MAE1 Mathematik: Analysis für Ingenieure 1

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1 MAE1 Mathematik: Analysis für Ingenieure 1 Christoph Kirsch 22. Dezember 2017 Inhaltsverzeichnis 0 Überblick 2 1 Einführung in die mathematische Logik Aussagenlogik Mengenlehre Zahlen und Zahlensysteme Zahlen Zahlenmengen und Operationen Ordnungsrelationen auf R Intervalle auf R Zahlensysteme Darstellung natürlicher Zahlen Darstellung ganzer Zahlen Darstellung rationaler Zahlen Darstellung reeller Zahlen Funktionen Definition und Darstellung einer Funktion Allgemeine Funktionseigenschaften Rationale Funktionen Ganzrationale Funktionen (Polynomfunktionen) Gebrochenrationale Funktionen Zahlenfolgen und Konvergenz Reelle Zahlenfolgen Grenzwert und Stetigkeit einer Funktion Einführung in die Differenzialrechnung Differenzierbarkeit und Ableitungsfunktion Ableitung von rationalen Funktionen Ableitung von ganzrationalen Funktionen

2 0 ÜBERBLICK Ableitung von gebrochenrationalen Funktionen Anwendungen der Differenzialrechnung Näherungspolynome einer Funktion Bestimmung von Extremstellen differenzierbarer Funktionen Der Mittelwertsatz der Differenzialrechnung Exkurse Deskriptive Statistik Boxplot Quantile Lagemasse und Streuungsmasse Grafischer Vergleich von Datensätzen Unendliche Reihen Ein einführendes Beispiel Grundbegriffe Konvergenzkriterien Eigenschaften konvergenter bzw. absolut konvergenter Reihen Funktionen von mehreren Variablen und partielle Ableitungen Elementare Fehlerrechnung Überblick In diesem ersten Teil einer zweisemestrigen Vorlesung über Analysis für Ingenieure werden Grundlagen der Mathematik sowie Polynome und rationale Funktionen behandelt. Im Anschluss an eine allgemeine Einführung in Mengenlehre und Aussagenlogik lernen wir Zahlenmengen kennen, z. B. die Menge der reellen Zahlen. Diese können mit einer Addition und einer Multiplikation versehen und sogar geordnet werden. Wir führen den Funktionsbegriff ein und diskutieren insbesondere rationale Funktionen. Mithilfe von Zahlenfolgen und des Grenzwertbegriffs können wir u. a. die Stetigkeit von Funktionen untersuchen. Grenzwerte sind ausserdem wichtig bei der Definition der Ableitung einer Funktion, die wir für rationale Funktionen diskutieren. Integrale solcher Funktionen werden als Umkehrung der Ableitung eingeführt, und wir lernen einige Methoden zu ihrer Berechnung kennen. Ad hoc werden wir eine Einführung in die deskriptive Statistik geben. 1 Einführung in die mathematische Logik In diesem Kapitel werden wir grundsätzliche Regeln der mathematischen Sprache und der Aussagenlogik festlegen. Wir benötigen dieses Werkzeug, um klar,

3 1 EINFÜHRUNG IN DIE MATHEMATISCHE LOGIK 3 unmissverständlich und eindeutig Dinge mathematisch beschreiben und mathematische Aussagen treffen zu können. 1.1 Aussagenlogik Definition 1 (nach Aristoteles, v. Chr.) Eine Aussage ist ein sprachliches Gebilde, von dem es sinnvoll ist zu sagen, es sei wahr oder falsch. Bemerkung: Der Wahrheitswert einer Aussage braucht nicht bekannt zu sein. Beispiele: 1. Äpfel und Quitten sind Apfelfrüchte (wahr) und Bananen sind Apfelfrüchte (falsch) sind Aussagen. 2. Die Erhu ist kein Musikinstrument (falsch) und Die Violine ist ein Streichinstrument (wahr) sind Aussagen. 3. Der FC Basel ist Schweizer Meister im Fussball 2017 (wahr), Der FC Basel wird 2018 Schweizer Meister im Fussball (derzeit unbekannt) und Am wird das Wetter sonnig (derzeit unbekannt) sind Aussagen. 4. Ausdrücke ohne Wahrheitswert sind keine Aussagen, so z. B. die Frage Spieglein, Spieglein an der Wand, wer ist die Schönste im ganzen Land? oder ein Ausdruck wie Guten Morgen. Für eine Aussage P sagen wir in der Mathematik an Stelle von P ist wahr oft auch: Es gilt P. Definition 2 (logische Äquivalenz) Zwei Aussagen P und Q heissen logisch äquivalent, wenn sie den gleichen Wahrheitswert besitzen. Bemerkung: Sind die Aussagen P und Q logisch äquivalent, so schreiben wir P Q. Beispiel: Betrachten wir die Aussagen P := Die Erhu ist kein Musikinstrument, Q := Bananen sind Apfelfrüchte (die Notation := bedeutet ist definiert als ), so sind diese Aussagen logisch äquivalent (beide sind falsch) und wir schreiben P Q, obwohl die beiden Aussagen inhaltlich keinen Zusammenhang haben für die logische Äquivalenz zählt lediglich der Wahrheitswert! Um zwei Aussagen zu einer neuen Aussage verknüpfen zu können, führen wir die folgenden Operationen und Symbole mithilfe einer Wahrheitstabelle ein.

4 1 EINFÜHRUNG IN DIE MATHEMATISCHE LOGIK 4 Definition 3 (Negation, Konjunktion, Disjunktion) Für zwei Aussagen P und Q definieren wir die Negation, Konjunktion und Disjunktion über die folgenden Wahrheitstabellen: Aussage Negation NICHT P P w f f w Bemerkungen: Aussagen Konjunktion Disjunktion UND ODER P Q P Q P Q w w w w w f f w f w f w f f f f Zwei verknüpfte Aussagen müssen nicht in einem inhaltlichen Zusammenhang stehen. Die hier definierte Disjunktion ist nicht ausschliessend, also nicht entweder P oder Q, sondern P oder Q (oder beide). Der Wahrheitswert der Verknüpfungen und ist unabhängig von der Reihenfolge der verknüpften Aussagen: Q P P Q, Q P P Q. Wir sagen auch, Konjunktion und Disjunktion sind kommutativ. Beispiel: Betrachten wir die zusammenhangslosen Aussagen P := Die Violine ist ein Streichinstrument Q := Am wird das Wetter sonnig P ist eine wahre Aussage, aber der Wahrheitswert von Q ist vor dem unbekannt. Daher ist P falsch und der Wahrheitswert von Q unbekannt. Die Disjunktion P Q ist wahr: obwohl wir den Wahrheitswert von Q nicht kennen, so wissen wir doch bereits, dass P und damit mindestens eine der beiden Aussagen wahr ist! Der Wahrheitswert der Konjunktion P Q ist hingegen unbekannt. Satz 1 (Rechenregeln für Negation, Konjunktion, Disjunktion) Seien P und Q Aussagen. Dann gilt 1. ( P ) P, 2. (P Q) P Q ( die Negation der Konjunktion ist die Disjunktion der Negationen ), 3. (P Q) P Q ( die Negation der Disjunktion ist die Konjunktion der Negationen ). Beweis: Direkt mithilfe der Wahrheitstabelle (Serie 1, Aufgabe 1).

5 1 EINFÜHRUNG IN DIE MATHEMATISCHE LOGIK 5 Bemerkungen: 2. und 3. heissen De Morgansche Gesetze (nach A. De Morgan, ). Aus 1. und 2. folgt, dass die Konjunktion mithilfe der Negation und der Disjunktion ausgedrückt werden kann: P Q 1. ( (P Q)) 2. ( P Q). (1) Aufgrund dieser logischen Äquivalenz bräuchte man streng genommen kein eigenes Symbol für die Konjunktion es ist aber praktisch! Auch die Implikation definieren wir mithilfe der Negation und der Disjunktion: Definition 4 (Implikation, Konditional) Für zwei Aussagen P und Q ist die Implikation (oder das Konditional) P Q definiert durch Bemerkungen P Q := P Q. (2) Für P Q sagen wir P impliziert Q, Aus P folgt Q, oder wenn P, dann Q. Weil in dieser Definition die erste Aussage negiert wird, ist die Reihenfolge wesentlich: die Aussagen P Q und Q P sind logisch nicht äquivalent! Wir ermitteln die Wahrheitstabelle für die Implikation mithilfe der Definitionen 3 und 4: Aussagen Negationen Implikationen P Q P Q P Q Q P w w f f w w w f f w f w f w w f w f f f w w w w Es gilt die logische Äquivalenz P Q Q P wie man mithilfe von Satz 1 beweisen kann: Q P Def. 4 = ( Q) P 1. Q P Komm. P Q Def. 4 = P Q. (3) Der Ausdruck Q P heisst Kontraposition oder Umkehrschluss der Implikation P Q. Wir betrachten noch einmal die Wahrheitstabelle für die Implikation P Q, wobei wir die Zeilen nummerieren:

6 1 EINFÜHRUNG IN DIE MATHEMATISCHE LOGIK 6 Aussagen Implikation P Q P Q 1 w w w 2 w f f 3 f w w 4 f f w Die Wahrheitstabelle stellt einen Zusammenhang her zwischen den Wahrheitswerten der drei Aussagen P, Q und P Q. Ist der Wahrheitswert von zwei dieser drei Aussagen bekannt, so können wir in manchen Fällen Schlüsse über den Wahrheitswert der dritten Aussage ziehen: Gelten sowohl die Aussage P als auch die Implikation P Q (1. Zeile), so muss auch die Aussage Q gelten. Wir sagen, P ist eine hinreichende Bedingung für Q. Ist hingegen die Aussage Q falsch und die Implikation P Q wahr (4. Zeile), so muss auch die Aussage P falsch sein. Wir sagen, Q ist eine notwendige Bedingung für P. Ist die Aussage P falsch, so ist die Implikation P Q wahr (3. und 4. Zeile), und zwar unabhängig vom Wahrheitswert von Q ( aus Falschem folgt Beliebiges ). Ist die Aussage Q wahr, so ist auch die Implikation P Q wahr (1. und 3. Zeile), und zwar unabhängig vom Wahrheitswert von P ( Wahres folgt aus Beliebigem ). Ist die Aussage P wahr (1. und 2. Zeile), so ist die Implikation P Q nur dann wahr, wenn auch die Aussage Q wahr ist ( aus Wahrem folgt nur Wahres ). Beispiele: 1. Ein häufig verwendetes Beispiel für eine Implikation ist jenes mit der regennassen Strasse. Wir betrachten die Aussagen P := Es regnet, Q := Die Strasse wird nass. Diese Aussagen erfüllen P Q, was wir auch sprachlich mittels wenn... dann ausdrücken können: die Implikation P Q lautet Wenn es regnet, dann wird die Strasse nass, und die Kontraposition Q P lautet Wenn die Strasse nicht nass wird, dann regnet es nicht. Beides sind wahre Aussagen (wenn wir einmal annehmen, dass der betrachtete Strassenabschnitt nicht gerade unter einem Baum oder einer Brücke durchführt und damit vor Regen geschützt ist). Die Implikation Q P ist hingegen falsch. Sie würde lauten: Wenn die Strasse nass wird, dann regnet es.

7 1 EINFÜHRUNG IN DIE MATHEMATISCHE LOGIK 7 Diese Aussage ist falsch, denn die Strasse kann ja auch nass werden, ohne dass es regnet (z. B. wenn gerade die Strassenreinigung vorbeifährt). Genauso ist die Aussage P Q falsch. Sie würde lauten: Wenn es nicht regnet, dann wird die Strasse nicht nass. 2. Die Schwierigkeit mit der sprachlichen wenn... dann -Verknüpfung ist, dass sie einen inhaltlichen Zusammenhang zwischen den beiden Aussagen vortäuscht, der aber in unserer Def. 4 überhaupt nicht gefordert wird; in der Logik ist lediglich der Wahrheitswert der Aussagen wichtig, nicht aber ihr Inhalt! Betrachten wir die Aussagen: P := London ist die Hauptstadt von Frankreich (falsch), Q := Schnee ist weiss (wahr). Gemäss unserer Wahrheitstabelle für die Implikation gelten dann P Q und Q P, aber mit wenn... dann ausgedrückt ergeben sich inhaltlich sinnlose Sätze: Wenn London die Hauptstadt von Frankreich ist, dann ist Schnee weiss, Wenn Schnee nicht weiss ist, dann ist London nicht die Hauptstadt von Frankreich. Dieses Beispiel zeigt, dass Sie in der Logik besser nicht versuchen sollten, Aussagenverknüpfungen intuitiv zu verstehen oder sprachlich zu veranschaulichen. Betrachten Sie stattdessen einfach die Wahrheitswerte der Teilaussagen und wenden Sie stur die Definitionen und Sätze an. Definition 5 (Bikonditional) Das Bikonditional zweier Aussagen P und Q ist definiert als P Q := (P Q) (Q P ). (4) Bemerkungen: Wenn P Q gilt, so sagen wir, dass P notwendige und hinreichende Bedingung für Q ist (und umgekehrt ist Q eine notwendige und hinreichende Bedingung für P ). Die Reihenfolge der Teilaussagen spielt beim Bikonditional keine Rolle: P Q Q P. Wir berechnen die Wahrheitstabelle für das Bikonditional schrittweise aus der Definition: Aussagen Implikationen (Def. 4) Bikonditional P Q P Q Q P P Q w w w w w w f f w f f w w f f f f w w w

8 1 EINFÜHRUNG IN DIE MATHEMATISCHE LOGIK 8 Aus der Wahrheitstabelle erkennen wir, dass das Bikonditional P Q genau dann gilt, wenn P und Q dieselben Wahrheitswerte besitzen, also genau dann, wenn P und Q logisch äquivalent sind (Def. 2). Die sprachliche Verknüpfung der Aussagen mittels genau dann, wenn ( P genau dann, wenn Q ) ist üblich, aber beachten Sie, dass dadurch wie im vorherigen Beispiel inhaltlich sinnlose Sätze entstehen können: London ist die Hauptstadt von Frankreich genau dann, wenn Schnee nicht weiss ist (beide Teilaussagen sind falsch, und daher ist das Bikonditional wahr). Die sprachliche Verknüpfung mittels genau dann, wenn suggeriert einen inhaltlichen Zusammenhang zwischen den beiden Teilaussagen, obwohl kein solcher gegeben ist. 1.2 Mengenlehre Definition 6 (nach Georg Cantor, 1895) Eine Menge ist eine Zusammenfassung von bestimmten wohlunterschiedenen Objekten unserer Anschauung oder unseres Denkens zu einem Ganzen. Die Objekte einer Menge heissen Elemente. Bemerkungen: Für ein Element x einer Menge M schreiben wir x M und sagen x ist Element von M (das ist eine Aussage im Sinne von Def. 1). Weil die in einer Menge zusammengefassten Objekte gemäss Def. 6 wohlunterschieden sein müssen, kann eine Menge nicht zwei gleiche Elemente enthalten. Definition 7 (Teilmenge) Eine Menge A heisst Teilmenge einer Menge B, wenn jedes Element von A auch Element von B ist. Bemerkungen: Wir schreiben A B, wenn A eine Teilmenge von B ist. Wenn A B, dann gilt die Implikation x A x B für jedes Element der Menge A (so steht es in Def. 7). Wir werden Mengen immer als Teilmengen einer Grundmenge G (eines Universums) betrachten. G ist eine Menge aus allen in einem bestimmten Zusammenhang betrachteten Objekten. Alle in diesem Zusammenhang betrachteten Mengen sind dann Teilmengen von G. Ist x kein Element von M, so schreiben wir x M. Beachten Sie aber, dass immer noch x G gelten muss (das Universum kann nicht verlassen werden)!

9 1 EINFÜHRUNG IN DIE MATHEMATISCHE LOGIK 9 Beispiele: 1. G: Menge aller Früchte, B : Menge aller Apfelfrüchte, dann gilt für A := {Apfel, Birne, Quitte}: A B. Es gelten auch die Aussagen Apfel A, Birne B, Vogelbeere B, Vogelbeere A. Insbesondere gilt A B, denn wir haben ein Element von B gefunden, das kein Element von A ist. 2. G: Menge aller Musikinstrumente, Ω : Menge aller Streichinstrumente, dann gilt M := {Violine, Viola, Violoncello, Kontrabass} Ω. Es gelten {Violine, Viola} M, Erhu Ω, Erhu M, Querflöte Ω. 3. Im Beispiel 1 ist der Ausdruck Violine B unzulässig, weil die Violine kein Element der dort betrachteten Grundmenge aller Früchte ist. Die Aussage Banane B ist hingegen zulässig, denn die Banane ist eine Frucht. 4. {Violine, Violine, Kontrabass} ist keine Menge, weil die beiden Objekte Violine nicht unterscheidbar sind. 5. Die leere Menge, oder {}, ist eine Menge, die keine Elemente enthält. In diesen Beispielen haben wir bereits zwei Darstellungsformen von Mengen kennen gelernt: die aufzählende Form, wie z. B. A = {Apfel, Birne, Quitte}. Hier werden die Elemente einer Menge explizit aufgezählt, wobei die Reihenfolge keine Rolle spielt. die beschreibende Form, wie z. B. Ω ist die Menge aller Streichinstrumente. Hier werden die Elemente einer Menge über ihre Eigenschaften beschrieben. Formal schreiben wir auch M = {x G x hat die Eigenschaft E}, also z. B. Ω = {x G x ist ein Streichinstrument}. Für die Definition der folgenden Mengenoperationen verwenden wir Symbole aus der Aussagenlogik (Kap. 1.1): Definition 8 (Mengenoperationen) Seien A und B Mengen. Dann definieren wir die folgenden Mengen über ihre Eigenschaften: Komplement von A: A c := {x G x A}, Schnittmenge (Durchschnitt) von A und B: A B := {x G x A x B}, Vereinigungsmenge (Vereinigung) von A und B: A B := {x G x A x B}, Differenz von A und B: A \ B := {x G x A x B} = A B c.

10 1 EINFÜHRUNG IN DIE MATHEMATISCHE LOGIK 10 Bemerkungen: und sind kommutativ, \ ist nicht kommutativ. Weil in Def. 8 die Negation, Konjunktion und Disjunktion aus Def. 3 vorkommen, können wir aus den Rechenregeln für diese Operationen (Satz 1) Rechenregeln für Mengen herleiten (definiere für jedes x G die Aussagen P := x A, Q := x B). Es gelten 1. (A c ) c = A, 2. (A B) c = A c B c, 3. (A B) c = A c B c. Mengenoperationen lassen sich mithilfe von Venn-Diagrammen (nach J. Venn, ) grafisch darstellen (Serie 1, Aufg. 5). Definition 9 (Mengenprodukt) Für zwei Mengen A und B ist das Mengenprodukt definiert durch Bemerkungen: A B := {(a, b) a A, b B}. (5) (a, b) bezeichnet ein geordnetes Paar. Hier ist die Reihenfolge der Elemente wesentlich, und es gilt das Paaraxiom (G. Peano, 1897) (a, b) = (c, d) a = c b = d. Die Definition des Mengenprodukts lässt sich auf eine beliebige Anzahl von Mengen verallgemeinern: Seien M 1, M 2,..., M n Mengen, dann ist das Mengenprodukt gegeben durch M 1 M 2 M n := {(x 1, x 2,..., x n ) x 1 M 1, x 2 M 2,..., x n M n }. Hierbei bezeichnet (x 1, x 2,..., x n ) ein geordnetes n-tupel. Für M 1 = M 2 = = M n = M schreiben wir auch Beispiele: M n := M M M. }{{} n-mal 1. Das Mengenprodukt der dreielementigen Mengen A := {1, 2, 3} und B := {x, y, z} ist gegeben durch die neunelementige Menge A B = {(1, x), (1, y), (1, z), (2, x), (2, y), (2, z), (3, x), (3, y), (3, z)}. 2. In der linearen Algebra (Vorlesung MLAE1) werden Sie den Vektorraum R n antreffen, ein n-faches Mengenprodukt der Menge der reellen Zahlen (s. Kap. 2). Die Elemente von R n werden (n-dimensionale) Vektoren genannt.

11 2 ZAHLEN UND ZAHLENSYSTEME 11 2 Zahlen und Zahlensysteme In diesem Kapitel definieren wir zunächst einige wichtige Zahlenmengen und führen dann Strukturen ein, z. B. mittels Operationen wie Addition und Multiplikation, oder mittels einer Ordnungsrelation. Zahlensysteme dienen der Darstellung von Zahlen, und wir werden einige wichtige Zahlensysteme kennen lernen, wie das Binär-, das Dezimal- oder das Hexadezimalsystem. 2.1 Zahlen Was sind und was sollen die Zahlen? [... ] die Zahlen sind freie Schöpfungen des menschlichen Geistes, sie dienen als ein Mittel, um die Verschiedenheit der Dinge leichter und schärfer aufzufassen. Durch den rein logischen Aufbau der Zahlen-Wissenschaft und durch das in ihr gewonnene stetige Zahlen-Reich sind wir erst in den Stand gesetzt, unsere Vorstellungen von Raum und Zeit genau zu untersuchen, indem wir dieselben auf dieses in unserem Geiste geschaffene Zahlen-Reich beziehen. (Richard Dedekind, 1893) Zahlenmengen und Operationen Die Menge R der reellen Zahlen entspricht der Menge aller Punkte auf der Zahlengeraden. Wichtige Teilmengen von R sind: die natürlichen Zahlen N := {1, 2, 3,... }, N 0 := {0, 1, 2,... }, die ganzen Zahlen Z := {..., 2, 1, 0, 1, 2,... }, die rationalen Zahlen Q := { } m n m, n Z, n 0. Es gibt auch Erweiterungen der reellen Zahlen, z. B. die komplexen Zahlen C := {a + ib a, b R}, mit der imaginären Einheit i C \ R, i 2 = 1. Es gilt N Z Q R C. Diese Zahlenmengen enthalten im Unterschied zu den in Kap. 1.2 betrachteten Mengen unendlich viele Elemente. Bemerkung: Die fünf oben erwähnten Zahlenmengen N, Z, Q, R, C sind alle voneinander verschieden. Dies kann man z. B. zeigen, indem man Elemente aus den 2 paarweisen Differenzen angibt. So gelten z. B. 1 Z \ N, 3 Q \ Z, und oben hatten wir bereits i C \ R gesehen. Beispiele für sog. irrationale Zahlen (Elemente von R \ Q) sind (Irrationalität bewiesen von Euklid, 3. Jh. v. Chr.), e (Irrationalität bewiesen von L. Euler, 1737), π (Irrationalität bewiesen von J. H. Lambert, 1761).

12 2 ZAHLEN UND ZAHLENSYSTEME 12 Auf den Zahlen können wir die Operationen Addition + und Multiplikation mit den bekannten Rechenregeln einführen. Die rationalen und die reellen Zahlen bilden zusammen mit diesen Operationen jeweils einen Körper (Q, +, ) bzw. (R, +, ) (vgl. MLAE1) Ordnungsrelationen auf R Es gibt noch mehr Struktur in den rellen Zahlen, nämlich eine Totalordnung ( kleiner gleich ). Wir verwenden ausserdem die strenge Totalordnung < ( (strikt) kleiner als ): a < b : (b a). (6) Anschaulich gilt a < b genau dann, wenn b auf der Zahlengeraden weiter rechts liegt als a. In diesem Fall können wir auch b > a ( b ist (strikt) grösser als a ) schreiben. Bemerkung: Für die komplexen Zahlen C existiert keine Totalordnung. Definition 10 (Beschränktheit von Teilmengen der reellen Zahlen) Sei M R. a R heisst untere Schranke von M, wenn a x x M. b R heisst obere Schranke von M, wenn x b x M. Wenn eine dieser Schranken existiert, so heisst M nach unten bzw. nach oben beschränkt. Existieren beide Schranken, so heisst M beschränkt, ansonsten heisst M unbeschränkt Intervalle auf R Intervalle sind wichtige Teilmengen der reellen Zahlen, die mithilfe der Ordnungsrelationen und < definiert werden können. Definition 11 (Intervalle) Für zwei Zahlen a, b R definieren wir folgende Intervalle: [a, b] := {x R a x b} = {x R a x x b}, [a, b) := {x R a x < b}, (a, b] := {x R a < x b}, (a, b) := {x R a < x < b}. (, b] := {x R x b}, [a, ) := {x R a x}, (, b) := {x R x < b}, (a, ) := {x R a < x}. Bemerkungen: [a, b] heisst abgeschlossenes Intervall, (a, b) heisst offenes Intervall, und [a, b), (a, b] heissen halboffene Intervalle.

13 2 ZAHLEN UND ZAHLENSYSTEME 13 Gilt b < a, so sind die Intervalle [a, b], [a, b), (a, b], (a, b) leere Mengen. Erklärung: Damit für ein x R z. B. a x b gelten kann ist es notwendig, dass auch a b gilt: a x b a b. Die Kontraposition dieser Aussage ist (a b) (a x b), d. h. es existiert in diesem Fall eben kein derartiges x, oder anders gesagt: die Menge dieser x ist leer. Die Intervalle [a, b], [a, b), (a, b], (a, b) sind beschränkte Mengen, (, b), (, b], (a, ), [a, ) sind unbeschränkte Mengen. Aufgabe: Geben Sie mithilfe von Def. 10 Beispiele für Schranken der beschränkten Mengen an. ( Unendlich ) liegt jenseits der Zahlengeraden: < a < a R. ist keine reelle Zahl und kann nie zu einem Intervall gehören; die Schreibweise [a, ] ist unzulässig! 2.2 Zahlensysteme Zahlensysteme dienen der Darstellung von Zahlen. Wir werden hier die sogenannten Stellenwertsysteme vorstellen, bei denen die Wertigkeit einer Ziffer von ihrer Position abhängt. Dazu gehören z. B. das Dezimal-, das Binär- oder das Hexadezimalsystem Darstellung natürlicher Zahlen Wird zur Darstellung einer Zahl ein Ziffernvorrat der Grösse b N verwendet, so spricht man von einer b-adischen Darstellung der Zahl, und die Zahl b heisst dann Basis des Stellenwertsystems. Der Ziffernvorrat ist typischerweise gegeben durch die Menge Z b := {0,..., b 1}, wobei für b 10 die bekannten Ziffern 0, 1, 2,..., 9 verwendet und für b > 10 noch die Grossbuchstaben A, B, C,..., Z (entsprechend den Ziffern 10, 11, 12,..., 35) und wenn nötig weitere Zeichen hinzugezogen werden. Eine natürliche Zahl wird nun dargestellt durch eine Ziffernfolge a n a n 1 a 2 a 1 a 0 b, a i Z b, i = 0, 1,..., n, a n 0 (das ist kein Produkt der Ziffern a i!), und dieser Ziffernfolge wird die Zahl x := a 0 + a 1 b + a 2 b 2 + a 3 b a n b n N (7) zugeordnet. Man kann zeigen, dass diese Zuordnung eineindeutig ist, d. h. zu jeder Zahl x N existiert genau eine Ziffernfolge, deren zugeordneter Wert x ist. Beispiele: 1. Wir stellen die Zahl 143 N in verschiedenen Basen dar: Es gilt in der Tat: = = = 8F 16.

14 2 ZAHLEN UND ZAHLENSYSTEME = = = = = = 143, = = = 143, 8F 16 = = = Grosse Werte für b eignen sich für die Darstellung von sehr grossen Zahlen, weil die Anzahl benötigter Ziffern n zur Darstellung einer bestimmten Zahl x mit zunehmender Grösse des Ziffernvorrats b abnimmt: = = 1BE15DC 16 = HELLO 36. Es gilt HELLO 36 = = = Bemerkungen: Die Berechnung der Zahl x aus der Ziffernfolge a n a n 1 a 2 a 1 a 0 b ist recht einfach mit Formel (7) (s. Beispiele). Die umgekehrte Richtung, d. h. die Berechnung der Ziffernfolge in einem bestimmten Zahlensystem für eine gegebene Zahl, ist schwieriger und erfordert die Division mit Rest. Dafür sollten Sie ein Computerprogramm verwenden (s. auch Serie 2, Aufg. 4c). In MATLAB können Sie mit den Befehlen dec2base und base2dec natürliche Zahlen zwischen dem Dezimalsystem und einem beliebigen b-adischen System mit 2 b 36 umrechnen. Ausserdem gibt es die MATLAB- Befehle dec2bin, bin2dec, dec2hex und hex2dec für Umrechnungen zwischen Dezimal- und Binär- bzw. Hexadezimalsystem. Für noch grössere Basen werden weitere ASCII-Zeichen zur Kodierung hinzugenommen, z. B. im Zahlensystem Base Darstellung ganzer Zahlen Weil für x Z \ {0} entweder x N oder x N gilt, so benötigen wir zur Darstellung von ganzen Zahlen lediglich noch ein Vorzeichen, + oder, wobei + meistens weggelassen wird; es gilt also z. B = = = ED 16. Damit gibt es für die Zahl 0 Z mehrere Darstellungen: 0 = 0 = +0. Für alle anderen ganzen Zahlen ist die Darstellung mittels Vorzeichen aber eindeutig Darstellung rationaler Zahlen Für x Q benötigen wir ebenfalls ein Vorzeichen, und wir erlauben in (7) zusätzlich negative Exponenten der Basis, wobei eine solche Darstellung auch unendlich lang sein kann: x := +a 2 b 2 +a 1 b 1 +a 0 +a 1 b+a 2 b 2 +a 3 b 3 + +a n b n Q. (8)

15 3 FUNKTIONEN 15 Den Wechsel zwischen negativen und nichtnegativen Exponenten bezeichnen wir mit einem., so dass die Ziffernfolge für x so aussieht: a n a n 1 a 2 a 1 a 0.a 1 a 2 b, a i Z b, i =..., 2, 1, 0,..., n, a n 0. Beispiele: = = = = = Für rationale Zahlen ist jede b-adische Darstellung entweder endlich oder unendlich periodisch. Welcher Fall eintritt, hängt von der Basis ab: 1 5 = = = , 1 3 = = Weil wir für rationale Zahlen unendliche Darstellungen zulassen müssen, ist die Darstellung nicht mehr eindeutig: Darstellung reeller Zahlen 1 = 1 10 = = = Reelle Zahlen können wir in derselben Weise darstellen wie rationale Zahlen, nur wird für irrationale Zahlen x R \ Q die Darstellung immer unendlich und nicht periodisch sein: e = , π = Mithilfe von Computern wurden mittlerweile bereits mehr als Nachkommastellen in den Dezimaldarstellungen von e und π berechnet. 3 Funktionen Wir werden hier zunächst allgemeine Funktionen einführen und uns dann auf rationale Funktionen konzentrieren, zu denen insbesondere die Polynomfunktionen gehören. 3.1 Definition und Darstellung einer Funktion Definition 12 (Funktion, Abbildung) Eine Funktion (oder Abbildung) ordnet jedem Element x aus einer Menge D genau ein Element y aus einer Menge Z zu: f : D Z, x y = f(x).

16 3 FUNKTIONEN 16 Bemerkungen: Wir nennen D die Definitionsmenge und Z die Zielmenge der Funktion f (manchmal schreibt man auch D f und Z f ). Das Element x D heisst Argument der Funktion oder unabhängige Variable, das Element y = f(x) Z heisst Funktionswert oder abhängige Variable. Wir sagen auch, x werde durch f auf y abgebildet. Die Menge G f := {(x, f(x)) x D} D Z heisst der Graph der Funktion f. Beispiele: 1. D := {1, 2, 3}, Z := {a, b, c}, f : D Z definiert durch f(1) := b, f(2) := c, f(3) := b, ist eine Funktion. Beachten Sie, dass a Z kein Funktionswert von f ist und dass b Z der Funktionswert von mehreren Elementen aus D ist: f(1) = f(3) = b. Der Graph von f ist gegeben durch G f = {(1, b), (2, c), (3, b)}. 2. D := {1, 2, 3}, Z := {a, b, c}, f : D Z definiert durch f(1) := b, f(1) := c, f(2) := a ist keine Funktion, weil dem Element 3 D kein Element in Z zugewiesen wird, und weil das Element 1 D mehreren Elementen in Z zugewiesen wird. 3. Durch die Abbildungsvorschrift x y = x 2 wird eine Funktion f : R R (D = Z = R) definiert, deren Graph eine Parabel ist. Einige Funktionswerte von f sind 4 x π 16 f(x) π 2 (Wertetabelle). f hat bei x = 0 eine sog. Nullstelle: f(0) = Eine Funktion kann abschnittsweise (oder stückweise) definiert werden, wie z. B. die Funktion g : R R, { x 1, x 0 g(x) := x + 1, x > 0, x R. Diese Funktion hat bei x = 0 eine sog. Sprungstelle. 5. Die Funktion h(x) = 1 x ist definiert auf D = R \ {0}. h hat bei x = 0 eine sog. Polstelle. Der Graph von h ist eine Hyperbel.

17 3 FUNKTIONEN D := {a, b} {1, 2, 3} = {(a, 1), (a, 2), (a, 3), (b, 1), (b, 2), (b, 3)}, Z := {x, y, z}, g : D Z definiert durch g(a, 1) := x, g(a, 2) := x, g(a, 3) := z, g(b, 1) := y, g(b, 2) := z, g(b, 3) := x ist eine Funktion, deren Argumente geordnete Paare sind. Es ist üblich zu sagen, g sei eine Funktion von zwei Argumenten. 7. Eine Funktion f braucht nicht explizit in der Form y = f(x) dargestellt zu sein. Funktionen können auch implizit über eine Gleichung mit Unbekannten x und y definiert werden. Beispiele sind die Gleichungen 2x y = 3, ln y + x 2 = 0, xy = 2, mit Lösungen y = 2x 3, y = e x2, y = 2 x. Bemerkung: Nicht jede Gleichung mit Variablen x und y definiert implizit eine Funktion! Z. B. definiert die Gleichung x 2 + y 2 = 1 keine Funktion y = f(x), denn diese Gleichung hat für jedes x ( 1, 1) zwei Lösungen, y = ± 1 x 2. In diesen Beispielen haben Sie auch die wichtigsten Darstellungsformen für Funktionen gesehen: analytisch (explizit, implizit), als Wertetabelle, grafisch. Definition 13 (Bild, Urbild) Sei f : D Z eine Funktion. 1. Für eine Menge A D heisst die Menge das Bild von A unter f. 2. Die Menge heisst Bild von f (englisch: image). f(a) := {f(x) Z x A} Z im(f) := f(d) Z 3. Für eine Menge B Z heisst die Menge das Urbild von B unter f. f 1 (B) := {x D f(x) B} D

18 3 FUNKTIONEN 18 Beispiele (Forts.): 3. Für die Funktion f : R R, f(x) := x 2, gelten f ({2, 47 }) {, π = 4, 16 } 49, π2, f ((1, 2]) = (1, 4], im(f) = [0, ), { f 1 ({3, 4}) = 2, 3, } 3, 2, f 1 ({ 1}) =. { x 1, x 0 4. Für die Funktion g : R R, g(x) := x + 1, x > 0, gelten g ({ 1, 34 }), e = { 2, 74 }, e + 1, g ([1, 2]) = [2, 3], ([ im(g) = R \ ( 1, 1], g 1 ({ 1, 2}) = {0, 1}, g 1 1 2, 1 ]) = Für die Funktion h : R \ {0} R, h(x) := 1 x, gelten h ({ 13 }) {, π, 5 = 3, 1 π, 1 }, h ((0, 1]) = [1, ), im(h) = R \ {0}, 5 ({ h 1 1 }) { 3, 3 = 3, 1 } ([, h 1 1, 5 ]) [ ] 3 = 3 3 5, 1. Definition 14 (Komposition) Für Mengen A, B, C und Funktionen f : A B, g : B C ist die Komposition (oder Hintereinanderausführung) g f : A C definiert durch x (g f) (x) := g (f(x)), x A. (9) Bemerkung: Für den Ausdruck g f sagen wir g nach f oder etwas salopp einfach g Kringel f. Beachten Sie die Reihenfolge der Funktionsauswertungen von innen nach aussen (erst f, dann g). Beispiele: 1. Aus Serie 3, Aufgabe 3c, kennen Sie die Funktion h(r) = r r 3. Mit f(r) := r r 3 und g(y) := y schreiben wir diese als Komposition, h = g f. In der Übungsaufgabe haben Sie gesehen, dass dafür der Definitionsbereich von f so eingeschränkt werden muss, dass das Bild von f im Definitionsbereich von g enthalten ist. 2. Wir betrachten die linearen Abbildungen f : R p R n, f(x) := Bx und g : R n R m, g(y) := Ay, mit Matrizen A R m n und B R n p. Die Komposition g f : R p R m ist wieder eine lineare Abbildung, gegeben durch (g f) (x) = ABx, mit dem Matrixprodukt AB R m p (vgl. Vorlesung MLAE1).

19 3 FUNKTIONEN Allgemeine Funktionseigenschaften In diesem Kapitel werden wir einige Eigenschaften von Funktionen definieren, und diese später für die rationalen Funktionen überprüfen. Definition 15 (Injektivität, Surjektivität, Bijektivität) Eine Funktion f : D Z heisst injektiv genau dann, wenn x 1, x 2 D : x 1 x 2 f(x 1 ) f(x 2 ), surjektiv genau dann, wenn y Z x D : y = f(x), bijektiv genau dann, wenn f injektiv und surjektiv ist. Bemerkungen: Ist f injektiv, so existiert für jedes Element y Z höchstens ein Element x D, das durch f auf y abgebildet wird. f ist surjektiv genau dann, wenn im(f) = Z, d. h. alle Werte in Z werden auch tatsächlich angenommen. Jede Funktion f : D Z wird surjektiv, wenn ihre Zielmenge auf im(f) Z verkleinert wird. Ist f bijektiv, so existiert für jedes Element y Z genau ein Element x D, das durch f auf y abgebildet wird. Daher ist eine bijektive Funktion umkehrbar, d. h. es existiert die Umkehrfunktion f 1 : Z D, y x = f 1 (y). Verwechseln Sie die Umkehrfunktion nicht mit dem Urbild! Das Urbild einer Menge (Def. 13) kann für jede Funktion berechnet werden, die Umkehrfunktion dagegen existiert nur für bijektive Funktionen. Beispiel: Sei f(x) = x 2. Dann ist f nicht injektiv auf R, denn wir erhalten z. B. für x { 3, 3} denselben Funktionswert: f( 3) = f(3) = 9. f ist auch nicht surjektiv auf R, denn es existiert z. B. kein x R, so dass x 2 = 1. f ist jedoch surjektiv auf [0, ). Die Einschränkung g = f [0, ) : [0, ) [0, ) ist bijektiv, und ihre Umkehrfunktion ist gegeben durch die Wurzelfunktion g 1 (y) = y. Definition 16 (Nullstelle) Eine Funktion f : D R besitzt in x 0 D eine Nullstelle, falls f(x 0 ) = 0. Bemerkungen: In einer Nullstelle von f schneidet oder berührt der Graph von f die x- Achse. Das Urbild f 1 ({0}) enthält genau die Nullstellen von f. Jede Gleichung in einer Variablen kann nach einer geeigneten Wahl der Funktion f in die Form f(x) = 0 gebracht werden. Jede Nullstelle der Funktion f ist dann eine Lösung der Gleichung. Hat die Funktion keine Nullstelle, so hat die Gleichung auch keine Lösung. Beispiel: Wir wollen die Gleichung e x = x 2 4 lösen. Dieses Problem ist äquivalent dazu, eine Nullstelle der Funktion f : R R, f(x) := e x x 2 + 4, zu finden.

20 3 FUNKTIONEN Eine Näherung für die Nullstelle, x , kann numerisch bestimmt werden (s. Vorlesung MND1). Definition 17 (Monotonie) Seien D, Z R. Eine Funktion f : D Z heisst monoton wachsend genau dann, wenn x 1, x 2 D, x 1 < x 2 : f(x 1 ) f(x 2 ), streng monoton wachsend genau dann, wenn x 1, x 2 D, x 1 < x 2 : f(x 1 ) < f(x 2 ), monoton fallend genau dann, wenn x 1, x 2 D, x 1 < x 2 : f(x 1 ) f(x 2 ), streng monoton fallend genau dann, wenn x 1, x 2 D, x 1 < x 2 : f(x 1 ) > f(x 2 ). Bemerkung: Streng monotone Funktionen sind injektiv. Dies folgt direkt aus einem Vergleich der Definitionen 15 und 17. Die Umkehrung dieser Aussage gilt nicht (d. h. es gibt Funktionen, die injektiv aber nicht streng monoton sind)! Beispiel: Die Funktion f : R R, f(x) = x 2, ist nicht monoton. Die Einschränkung g := f [0, ) : [0, ) [0, ) ist hingegen streng monoton wachsend: Seien 0 x 1 < x 2. Dann gilt g(x 2 ) g(x 1 ) = x 2 2 x 2 1 = (x 2 x 1 )(x 1 + x 2 ) > 0, weil beide Klammerausdrücke positive Werte haben. Also gilt g(x 1 ) < g(x 2 ). Definition 18 (Symmetrie) Seien D, Z R. Eine Funktion f : D Z heisst gerade genau dann, wenn f( x) = f(x) x D, ungerade genau dann, wenn f( x) = f(x) x D. Bemerkung: Eine Funktion ist genau dann gerade, wenn ihr Graph achsensymmetrisch zur y-achse ist. Eine Funktion ist genau dann ungerade, wenn ihr Graph punktsymmetrisch zum Koordinatenursprung ist. Beispiel: Die Funktion f : R R, f(x) = x 3, ist ungerade: Für x R gilt f( x) = ( x) 3 = x 3 = f(x).

21 3 FUNKTIONEN 21 Definition 19 (Periodizität) Seien D, Z R. Eine Funktion f : D Z heisst periodisch, falls P 0 : x + P D f(x + P ) = f(x) x D. Die Zahl P heisst dann eine Periode der Funktion. Bemerkung: Für eine Funktion mit Periode P gilt f(x + kp ) = f(x + (k 1)P + P ) = f(x) x D, k N. Eine P -periodische Funktion ist daher auch kp -periodisch für k N. In der Regel sind wir an der kleinsten positiven Periode interessiert. Beispiel: Die Sinusfunktion sin : R [ 1, 1], y = sin x, ist periodisch mit (kleinster positiver) Periode 2π. Die Sinusfunktion ist auch ungerade: sin( x) = sin(x). Definition 20 (Extremwerte, Extrempunkte) Seien D, Z R. Eine Funktion f : D Z hat in x 0 D ein lokales Minimum, wenn ein offenes Intervall I mit x 0 I existiert, so dass f(x 0 ) f(x) x D I, globales Minimum, wenn f(x 0 ) f(x) x D, lokales Maximum, wenn ein offenes Intervall I mit x 0 I existiert, so dass f(x 0 ) f(x) x D I, globales Maximum, wenn f(x 0 ) f(x) x D. Hat f in x 0 D einen Extremwert (Minimum oder Maximum), so heisst der Punkt (x 0, f(x 0 )) G f ein Extrempunkt des Graphen von f. Bemerkung: Ein globales Extremum (Minimum oder Maximum) ist auch ein lokales Extremum (wähle ein beliebiges offenes Intervall I mit x 0 I). 3.3 Rationale Funktionen Wir beschränken uns im Folgenden auf reellwertige Funktionen einer reellen Variablen, d. h. D, Z R Ganzrationale Funktionen (Polynomfunktionen) Definition 21 (Potenzfunktion) Eine Potenzfunktion ist eine Funktion f von der Form f(x) = ax r, a, r R. Bemerkung: In der Vorlesung MAE1 betrachten wir nur ganzzahlige Exponenten, r Z. Die Definition von Potenzfunktionen mit nicht-ganzzahligen Exponenten (r R \ Z) erfolgt erst in MAE2.

22 3 FUNKTIONEN 22 Definition 22 (ganzrationale Funktion, Polynomfunktion) Eine ganzrationale Funktion oder Polynomfunktion (oder kurz ein Polynom) ist eine Summe von Potenzfunktionen mit natürlichen Exponenten: p(x) = n a i x i := a 0 + a 1 x + a 2 x a n x n, (10) i=0 mit n N 0, a i R, i = 0, 1,..., n, und a n 0 falls n 1. Bemerkungen: Die Zahl n N 0 heisst der Grad des Polynoms und die n + 1 Zahlen a 0, a 1,..., a n R seine Koeffizienten. Der Koeffizient a n wird als Leitkoeffizient bezeichnet. Eine Polynomfunktion ist vollständig bestimmt durch ihren Koeffizientenvektor (a 0, a 1,..., a n ) R n+1. Gelten a 0 = a 1 = = a n 1 = 0, so erhalten wir eine Potenzfunktion: y = a n x n. Polynomfunktionen können auf allen reellen Zahlen x R definiert werden (D = R). Beispiele: 1. Eine konstante Funktion hat Grad n = 0 und ist daher von der Form p(x) = a 0 R. Ein Spezialfall ist die Nullfunktion: p(x) = 0 x R. 2. Eine lineare Funktion hat Grad n = 1. Lineare Funktionen werden typischerweise in der Form y = mx + q, m, q R, m 0, geschrieben. 3. Eine quadratische Funktion hat Grad n = 2. Quadratische Funktion werden typischerweise in der Form y = ax 2 + bx + c, a, b, c R, a 0, geschrieben. 4. Eine kubische Funktion hat Grad n = 3. Kubische Funktionen werden typischerweise in der Form y = ax 3 + bx 2 + cx + d, a, b, c, d R, a 0, geschrieben. Im Folgenden werden wir die Eigenschaften von Polynomfunktionen mit Grad n = 0, 1, 2, 3 diskutieren. Wir betrachten hier immer D = Z = R. Beachten Sie, dass durch Einschränkung der Definitionsmenge oder der Zielmenge zusätzliche Eigenschaften erhalten werden können (z. B. Monotonie)! Konstante Funktionen Satz 2 (Eigenschaften konstanter Funktionen) Sei p : R R, x p(x) = a 0 R, eine konstante Funktion. Dann gelten 1. p ist weder injektiv noch surjektiv (und damit auch nicht bijektiv),

23 3 FUNKTIONEN p ist sowohl monoton wachsend als auch monoton fallend, 3. p ist gerade und im Fall a 0 = 0 (Nullfunktion) auch ungerade, 4. p ist periodisch mit beliebiger Periode P R \ {0}. Insbesondere hat p keine kleinste positive Periode, 5. p hat in jedem Punkt x R ein globales Minimum und ein globales Maximum. Der Graph einer konstanten Funktion ist eine zur x-achse parallele Gerade. Daher hat eine konstante Funktion, abgesehen von der Nullfunktion, keine Nullstelle. Eine konstante Funktion p ist bereits durch einen Punkt (x, y) G p eindeutig bestimmt. Lineare Funktionen Satz 3 (Eigenschaften linearer Funktionen) Sei p : R R, x p(x) = mx+q, m, q R, m 0, eine lineare Funktion. Dann gelten 1. p ist bijektiv mit Umkehrfunktion p 1 (y) = y q m, y R, 2. p ist streng monoton wachsend genau dann, wenn m > 0 und streng monoton fallend genau dann, wenn m < 0, 3. p ist ungerade genau dann, wenn q = 0, 4. p ist nicht periodisch, 5. der Graph von p hat keine Extrempunkte. Der Graph einer linearen Funktion ist eine Gerade mit Steigung m: Es gilt p(x 2 ) p(x 1 ) x 2 x 1 = mx 2 + q (mx 1 + q) x 2 x 1 = mx 2 mx 1 x 2 x 1 = m, für alle x 1, x 2 R, x 1 x 2. Die Schnittpunkte mit den Koordinatenachsen sind gegeben durch ( qm, 0 ) und (0, q). Daher heisst q R auch der y-achsenabschnitt. Eine lineare Funktion hat genau eine Nullstelle bei x 0 = q m. Eine lineare Funktion p ist durch zwei Punkte auf dem Graphen eindeutig bestimmt: Seien (x 1, y 1 ), (x 2, y 2 ) G p mit x 1 x 2 gegeben. Dann gelten die Gleichungen p(x 1 ) = mx 1 + q = y 1, p(x 2 ) = mx 2 + q = y 2. (11)

24 3 FUNKTIONEN 24 Wir schreiben (11) als lineares Gleichungssystem für die unbekannten Koeffizienten m und q (vgl. MLAE1): ( ) ( ) ( ) x1 1 m y1 =. x 2 1 q y 2 Die Determinante der Matrix ist gegeben durch x 1 x 2 0, und daher hat dieses lineare Gleichungssystem eine eindeutige Lösung: ( ) ( ) ( ) ) m y1 = =. q x 1 x 2 x 2 x 1 y 2 ( y1 y 2 x 1 x 2 x 1y 2 x 2y 1 x 1 x 2 Quadratische Funktionen Satz 4 (Eigenschaften quadratischer Funktionen) Sei p : R R, x p(x) = ax 2 + bx + c, a, b, c R, a 0, eine quadratische Funktion. Dann gelten 1. p ist weder injektiv noch surjektiv (und damit auch nicht bijektiv), 2. p ist nicht monoton, 3. p ist gerade genau dann, wenn b = 0, 4. p ist nicht periodisch, 5. p hat in x 0 = b ein globales Minimum, falls a > 0 und ein globales 2a Maximum, falls a < 0. Der Graph einer quadratischen Funktion ist eine Parabel. Diese ist nach oben geöffnet genau dann, wenn a > 0, nach unten geöffnet genau dann, wenn a < 0. Der Schnittpunkt des Graphen mit der y-achse ist (0, c). Für die Schnittpunkte des Graphen mit der x-achse müssen wir die quadratische Gleichung ax 2 + bx + c = 0 (12) lösen. Diese erhält man durch quadratische Ergänzung: ax 2 + bx + c = 0 4a (13) 4a 2 x 2 + 4abx + 4ac = 0 (14) 4a 2 x 2 + 4abx + b 2 b 2 + 4ac = 0 D := b 2 4ac (15) (2ax + b) 2 D = 0 + D (16) (2ax + b) 2 = D (17) 2ax + b = ± D b (18) 2ax = b ± D : 2a (19) x = b ± D. (20) 2a

25 3 FUNKTIONEN 25 Die quadratische Gleichung (12) hat also zwei Lösungen x 1,2 = b ± b 2 4ac 2a C. (21) Die Diskriminante D = b 2 4ac R erlaubt die folgende Fallunterscheidung: D > 0: zwei reelle Nullstellen, D = 0: eine (doppelte) reelle Nullstelle, x 1 = x 2 = b 2a, D < 0: keine reelle Nullstelle. Beispiel: Finde die Nullstellen der quadratischen Funktion p(x) = 2x 2 +4x+6. Die Koeffizienten sind gegeben durch a = 2, b = 4 und c = 6. Wir erhalten die Diskriminante D = b 2 4ac = 64 > 0, also hat die Funktion zwei reelle Nullstellen: x 1,2 = b ± b 2 4ac 2a = 4 ± 64 4 = 4 ± 8 4 = 1 2 { 1, 3}. Die beiden Nullstellen x 1, x 2 erlauben die Zerlegung der quadratischen Funktion in Linearfaktoren: p(x) = a (x x 1 ) (x x 2 ) = ax 2 a (x 1 + x 2 ) x + ax 1 x 2. Durch Vergleich mit der allgemeinen Form p(x) = ax 2 + bx + c erhalten wir die Gleichungen (F. Vieta, ) x 1 + x 2 = b a, x 1x 2 = c a. (22) Diese Gleichungen sind nützlich, um Polynomfunktionen mit vorgegebenen Nullstellen zu finden. Beispiel: Finde eine quadratische Funktion mit Nullstellen x 1,2 {2, 3}. Mit (22) erhalten wir die Gleichungen = 5 = b a, 2 3 = 6 = c a b = 5a, c = 6a. Also sind die quadratischen Funktionen mit den vorgegebenen Nullstellen von der Form p(x) = ax 2 5ax + 6a, wobei a R \ {0} beliebig ist. Die Scheitelpunktform einer quadratischen Funktion ist gegeben durch p(x) = a (x x s ) 2 + y s, (23) wobei der Punkt (x s, y s ) den Scheitelpunkt des Graphen bezeichnet. Durch Ausmultiplizieren und Vergleich mit der allgemeinen Form einer quadratischen Funktion finden wir x s = b 2a, y s = c b2 4a. (24)

26 3 FUNKTIONEN 26 Der Graph der quadratischen Funktion ist achsensymmetrisch zur Geraden x = x s. Der Scheitelpunkt (x s, y s ) ist auch der einzige Extrempunkt des Graphen von p. Beispiel: Für die quadratische Funktion p(x) = 2x 2 + 4x + 6 (a = 2, b = 4, c = 6) erhalten wir die Scheitelpunktkoordinaten x s = b 2a = 4 2 ( 2) = 1, y s = c b2 4a = ( 2) = 8. Wegen a < 0 hat die Funktion p bei x = 1 ein globales Maximum. Eine quadratische Funktion p(x) = ax 2 +bx+c ist durch drei Punkte auf dem Graphen eindeutig bestimmt: Seien (x 1, y 1 ), (x 2, y 2 ), (x 3, y 3 ) G p, x 1, x 2, x 3 paarweise verschieden, gegeben, dann erhalten wir das folgende lineare Gleichungssystem für die unbekannten Koeffizienten a, b, c: x 2 1 x 1 1 x 2 2 x 2 1 x 2 3 x 3 1 Die Lösung ist gegeben durch a b c = y 1 y 2 y 3 a = x 1(y 2 y 3 ) x 2 (y 1 y 3 ) + x 3 (y 1 y 2 ), (x 1 x 2 )(x 1 x 3 )(x 2 x 3 ) b = x2 1(y 2 y 3 ) x 2 2(y 1 y 3 ) + x 2 3(y 1 y 2 ), (x 1 x 2 )(x 1 x 3 )(x 2 x 3 ) x 2 x 3 y 1 c = (x 1 x 2 )(x 1 x 3 ) x 1 x 3 y 2 (x 1 x 2 )(x 2 x 3 ) + x 1 x 2 y 3 (x 1 x 3 )(x 2 x 3 ). Weil das Gleichungssystem mit zunehmendem Polynomgrad immer grösser wird, bestimmt man die Koeffizienten im Allgemeinen numerisch. Kubische Funktionen Satz 5 (Eigenschaften kubischer Funktionen) Sei p : R R, x p(x) = ax 3 + bx 2 + cx + d, a, b, c, d R, a 0, eine kubische Funktion. Dann gelten. 1. p ist surjektiv und im Falle von b 2 3ac auch injektiv, 2. p ist streng monoton, falls b 2 3ac: die Funktion ist in diesem Fall streng monoton wachsend, wenn a > 0 und streng monoton fallend, wenn a < 0, 3. p ist ungerade genau dann, wenn b = d = 0, 4. p ist nicht periodisch, 5. p hat zwei lokale Extrema bei x = b ± b 2 3ac, falls b 2 > 3ac. 3a

27 3 FUNKTIONEN 27 Der Schnittpunkt des Graphen einer kubischen Funktion mit der y-achse ist (0, d). Für die Schnittpunkte des Graphen mit der x-achse müssen wir die kubische Gleichung ax 3 + bx 2 + cx + d = 0 (25) lösen. Diese Gleichung hat drei Lösungen in C (die Menge der komplexen Zahlen). Mit der Variablentransformation x = z b 3a wird die allgemeine kubische Gleichung reduziert auf z 3 + 3pz + 2q = 0, 3p = c a b2 3a 2, 2b3 2q = 27a 3 bc 3a 2 + d a. (26) Diese reduzierte Gleichung kann nun mit den Cardanischen Formeln (G. Cardano, 1545) gelöst werden. Wir zeigen hier nur die Fallunterscheidung anhand der Diskriminante D := q 2 + p 3 : D > 0: eine (einfache) reelle Nullstelle, D = 0: entweder eine doppelte und eine einfache relle Nullstelle oder eine dreifache reelle Nullstelle, D < 0: drei verschiedene reelle Nullstellen. Bemerkung: Aus dieser Fallunterscheidung folgt, dass jede kubische Funktion mindestens eine reelle Nullstelle hat! Beispiel: Wir betrachten die kubische Funktion y = 2x 3 + x + 4 mit Koeffizienten a = 2, b = 0, c = 1, d = 4. Wir erhalten 3p = 1 2, 2q = 4 2 p = 1 6, q = 1. Damit erhalten wir für die Diskriminante q 2 + p 3 = > 0, also hat die Funktion eine einfache reelle Nullstelle (bei x ). Die Formeln von Vieta für die drei Nullstellen x 1, x 2, x 3 lauten 216 = 215 x 1 + x 2 + x 3 = b a, x 1x 2 + x 1 x 3 + x 2 x 3 = c a, x 1x 2 x 3 = d a. (27) Beispiel: Finde eine kubische Funktion mit Nullstellen x 1, x 2, x 3 { 1, 4 3, 3}. Mit (27) erhalten wir = 10 3 = b a ( 1) ( 1) = 1 3 = c a ( 1) = 4 = d a Die gesuchte Funktion ist also von der Form b = 10 3 a, c = 1 3 a, d = 4a. p(x) = ax ax2 1 ax + 4a, a R \ {0}. 3 Die Diskriminante der zugehörigen kubischen Gleichung ist D = < 0, wie erwartet.

28 3 FUNKTIONEN 28 Allgemeine Polynomfunktionen Satz 6 (Abspaltung eines Linearfaktors) Besitzt eine Polynomfunktion p vom Grad n N an der Stelle x 1 R eine Nullstelle, gilt also p(x 1 ) = 0, so ist p auch in der Form p(x) = (x x 1 )p 1 (x) darstellbar. Der Faktor (x x 1 ) heisst ein Linearfaktor, und p 1 ist ein Polynom vom Grad n 1. Bemerkung: Die Funktion p 1 kann mittels Polynomdivision bestimmt werden. Hat p 1 eine relle Nullstelle, so kann der Satz 6 auf p 1 angewendet werden. Beispiele: 1. Die kubische Funktion p(x) = x 3 2x 2 5x + 6 hat eine Nullstelle bei x 1 = 1: p(1) = = 0. Also können wir den Linearfaktor x 1 abspalten: x 3 2x 2 5x + 6 : x 1 = x 2 x 6 x 3 x 2 x 2 5x + 6 x 2 + x 6x + 6 6x Also ist die quadratische Funktion p 1 gegeben durch p 1 (x) = x 2 x 6. Für p 1 finden wir die zwei Nullstellen x 2,3 = 1 ± = 1 ± 5 2 = 1 2 ± 5 { 2, 3}. 2 Es gilt also p 1 (x) = (x + 2)(x 3) und damit ist die kubische Funktion p vollständig in Linearfaktoren zerlegt: p(x) = (x 1)(x + 2)(x 3). 2. Die kubische Funktion p(x) = 3x 3 + 4x 2 + x + 10 hat eine Nullstelle bei x 1 = 2: p( 2) = 3 ( 8) ( 2) + 10 = 0. Also können wir den Linearfaktor x + 2 abspalten: 3x 3 + 4x 2 + x + 10 : x + 2 = 3x 2 2x + 5 3x 3 + 6x 2 2x 2 + x x 2 4x 5x x

29 3 FUNKTIONEN 29 Also ist die Funktion p 1 gegeben durch p 1 (x) = 3x 2 2x + 5. Mithilfe der Diskriminante D = 4 60 = 56 < 0 erkennen wir, dass p 1 keine reellen Nullstellen hat die quadratische Funktion ist irreduzibel über R. Die Funktion p kann also in einen linearen und einen irreduziblen quadratischen Faktor zerlegt werden: ( p(x) = (x + 2)(3x 2 2x + 5) = 3(x + 2) x x + 5 ) 3 3. Die kubische Funktion p(x) = 2x 3 + 2x 2 10x + 6 hat eine Nullstelle bei x = 3: p( 3) = = 0. Also können wir den Linearfaktor x + 3 abspalten: 2x 3 + 2x 2 10x + 6 : x + 3 = 2x 2 4x + 2 2x 3 + 6x 2 4x 2 10x + 6 4x 2 12x 2x + 6 2x Also ist die Funktion p 1 gegeben durch p 1 (x) = 2x 2 4x + 2. Mithilfe der Diskriminante D = = 0 erkennen wir, dass p 1 eine doppelte reelle Nullstelle hat: x 2,3 = 4 4 = 1. Damit gilt p 1 (x) = 2(x 1) 2, und die kubische Funktion ist vollständig in Linearfaktoren zerlegt: Im Allgemeinen gilt der p(x) = 2 (x + 3) (x 1) 2. Satz 7 (C. F. Gauss, 1799) Jede Polynomfunktion vom Grad n N 0 mit reellen Koeffizienten lässt sich in Linearfaktoren und über R irreduzible quadratische Faktoren zerlegen, d. h. p(x) = a n (x x 1 ) j1 (x x l ) j l ( x 2 + b 1 x + c 1 ) k1 ( x 2 + b m x + c m ) km, (28) mit x 1,..., x l, b 1,..., b m, c 1,..., c m R, b 2 i 4c i < 0, i = 1,..., m, und mit j 1,..., j l, k 1,..., k m N.

30 3 FUNKTIONEN 30 Bemerkungen: Dies ist eine Form des Fundamentalsatzes der Algebra. In der Vorlesung MLAE werden Sie noch eine andere Formulierung dieses Satzes kennen lernen. Die Zahlen x 1,..., x l R sind genau die (verschiedenen) reellen Nullstellen der Polynomfunktion p. Die Exponenten j 1,..., j l sind die Vielfachheiten dieser Nullstellen (in Beispiel 3 oben haben wir gesehen, dass Nullstellen mehrfach auftreten können). Die m quadratischen Faktoren von der Form x 2 + b i x + c i sind genau dann irreduzibel über R (keine reelle Nullstelle), wenn b 2 i 4c i < 0. Diese Faktoren haben je zwei Nullstellen in C \ R. Beispiele (Forts.): 1. Die Zerlegung p(x) = (x 1)(x + 2)(x 3) ist von der Form (28) mit l = 3, m = 0, n = 3, a 3 = 1, x 1 = 1, x 2 = 2, x 3 = 3, j 1 = j 2 = j 3 = Die Zerlegung p(x) = 3(x + 2) ( x x + 5 3) ist von der Form (28) mit l = 1, m = 1, n = 3, a 3 = 3, x 1 = 2, b 1 = 2 3, c 1 = 5 3, j 1 = k 1 = Die Zerlegung p(x) = 2(x + 3)(x 1) 2 ist von der Form (28) mit l = 2, m = 0, n = 3, a 3 = 2, x 1 = 3, x 2 = 1, j 1 = 1, j 2 = 2. Für ein Polynom vom Grad n N 0 mit Zerlegung (28) muss gelten: Daraus folgen n = j j l + 2 (k k m ). (29) Korollar 1 (Reelle Nullstellen von Polynomfunktionen mit reellen Koeffizienten) 1. Jede Polynomfunktion vom Grad n N mit reellen Koeffizienten hat höchstens n reelle Nullstellen. 2. Jede Polynomfunktion von ungeradem Grad mit reellen Koeffizienten hat mindestens eine reelle Nullstelle. Bemerkungen: Zur Berechnung der Nullstellen von Polynomfunktionen gibt es allgemeine Lösungsformeln mit Wurzelausdrücken bis zum Grad 4: n = 1: x = q m

31 3 FUNKTIONEN 31 n = 2: x 1,2 = b ± b 2 4ac 2a n = 3: Cardanische Formeln (G. Cardano, 1545) n = 4: L. Ferrari, (veröffentlicht ebenfalls von Cardano, 1545) n 5: Es gibt keine allgemeine Lösungsformel mit Wurzelausdrücken (Satz von Abel-Ruffini; nach N. H. Abel, 1823 und P. Ruffini, 1799) Für Nullstellen spezieller Polynomfunktionen können natürlich Wurzelausdrücke existieren! So ist z. B. 5 2 eine Nullstelle des Polynoms x Gebrochenrationale Funktionen Definition 23 (rationale Funktion, Definitionslücke) Eine rationale Funktion ist eine Funktion f von der Form f(x) = Z(x) N(x), (30) wobei Z und N Polynomfunktionen sind (und N nicht die Nullfunktion). Bezeichnen wir die Grade der Zähler- und Nennerpolynome Z, N mit deg Z, deg N N 0, so heisst f ganzrational : deg N = 0, echt gebrochenrational : 0 deg Z < deg N, unecht gebrochenrational : 0 < deg N deg Z. Eine rationale Funktion ist nicht definiert an den Nullstellen des Nennerpolynoms N; dies sind die Definitionslücken der rationalen Funktion f. Bemerkungen: Im ganzrationalen Fall ist das Nennerpolynom N eine konstante Funktion ungleich Null und daher f eine Polynomfunktion (s. Kap ). Jede unecht gebrochenrationale Funktion kann durch Polynomdivision (mit Rest) in einen ganzrationalen und in einen echt gebrochenrationalen Anteil zerlegt werden (s. u.). Beispiele: 1. Seien Z(x) = 2x 2 + 6x 4 und N(x) = 2 mit deg Z = 2, deg N = 0. Dann ist f ganzrational, und es gilt f(x) = Z(x) N(x) = 2x2 + 6x 4 = x 2 + 3x 2, 2 d. h. f ist eine Polynomfunktion vom Grad 2 (quadratische Funktion).

32 3 FUNKTIONEN Seien Z(x) = 1 und N(x) = x 2 mit deg Z = 0, deg N = 2. Dann ist f echt gebrochenrational, und es gilt f(x) = 1 x Sei Z(x) = x 3 6x 2 + 8x und N(x) = x + 1 mit deg Z = 3, deg N = 1. Dann ist f unecht gebrochenrational. Durch Polynomdivision finden wir x 3 6x 2 + 8x : x + 1 = x 2 7x x+1 x 3 + x 2 7x 2 + 8x 7x 2 7x 15x 15x Der ganzrationale Anteil der Funktion f(x) = x3 6x 2 + 8x x + 1 = x 2 7x x + 1 ist also die quadratische Funktion x 2 7x + 15, und der echt gebrochenrationale Anteil ist 15 x + 1. Sei x 0 R eine Nullstelle des Nennerpolynoms N, N(x 0 ) = 0, also eine Definitionslücke der rationalen Funktion f. Nach Satz 6 können wir den Linearfaktor x x 0 von N abspalten möglicherweise auch mehrfach so dass gilt: N(x) = (x x 0 ) j N N 1 (x), N 1 (x 0 ) 0, mit j N N (Vielfachheit der Nullstelle x 0 von N). Wenn wir denselben Linearfaktor auch im Zählerpolynom abspalten, so erhalten wir Z(x) = (x x 0 ) j Z Z 1 (x), Z 1 (x 0 ) 0, mit j Z N 0. Besitzt Z in x 0 keine Nullstelle, so gilt j Z = 0. Definition 24 (Arten von Definitionslücken) Sei f eine rationale Funktion, und sei x 0 eine Definitionslücke von f. Der Linearfaktor x x 0 sei sowohl aus dem Nenner- als auch aus dem Zählerpolynom komplett abgespalten, so dass gilt: f(x) = (x x 0) j Z Z 1 (x) (x x 0 ) j N N1 (x), Z 1(x 0 ) 0, N 1 (x 0 ) 0, (31) mit j N, j Z N 0 und j N > 0. Dann heisst die Definitionslücke x 0 stetig hebbar, falls j Z j N, eine Polstelle von f, falls j Z < j N.

33 3 FUNKTIONEN 33 Bemerkungen: Im Falle einer stetig hebbaren Definitionslücke x 0 von f können wir den Faktor x x 0 j N -mal kürzen, es gilt also f(x) = (x x 0) j Z j N Z 1 (x), j Z j N 0. N 1 (x) Wegen N 1 (x 0 ) 0 ist die Definitionslücke damit behoben und f kann (stetig) fortgesetzt werden auf x 0 mit dem Funktionswert f(x 0 ) = { Z1(x 0) N, 1(x 0) j Z = j N. 0, j Z > j N Im Falle von j Z > j N hat also die (erweiterte) Funktion f in x 0 eine Nullstelle. Im Falle einer Polstelle x 0 von f können wir den Faktor x x 0 j Z -mal kürzen, es gilt also f(x) = Z 1 (x) (x x 0 ) j N j Z N1 (x), j N j Z > 0, mit Z 1 (x 0 ) 0, N 1 (x 0 ) 0. Die Zahl j N j Z N heisst die Ordnung der Polstelle x 0. f wechselt bei einer Polstelle das Vorzeichen genau dann, wenn die Ordnung der Polstelle ungerade ist. Sind die Zerlegungen der Zähler- und Nennerpolynome nach Satz 7 bekannt, so können durch Kürzen der gemeinsamen Linearfaktoren sämtliche stetig hebbaren Definitionlücken behoben werden. Alle verbleibenden Definitionslücken sind dann Polstellen der rationalen Funktion, wobei der Exponent jedes Linearfaktors die Ordnung der jeweiligen Polstelle angibt. Beispiele: 1. Sei f(x) := x3 3x 2 x 2 1 (unecht gebrochenrational) mit Z(x) = (x 2)(x + 1) 2 und N(x) = (x 1)(x + 1). f hat Definitionslücken bei x = ±1: N(±1) = 0. Für die Definitionslücke x 0 = 1 erhalten wir nach Abspaltung des Linearfaktors x 1 im Zähler- und im Nennerpolynom: f(x) = (x 2)(x + 1)2 (x 1)(x + 1), also j Z = 0, Z 1 (x) = x 3 3x 2 und j N = 1, N 1 (x) = x + 1. Es gilt j Z < j N, also ist 1 eine Polstelle von f, und zwar mit Ordnung j N j Z = 1.

34 3 FUNKTIONEN 34 Für die Definitionslücke x 0 = 1 erhalten wir nach Abspaltung des Linearfaktors x + 1 im Zähler- und im Nennerpolynom: f(x) = (x + 1)2 (x 2) (x + 1)(x 1), also j Z = 2, Z 1 (x) = x 2 und j N = 1, N 1 (x) = x 1. Es gilt j Z > j N, also ist 1 eine stetig hebbare Definitionslücke von f, und die erweiterte Funktion f hat bei 1 eine Nullstelle: f(x) = (x + 1)(x 2), f( 1) = 0. x y = x3 3x 2 x y Sei f(x) = x = x 5 6x x 3 2x 2 12x + 8 x 7 2x 6 12x x 4 33x 3 24x x 16 (x 1)(x + 1)(x 2) 3 (x + 4)(x + 1)(x 2) 2 (x 1) 3 (deg Z = 5 > 7 = deg N > 0, also echt gebrochenrational). Durch Kürzen der gemeinsamen Linearfaktoren beheben wir sämtliche hebbaren Definitionslücken (bei 1 und 2). Die erweiterte Funktion f ist dann gegeben durch x 2 f(x) = (x + 4)(x 1) 2. f hat eine Polstelle erster Ordnung bei x = 4 und eine Polstelle zweiter Ordnung bei x = 1. Bei den stetig hebbaren Definitionslücken erhalten wir f( 1) = 1 2 ( 1 + 4)( 1 1) 2 = 1 4, f(2) = 2 2 (2 + 4)(2 1) 2 = 0.

35 3 FUNKTIONEN x 5 6x 4 +11x 3 2x 2 12x+8 y = x 7 2x 6 12x 5 +42x 4 33x 3 24x 2 +44x y x 3.4 Zahlenfolgen und Konvergenz Zahlenfolgen benötigen wir unter anderem für die Definition der Stetigkeit (Kap. 3.5) und der Differenzierbarkeit (Kap. 4.1) von Funktionen. Daher führen wir in diesem Kapitel Zahlenfolgen sowie den Begriff des Grenzwerts ein Reelle Zahlenfolgen Definition 25 (reelle Zahlenfolge) Eine reelle Zahlenfolge (kurz: Folge) ist eine Funktion a : N R, n a n. Bemerkungen: Die Zahlen a 1, a 2, a 3, R heissen Glieder der Folge. Die Zahl a n R, n N, ist das n-te Folgenglied. Für die reelle Zahlenfolge mit den Gliedern a 1, a 2, a 3, R schreiben wir symbolisch a n = a 1, a 2, a 3,... Wir schreiben die Glieder nicht einfach in eine Menge, {a 1, a 2, a 3,... }, weil bei einer reellen Zahlenfolge die Reihenfolge der Glieder wesentlich ist, während bei einer Menge die Reihenfolge der Elemente keine Rolle spielt. Sind die Glieder a n explizit gegeben als Funktion von n, so nennt man dies das Bildungsgesetz der Folge. Beispiele: 1. a n = 1 2n, a n = 1 2, 1 4, 1 6, a n = n 3, a n = 1 3, 2 3, 3 3,...

36 3 FUNKTIONEN a n = n 1 n, a n = 0, 1 2, 2 3, 3 4,... Der Abstand zweier reeller Zahlen x, y R ist definiert als { x y, x y x y = y x, x < y R, mit der Betragsfunktion (Serie 3, Aufg. 2). Dies definiert eine sog. Metrik auf R. Es gelten, für alle x, y, z R: Definitheit: x y 0 und x y = 0 x = y Symmetrie: x y = y x Dreiecksungleichung: x y x z + z y Definition 26 (Grenzwert einer Zahlenfolge) Die Zahl g R heisst Grenzwert oder Limes der Zahlenfolge a n, wenn Bemerkungen: ε > 0 N N : a n g < ε n N. Dies bedeutet, dass der Abstand zwischen den Folgengliedern a n und dem Grenzwert g für genügend grosse n beliebig klein wird. Beachten Sie, dass die Zahl N N im Allgemeinen von ε abhängt. Eine Folge kann höchstens einen Grenzwert besitzen. Beweis: Nehme an, die Folge a n habe zwei Grenzwerte g 1, g 2 R. Dann gilt nach der Dreiecksungleichung: g 1 g 2 = g 1 a n + a n g 2 g 1 a n + a n g 2 = a n g 1 + a n g 2, n N. Beide Terme auf der rechten Seite werden beliebig klein für genügend grosse n, also gilt g 1 g 2 = 0 und daher g 1 = g 2. Definition 27 (Konvergenz, Divergenz) Eine Folge a n heisst konvergent, wenn sie einen Grenzwert g R besitzt. Andernfalls heisst die Folge divergent. Bemerkung: Falls a n konvergent ist mit Grenzwert g, so schreiben wir symbolisch: lim a n = g. n Beispiele: 1 1. Die Folge = 1, 1 n 2, 1 3, 1 1,... ist konvergent mit Grenzwert lim 4 n n = 0. Beweis: Sei ε > 0 gegeben. Wähle N N mit N > 1 ε > 0, dann gilt 1 n 0 = 1 n 1 N < ε n N, 1 und nach Def. 26 ist 0 R der Grenzwert der Folge. n

37 3 FUNKTIONEN Die Folge 1 1 ( n lim 1 1 ) = 1. n n = 0, 1 2, 2 3, 3,... ist konvergent mit Grenzwert 4 Beweis: Sei ε > 0 gegeben. Wähle N N mit N > 1 ε > 0, dann gilt 1 1 n 1 = 1 n = 1 n 1 N < ε n N, also ist nach Def R der Grenzwert der Folge 1 1. n Bemerkung: In diesen Beispielen war der Grenzwert jeweils angegeben und konnte mithilfe von Def. 26 nachgeprüft werden. Wir wollen aber die Konvergenz einer Folge auch beweisen können, ohne dass ihr Grenzwert bekannt sein muss. Definition 28 (Beschränktheit von Folgen) Sei a n eine reelle Zahlenfolge. a R heisst untere Schranke von a n, wenn a a n n N. b R heisst obere Schranke von a n, wenn a n b n N. Wenn eine dieser Schranken existiert, so heisst a n nach unten bzw. nach oben beschränkt. Existieren beide Schranken, so heisst a n beschränkt, ansonsten heisst a n unbeschränkt. Bemerkung: Vgl. mit Def. 10 (Beschränktheit von Mengen): Eine Folge ist genau dann beschränkt, wenn die Menge ihrer Glieder, {a 1, a 2, a 3,... } R beschränkt ist. Die Schranken dieser Menge sind dann auch Schranken der Folge. Satz 8 Jede konvergente reelle Zahlenfolge ist beschränkt. Bemerkung: Beschränktheit der Folge ist also eine notwendige Bedingung für Konvergenz. Sie ist jedoch nicht hinreichend! Beschränkte Folgen können auch divergent sein. Beispiele: 1. Die Folge n 3 = 1 3, 2 3, 3 3, 4 3,... ist unbeschränkt, also divergent. 2. Die Folge ( 1) n n = 1, 2, 3, 4,... ist unbeschränkt, also divergent. 3. Die Folge ( 1) n = 1, 1, 1, 1,... ist beschränkt und divergent. Beweis: Nehme an, die Folge ( 1) n sei konvergent mit Grenzwert g R. Wähle ε := 1, dann existiert ein N N, so dass 2 = ( 1) n+1 ( 1) n ( 1) n+1 g + ( 1) n g < 1+1 = 2 n N. Die Ungleichung 2 < 2 ist aber ein Widerspruch, also ist die Folge ( 1) n divergent.

38 3 FUNKTIONEN 38 Wir suchen jetzt nach sog. Konvergenzkriterien, also hinreichenden Bedingungen für die Konvergenz einer Folge. Damit können wir die Existenz eines Grenzwerts nachweisen, ohne dass dieser genau bekannt sein muss. Definition 29 (Monotonie von Zahlenfolgen) Eine reelle Zahlenfolge a n heisst monoton wachsend genau dann, wenn a n a n+1 n N, monoton fallend genau dann, wenn a n a n+1 n N. Bemerkung: Nach Def. 25 ist eine reelle Zahlenfolge eine Funktion. Daher ist Def. 29 nur ein Spezialfall von Def. 17 (Monotonie von Funktionen). Satz 9 (Monotoniekriterium) Eine monoton wachsende reelle Zahlenfolge a n ist genau dann konvergent, wenn sie nach oben beschränkt ist. Ist b R eine obere Schranke von a n, so gilt lim n a n b. Eine monoton fallende reelle Zahlenfolge a n ist genau dann konvergent, wenn sie nach unten beschränkt ist. Ist a R eine untere Schranke von a n, so gilt lim n a n a. Beispiele: 1. Die Folge 1 2n konvergent ( lim n ist monoton wachsend und nach oben beschränkt, also ( 1 ) = 0). 2n 2. Die Folge n 3 ist monoton wachsend aber nicht nach oben beschränkt, also divergent. 3. Die Folge 1 1 ist monoton wachsend und nach oben beschränkt, also n ( konvergent ( lim 1 1 ) = 1). n n 1 4. Die Folge ist monoton fallend und nach unten beschränkt, also kon- n vergent ( lim n 1 n = 0). 5. Die Folgen ( 1) n und ( 1) n n sind nicht monoton, und daher ist das Monotoniekriterium nicht anwendbar (die beiden Folgen sind divergent). Definition 30 (Cauchy-Folge; nach A. L. Cauchy, ) Eine reelle Zahlenfolge a n heisst Cauchy-Folge, wenn ε > 0 N N : a m a n < ε m, n N.

39 3 FUNKTIONEN 39 Bemerkung: In einer Cauchy-Folge wird der Abstand zweier Folgenglieder a m und a n für genügend grosse m, n beliebig klein. Satz 10 (Cauchy-Kriterium) Eine reelle Zahlenfolge ist genau dann konvergent, wenn sie eine Cauchy-Folge ist. Beispiele: Mit dem Cauchy-Kriterium können wir auch nicht-monotone Folgen behandeln. 1. Die Folge ( 1) n ist keine Cauchy-Folge, denn es gilt Daher ist die Folge divergent. ( 1) n+1 ( 1) n = 2 n N. 2. Die Folge ( 1) n n ist keine Cauchy-Folge, denn es gilt ( 1) n+1 (n + 1) ( 1) n n = 2n n N. Daher ist die Folge divergent. Diese Folge ist auch divergent gemäss Satz 8, denn sie ist unbeschränkt. ( 1) n 3. Die Folge = 1, 1 n 2, 1 3, 1,... ist eine Cauchy-Folge. Sei ε > 0 4 gegeben. Wähle N N mit N > 2 ε. Dann gilt ( 1) m m ( 1)n n ( 1) m m + ( 1) n n = 1 m + 1 n 2 < ε m, n N. N ( 1) n ( 1) n Also ist die Folge konvergent ( lim = 0). n n n Satz 11 (Rechenregeln für Grenzwerte von Zahlenfolgen) Sei a n eine konvergente reelle Zahlenfolge, und sei c R. Dann gelten ( ) 1. lim (c a n) = c lim a n, n n 2. lim n (c ± a n) = c ± Falls lim n a n 0, so gilt auch 3. lim n c a n = c lim a. n n ( lim n a n Sie b n eine weitere konvergente Zahlenfolge. Dann gelten ( ) ( ) 4. lim n ± b n ) = n lim n n ± lim n n, ( ) ) 5. lim n (a n b n ) = lim n a n ), ( lim b n n.

40 3 FUNKTIONEN 40 Falls lim n b n 0, so gilt auch a lim a n n n 6. lim = n b n lim b. n n Beispiel: Mithilfe dieses Satzes können wir auch kompliziertere Grenzwerte leicht berechnen. Für die Folge mit Bildungsgesetz a n := 2n2 + 3n + 2 n 2 erhalten wir: + 1 (2 + 3n + 2n ) 2 2n 2 + 3n + 2 lim n n n = lim + 2 n 2 6. n = n 2 2.,4. = lim n n + lim n 1 + lim n 1 n 2 lim n 2 n 2 lim n (1 + 1n 2 ) 1.,5. = = Die Zahlenfolge a n ist also konvergent mit Grenzwert lim n a n = 2. Deswegen müssen gemäss Def. 26 die Zahlen a n 2 beliebig klein werden für genügend grosse n N. Ausserdem muss die Folge nach dem Cauchy-Kriterium (Satz 10) eine Cauchy-Folge sein, so dass gemäss Def. 30 z. B. auch die Zahlen a n+1 a n beliebig klein werden müssen für genügend grosse n N. Wir überprüfen dies in der folgenden Grafik anhand der ersten Glieder der Folge a n : Beachten Sie, dass wir mit einer solchen Grafik nicht beweisen können, dass die Folge konvergent ist mit Grenzwert 2, oder dass sie eine Cauchy-Folge ist, denn wir können ja immer nur endlich viele Folgenglieder zeichnen.

41 3 FUNKTIONEN Grenzwert und Stetigkeit einer Funktion Wir betrachten Funktionen f : D R, D R, und wollen deren Verhalten in der Nähe einer Stelle x 0 R untersuchen, an der f möglicherweise nicht definiert ist. Definition 31 (Umgebung) Die Menge U R ist eine Umgebung von x 0 R, wenn ε > 0 : (x 0 ε, x 0 + ε) U. Beispiele: 1. Das Intervall U := [0, 2] ist eine Umgebung von x 0 = 1: wähle z. B. ε = 1 2, dann gilt (x 0 ε, x 0 + ε) = ( 1 2, 3 2) U. 2. Das Intervall V := [1, 2) ist keine Umgebung von x 0 = 1: für jedes ε > 0 enthält das offene Intervall (1 ε, 1 + ε) auch Zahlen kleiner als 1, und diese liegen nicht in V. Bemerkung: Für eine Umgebung U von x 0 R nennen wir die Menge U := U \ {x 0 } eine punktierte Umgebung von x 0. U enthält Punkte beliebig nahe an x 0 (und auf beiden Seiten von x 0 ), aber nicht x 0 selbst. Für eine Funktion f : D R und Zahlenfolgen x n mit x n D, n N, betrachten wir nun die Zahlenfolgen der Funktionswerte f(x n ) : Definition 32 (Grenzwert einer Funktion) Sei f : D R eine Funktion, und D R enthalte eine punktierte Umgebung von x 0 R. Die Zahl g R heisst der Grenzwert der Funktion f an der Stelle x 0 genau dann, wenn für jede reelle Zahlenfolge x n mit x n D \ {x 0 }, n N, und lim x n = x 0 gilt: n lim f(x n) = g. n Bemerkungen: Ist g R der Grenzwert der Funktion f an der Stelle x 0, so schreiben wir symbolisch: lim x x 0 f(x) = g. Wenn D eine punktierte Umgebung von x 0 enthält, so kann x 0 nicht auf dem Rand von D liegen, sondern die Funktion muss auf beiden Seiten von x 0 noch definiert sein. An der Stelle x 0 kann die Funktion f definiert sein, muss aber nicht. Beispiele: 1. Der Grenzwert der quadratischen Funktion f(x) := 2x an der Stelle x 0 = 1 ist lim f(x) = 3: Sei x n eine reelle Zahlenfolge mit x n 1, n N x 1 und lim x n = 1 (existiert eine solche Folge?). Dann gilt n lim f(x ( n) = lim 2x 2 n + 1 ) ( ) Satz 11 2 = 2 lim x n + 1 = = 3. n n n

42 3 FUNKTIONEN Die unecht gebrochenrationale Funktion f(x) = 3x2 6x x 2 ist an der Stelle x 0 = 2 nicht definiert, besitzt dort aber einen Grenzwert: Sei x n eine reelle Zahlenfolge mit x n 2, n N und lim x n = 2. Dann n gilt lim f(x 3x 2 n 6x n 3x n (x n 2) n) = lim = lim n n x n 2 n x n 2 3. Die Sprungfunktion Satz 11 = 3 lim n x n = 3 2 = 6. σ(x) := { 0, x < 0 1, x 0 x n := 1 n, y n := 1 n, n N. Diese Folgen sind konvergent (Monotoniekriterium, Satz 9) mit x n 0, y n 0, n N, und mit Grenzwerten lim x n = lim y n = 0, n n aber die Grenzwerte der Folgen der Funktionswerte sind nicht gleich: ( lim σ(x n) = lim σ 1 ) 1 n <0, n N = lim n n n 0 = 0, n ( ) 1 lim σ(y n) = lim σ 1 n >0, n N = lim n n n 1 = 1. n Also besitzt die Sprungfunktion σ an der Stelle 0 keinen Grenzwert. ist an der Stelle x 0 = 0 definiert (σ(0) = 1), besitzt dort aber keinen Grenzwert: betrachte die beiden Zahlenfolgen x n und y n mit Bildungsgesetzen Alternativ können wir auch die Zahlenfolge x n mit x n := ( 1)n betrachten. Diese Folge erfüllt x n 0, n N, und lim x n = 0. Die Folge n n der Funktionswerte ist gegeben durch σ(x n ) = { 0, n ungerade 1, n gerade. Die Folge σ(x n ) ist keine Cauchy-Folge, weil σ(x n+1 ) σ(x n ) = 1, n N, also ist sie divergent nach dem Cauchy-Kriterium (Satz 10) und besitzt daher keinen Grenzwert.

43 3 FUNKTIONEN Die echt gebrochenrationale Funktion f(x) = 1 x 1 ist an der Stelle x 0 = 1 (Polstelle der Ordnung 1) nicht definiert und besitzt dort auch keinen Grenzwert: Wir betrachten die Zahlenfolge x n mit x n := n 1 < 1, n N, und Grenzwert lim n x n = 1. Die Funktionswerte n der Glieder dieser Zahlenfolge erfüllen 1 f(x n ) = x n 1 = 1 n 1 1 = n Die Folge f(x n ) = n ist unbeschränkt und daher nach Satz 8 divergent. Satz 12 (Rechenregeln für Grenzwerte von Funktionen) Seien f, g : D R, D R, zwei Funktionen, die an der Stelle x 0 R einen Grenzwert besitzen, und sei c R. Dann gelten ( ) 1. lim (c f(x)) = c lim f(x), x x 0 x x 0 2. lim x x 0 (f(x) ± g(x)) = 3. lim x x 0 (f(x) g(x)) = ( ( lim f(x) x x 0 lim f(x) x x 0 Falls lim x x 0 g(x) 0, so gilt auch lim f(x) f(x) 4. lim x x 0 g(x) = x x 0 lim g(x). x x 0 n ) ( ) ± lim g(x), x x 0 ) ( ) lim g(x). x x 0 Definition 33 (Stetigkeit von Funktionen) Sei f : D R eine Funktion, und D R enthalte eine Umgebung von x 0 R. Die Funktion f ist stetig an der Stelle x 0, falls der Grenzwert von f an der Stelle x 0 existiert und mit dem dortigen Funktionswert übereinstimmt: lim f(x) = f(x 0 ). x x 0 Bemerkungen: Eine Funktion f : D R, die an jeder Stelle x 0 D stetig ist, heisst stetige Funktion. Eine Funktion f : D R ist nicht stetig (unstetig) bei x 0 R in den folgenden drei Fällen: f ist bei x 0 nicht definiert, hat dort also eine Definitionslücke (z. B. Polstelle),

44 3 FUNKTIONEN 44 Beispiele: f besitzt bei x 0 keinen Grenzwert (z. B. Sprungstelle), f ist bei x 0 definiert und besitzt dort einen Grenzwert, aber dieser stimmt nicht mit dem Funktionswert überein: lim x x 0 f(x) f(x 0 ). 1. Polynomfunktionen (ganzrationale Funktionen) sind stetig. 2. Gebrochenrationale Funktionen sind an jeder Stelle ihres Definitionsbereichs stetig. Für die Definitionslücken gilt: Bei einer stetig hebbaren Definitionslücke ist die Funktion nicht definiert, besitzt dort aber einen Grenzwert. Die Unstetigkeit an dieser Stelle kann behoben werden (vgl. Kap ), indem der Wert der (erweiterten) Funktion gleich diesem Grenzwert gesetzt wird. Bei einer Polstelle ist die Funktion nicht definiert, und sie besitzt dort auch keinen Grenzwert, also lässt sich die Unstetigkeit an einer Polstelle nicht beheben. 3. Die Dirichlet-Funktion (P. G. L. Dirichlet, ) { 1, x Q f(x) = 0, x Q, x R, ist eine nirgends stetige Funktion, d. h. sie ist an keiner Stelle x 0 R stetig. Die Dirichlet-Funktion hat überabzählbar unendlich viele Sprungstellen. 4. Die Funktion f(x) = { x 2, x 1 0, x = 1, x R, ist an der Stelle x 0 = 1 unstetig: f ist bei x 0 = 1 definiert, f(1) = 0, und f besitzt an der Stelle x 0 = 1 einen Grenzwert, lim f(x) = 1. Es gilt aber x 1 lim f(x) f(1). x 1 Satz 13 (Zwischenwertsatz) Sei f : D R eine stetige Funktion und [a, b] D ein abgeschlossenes Intervall. Dann ist das Bild von [a, b] unter f ein abgeschlossenes Intervall und es gilt [f(a), f(b)] f([a, b]) [f(b), f(a)] f([a, b]). Bemerkung: Dies bedeutet, dass eine stetige Funktion auf dem Intervall [a, b] jeden Wert zwischen f(a) und f(b) annimmt. Falls f(a) und f(b) unterschiedliche Vorzeichen haben, so folgt daraus, dass f eine Nullstelle in [a, b] besitzen muss (B. P. J. N. Bolzano, ). Beispiel/Anwendung: Die Polynomfunktion f(x) = x 5 3x 2 2x + 1 ist stetig, und sie erfüllt f(0) = 1 > 0 und f(1) = = 3 < 0. Nach dem Zwischenwertsatz muss f im Intervall [0, 1] eine Nullstelle besitzen. Die Nullstelle kann jetzt z. B. durch Bisektion weiter eingegrenzt werden:

45 4 EINFÜHRUNG IN DIE DIFFERENZIALRECHNUNG Wir halbieren das Intervall [0, 1] und werten f an der Stelle 1 2 aus: f ( 1 2) = < 0. Weil f(0) > 0, muss die Nullstelle von f im Intervall [ 0, 2] 1 liegen. 2. Wir halbieren weiter und werten f an der Stelle 1 4 aus: f ( ) 1 4 = > 0. Weil f ( [ 1 2) < 0, muss die Nullstelle von f im Intervall 1 4, 2] 1 liegen. 3. Wir halbieren weiter und werten f an der Stelle 3 8 aus: f ( ) 3 8 = < 0. Weil f ( [ 1 4) > 0, muss die Nullstelle von f im Intervall 1 4, 8] 3 liegen. Dieses Verfahren können wir fortsetzen, und wir erhalten eine Folge von Intervallen [ [0, 1], 0, 1 ] [ 1, 2 4, 1 ] [ 1, 2 4, 3 ],..., 8 deren Länge sich in jedem Schritt halbiert: 1, 1 2, 1 4, 1 8,.... Damit können wir die Nullstelle von f bei x beliebig genau eingrenzen y y = x 5 3x 2 2x x 4 Einführung in die Differenzialrechnung Aus Kap wissen wir, dass die Steigung des Graphen einer linearen Funktion p(x) = mx + q, m, q R, m 0, gegeben ist durch m: p(x 2 ) p(x 1 ) x 2 x 1 = mx 2 + q (mx 1 + q) x 2 x 1 = m, x 1, x 2 R, x 1 x 2. Wir wollen jetzt für eine beliebige Funktion f : D R, D R, die Steigung des Graphen an einer Stelle x 0 R bestimmen. Dazu nehmen wir an, dass D eine Umgebung von x 0 enthält und betrachten eine reelle Zahlenfolge x n mit x n D \ {x 0 }, n N, und mit lim x n = x 0. Für n N ist die Sekante des n

46 4 EINFÜHRUNG IN DIE DIFFERENZIALRECHNUNG 46 Graphen von f durch die Punkte (x 0, f(x 0 )), (x n, f(x n )) G f gegeben durch die lineare Funktion s n (x) = f(x 0 ) + f(x n) f(x 0 ) x n x 0 (x x 0 ) = f(x n) f(x 0 ) x n x 0 } {{ } =:m n = m n x + q n, x R, x + f(x 0 ) f(x n) f(x 0 ) x n x 0 x 0 }{{} =:q n mit Steigung m n = f(x n) f(x 0 ). Die Zahl m n R wird auch als Differenzenquotient von f zwischen x 0 und x n bezeichnet. Falls die reelle Zahlenfolge x n x 0 m n konvergent ist, so ist ihr Grenzwert lim m n R ein Kandidat für die n Steigung des Graphen von f an der Stelle x 0. Weil diese Steigung aber nicht von der Wahl der Zahlenfolge x n abhängen darf, muss sie als Grenzwert einer Funktion definiert werden: 4.1 Differenzierbarkeit und Ableitungsfunktion Definition 34 (Differenzierbarkeit) Sei f : D R eine Funktion, und D enthalte eine Umgebung von x 0 D. Die Funktion f ist differenzierbar an der Stelle x 0, falls der Grenzwert der Differenzenquotienten, f(x) f(x 0 ) lim, x x 0 x x 0 existiert. In diesem Fall bezeichnet man den Grenzwert als die Ableitung von f an der Stelle x 0 oder als den Differenzialquotienten von f an der Stelle x 0. Bemerkungen: Symbolische Schreibweisen für die Ableitung von f an der Stelle x 0 : f (x 0 ) (J.-L. Lagrange, 1797), df dx (x 0) (G. W. Leibniz, 1675). Für zeitabhängige Funktionen wird die Ableitung oft mit einem Punkt über der Funktion dargestellt. So ist z. B. ṡ(t 0 ) die Ableitung der zeitabhängigen Funktion s an der Stelle t 0 (I. Newton, 1666). Der Vorgang zur Bestimmung der Ableitung heisst Differenzieren oder Differenziation. Der Differenzialquotient kann mithilfe von Variablentransformation auch auf die folgenden gebräuchlichen Arten geschrieben werden: f(x) f(x 0 ) h:=x x lim 0 f(x 0 + h) f(x 0 ) = lim x x 0 x x 0 h 0 h x:=h = lim x 0 f(x 0 + x) f(x 0 ). x

