Diskrete Geometrie 6. Vorlesung

sascha.kurz@uni-bayreuth.de Universität Bayreuth in der im Diskrete Geometrie 6. Vorlesung 30.05.2006

Gliederung 1 2 3 in der 4 im in der im 5

Definition m-dimensionale ganzzahlige Punktmenge: Menge von n Punkten im m-dimensionalen euklidischen E m mit paarweise ganzzahligen Abständen in der im

Definition m-dimensionale ganzzahlige Punktmenge: Menge von n Punkten im m-dimensionalen euklidischen E m mit paarweise ganzzahligen Abständen nicht alle in einer Hyperebene in der im

Definition m-dimensionale ganzzahlige Punktmenge: Menge von n Punkten im m-dimensionalen euklidischen E m mit paarweise ganzzahligen Abständen nicht alle in einer Hyperebene Durchmesser: größter Abstand zwischen zwei Punkten in der im

Definition m-dimensionale ganzzahlige Punktmenge: Menge von n Punkten im m-dimensionalen euklidischen E m mit paarweise ganzzahligen Abständen nicht alle in einer Hyperebene Durchmesser: größter Abstand zwischen zwei Punkten minimaler Durchmesser d(m, n) in der im

Teilgebiet der Astronomie Beobachtung durch Radiowellen Aufgrund der Entfernung sind Radiowellen sehr schwach Auflösung proportional zum Durchmesser der Antenne in der im

groß, größer,... Abbildung: 100 110 Meter-Radioteleskop in Green Banks, West Virginia (USA) in der im Abbildung: 100 Meter-Radioteleskop in Effelsberg bei Bonn

..., am größten in der im Abbildung: 305-Meter Teleskop in der Nähe von Arecibo, Puerto Rico

Technische Grenzen Problem Größer geht es kaum noch. in der im

Technische Grenzen Problem Größer geht es kaum noch. Lösung: geeignetes Überlagern der Signale aus mehreren Teleskopen mathematische Methode: Fourier-Transformation in der im

Technische Grenzen Problem Größer geht es kaum noch. Lösung: geeignetes Überlagern der Signale aus mehreren Teleskopen mathematische Methode: Fourier-Transformation Auflösungsvermögen: größter Abstand der beteiligten Teleskope (unter Optimalbedingungen) in der im

Technische Grenzen Problem Größer geht es kaum noch. Lösung: geeignetes Überlagern der Signale aus mehreren Teleskopen mathematische Methode: Fourier-Transformation Auflösungsvermögen: größter Abstand der beteiligten Teleskope (unter Optimalbedingungen) aber: Frequenzverluste falls Abstände nicht Vielfache der verwendeten Wellenlänge in der im

Technische Grenzen Problem Größer geht es kaum noch. Lösung: geeignetes Überlagern der Signale aus mehreren Teleskopen mathematische Methode: Fourier-Transformation Auflösungsvermögen: größter Abstand der beteiligten Teleskope (unter Optimalbedingungen) aber: Frequenzverluste falls Abstände nicht Vielfache der verwendeten Wellenlänge Normierung ganzzahlige in der im

VLA Abbildung: Very Large Array in New Mexico, USA (Image courtesy of NRAO/AUI) 27 Antennen jede: 230 Tonnen, 25 m Durchmesser Baukosten 78,5 Millionen $ insgesamt: maximaler Durchmesser von 36 km in der im

VLA in der Abbildung: Very Large Array in New Mexico, USA (Image courtesy of NRAO/AUI) im entlang von y-förmig angeordneten Schienen auf 72 Stationen angeordnet

Verwendete Wellenlängen Band 4 P L C X U K Q Wellenlänge in cm 400 90 20 6 3,6 2 1,3 0,7 Tabelle: Verwendete Wellenlängen am VLA. in der im

Planare mit minimalem Durchmesser in der im Abbildung: mit minimalem Durchmesser.

Wie geht es weiter bzw. was ist die allgemeine Struktur? in der im

Wie geht es weiter bzw. was ist die allgemeine Struktur? Abbildung: Planare Punktmenge mit n 1 Punkten auf einer Geraden. in der im

Wie geht es weiter bzw. was ist die allgemeine Struktur? Abbildung: Planare Punktmenge mit n 1 Punkten auf einer Geraden. in der im Durch vollständige Konstruktion (K. 2006) Alle planaren ganzzahligen mit minimalem Durchmesser aus 9 n 120 Punkten besitzen diese Struktur. d(2, 27) = 332.

aus n 1 kollinearen Punkten und Faktorzerlegungen Schranken c 1 n d(2, n) n c 2 log log n Solymosi, 2003 Harborth, Kemnitz, Möller, 1993 in der im

aus n 1 kollinearen Punkten und Faktorzerlegungen Schranken c 1 n d(2, n) n c 2 log log n Solymosi, 2003 Harborth, Kemnitz, Möller, 1993 Satz (K. 2004) Ist P eine ganzzahlige planare Punktmenge aus n Punkten bei der mindestens n λ Punkte kollinear sind, so gilt gilt für ε > 0 und n n o, in der im diam(p) n λ 4 log 2(1+ε) log log n.

Semi-allgemeine Lage Definition semi-allgemeine Lage für m=2: keine 3 Punkte auf einer Geraden in der im

Semi-allgemeine Lage Definition semi-allgemeine Lage für m=2: keine 3 Punkte auf einer Geraden minimaler Durchmesser: d(2, n) in der im

Semi-allgemeine Lage Definition semi-allgemeine Lage für m=2: keine 3 Punkte auf einer Geraden minimaler Durchmesser: d(2, n) in der im Abbildung: planare in semi-allgemeiner Lage mit minimalem Durchmesser.

auf Kreisen Satz Auf dem Einheitskreis gibt es eine dichte Menge von unendlich vielen Punkten mit paarweise rationalen Abständen. in der im

auf Kreisen Satz Auf dem Einheitskreis gibt es eine dichte Menge von unendlich vielen Punkten mit paarweise rationalen Abständen. Beweis Wählen 0 < x Q und 0 < ϕ < π 2 so, dass sin ϕ = x 2 1 und cos ϕ = 2x x 2 +1 x 2 +1 gilt. in der im

auf Kreisen Satz Auf dem Einheitskreis gibt es eine dichte Menge von unendlich vielen Punkten mit paarweise rationalen Abständen. Beweis Wählen 0 < x Q und 0 < ϕ < π 2 so, dass sin ϕ = x 2 1 und cos ϕ = 2x gilt. Möglich, da x 2 +1 x 2 +1 x 2 1 x 2 + 1 = 1 2 x 2 + 1 1 in der im und 2x x 2 + 1 = 1 ( x 2 ) 2 1 x 2 1. + 1

auf Kreisen Beweis Punkte P n seien in Polarkoordinaten durch gegeben. r n = 1 und α n = 2nϕ in der im

auf Kreisen Beweis Punkte P n seien in Polarkoordinaten durch r n = 1 und α n = 2nϕ gegeben. Es läßt sich zeigen, dass ϕ π eine irrationale Zahl ist, somit sind alle P i paarweise verschieden und dicht. in der im

auf Kreisen Beweis Punkte P n seien in Polarkoordinaten durch r n = 1 und α n = 2nϕ gegeben. Es läßt sich zeigen, dass ϕ π eine irrationale Zahl ist, somit sind alle P i paarweise verschieden und dicht. