Problem des Monats Februar 09 Bei welcher Lage ist die Fläche maximal? In ein regelmäßiges n-eck soll ein möglichst großes regelmäßiges m-eck gezeichnet werden. ie bbildungen zeigen die eingeschlossenen m-ecke jeweils in einer symmetrischen Lage. Beschreiben Sie, welche Lagen dargestellt sind. Bei welcher Lage sind die Flächenanteile maximal? Heinz Klaus Strick Leverkusen 09 www.mathematik-ist-schoen.de Seite /6
Lösung Im Folgenden soll jeweils das außen liegende n-eck die Seitenlänge LE haben. Regelmäßige n-ecke haben jeweils n Symmetrieachsen: bei den Vielecken mit ungeradem n gibt es nur einen Typ: ie Symmetrieachsen verlaufen jeweils durch einen Eckpunkt, halbieren den zugehörigen Winkel und die gegenüberliegende Seite, bei den Vielecken mit geradem n gibt es zwei Typen: ie Symmetrieachsen verlaufen entweder durch einander gegenüberliegende Eckpunkte und halbieren die zugehörigen Winkel oder halbieren zwei einander gegenüberliegende Seiten. in a das regelmäßige Viereck zwei Typen von Symmetrieachsen hat und das regelmäßige reieck nur einen Typ, können hier zwei Fälle betrachtet werden: eine Symmetrieachse des reiecks und eine Mittelparallele des Vierecks stimmen gleichseitiges reieck mit Seitenlänge : 0,, Flächenanteil: ca., %. eine Symmetrieachse des reiecks und eine iagonale des Vierecks stimmen Nach dem Satz von Pythagoras gilt: + x s und ( x + ( x s Gleichsetzen ergibt: + x x + x, also x x und weiter ( x. a für die Seitenlänge x gelten muss x <, ergibt sich: x s + ( 8, also Für die Seitenlänge s des einbeschriebenen gleichseitigen reiecks gilt daher Heinz Klaus Strick Leverkusen 09 www.mathematik-ist-schoen.de Seite /6
s 8,05. er Flächeninhalt des reiecks ist dann: s (8 0,6. er Flächenanteil beträgt also ca. 6, %. lternative Bestimmung von s: us der symmetrischen Figur ergibt sich unmittelbar, dass der spitze Winkel α eine Winkelgröße von 5 hat. us cos( 5 folgt: s, 05. s cos(5 in a das regelmäßige Viereck zwei Typen von Symmetrieachsen hat und das regelmäßige reieck nur einen Typ, können hier zwei Fälle betrachtet werden: eine Symmetrieachse des reiecks und eine Mittelparallele des Vierecks stimmen Für die Grundseite des gleichseitigen reiecks gilt: x + s + x, also x + s. x Wegen ( x s + gilt andererseits s x (Höhe in einem halben gleichseitigen reieck mit Seitenlänge x, d. h. s s x. Hieraus folgt: + s, also s +. Weiter ergibt sich: s, also ( s 0,6 und daher ( 0, 5. + ( + ( Im Vergleich zu 0, ergibt sich der Flächenanteil 8 8 8 8 8 8 0,97 er Flächenanteil beträgt also ca. 9,7 %. + Heinz Klaus Strick Leverkusen 09 www.mathematik-ist-schoen.de Seite /6
eine Symmetrieachse des reiecks und eine iagonale des Vierecks stimmen Vom reieck links unten sind die Winkel bekannt sowie die eine Seitenlänge. Mithilfe des Sinussatzes ergibt sich damit die Seitenlänge von s: s sin(60, also s 0, 8 und daher 0,8 0, 0 sin( 60 sin(75 sin(75 Im Vergleich zu 0, ergibt sich als Flächenanteil 0, 6. er Flächenanteil beträgt also ca. 6, %. Es fällt auf, dass dieser Flächenanteil genauso groß ist wie bei der zweiten Variante von in. er rechnerische Nachweis, dass diese Flächenanteile nicht nur ungefähr gleich sind, ergibt sich aus folgender Umformung: sin(60 s sin(75 cos(5 6, also s ( und ( ( 6 9 0,6 Im Falle, dass eine Symmetrieachse des gleichseitigen reiecks und eine iagonale des uadrats aufeinanderliegen, ergibt sich also eine besondere Eigenschaft: Man kann eine unendliche Folge von reiecken und uadraten zeichnen, deren Flächen stets im gleichen Verhältnis : 0,6 stehen. Zusatzfrage: Welchen Farbanteil haben die blauen Teilflächen bei der unendlichen Folge, welchen die goldfarbenen Teilflächen? Heinz Klaus Strick Leverkusen 09 www.mathematik-ist-schoen.de Seite /6
