MAE Mathematik: Analysis für Ingenieure Herbstsemester 07 Dr. Christoph Kirsch ZHAW Winterthur Aufgabe : Aufgabe : Lösung Semesterendprüfung a) Wir verwenden die Def. 4 der Vorlesung für die Implikation, Q P = Q) P, sowie die Def. der Vorlesung für die Negation, Konjunktion und Disjunktion. Damit erstellen wir schrittweise die Wahrheitstabelle: P Q Q Q P P Q P ) Q) P ) w w f w w w f w w w f w f f f f f w w f b) Aus der Wahrheitstabelle lesen wir ab, dass in den Fällen wo P wahr ist auch die Verknüpfung ) wahr ist erste und zweite Zeile). c) Nach der Definition des Komplements einer Menge Def. 8 der Vorlesung) gilt M = {x R x > } c = {x R x > )} = {x R x }. ) Damit gilt z. B. 5 M, und für k := 0 Z erhalten wir π N. Gemäss der Def. 9 der Vorlesung ist das geordnete Paar 5, π) R ein Element des Mengenprodukts M N = {m, n) m M, n N}, d. h. 5, π) M N. a) In Aufgabe c) hatten wir bereits M = {x R x } R bestimmt. Gemäss Def. der Vorlesung ist diese Menge gleich dem Intervall M =, ]. Die Zahl R ist die kleinste obere Schranke der Menge M. Jede reelle Zahl b ist gem. Def. 0 der Vorlesung ebenfalls eine obere Schranke der Menge M. Also ist z. B. die Zahl b := 0 R eine obere Schranke der Menge M, denn es gilt x < 0 = b x M, also auch x b x M. ) b) Gemäss Kap... der Vorlesung berechnen wir 5. 8 = 8 + 8 + 8 0 + 5 8 + 8 4) = 64 + 084 + + 40 + 8 = Q. 8 64 5) c) Nach der Def. der Vorlesung gilt f {9, 0, }) = {fn) {k, g, u} n {9, 0, }} {k, g, u}. 6) Mit der Definition der Funktion f berechnen wir die Funktionswerte ) f9) = k, f0) = g, f) = g. 7) Damit erhalten wir das gesuchte Bild: f {9, 0, }) = {k, g}.
Aufgabe : a) Die Nullstellen erkennen wir sofort aus der Definition der Funktion p: x = doppelte Nullstelle), x = einfache Nullstelle). 8) Für die Teilaufgaben b) und c) wollen wir den Satz 5 der Vorlesung anwenden und multiplizieren deshalb aus: px) = 4x 4x + )x + ) = 4x + 8x 4x 8x + x + ) 9) = x + x x + 6 = ax + bx cx + d, 0) mit a =, b =, c =, d = 6. b) Wir berechnen b = = 44 und ac = ) = 756, also gilt b > ac. Gemäss Satz 5 ist daher die Funktion p surjektiv, aber weder injektiv noch streng monoton: Injektivität: nein, Surjektivität: ja, strenge Monotonie: nein. c) Gemäss Satz 5 hat die Funktion in unserem Fall b > ac) zwei lokale Extrema, und zwar bei x,4 = b ± b ac = ± { 44 + 756 ± 0 = 7 a 6 6, }. ) d) Wir wollen das Korollar der Vorlesung anwenden und berechnen die Ableitung p x) = 6x + 4x = x + 8x 7 ). ) Wir berechnen die Diskriminante der quadratischen Funktion D = 8 4 7) = 400 > 0. Die Funktion p hat also zwei relle Nullstellen bei 8 ± 400 = ± 5 6 { 7 6, }, ) wie erwartet. Der Graph der quadratischen Funktion p ist eine nach oben geöffnete Parabel, und daher gilt p < 0 zwischen diesen beiden Nullstellen sowie p > 0 ausserhalb. Damit erhalten wir die gesuchte Zerlegung des grösstmöglichen Definitionsbereichs D = R der Funktion p:, 7 ) : p streng monoton wachsend, 4) 6 7 6, ) : p streng monoton fallend, 5) ), : p streng monoton wachsend. 6)
