Kostenfunktion in der Um- Rolf Baumanns/ Sandra Schmidt/Sabine Hahn SS 007 Seite 7 von 8
Produktionswirtschaft 50 - Substitutionale Produktionsfunktion MKK kehrung mit steigender Ausbringung überproportional wachsen, was hier der Fall ist. r Produktionsisoquanten r =6 X=8 Kostenisoquante r Darstellung der Minimalkostenkombination bei substitutionalen PF (hier nur Produktionsfaktoren!) mit Restriktion von r Rolf Baumanns/ Sandra Schmidt/Sabine Hahn SS 007 Seite 8 von 8