47 4 EINFÜHRUNG IN DIE DIFFERENZIALRECHNUNG 47 Ist f an der Stelle x 0 differenzierbar, so ist der Graph der linearen Funktion t(x) := f(x 0 ) + f (x 0 )(x x 0 ), x R, (32) die Tangente an den Graphen von f im Punkt (x 0, f(x 0 )): Es gilt t(x 0 ) = f(x 0 ) und die Steigung des Graphen von t ist gleich der Ableitung von f an der Stelle x 0 : t(x 2 ) t(x 1 ) x 2 x 1 = f(x 0) + f (x 0 )(x 2 x 0 ) (f(x 0 ) + f (x 0 )(x 1 x 0 )) x 2 x 1 = f (x 0 ) (x 2 x 0 x 1 + x 0 ) x 2 x 1 = f (x 0 ), für x 1, x 2 R, x 1 x 2. Daher kann die Ableitung von f an der Stelle x 0 als die Steigung der Tangente an den Graphen von f im Punkt (x 0, f(x 0 )) G f interpretiert werden. f differenzierbar an der Stelle x 0 f stetig an der Stelle x 0 : (f(x) f(x 0 ) + f(x 0 )) (x x 0 ) lim f(x) = lim x x 0 x x 0 x x ( ) ( 0 ) Satz 12 f(x) f(x 0 ) = lim lim (x x 0 ) + f(x 0 ) x x 0 x x 0 x x 0 = f (x 0 ) 0 + f(x 0 ) = f(x 0 ). Die Umkehrung dieser Aussage gilt nicht (s. Beispiel 3 unten). Ist die Funktion f an jeder Stelle x 0 D differenzierbar, so ist f eine differenzierbare Funktion. Die Funktion f : D R, x f (x), heisst dann die Ableitungsfunktion (oder Ableitung) von f. Ist die Ableitungsfunktion f stetig, so heisst f stetig differenzierbar. Ist die Ableitungsfunktion f differenzierbar, so ist die zweite Ableitung von f gegeben durch die Ableitung von f usw. für höhere Ableitungen. Symbolische Schreibweisen: f, s, f, d4 f dx, f (5), f (n), dn f 4 dx. n Beispiele: 1. Sei f(x) := mx + q, m, q R, m 0, eine lineare Funktion. Sei x 0 R, dann gilt für x x 0 : f(x) f(x 0 ) x x 0 = mx + q (mx 0 + q) x x 0 = m (x x 0) x x 0 = m. Für den Grenzwert erhalten wir daher lim x x 0 f(x) f(x 0 ) x x 0 = m f (x 0 ) = m.

48 4 EINFÜHRUNG IN DIE DIFFERENZIALRECHNUNG 48 Dies gilt für jedes x 0 R, also ist f differenzierbar, und die Ableitung von f ist gegeben durch die konstante Funktion f (x) = m. Die Tangente an den Graphen der linearen Funktion im Punkt (x 0, mx 0 + q) G f ist gegeben durch t(x) = f(x 0 ) + f (x 0 )(x x 0 ) = mx 0 + q + m(x x 0 ) = mx + q = f(x), x R. Die zweite und alle höheren Ableitungen einer linearen Funktion sind gleich der Nullfunktion: f (x) f (x 0 ) m m lim = lim = lim 0 = 0 f (x 0 ) = 0. x x 0 x x 0 x x 0 x x 0 x x 0 Dies gilt für jedes x 0 R, also f 0 (Nullfunktion). Mit m := 0 erhalten wir dann auch f (n) 0, n N, n Sei f(x) := x 2, und sei x 0 R. Dann gilt für x, x 0 R, x x 0 : f(x) f(x 0 ) x x 0 = x2 x 2 0 x x 0 = (x + x 0) (x x 0 ) x x 0 = x + x 0. Für den Differenzialquotienten (Grenzwert) erhalten wir daher f(x) f(x 0 ) lim = lim (x + x 0 ) = 2x 0 f (x 0 ) = 2x 0. x x 0 x x 0 x x 0 Dies gilt für jedes x 0 R, daher ist f differenzierbar, und die Ableitung von f ist gegeben durch die lineare Funktion f (x) = 2x, x R. Die Tangente an den Graphen der quadratischen Funktion im Punkt ( x 0, x 2 0) G f ist gegeben durch t(x) = f(x 0 ) + f (x 0 )(x x 0 ) = x x 0 (x x 0 ) = 2x 0 x x 2 0, x R. Im globalen Minimum der Funktion f bei x 0 = 0 (Satz 4, 5.) ist die Tangente waagrecht: f (0) = 2 0 = 0. Die zweite Ableitung der quadratischen Funktion ist nach Bsp. 1 eine konstante Funktion, f (x) = 2, x R, und alle Ableitungen ab der dritten sind gleich der Nullfunktion: f (n) 0, n N, n Die Betragsfunktion f(x) := x ist stetig, aber an der Stelle x 0 = 0 nicht differenzierbar: f ist stetig: Sei x 0 R, und sei x n eine reelle Zahlenfolge mit x n R \ {x 0 } und lim x n = x 0. Wir behaupten: lim x n = x 0. n n Beweis: Sei ε > 0 gegeben. Weil x 0 der Grenzwert der reellen Zahlenfolge x n ist, existiert nach Def. 26 ein N N, so dass x n x 0 < ε, n N gilt. Nach der umgekehrten Dreiecksungleichung gilt x n x 0 x n x 0 < ε, n N,

49 4 EINFÜHRUNG IN DIE DIFFERENZIALRECHNUNG 49 und damit ist x 0 der Grenzwert der Folge x n. Es gilt also lim f(x n) = lim x n = x 0 = f(x 0 ). n n Weil die Folge x n beliebig war, gilt nach Def. 32 lim f(x) = f(x 0 ), x x 0 und nach Def. 33 ist die Funktion f stetig an der Stelle x 0. Weil x 0 R beliebig war ist f eine stetige Funktion. f ist nicht differenzierbar bei x 0 = 0: Wir betrachten die Zahlenfolge x n mit dem Bildungsgesetz x n := ( 1)n n, n N. Sie erfüllt x n 0, n N, und lim = 0. Für die Differenzenquotienten zwischen x 0 = 0 n und x n gilt f(x n ) f(x 0 ) ( 1)n n 0 1 n = = = 1 x n x ( 1) n ( 1) 0 n 0 n ( 1) n = ( 1)n, n N. n f(xn ) f(x 0 ) Die Folge = ( 1) n ist keine Cauchy-Folge, also x n x 0 divergent nach dem Cauchy-Kriterium (Satz 10). Daher existiert der Differenzialquotient an der Stelle x 0 = 0 nicht. An jeder Stelle x 0 R \ {0} ist die Betragsfunktion jedoch differenzierbar, und es gilt f (x 0 ) = { 1, x0 < 0 1, x 0 > 0. Im Allgemeinen ist eine Funktion an einer Knickstelle nicht differenzierbar. 4. Es gibt stetige Funktionen, die nirgends differenzierbar sind, weil sie überabzählbar unendlich viele Knickstellen haben. Viele dieser Funktionen sind Fraktale, so z. B. die Koch-Kurve (N. F. H. von Koch, ).

50 4 EINFÜHRUNG IN DIE DIFFERENZIALRECHNUNG 50 Satz 14 (Ableitungsregeln) Die Funktionen f, g : D R, D R, seien an der Stelle x 0 D differenzierbar, und es sei c R. Dann gelten die folgenden Regeln: 1. Faktorregel: Die Funktion h(x) := cf(x) ist differenzierbar an der Stelle x 0 und es gilt h (x 0 ) = cf (x 0 ), 2. Summenregel: Die Funktion h(x) := f(x) + g(x) ist differenzierbar an der Stelle x 0 und es gilt h (x 0 ) = f (x 0 ) + g (x 0 ), 3. Produktregel: Die Funktion h(x) := f(x)g(x) ist differenzierbar an der Stelle x 0 und es gilt h (x 0 ) = f (x 0 )g(x 0 ) + f(x 0 )g (x 0 ). Falls g(x 0 ) 0, so gilt auch die 4. Quotientenregel: Die Funktion h(x) := f(x) ist differenzierbar an der g(x) Stelle x 0 und es gilt h (x 0 ) = f (x 0 )g(x 0 ) f(x 0 )g (x 0 ) g(x 0 ) 2. Seien f : D f R und g : D g R, D f, D g R, zwei Funktionen. Die Funktion g sei an der Stelle x 0 D g differenzierbar und die Funktion f sei an der Stelle g(x 0 ) D f differenzierbar. Dann gilt die 5. Kettenregel: Die Funktion h(x) := (f g) (x) = f(g(x)) (eine Komposition der Funktionen f und g, vgl. Def. 14) ist differenzierbar an der Stelle x 0 und es gilt h (x 0 ) = f (g(x 0 ))g (x 0 ). Sei f : D R, D R, eine umkehrbare Funktion und x 0 R. Die Funktion f sei an der Stelle f 1 (x 0 ) D differenzierbar mit f ( f 1 (x 0 ) ) 0. Dann gilt die 6. Umkehrregel: Die Funktion f 1 (Umkehrfunktion der Funktion f) ist differenzierbar an der Stelle x 0 und es gilt ( f 1) 1 (x0 ) = f (f 1 (x 0 )) Bemerkung: In der folgenden Kurzschreibweise lassen sich die Ableitungsregeln einfacher merken: 1. Faktorregel: (cf) = cf, 2. Summenregel: (f + g) = f + g, 3. Produktregel: (fg) = f g + fg, ( ) f 4. Quotientenregel: = f g fg g g 2, 5. Kettenregel: (f g) = (f g) g, 6. Umkehrregel: ( f 1) = 1 f f 1.

51 4 EINFÜHRUNG IN DIE DIFFERENZIALRECHNUNG 51 Beispiele: Die Ableitungsregeln werden für rationale Funktionen nützlich sein (nächstes Kapitel). Hier bringen wir zwei Beispiele zu den Regeln 5. und Die Funktion h(x) := (2x 3) 2 ist von der Form f g mit g(x) := 2x 3 und f(x) := x 2. Es gilt f (x) = 2x und g (x) = 2, also ist die Ableitung der Funktion h gegeben durch h (x) = (f g) (x) = (f g) (x)g (x) = f (g(x)) g (x) = 2g(x)g (x) = 2 (2x 3) 2 = 4 (2x 3) = 8x Seien D := [0, ) und f(x) := x 2. Die Funktion f ist bijektiv mit Umkehrfunktion f 1 (x) = x. Für die Ableitung von f gilt f (x) = 2x. Nach der Umkehrregel ist also die Ableitung der Wurzelfunktion gegeben durch ( f 1 ) (x) = 1 (f f 1 ) (x) = 1 f (f 1 (x)) = 1 2f 1 (x) = 1 2 x, x > 0. An der Stelle x = 0 ist die Wurzelfunktion nicht differenzierbar. 4.2 Ableitung von rationalen Funktionen Ableitung von ganzrationalen Funktionen Sei n N, und sei p eine Polynomfunktion vom Grad n, d. h. p(x) = a a 1 x + a 2 x 2 + a 3 x a n x n = n a i x i, mit Koeffizienten a 0, a 1,..., a n R, a n 0, falls n 1 (Def. 22). Nach der Faktor- und nach der Summenregel (Satz 14, 1. und 2.) erhalten wir für p die Ableitung p (x) = a 0 (1) + a 1 (x) + a 2 ( x 2 ) + a3 ( x 3 ) + + an (x n ) = i=0 n ( a i x i ), wobei ( x i) die Ableitungsfunktion des Monoms x i, i = 0,..., n, bezeichnet. Aus dem Bsp. 1 im letzten Kapitel wissen wir bereits, dass (1) = 0 und (x) = (1 x + 0) = 1. Durch wiederholte Anwendung der Produktregel (Satz 14, 3.) i=0

52 4 EINFÜHRUNG IN DIE DIFFERENZIALRECHNUNG 52 erhalten wir für i 2: ( x i ) = ( xx i 1 ) Satz 14 = (x) x i 1 + x ( x i 1) }{{} =1 = x i 1 + x ( x i 1) = x i 1 + x ( xx i 2) = x i 1 + x (x) x i 2 + x ( x i 2) }{{} Satz 14 =1 = x i 1 + x (x i 2 + x ( x i 2) ) = 2x i 1 + x 2 ( x i 2). = (i 1)x i 1 + x i 1 ( x i (i 1)) = (i 1)x i 1 + x i 1 (x) }{{} =1 = (i 1) x i 1 + x i 1 = ix i 1. Damit haben wir die Potenzregel bewiesen: Satz 15 (Potenzregel) Für n N gilt (x n ) = nx n 1. Beispiel: n = 5: ( x 5) = 5x 4. Also gilt für die Ableitung der Polynomfunktion p: p (x) = a 0 (1) + n i=1 a i ( x i ) Satz 15 = a = a 1 + 2a 2 x + 3a 3 x na n x n 1, n i=1 a i ix i 1 i i+1 = n 1 (i + 1)a i+1 x i und dies ist eine Polynomfunktion vom Grad n 1. Die zweite Ableitung von p ist gegeben durch n 2 p (x) = 2a 2 + 6a 3 x + + n(n 1)a n x n 2 = (i + 2)(i + 1)a i+2 x i, also eine Polynomfunktion vom Grad n 2. Für die Ableitungen allgemeiner Ordnung gilt Satz 16 (Ableitung von Polynomfunktionen) Polynomfunktionen sind beliebig oft differenzierbar. Für eine Polynomfunktion vom Grad n N von der Form n p(x) = a i x i = a 0 + a 1 x + a 2 x a n x n i=0 ist die m-te Ableitung, m N, gegeben durch n m p (m) (i + m)(i + m 1) (i + 1)a (x) = i+m x i, m n. i=0 0, m > n i=0 i=0

53 4 EINFÜHRUNG IN DIE DIFFERENZIALRECHNUNG 53 Bemerkung: Die m-te Ableitung einer Polynomfunktion vom Grad n ist eine Polynomfunktion vom Grad n m für m n, und die Nullfunktion für m > n. Beispiel: Wir betrachten die quadratische Funktion p(x) = 3x 2 + 2x + 1, also n = 2, a 0 = 1, a 1 = 2, a 2 = 3. Die Ableitungen von p sind nach Satz 16 gegeben durch m = 1 : p (x) = m = 2 : p (x) = 1 (i + 1)a i+1 x i = 1a 1 x 0 + 2a 2 x 1 = 6x + 2 i=0 (lineare Funktion) 0 (i + 2)(i + 1)a i+2 x i = 2 1 a 2 x 0 = 6 i=0 (konstante Funktion) m 3 : p (m) (x) = 0 (Nullfunktion), x R Ableitung von gebrochenrationalen Funktionen Ein Spezialfall der Quotientenregel ist die Reziprokenregel: ( ) 1 Satz 14, 4. (1) g 1 g = g g 2 = 0 g g g 2 = g g 2. (33) Kombinieren wir die Reziprokenregel (33) und die Potenzregel (Satz 15), so erhalten wir die Ableitung der Kehrwerte der Monome: ( ) 1 (33) x n = (xn ) Satz 15 (x n ) 2 = nxn 1 x 2n = n, n N, xn+1 oder auch ( x n ) = nx n 1, n N. Bemerkung: Die Potenzregel (Satz 15) gilt also auch für negative ganzzahlige Exponenten. Beispiel: Die Ableitung der echt gebrochenrationalen Funktion f(x) = 1 x ist gegeben durch f (x) = 1 (n = 1). x2 Im Allgemeinen müssen wir für rationale Funktionen die Quotientenregel (Satz 14, 4.) anwenden. Die benötigten Ableitungen der Zähler- und Nennerpolynome können jeweils mit Satz 16 bestimmt werden. Satz 17 (Ableitung von gebrochenrationalen Funktionen) Rationale Funktionen sind an jeder Stelle ihres Definitionsbereichs beliebig oft differenzierbar. Für eine rationale Funktion von der Form f(x) = Z(x) N(x),

54 4 EINFÜHRUNG IN DIE DIFFERENZIALRECHNUNG 54 wobei Z und N Polynomfunktionen sind, ist die Ableitung gegeben durch die rationale Funktion f (x) = Z (x)n(x) Z(x)N (x) N(x) 2, mit denselben Definitionslücken wie f (Nullstellen von N). Beispiel: Z(x) := 3x 2 x + 2, N(x) := 2x 2 + 4x + 5. Für die Ableitung der unecht gebrochenrationalen Funktion f(x) := Z(x) N(x) = 3x2 x + 2 2x 2 + 4x + 5 werden die Ableitungen von Z und von N benötigt. Mit Satz 16 berechnen wir und daher nach Satz 17: Z (x) = 6x 1, N (x) = 4x + 4 f (x) = Z (x)n(x) Z(x)N (x) N(x) 2 = (6x 1) ( 2x 2 + 4x + 5 ) ( 3x 2 x + 2 ) ( 4x + 4) ( 2x 2 + 4x + 5) 2 = 10x x x 4 16x 3 4x x y = f(x) y = f (x) 20 y x 4.3 Anwendungen der Differenzialrechnung Näherungspolynome einer Funktion Sei n N, und die Funktion f : D R, D R, sei an der Stelle x 0 D n-mal differenzierbar. Dann betrachten wir das folgende Problem:

55 4 EINFÜHRUNG IN DIE DIFFERENZIALRECHNUNG 55 Bestimme eine Polynomfunktion p vom Grad n, die erfüllt. p(x 0 ) = f(x 0 ), p (x 0 ) = f (x 0 ), p (x 0 ) = f (x 0 ), p (3) (x 0 ) = f (3) (x 0 ),. p (n) (x 0 ) = f (n) (x 0 ) An der Stelle x 0 D sollen also die Polynomfunktion p und ihre ersten n Ableitungen mit der Funktion f und mit ihren ersten n Ableitungen übereinstimmen. Dies führt auf ein System von n + 1 linearen Gleichungen für die n + 1 unbekannten Koeffizienten der Polynomfunktion p (Def. 22), p(x) = n a i x i, a 0, a 1, a 2,..., a n R, i=0 und die Lösung des Problems ist gegeben durch das n-te Taylorpolynom der Funktion f an der Stelle x 0 (B. Taylor, ): Satz 18 (Taylor-Formel) Sei n N, und die Funktion f : D R, D R, sei an der Stelle x 0 D n-mal differenzierbar. Dann existiert eine Funktion h n ( ; x 0 ) : D R, so dass f(x) = n k=0 und lim x x 0 h n (x; x 0 ) = 0. Bemerkungen: f (k) (x 0 ) k! (x x 0 ) k + h n (x; x 0 )(x x 0 ) n, x D, (34) In (34) gelten f (0) (x 0 ) := f(x 0 ) ( nullte Ableitung ) und k! := k(k 1)(k 2) 2 1 N ( k Fakultät ) mit 0! := 1. Das n-te Taylorpolynom an der Stelle x 0, T n ( ; x 0 ) : R R, T n (x; x 0 ) := n k=0 f (k) (x 0 ) k! (x x 0 ) k, x R, (35) ist die Lösung des oben gestellten Problems: Für p(x) := T n (x; x 0 ) erhalten

56 4 EINFÜHRUNG IN DIE DIFFERENZIALRECHNUNG 56 wir mit der Potenzregel (Satz 15): p(x) = p (x) = p (x) = n k=0 = f(x 0 ) + n k=1 f (k) (x 0 ) k! = f (x 0 ) + n k=2 = f (x 0 ) + n k=1 (x x 0 ) k f (k) (x 0 ) (x x 0 ) k, (36) k! f (k) (x 0 ) k(x x 0 ) k 1 k! n k=2 f (k) (x 0 ) (k 1)! (x x 0) k 1, (37) f (k) (x 0 ) (k 1)! (k 1)(x x 0) k 2 n k=3 f (k) (x 0 ) (k 2)! (x x 0) k 2, (38). p (m) (x) = n f (m) f (k) (x 0 ) (x 0 ) + (k m)! (x x 0) k m, m < n, k=m+1 (39), f (n) (x 0 ), m = n, 0, m > n für m N. Ausgewertet an der Stelle x = x 0 erhalten wir tatsächlich p(x 0 ) = f(x 0 ) und p (m) (x 0 ) = f (m) (x 0 ), m {1, 2,..., n}. Die Funktion R n (x; x 0 ) := h n (x; x 0 )(x x 0 ) n heisst das n-te Restglied in der Taylor-Formel (34). Dies ist die sog. Peano-Form des Restglieds, nach G. Peano, Es gibt noch einige weitere Darstellungen für das Restglied in der Taylor-Formel (34). Beachten Sie, dass wir nicht f (n) (x 0 ) 0 vorausgesetzt haben; daher gilt im Allgemeinen deg T n ( ; x 0 ) n. Das n-te Taylorpolynom kann als Näherungsfunktion für die Funktion f in der Nähe von x 0 D verwendet werden, denn der Approximationsfehler ist gegeben durch das n-te Restglied: f(x) T n (x; x 0 ) = R n (x; x 0 ) = h n (x; x 0 )(x x 0 ) n, mit lim x x 0 h n (x; x 0 ) = 0. Je grösser n N und je kleiner x x 0 ist, desto besser ist also die Näherung T n ( ; x 0 ) an die Funktion f.

57 4 EINFÜHRUNG IN DIE DIFFERENZIALRECHNUNG 57 Beispiele: 1. Für n = 1 erhalten wir als lineare Näherungsfunktion die Tangente an den Graphen von f im Punkt (x 0, f(x 0 )): T 1 (x; x 0 ) = f(x 0 ) + f (x 0 )(x x 0 ) (vgl. Kap. 4.1). Wir nennen die Funktion T 1 ( ; x 0 ) auch die Linearisierung oder 1. Näherung von f bei x Für n = 2 erhalten wir als quadratische Näherungsfunktion die Schmiegeparabel an den Graphen von f im Punkt (x 0, f(x 0 )): T 2 (x; x 0 ) = f(x 0 ) + f (x 0 )(x x 0 ) + f (x 0 ) (x x 0 ) 2. 2 Wir nennen die Funktion T 2 ( ; x 0 ) auch die 2. Näherung von f bei x Für die kubische Funktion f(x) := x 3 2x+5 wollen wir die ersten beiden Taylorpolynome an der Stelle x 0 := 1 berechnen. Für die Ableitungen von f erhalten wir f(x) = x 3 2x + 5, f (x) = 3x 2 2, f (x) = 6x, f(1) = 4, f (1) = 1, f (1) = 6. Damit erhalten wir für die ersten beiden Taylorpolynome von f an der Stelle x 0 = 1: T 1 (x; 1) = f(1) + f (1)(x 1) = 4 + 1(x 1) = x + 3, T 2 (x; 1) = f(1) + f (1)(x 1) + f (1) (x 1) 2 2 = 4 + 1(x 1) + 3(x 1) 2 = 3x 2 5x y 5 4 y = f(x) = x 3 2x+5 y = T 1(x;1) = x+3 y = T 2(x;1) = 3x 2 5x x

58 4 EINFÜHRUNG IN DIE DIFFERENZIALRECHNUNG 58 Für diese Näherungen können wir auch die Restglieder explizit berechnen: R 1 (x; 1) = f(x) T 1 (x; 1) = x 3 3x + 2 = (x 1)(x + 2) (x 1), }{{} =h 1(x;1) R 2 (x; 1) = f(x) T 2 (x; 1) = x 3 3x 2 + 3x 1 = (x 1) (x 1) 2. }{{} =h 2(x;1) Bemerkung: Weil f in diesem Beispiel eine Polynomfunktion vom Grad 3 ist, sind die Ableitungen f (n) konstante Funktionen für n 3 (Satz 16). Daher werden die n-ten Taylorpolynome von f für n 3 mit f übereinstimmen: T n ( ; 1) f, n 3, d. h. R n ( ; 1) 0, n Bestimmung von Extremstellen differenzierbarer Funktionen Sei f : D R, D R, eine differenzierbare Funktion, die an der Stelle x 0 D ein lokales Minimum besitzt. Gemäss Def. 20 existiert dann ein Intervall I mit x 0 I, so dass f(x 0 ) f(x) x D I. (40) Mit der Ableitung von f an der Stelle x 0 und mit der Taylor-Formel (Satz 18) erhalten wir f(x) = f(x 0 ) + f (x 0 )(x x 0 ) + h 1 (x; x 0 )(x x 0 ), lim h 1 (x; x 0 ) = 0. }{{}}{{} x x 0 =T 1(x;x 0) =R 1(x;x 0) Für x D I, x x 0, gilt nun: g(x) := f(x) f(x 0) x x 0 = f (x 0 ) + h 1 (x; x 0 ), lim x x 0 h 1 (x; x 0 ) = 0. Die Funktion g ist stetig an jeder Stelle x 1 D I, x 1 x 0, weil die Funktion f dort stetig ist (differenzierbar stetig): lim (f(x) f(x f(x) f(x 0 ) 0 )) x 1 x 0 x x lim g(x) = lim = 1 x x 1 x x 1 x x 0 lim (x x 0 ) x x 1 f stetig = f(x 1 ) f(x 0 ) x 1 x 0 = g(x 1 ). Es existiert ausserdem der Grenzwert lim x x 0 g(x) = f (x 0 ). Wegen (40) gilt g(x) = 0 {}}{ f(x) f(x 0 ) x x 0 { 0, x < x0 0, x > x 0, x (D I) \ {x 0 }. Der Grenzwert der Funktion g an der Stelle x 0 kann also nur Null sein, lim x x 0 g(x) = 0, und daraus folgt f (x 0 ) = 0.

59 4 EINFÜHRUNG IN DIE DIFFERENZIALRECHNUNG 59 Satz 19 (Bedingungen für ein lokales Extremum) 1. (notwendige Bedingung) Die Funktion f : D R besitze an der Stelle x 0 D ein lokales Extremum (Minimum oder Maximum), und f sei an der Stelle x 0 D differenzierbar. Dann gilt f (x 0 ) = (hinreichende Bedingung) Die Funktion f : D R sei an der Stelle x 0 D zweimal differenzierbar. Falls f (x 0 ) = 0 und f (x 0 ) 0, dann hat f an der Stelle x 0 ein lokales Extremum. Dabei handelt es sich um ein Bemerkungen: lokales Minimum, falls f (x 0 ) > 0, lokales Maximum, falls f (x 0 ) < 0. Die Nullstellen der Ableitung f sind also Kandidaten für Extremstellen von f. In einem lokalen Minimum von f ist die Schmiegeparabel an den Graphen von f nach oben geöffnet, in einem lokalen Maximum nach unten. Am Rand des Definitionsbereichs D ist der Satz 19 nicht anwendbar, weil die Funktion f dort nicht differenzierbar ist trotzdem kann aber die Funktion f auch dort ein lokales Extremum haben! Deshalb müssen Sie den Rand des Definitionsbereichs immer noch zusätzlich untersuchen. Beispiel: Wir betrachten die echt gebrochenrationale Funktion f(x) := Mit Satz 17 berechnen wir die Ableitungen (x 1)(x 2) x 2 3x + 2 (x + 1) 3 = x 3 + 3x 2 + 3x + 1. f (x) = x2 8x + 9 (x + 1) 4, f (x) = 2(x2 13x + 22) (x + 1) 5. Die Nullstellen von f sind gegeben durch die Lösungen der quadratischen Gleichung x 2 8x + 9 = 0, also x 1,2 = 8 ± = 4 ± 7, mit f 7 ± 5 7 (x 1,2 ) = 6550 ± Wir erhalten f (4 + 7) < 0 und f (4 7) > 0, und daher hat die Funktion f bei x 1 = ein lokales Maximum und bei x 2 = ein lokales Minimum. Wir zeichnen die Tangenten und die Schmiegeparabeln an den Graphen von f in diesen Extrempunkten:

60 4 EINFÜHRUNG IN DIE DIFFERENZIALRECHNUNG y y = f(x) = (x 1)(x 2) (x+1) 3 Tangente am Tiefpunkt Tangente am Hochpunkt Schmiegeparabel am Tiefpunkt Schmiegeparabel am Hochpunkt x Der Mittelwertsatz der Differenzialrechnung Satz 20 (Mittelwertsatz der Differenzialrechnung) Sei f : D R, D R, eine stetige Funktion, und sei [a, b] D ein abgeschlossenes Intervall. Ausserdem sei die Funktion f im offenen Intervall (a, b) differenzierbar. Dann x 0 (a, b) : f (x 0 ) = f(b) f(a). b a Korollar 2 Sei f : D R, D R, eine differenzierbare Funktion, und sei I D ein Intervall. 1. f ist genau dann monoton wachsend (fallend) auf I, wenn f (x) 0 (f (x) 0) x I. 2. Falls f (x) > 0 (f (x) < 0) x I, so ist f streng monoton wachsend (fallend) auf I. 3. f ist genau dann konstant auf I, wenn f (x) = 0 x I. Beispiele: 1. Auf dem Intervall I := (0, ) R ist die Ableitung der Funktion f(x) := x 2 gegeben durch f (x) = 2x > 0, also ist die Funktion f streng monoton wachsend auf I. 2. Die Bedingung f (x) > 0 x I ist hinreichend für streng monoton wachsend, aber nicht notwendig: Die Funktion f(x) := x 3 ist streng monoton wachsend auf jedem Intervall I R, aber f (x) = 3x 2 erfüllt f (0) = 0.

61 5 EXKURSE 61 5 Exkurse In diesem Kapitel behandeln wir kurz einige Themen, die nicht so recht in die reguläre Vorlesung passten. 5.1 Deskriptive Statistik Wir wollen noch kurz auf die deskriptive Statistik eingehen. In der Statistik betrachten man für eine natürliche Zahl n N eine Stichprobe vom Umfang n, x 1 x 2 x :=. Rn x n (ein Spaltenvektor mit n reellen Einträgen, vgl. MLAE1). der i-te Eintrag x i R bezeichnet dabei den i-ten Beobachtungswert. Dies ist z. B. der Wert aus der i-ten Messung irgendeiner Grösse. Bei der deskriptiven (beschreibenden) Statistik geht es darum, Daten (Stichproben) zu verdichten, um sie übersichtlich darstellen zu können. Dazu zählen z. B. die Darstellung der Daten in Tabellenform, die Darstellung der Daten als Diagramm und die Berechnung von Kenngrössen der Daten Boxplot Die direkte Darstellung der Rohdaten als Punkte (i, x i ) R 2, i {1, 2,..., n}, ist in der Regel unübersichtlich:

62 5 EXKURSE 62 Auch das Einzeichnen sämtlicher Beobachtungswerte auf einer Achse trägt nicht viel zur Übersicht bei: Wir können höchstens sehen, dass die Punkte in der Mitte offanbar dichter liegen als aussen. Viel übersichtlicher ist ein sog. Boxplot der Daten (MATLAB-Befehl boxplot): Hier werden offenbar nur noch die Punkte ganz weit aussen einzeln eingezeichnet dazwischen stehen die (blaue) Box und die beiden whiskers, die weitere Informationen beinhalten: Der linke Rand der Box ist das 1. Quartil oder das 25 %-Quantil der Daten, q % der Beobachtungswerte liegen unterhalb dieses Wertes, und entsprechend liegen 75 % der Beobachtungswerte darüber. Die rote Linie im Inneren der Box ist der Median oder das 2. Quartil oder das 50 %-Quantil der Daten, q % der Beobachtungswerte liegen unterhalb dieses Wertes, und entsprechend liegen auch 50 % der Beobachtungswerte darüber. Der rechte Rand der Box ist das 3. Quartil oder das 75 %-Quantil der Daten, q % der Beobachtungswerte liegen unterhalb dieses Wertes, und entsprechend liegen 25 % der Beobachtungswerte darüber. Die Länge der Box ist der sog. Interquartilsabstand (interquartile range) IQR := q 3 q 1. (41)

63 5 EXKURSE 63 Es liegen 50 % der Beobachtungswerte im Inneren der Box. Die Länge der whiskers ist üblicherweise festgelegt auf 1.5 IQR, es gibt aber auch andere Konventionen. Die noch weiter ausserhalb liegenden Beobachtungswerte heissen Ausreisser und werden im Boxplot einzeln gezeichnet. So kann man im Boxplot insbesondere den kleinsten und den grössten Beobachtungswert sehen Quantile Wir wollen jetzt anschauen, wie man Quantile für gegebene Daten bestimmt. Der erste Schritt ist, die Daten der Grösse nach zu ordnen: x 1 x (1) x 2 x (2) x =. x n. x (n) Rn, x (1) x (2) x (n). Der Wert x (i) R heisst die i-te Ordnungsstatistik der Stichprobe, i {1, 2,..., n} Die Funktion i x (i) ist offenbar monoton wachsend. Für ein i {1, 2,..., n} können wir daher sagen, dass mindestens i Beobachtungswerte in x kleiner oder gleich x (i) sind. Der Anteil dieser Beobachtungswerte am gesamten Datensatz ist i/n. Wir zeichnen nun diesen Anteil i/n gegen x (i) und erhalten so Punkte auf dem Graphen der empirischen Verteilungsfunktion:

64 5 EXKURSE Diese Funktion F n : R [0, 1], x F n (x), ist definiert durch F n (x) := Anzahl Beobachtungswerte, die x sind, x R. (42) n Sie ist eine monoton wachsende sog. Treppenfunktion, die in MATLAB mit dem Befehl cdfplot gezeichnet werden kann: F(x) Empirical CDF x Wir haben oben rechts einen kleinen Ausschnitt aus dem Graphen von F n gezeichnet, um die Bezeichnung Treppenfunktion zu illustrieren. Beispiel: (n = 10) Wir betrachten die Daten i x i x (i)

65 5 EXKURSE 65 In der zweiten Zeile haben wir bereits die Ordnungsstatistik aufgeschrieben. Damit können wir die Sprungstellen der empirischen Verteilungsfunktion sofort ablesen (diese sind die Werte x (i) ): 0, x < 3.5 0, x < , 3.5 x < , 3.5 x < , 5.1 x < , 5.1 x < F 10 (x) = 10, 5.4 x < , 5.4 x < =. 10, 6.1 x < , 6.1 x < , 6.2 x < , 6.2 x < , 7.0 x < , 7.0 x < , x 7.5 1, x Empirical CDF F(x) x Für ein beliebiges p (0, 1) ist das p-quantil der Daten definiert als die Zahl { 1 ( ) x(np) + x x p := (np+1), 2 np N x ( np ), np N, (43) wobei für das Aufrunden auf die nächstgrössere ganze Zahl steht. Beispiel: Für den Datensatz aus dem vorherigen Beispiel (n = 10) berechnen wir die Quantile p = 0.05 : x 0.05 np=0.5 N = x ( 0.5 ) = x (1) = 3.5, p = 0.25 : q 1 = x 0.25 np=2.5 N = x ( 2.5 ) = x (3) = 5.1, p = 0.5 : q 2 = x 0.5 np=5 N = p = 0.75 : q 3 = x 0.75 np=7.5 N np=8 N p = 0.8 : x 0.8 = 1 2 ( ) 1 x(5) + x (6) = ( ) = 6.15, 2 = x ( 7.5 ) = x (8) = 6.2, 1 2 ( ) 1 x(8) + x (9) = ( ) = Damit erhalten wir den Interquartilsabstand IQR = q 3 q 1 = = 1.1.