in 5 a es bzgl. der Symmetrie sowohl beim regelmäßigen reieck als auch beim regelmäßigen Fünfeck nur einen Typ gibt, stimmen die beiden Symmetrieachsen überein. ennoch können zwei Fälle betrachtet werden: ie auf der Symmetrieachse liegende Ecke des gleichseitigen reiecks kann auch Eckpunkt des regelmäßigen Fünfecks sein oder dieser Punkt liegt in der gegenüberliegenden Seitenmitte des Fünfecks. Gemäß Sinussatz gilt für die Seitenlänge s die folgende Beziehung: s sin( 08 sin(8 sin(08 sin(8, also s, 80. Hieraus folgt: 0, 709. Heinz Klaus Strick Leverkusen 09 www.mathematik-ist-schoen.de Seite 5/6
Für den Flächeninhalt eines regelmäßigen Fünfecks mit Seitenlänge gilt: 5E 5,70 (wobei wegen tan( 6 tan(6 h die Höhe h der fünf gleichschenkligen reiecke berechnet werden kann, die zusammen das Fünfeck ergeben. Für den Flächenanteil gilt: 0,. Für die Höhe sin( 6 r und H h + r 5E eines regelmäßigen Fünfecks mit Seitenlänge gilt: tan( 6 h, vgl. bb. links, also H +. sin(6 tan(6 ndererseits ist H h + x, wobei s h und tan( 6 x s, vgl. bb. rechts. sin(6 tan(6 aher gilt: + s + s tan(6, somit,59, 9 s,9 s und 0, 6785,59 Hieraus folgt, 5. FE und daher als Flächenanteil 0, 9. ie erste der beiden Möglichkeiten enthält also das größere gleichseitige reieck. 5E 5 in uch hier müssen die beiden Möglichkeiten untersucht werden, bei denen die Spitze des Fünfecks nach oben bzw. nach unten weist. Für die Höhe h im gleichseitigen reieck mit Seitenlänge gilt: h iese Höhe setzt sich hier zusammen aus H sin(6 + tan(6 s Heinz Klaus Strick Leverkusen 09 www.mathematik-ist-schoen.de Seite 6/6
und dem bschnitt x (vgl. bb.. Für x gilt gemäß Sinussatz: s x sin( 0 sin( Somit gilt: sin( + s + s sin(6 tan(6 sin(0, also 0,866, 5 s, d. h., s 0,68 und weiter E,70 s 0,. 5 5E 0, er nteil der Fläche ist 0, 59. 0, Im zweiten Fall gilt: + s + y sin(6 tan(6, wobei y s ( Höhe im oberen gleihseitigen reieck. + s + s sin(6 tan(6 ergibt sich 0,866, 09 s, also s 0,60 und weiter E,70 s 0,. 5 5E 0, er nteil der Fläche ist 0, 55. 0, ie erste der beiden Möglichkeiten enthält also das größere regelmäßige Fünfeck. in 5 a das regelmäßige Viereck zwei Typen von Symmetrieachsen hat und das regelmäßige Fünfeck nur einen Typ, können hier zwei Fälle betrachtet werden: eine Symmetrieachse des Fünfecks und eine Mittelparallele des Vierecks stimmen Für die Höhe H eines regelmäßigen Fünfecks mit Seitenlänge gilt: iese Höhe setzt sich aus drei bschnitten zusammen: y 6 s tan(, also s tan(6 y. H x + s + y, wobei gilt: H +. sin(6 tan(6 Heinz Klaus Strick Leverkusen 09 www.mathematik-ist-schoen.de Seite 7/6
Unterhalb des uadrats liegt ein symmetrisches Trapez, dessen Grundlinien die Seitenlängen bzw. s haben. ie beiden rechts und links im Trapez liegenden kleinen rechtwinkligen reiecke haben Katheten der Länge x und ( s, wobei tan(8 ( s, also x Somit ergibt sich die Beziehung: sin(6 + tan(6 ( s s x. tan(8 tan(8 tan(8 s s tan(6 + s + tan(8 tan(8,0777 ufgelöst nach s ergibt sich: s, 060, also, 7,90 Für den Flächeninhalt eines regelmäßigen Fünfecks mit Seitenlänge gilt: 5 5E,70. Für den Flächenanteil ergibt sich: 0, 65 tan(6 5E. eine Symmetrieachse des Fünfecks und eine iagonale des Vierecks stimmen us der Figur ergibt sich gemäß dem Sinussatz: s sin( 08 sin(6 sin(08 sin(6, also s, 067, daher, 9 Für den Flächenanteil ergibt sich: 0, 66. 5E. ie zweite der beiden Möglichkeiten enthält also das größere uadrat. Heinz Klaus Strick Leverkusen 09 www.mathematik-ist-schoen.de Seite 8/6
5 in a das regelmäßige Viereck zwei Typen von Symmetrieachsen hat und das regelmäßige Fünfeck nur einen Typ, können hier zwei Fälle betrachtet werden: eine Symmetrieachse des Fünfecks und eine Mittelparallele des Vierecks stimmen Für eine iagonale d im regelmäßigen Fünfeck mit Seitenlänge s gilt: d Φ s, wobei Φ ( 5 +, 68 die goldene Zahl. a hier d, folgt also für die Seitenlänge s: s 0, 68, also für den Flächeninhalt des regelmäßigen Fünfecks: E 5,70 s 0,657 also ca. 65,7 %. Φ Φ. er Flächenanteil des regelmäßigen Fünfecks am uadrat beträgt Ohne Kenntnis über die Länge der iagonalen im regelmäßigen Fünfeck kann man auch so überlegen: x 8 s ann folgt aus + s + x sin(, also s sin( 8 x. x : sin( 8 + s + s sin(8 s. + sin(8 s, dass gilt: 0, 68 eine Symmetrieachse des Fünfecks und eine iagonale des Vierecks stimmen In den unten liegenden reiecken der folgenden bb. gilt: a cos( 5 und s b cos( 7. s ann folgt wegen a + b, dass gilt: s cos( 5 + s cos(7, und somit s 0,66, cos(5 + cos(7 Heinz Klaus Strick Leverkusen 09 www.mathematik-ist-schoen.de Seite 9/6
also für den Flächeninhalt des regelmäßigen Fünfecks:,70 s 0, 67 E. 5 er Flächenanteil des regelmäßigen Fünfecks am uadrat beträgt also ca. 67, %. ie zweite der beiden Möglichkeiten enthält also das größere regelmäßige Fünfeck. in 6 a das regelmäßige Sechseck zwei Typen von Symmetrieachsen hat und das regelmäßige reieck nur einen Typ, können hier zwei Fälle betrachtet werden: eine Symmetrieachse des reiecks und eine Mittellinie des Sechsecks stimmen us der bbildung ist zu entnehmen, dass die Seiten des einbeschriebenen reiecks,5-mal so lang sind wie die des umgebenenden regelmäßigen Sechsecks. Für den Flächeninhalt des reiecks gilt daher,5 0, 97, für den Flächeninhalt des regelmäßigen Sechsecks 6, 598. Für den Flächenanteil ergibt sich: 0, 75.,5 6 eine Symmetrieachse des reiecks und eine iagonale des Sechsecks stimmen us der folgenden bb. ergibt sich, dass die halbe Seitenlänge des einbeschriebenen gleichseitigen reiecks so groß ist wie die Höhe in einem gleichseitigen reieck mit Seitenlänge (siehe das rechtwinklige reieck mit Hypotenuse und den Katheten der Länge bzw. s: s ( Für den Flächeninhalt des reiecks gilt daher (, 99. Heinz Klaus Strick Leverkusen 09 www.mathematik-ist-schoen.de Seite 0/6
,99,598 Für den Flächenanteil ergibt sich: 0, 5. ieses Verhältnis kann man auch unmittelbar an der folgenden bbildung ablesen: 6 ie zweite der beiden Möglichkeiten enthält also das größere gleichseitige reieck. eine Symmetrieachse des reiecks und eine Mittellinie des Sechsecks stimmen us der folgenden bbildung kann man unmittelbar ablesen: 6 9 0,667 eine Symmetrieachse des reiecks und eine iagonale des Sechsecks stimmen Ergänzt man die Figur durch einige Hilfslinien, dann kann man an den zueinander kongruenten rechtwinkligen reiecken ablesen: s 0, 89 und 0, 5 Heinz Klaus Strick Leverkusen 09 www.mathematik-ist-schoen.de Seite /6
in 6 a das regelmäßige Sechseck und das regelmäßige Viereck jeweils zwei Typen von Symmetrieachsen haben, können hier sogar vier Fälle betrachtet werden: eine Mittellinie des Vierecks und eine Mittellinie des Sechsecks stimmen us der folgenden bbildung kann man verschiedene Zusammenhänge ablesen, u. a. us s y ergibt sich y s s. us x + + x s folgt s x. Schließlich ergibt sich dann aus x + y die Beziehung s + s, also ( + 6 ( s und weiter s. + + ( + ( er Flächeninhalt des uadrats ist dann ( 6, 608. as regelmäßige Sechseck hat den Flächeninhalt 6, 598. er Flächenanteil beträgt,608,598 0,69. us der letzten bbildung wird deutlich, dass hiermit auch der Fall eine Mittellinie des Vierecks und eine iagonale des Sechsecks stimmen überein erfasst ist. eine iagonale des Vierecks und eine Mittellinie des Sechsecks stimmen ie iagonale d des uadrats ist auch Höhe des Sechsecks; es gilt also: Heinz Klaus Strick Leverkusen 09 www.mathematik-ist-schoen.de Seite /6