Aufgabe 4 : Wir zerlegen zuerst das Nennerpolynom Nx) := x +7x+0)x 4) gemäss Satz 7 der Vorlesung in Linearfaktoren und über R irreduzible quadratische Faktoren. Dazu betrachten wir die beiden quadratischen Funktionen x + 7x + 0, D = 7 4 0 = 9 > 0, Nullstellen 7± 9 { 5, }, x 4, D = 0 4 4) = 6, Nullstellen 0± 6 {, }. Damit erhalten wir die folgende Zerlegung des Nennerpolynoms: Nx) = x + 5)x + )x + )x ) = x + 5)x + ) x ). 7) Die Definitionslücken der Funktion f sind daher gegeben durch x := 5, x := und x :=. Wir prüfen diese der Reihe nach und verwenden die Def. 4 der Vorlesung mit dem Zählerpolynom Zx) := 5x 4 + 65x + 05x + 65x + 450: x = 5: Zuerst berechnen wir Z 5) = 0, also lässt sich gemäss Satz 6 der Vorlesung der Linearfaktor x + 5 von Z abspalten Polynomdivision): 5x 4 + 65x + 05x + 65x + 450 : x + 5 = 5x + 40x + 05x + 90 5x 4 + 5x 40x + 05x + 65x + 450 40x + 00x 05x + 65x + 450 05x + 55x 90x + 450 90x + 450 0 8) Es gilt also Zx) = x + 5)Z x) mit Z x) := 5x + 40x + 05x + 90. Wir berechnen Z 5) = 60 0, also lässt sich der Linearfaktor x + 5 nicht weiter abspalten. Wir erhalten daher die Vielfachheiten j Z = j N =, und damit ist die Definitionslücke der Funktion f bei x = 5 stetig hebbar. Mit N x) := Nx) = x+5 x + ) x ) ist die erweiterte Funktion f gegeben durch fx) = Z x) N x) = 5x + 40x + 05x + 90. 9) x + ) x ) 60 Also gilt f 5) = = 60 = 0 0.476. ) 7) 6 x = Wir berechnen Z ) = 0, also lässt sich gemäss Satz 6 der Vorlesung der Linearfaktor x + von Z abspalten Polynomdivision): 5x + 40x + 05x + 90 : x + = 5x + 0x + 45 5x + 0x 0x + 05x + 90 0x + 60x 45x + 90 45x + 90 0 0)
Es gilt also Z x) = x + )Z x) mit Z x) := 5x + 0x + 45. Wir berechnen Z ) = 5 0, also lässt sich der Linearfaktor x + nicht weiter abspalten. Wir erhalten daher die Vielfachheiten j Z = < = j N, und damit ist die Definitionslücke der Funktion f bei x = eine Polstelle der Ordnung j N j Z =. x = : Wir berechnen Z ) = 5 0, also lässt sich der Linearfaktor x nicht von Z abspalten. Wir erhalten daher die Vielfachheiten j Z = 0 < = j N, und damit ist die Definitionslücke der Funktion f bei x = eine Polstelle der Ordnung j N j Z =. Aufgabe 5 : a) Mittels Polynomdivision berechnen wir also gilt n + : 5n = n + 5 5 n n 5 n + 5 n 5 5 6 5 ) a n := n + 5n = 5 n 6 5 5, n N. ) 5n Die reelle Zahlenfolge a n ist offensichtlich unbeschränkt und damit divergent n + nach Satz 8 der Vorlesung. Der Grenzwert lim existiert daher nicht. 5n b) Wir erweitern den Bruch mit und verwenden dann den Satz der Vorlesung: n n + n lim n + n n = lim + n n + = n ) lim lim n + lim n n + ) ) = 0 0 + + 0 =, 4) wobei wir im zweitletzen Schritt den bekannten Grenzwert lim haben. n = 0 verwendet c) Wir zerlegen das Zähler- und das Nennerpolynom in ihre Linearfaktoren: x x +, D = ) 4 = > 0, Nullstellen )± {, }, x, D = 0 4 ) = 4 > 0, Nullstellen 0± 4 {, }. Damit gilt fx) = x x + x = x )x ) x + )x ). 5) 4