66 5 EXKURSE Lagemasse und Streuungsmasse Die Quantile sind Beispiele für sog. Lagemasse der Verteilung der Daten sie geben Hinweise darauf, wo (auf der reellen Zahlengeraden) die Beobachtungswerte liegen. Der Interquartilsabstand hingegen ist ein Beispiel für ein sog. Streuungsmass der Verteilung der Daten. Ein Streuungsmass gibt Information darüber, wie stark die Daten um einen bestimmten Wert streuen. Weiter Beispiel von Lage- und Streuungsmassen finden Sie in der folgenden Tabelle: MATLAB-Befehl Stichproben- Berechnung quantile Quantile x p, p (0, 1) (43) median Median x 0.5 mean Mittelwert x := 1 n x i n iqr Interquartilsabstand x 0.75 x 0.25 var Varianz s 2 := 1 n (x i x) 2 n 1 std Standardabweichung s := s 2 mad mittlere abs. Abweichung 1 n x i x n Grafischer Vergleich von Datensätzen Mehrere Datensätze x, y, z,... können sehr leicht mittels Boxplots verglichen werden: i=1 i=1 i=1 z y x Es ist offensichtlich, dass die Stichproben x und y denselben Median aber unterschiedliche Interquartilsabstände haben. Ausserdem hat z offenbar einen viel kleineren Median als x und y. Ein Quantil-Quantil-Diagramm (MATLAB: qqplot) kann Hinweise darauf geben, ob zwei Datensätzen dieselbe Verteilung zugrunde liegt. Dabei werden

67 5 EXKURSE 67 von beiden Datensätzen Quantile berechnet und diese gegeneinander gezeichnet. Liegt dieselbe Verteilung zugrunde, so müssen die Punkte auf einer Geraden liegen. Gemäss der folgenden Quantil-Quantil-Diagramme ist dies vermutlich für die Stichproben x und y der Fall, aber nicht für x und z oder y und z: Quantile von y Quantile von x Quantile von z Quantile von x Quantile von z Quantile von y Sog. statistische Tests können genauer entscheiden, ob zwei Datensätzen dieselbe Verteilung zugrunde liegt oder nicht. 5.2 Unendliche Reihen Ein einführendes Beispiel Wir betrachten die sogenannte geometrische Zahlenfolge mit dem Bildungsgesetz a n := 5 (n 1), n N, also a n = 5 0, 5 1, 5 2, 5 3,... Aus den Gliedern dieser Folge bilden wir die Partialsummen s n := n a k, n N. k=1

68 5 EXKURSE 68 Es gelten s 1 = a 1 = 5 0 = 1, s 2 = a 1 + a 2 = = 6 5, s 3 = a 1 + a 2 + a 3 = = 31 25, s 4 = a 1 + a 2 + a 3 + a 4 = = , Wir fassen die Partialsummen zu einer neuen Zahlenfolge, der sogenannten Partialsummenfolge, zusammen: s n = s 1, s 2, s 3,.... Die Partialsummen lassen sich auch einfacher berechnen mithilfe der Umformung ( 1 1 ) s n = 5 n k=1 1 5 k n k=1 n 1 5 k 1 = k=1 n 1 5 k 1 k=1 1 5 k = n, und daher s n = n 1 1 = 5 ( 1 1 ) n. Damit ist nun die Auswertung von s n auch für grössere Zahlen n N einfach möglich, und wir erhalten z. B. s 5 = 5 (1 15 ) 4 5 = = , s 10 = 5 ( 1 1 ) = = Aus dieser Form für s n erkennen wir auch den Grenzwert lim s n = 5 n 4, und diesen Grenzwert definieren wir als den Wert der unendlichen Reihe: 1 s = := lim 5k 1 s n = 5 n 4. k= Grundbegriffe Definition 35 (unendliche Reihe) Für eine reelle Zahlenfolge a n heisst die Folge s n der Partialsummen, s n := n a k, n N, (44) k=1 eine (unendliche) Reihe. Symbolische Schreibweise: a n = a 1 + a 2 + a 3 + (45)

69 5 EXKURSE 69 Bemerkungen: Die Zahlen a 1, a 2, a 3, R heissen Glieder der Reihe; a n, n N, ist das n-te Glied. Sind die Glieder a n explizit gegeben als Funktion von n, so nennt man dies das Bildungsgesetz der Reihe. Die endliche Summe s n = Reihe. Beispiele: n a k R heisst die n-te Partialsumme der k=1 1. Aus der rellen Zahlenfolge a n = 1, 1 2, 1 3,... mit dem Bildungsgesetz a n := 1 n, n N, entsteht durch Partialsummenbildung die sog. harmonische Reihe 1 n = (46) 2. Aus der reellen Zahlenfolge a n = a, aq, aq 2,... mit dem Bildungsgesetz a n := aq n 1, n N, mit a, q R, q 0, erhalten wir durch Partialsummenbildung die sog. geometrische Reihe aq n 1 = a + aq + aq 2 + (47) Bei einer geometrischen Reihe ist der Quotient benachbarter Glieder konstant: a n+1 /a n = q. Im Kap hatten wir eine solche Reihe gesehen mit a = 1 und q = 1/5. 3. Die unendliche Reihe genügt dem Bildungsgesetz a n := n, n N. Definition 36 (Konvergenz und Divergenz einer Reihe) Eine unendliche Reihe n a n heisst konvergent, wenn die Folge der Partialsummen s n = a k einen Grenzwert s R besitzt: lim s n = lim n n n a k = s. k=1 k=1

70 5 EXKURSE 70 Dieser Grenzwert wird dann als (Summen-)Wert der Reihe bezeichnet und wir schreiben a n = a 1 + a 2 + a 3 + = s. (48) Besitzt die Partialsummenfolge s n jedoch keinen Grenzwert, so heisst die unendliche Reihe divergent. Eine unendliche Reihe heisst absolut konvergent, wenn die Reihe a n a n konvergent ist. Eine Reihe die konvergent, aber nicht absolut konvergent ist, heisst bedingt konvergent. Bemerkungen: Vgl. mit Def. 27: Konvergenz einer Reihe ist äquivalent zur Konvergenz der Partialsummenfolge s n. Jede absolut konvergente Reihe ist konvergent. Weil es auch bedingt konvergente Reihen gibt, ist also absolute Konvergenz stärker als Konvergenz. Beispiele: 1. Wir betrachten die geometrische Reihe mit a = 1, q R \ {0}: q n 1 = 1+q+q 2 +. Die Folge der Partialsummen ist gegeben durch Für q = 1 erhalten wir s n = s n = n q k 1, n N. k=1 n 1 k 1 = n = = n, n N. k=1 Für q 1 erhalten wir durch Multiplikation mit 1 q eine Teleskopsumme: (1 q) s n = = n n n q k 1 q q k 1 = q k 1 k=1 n k=1 k=1 k=1 n ( q k 1 q k) = 1 q n. k=1 q k Also gilt für die Glieder der Partialsummenfolge s n : { n, q = 1 s n = 1 q n, n N. (49) 1 q, q 1

71 5 EXKURSE 71 Für q < 1 erhalten wir mit Satz 11 den Grenzwert 1 lim lim s n qn n = = 1 n 1 q 1 q. Also ist die geometrische Reihe für q < 1 konvergent und hat den Wert q n 1 = 1 + q + q 2 + = 1, q < 1. (50) 1 q Für q > 1 hingegen ist die Partialsummenfolge divergent, wie auch für q = 1. (weil unbeschränkt, Satz 8). Im Fall q = 1 gilt (49) s n = 1 ( 1)n 1 ( 1) = 1 { ( 1)n 1, n ungerade =. 2 0, n gerade Die Folge s n ist keine Cauchy-Folge und daher divergent nach dem Cauchy-Kriterium (Satz 10). Also ist auch die Reihe divergent. ( 1) n 1 = 1 + ( 1) ( 1) + 2. Eine geometrische Reihe erhält man z. B. bei der Berechnung der Länge einer aus unendliche vielen Halbkreisen gebildeten Spirale. Sei die Folge der Radien gegeben durch R n = 0.8 n 1 R, n N, R > 0. Dann sind die Längen der einzelnen Halbkreise gegeben durch L n = πr n = π0.8 n 1 R, n N, und damit die Gesamtlänge der Spirale durch L n = πr 0.8 n 1 = πr 1 = 5πR. (51) Die Reihe n = ist divergent: Die Folge der Partialsummen genügt dem Bildungsgesetz n s n = k = k=1 n(n + 1), n N, 2 und die Folge s n ist unbeschränkt und daher divergent (Satz 8) Konvergenzkriterien Mit einem Konvergenzkriterium können wir entscheiden, ob eine gegebene Reihe konvergent ist oder nicht. Dabei werden weder ein Kandidat für den Wert der Reihe noch die Werte der Glieder der Partialsummenfolge benötigt. Im Falle der Konvergenz kann der Wert s der Reihe im Allgemeinen nur numerisch angenähert werden, z. B. durch eine Partialsumme s N, N 1.

72 5 EXKURSE 72 Satz 21 (Notwendiges Konvergenzkriterium für Reihen) a n konvergent lim n a n = 0, (52) d. h. die Glieder einer konvergenten Reihe bilden eine sog. Nullfolge. Ist dies nicht der Fall, so ist die Reihe divergent. Beispiele: 1. Für q 1 bilden die Glieder a n := q n 1, n N, der geometrischen Reihe keine Nullfolge, also ist die geometrische Reihe q n 1 in diesem Fall divergent (s. Beispiel 1 oben). 2. Die Glieder a n := n, n N, bilden keine Nullfolge, daher ist die Reihe divergent. 3. Für q < 1 bilden die Glieder a n := q n 1, n N, der geometrischen Reihe eine Nullfolge. Auch die Glieder b n := 1/n, n N, der harmonischen Reihe bilden eine Nullfolge. Die geometrische Reihe q n 1 ist konvergent für 1 q < 1, die harmonische Reihe jedoch divergent (wie wir später n zeigen werden). Dass die Glieder einer konvergenten Reihe eine Nullfolge bilden ist also nicht hinreichend für Konvergenz! Im Folgenden beschäftigen wir uns mit den wichtigsten hinreichenden Konvergenzkriterien. Satz 22 (Quotientenkriterium) Für die Glieder einer unendlichen Reihe a n, a n 0, n N, existiere der Grenzwert L := lim a n+1 n a n. (53) Dann ist die Reihe im Fall L < 1 absolut konvergent und im Fall L > 1 divergent. Bemerkungen: Im Fall L = 1 macht das Quotientenkriterium keine Konvergenzaussage. Es gibt konvergente Reihen, für die der Grenzwert lim a n+1 n a n nicht existiert. Das Quotientenkriterium liefert also keine notwendige Bedingung für Konvergenz.

73 5 EXKURSE 73 Beispiele: 1. Für die geometrische Reihe mit a n := aq n 1, n N, a, q R, q 0, erhalten wir die Folge der Absolutbeträge der Quotienten a n+1 a n = aq n aq n 1 = q, n N. Also existiert der Grenzwert L = lim a n+1 n a n = q. Mit dem Quotientenkriterium erhalten wir also die gleiche Konvergenzaussage über die geometrische Reihe wie oben, ausser für den Fall q = 1, wo das Quotientenkriterium keine Aussage macht. Wir hatten gezeigt, dass in diesem Fall (q { 1, 1}) die geometrische Reihe divergent ist. 2. Die Reihe 1 (2n)! = 1 2! + 1 4! + 1 6! + ist konvergent. Die Glieder a n := 1 (2n)! erfüllen 1 a n+1 a n = (2(n+1))! 1 (2n)! = (2n)! (2n + 2)! = (2n)! (2n)!(2n + 1)(2n + 2) = 1 (2n + 1)(2n + 2). Also existiert der Grenzwert L = lim a n+1 n a n = 0 < 1. Nach dem Quotientenkriterium ist daher die Reihe konvergent. 3. Das Quotientenkriterium versagt bei der harmonischen Reihe a n := 1 n, n N, wie auch bei der Reihe a n+1 a n b n+1 b n = = 1 n+1 1 n = n n + 1 = , n 1 (n+1)(n+2) 1 n(n+1) = a n mit b n mit b n := 1 n(n+1) : n(n + 1) (n + 1)(n + 2) = n n + 2 = n Beide Grenzwerte existieren und erfüllen lim a n+1 n a n = lim b n+1 n b n = 1; daher macht das Quotientenkriterium für diese Reihen keine Aussage.

74 5 EXKURSE 74 Die harmonische Reihe Die Reihe a n ist divergent, wie wir später zeigen werden. b n ist hingegen konvergent: wir schreiben die Glieder mithilfe der sog. Partialbruchzerlegung (MAE2) um: b n = 1 n(n + 1) = 1 n 1 n + 1. Damit werden die Partialsummen zu Teleskopsummen: s n = n b k = k=1 n k=1 ( 1 k 1 ) = 1 1 k + 1 n + 1, und daher ist der Wert der Reihe gegeben durch s = Satz 23 (Vergleichskriterium) 1. Majorantenkriterium: Die unendliche Reihe b n = lim n s n = 1. b n sei konvergent, und es gelte 0 a n b n für alle genügend grossen n N. Dann ist die Reihe a n konvergent. 2. Minorantenkriterium: Die unendliche Reihe b n sei divergent, und es gelte a n b n 0 für alle genügend grossen n N. Dann ist die Reihe a n divergent. Bemerkung: Eine Aussage gilt für alle genügend grossen n N, wenn ein N N existiert, so dass die Aussage für alle n N gilt. Die konvergente Reihe b n in 1. heisst Majorante, die divergente Reihe b n in 2. heisst Minorante.

75 5 EXKURSE 75 Beispiele: 1. Mit dem Minorantenkriterium können wir die Divergenz der harmonischen Reihe beweisen (N. von Oresme, ): Für die Glieder der harmonischen Reihe gilt a n = 1 n, n N. Wir definieren die Zahlen b 1 := 1, b n := 1 2 l, n = 2l 1 + 1,..., 2 l, l N. Dann gilt a n b n 0 n N: n a n b n Nun gilt für die Partialsummen von b n : s 2 n := 2 n k=1 = 1 + = 1 + b k = 1 + n 2 l 2 n k=2 l=1 k=2 l 1 +1 n l=1 b k = 1 + n n 1 2 l = l l=1 k=2 l 1 +1 l=1 1 2 = 1 + n 2, n N. 2 l 2 l 1 Die Folge der Partialsummen s n ist unbeschränkt und damit divergent (Satz 8). Die Reihe ist also eine (divergente) Minorante für die b n harmonische Reihe, und daher ist diese auch divergent. 2. Die harmonische Reihe wird oft selbst als (divergente) Minorante verwendet. So ist z. B. wegen 1 n 1 n, n N, auch die Reihe 1 divergent. n 3. Die geometrische Reihe wird hingegen oft als (konvergente) Majorante verwendet. So gilt z. B. 1 n! = }{{ n } 2 n 2 Faktoren und damit ist die Reihe 1 konvergent nach Vergleich mit der geome- n! trischen Reihe mit q = 1 2. ( ) n 2 1 = 2 2 l b k ( ) n 1 1, 2

76 5 EXKURSE 76 Satz 24 (Leibniz-Kriterium, nach G. W. Leibniz, ) Sei a n eine monoton fallende, reelle Nullfolge. Dann ist die alternierende Reihe konvergent. Beispiele: ( 1) n+1 a n = a 1 a 2 + a 3 a 4 + (54) ( 1) n+1 1. Die alternierende harmonische Reihe ist nach dem Leibnizn Kriterium konvergent. Wegen ( 1)n+1 n = 1 n und wegen der Divergenz der harmonischen Reihe ist sie jedoch nicht absolut konvergent und damit bedingt konvergent (Def. 36). Ihr Wert ist gegeben durch ( 1) n+1 = ln(2), wobei ln den natürlichen Logarithmus (MAE2) bezeichnet. n ( 1) n+1 2. Die sog. Leibniz-Reihe ist nach dem Leibniz-Kriterium konvergent. Sie war bereits Madhava von Sangamagrama ( ) be- 2n 1 kannt. Er konnte damit genaue Näherungen von π berechnen, denn der ( 1) n+1 Wert dieser Reihe ist gegeben durch 2n 1 = π. Auch die Leibniz- 4 Reihe ist nicht absolut konvergent, also bedingt konvergent Eigenschaften konvergenter bzw. absolut konvergenter Reihen Eigenschaften konvergenter Reihen: Eine konvergente Reihe bleibt konvergent, wenn endlich viele Glieder weggelassen, hinzugefügt oder abgeändert werden. Dabei kann sich jedoch der Wert der Reihe ändern. Aufeinanderfolgende Glieder einer konvergenten Reihe dürfen durch eine Klammer zusammengefasst werden, wobei der Wert der Reihe erhalten bleibt. Klammern dürfen jedoch im Allgemeinen nicht weggelassen werden. Eine konvergente Reihe mit ausschliesslich nichtnegativen Gliedern ist absolut konvergent. Rechenregeln für konvergente Reihen: a) (a n + b n ) = a n + b n.

77 5 EXKURSE 77 b) λa n = λ a n für beliebige Zahlen λ R. Der Wert einer endlichen Summe ist unabhängig von der Reihenfolge der Summation. Dasselbe gilt auch für absolut konvergente Reihen. Für bedingt konvergente Reihen gilt hingegen der Riemannsche Umordnungssatz. Absolut konvergente Reihen darf man gliedweise multiplizieren: ( ) ( ) n a n b n = a k b n k+1. (55) k=1 Die Reihe auf der rechten Seite ist das Cauchy-Produkt (A. L. Cauchy, ) der Reihen a n und b n. Sie ist ebenfalls eine absolut konvergente Reihe. Beispiel: Wir dürfen aufeinanderfolgende Glieder der alternierenden harmonischen Reihe durch Klammern zusammenfassen, ohne dass sich ihr Wert ändert. Es gilt also ln(2) = = = ( 1) n+1 n = }{{ 2 } }{{ 4 } }{{ 6 } (2n 1)2n = (2n 1)n. 5.3 Funktionen von mehreren Variablen und partielle Ableitungen Wir gehen hier kurz auf die Berechnung der (partiellen) Ableitungen für Funktionen von zwei reellen Variablen ein, weil wir diese für die elementare Fehlerrechnung (Kap. 5.4) benötigen. Ausführlich werden Funktionen von mehreren Variablen in Ihrer Vorlesung MAS1 (5. Semester) behandelt. In der Def. 12 dieser Vorlesung hatten wir Funktionen f : D Z für eine beliebige Definitionsmenge D und eine beliebige Zielmenge Z definiert. Später hatten wir dann immer D, Z R verwendet (reellwertige Funktionen von einer reellen Variablen). Jetzt verallgemeinern wir dies auf D R 2 = R R, und Z R. Gemäss der Def. 9 dieser Vorlesung sind die Elemente der Definitionsmenge D jetzt keine reellen Zahlen mehr, sondern geordnete Paare von reellen Zahlen, x D R 2 x = (x 1, x 2 ), x 1, x 2 R.

78 5 EXKURSE 78 Wir betrachten nun also Funktionen f : D R, D R 2 (reellwertige Funktionen von zwei reellen Variablen). Der Graph einer solchen Funktion ist eine Fläche im dreidimensionalen Raum: G f = { (x, f(x)) x D R 2 } R 2 R = R 3, (56) d. h. die Elemente von G f sind geordnete Tripel von reellen Zahlen. Beispiel: (D = R 2 ) Wir betrachten die Funktion f(x 1, x 2 ) := x2 1x 2 x 2 2 3x 1 x x , (x 1, x 2 ) R 2. Dies ist eine gebrochenrationale Funktion von zwei reellen Variablen, und ihr Graph ist gegeben durch die Menge (56) {( G f = x 1, x 2, x2 1x 2 x 2 ) } 2 3x 1 x x (x 1, x 2 ) R 2 R 3. Wir können einen Ausschnitt des Graphen G f R 3 der Funktion f als Fläche im dreidimensionalen Raum oder auch mithilfe von sog. Niveaulinien zeichnen: Die Differenzierbarkeit von Funktionen von mehreren Variablen (vgl. Kap. 4.1) ist ein kompliziertes Thema, das wir im Rahmen dieser Vorlesung nicht vertieft behandeln. Es soll hier genügen, dass eine an der Stelle (x 01, x 02 ) D differenzierbare Funktion an dieser Stelle auch partiell differenzierbar ist, d. h. es existieren die beiden sog. partiellen Ableitungen nach x 1 bzw. nach x 2 : partielle Ableitung von f nach x 1 an der Stelle (x 01, x 02 ): f f(x 1, x 02 ) f(x 01, x 02 ) (x 01, x 02 ) = lim R, (57) x 1 x 1 x 01 x 1 x 01 partielle Ableitung von f nach x 2 an der Stelle (x 01, x 02 ): f f(x 01, x 2 ) f(x 01, x 02 ) (x 01, x 02 ) = lim R, (58) x 2 x 2 x 02 x 2 x 02