( d s, also,5, 5,5,598 77. s, also, 5. er Flächenanteil beträgt us der letzten bbildung wird deutlich, dass hiermit auch der Fall eine iagonale des Vierecks und eine iagonale des Sechsecks stimmen überein erfasst ist. in 6 a das regelmäßige Sechseck und das regelmäßige Viereck jeweils zwei Typen von Symmetrieachsen haben, können hier ebenfalls vier Fälle betrachtet werden: eine Mittellinie des Vierecks und eine Mittellinie des Sechsecks stimmen Offensichtlich gilt s, also 0,650 Flächenanteil beträgt 0, 650. s. Hieraus ergibt sich 6 ( 0, 650, d. h., der us der bbildung wird deutlich, dass hiermit auch der Fall eine Mittellinie des Vierecks und eine iagonale des Sechsecks stimmen überein erfasst ist. eine iagonale des Vierecks und eine Mittellinie des Sechsecks stimmen Heinz Klaus Strick Leverkusen 09 www.mathematik-ist-schoen.de Seite /6
Für die iagonale d des uadrats gilt: also + s s. d x + h ( Hieraus ergibt sich: ( ( ( 6, 05 + + ( 6 ( 8 9 0, 696, wobei x s und s s und 6 8 0,696 0,696. us der bbildung wird deutlich, dass hiermit auch der Fall h,, d. h., der Flächenanteil beträgt eine iagonale des Vierecks und eine iagonale des Sechsecks stimmen überein erfasst ist. Zusatz: 5 in 6 a das regelmäßige Sechseck zwei Typen von Symmetrieachsen hat und das regelmäßige Fünfeck nur einen Typ, können hier zwei Fälle betrachtet werden: eine Symmetrieachse des Fünfecks und eine Mittellinie des Sechsecks stimmen Für die beiden reiecke oben kann man den Sinussatz anwenden: s sin( 0 sin( sin(0 s. sin(, also, 066 Für den Flächeninhalt des regelmäßigen Fünfecks mit Seitenlänge s gilt dann:. as regelmäßige Sechseck hat den Flächeninhalt 5 E,70 s,99 6 5E,99,598. er Flächenanteil beträgt 0, 750,598. eine Symmetrieachse des Fünfecks und eine iagonale des Sechsecks stimmen Für das reieck rechts oben kann man den Sinussatz anwenden: s sin( 0 sin(5 sin(0 s. sin(5, also, 0705 Heinz Klaus Strick Leverkusen 09 www.mathematik-ist-schoen.de Seite /6
Für den Flächeninhalt des regelmäßigen Fünfecks mit Seitenlänge s gilt dann: 5E,97 5 E,70 s,97. er Flächenanteil beträgt 0, 759,598. ie zweite der beiden Möglichkeiten enthält also das größere regelmäßige Fünfeck. Zusatz: 6 in 5 a das regelmäßige Sechseck zwei Typen von Symmetrieachsen hat und das regelmäßige Fünfeck nur einen Typ, können hier zwei Fälle betrachtet werden: eine Mittellinie des Sechsecks und eine Symmetrieachse des Fünfecks stimmen Für die beiden reiecke links oben kann jeweils der Sinussatz angewendet werden: s a sin( 08 sin(8 sin(8 sin(08, also a s und s b sin( 08 sin(6 sin(6 sin(08, also b s. sin(8 sin(08 sin(6 sin(08 sin(08 s. sin(8 + sin(6 Wegen a + b folgt s + s, also 0, 75 Weiter gilt: 6 s, 7 E und 5E, 70 6,7,70 er Flächenanteil beträgt 0, 77. 5E eine iagonale des Sechsecks und eine Symmetrieachse des Fünfecks stimmen Im reieck links unten kann der Sinussatz angewendet werden: Heinz Klaus Strick Leverkusen 09 www.mathematik-ist-schoen.de Seite 5/6
s sin( 08 sin( sin(08 sin(, also s 0, 707 lso gilt: 6 E s, ; der Flächenanteil beträgt 0, 76. 6 5E,,70 ie erste der beiden Möglichkeiten enthält also das größere regelmäßige Sechseck. Heinz Klaus Strick Leverkusen 09 www.mathematik-ist-schoen.de Seite 6/6