Aufgabe 6 : Die Funktion f hat an der Stelle x = eine stetig hebbare Definitionslücke. Wir verwenden nun die Def. der Vorlesung: Sei x n eine relle Zahlenfolge mit x n {, }, n N, und lim x n =. Dann gilt mit Satz der Vorlesung: lim fx x n )x n ) n) = lim x n + )x n ) x n x n lim x n = lim x n + = lim x n + 6) = + =. 7) Dies gilt für jede derartige Folge x n, also gilt lim fx) =. Wie erwartet ist x dies genau der Wert der erweiterten Funktion f an der stetig hebbaren Definitionslücke x =. d) Wir wollen die Def. der Vorlesung anwenden. Es gilt g) = =. Falls die Funktion g stetig ist an der Stelle t =, so muss auch lim gt) = t gelten. Dies ist jedoch nicht der Fall: wählen wir z. B. die Folge t n mit dem Bildungsgesetz t n :=, so gilt lim t n n = und lim gt n) tn< = lim )) n Satz = + lim n = + 0 =. 8) Aufgrund der Def. der Vorlesung kann also nicht lim gt) = gelten in der t Tat existiert der Grenzwert lim gt) überhaupt nicht). Damit ist die Funktion g t nicht stetig an der Stelle t = ; die Funktion besitzt dort eine Sprungstelle. a) Mit der Ketten- und der Potenzregel erhalten wir x 5x + 4) 8) = 8x 5x + 4) 7 x 5x + 4) 9) = 8x 5x + 4) 7 9x 5). 0) b) Wir wollen den Satz 6 der Vorlesung anwenden. Mit m = 0 und n = 7 erhalten wir zunächst 7 p 0) x) = i + 0)i + 9) i + )a i+0 x i. ) i=0 Mit a 7 =, a =, a 5 =, a 0 = alle weiteren Koeffizienten der Polynomfunktion p sind Null) erhalten wir p 0) x) = } 7 6 {{ 8 x 7 } i=7 = 7! 7! x7!! x + 4 ) x }{{} i= ) = 0659008000x 7 0786800x ). 5
c) Wir benötigen das zweite Taylorpolynom der Funktion f und damit zunächst ihre erste und zweite Ableitung. Diese berechnen wir mit der Quotientenregel: f x) = 5x x + 9) x ) 5x x + 9)x ) x ) ) = 0x )x ) 5x x + 9) x ) = 5x x 5) x ), 4) f x) = 5x x 5) x ) 5x x 5) x ) ) x ) ) 5) = 56x )x ) 5x x 5)x ) x ) 4 6) = 0x ) 0x x 5)x ) x ) 4 7) = 0x ) 0x x 5) x ) = 60 x ). 8) Die Kandidaten für ein lokales Extremum sind gemäss Satz 9 der Vorlesung gegeben durch die Nullstellen der Ableitung, also der quadratischen Funktion x x 5 x, = ) ± ) 4 5) = ± 4 {, 5 }. 9) Wir werten die zweite Ableitung an diesen Nullstellen von f aus: ) f 60 ) = ) ) = 5 5 60 < 0, f = 5 ) = 5 > 0. 40) Gemäss Satz 9 der Vorlesung besitzt die Funktion f bei x = ein lokales Maximum und bei x = 5 ein lokales Minimum. Die gesuchte Funktionsgleichung der Schmiegeparabel ist daher gegeben durch T fx; ) = f ) + f )x )) + f )x )) 4) = 4 + 0x + ) + 5 ) x + ) = 4 5 4 x + ). 4) - -4-5 -6-7 -8-9 -0 - -.5 - -.5 - -0.5 0 0.5 6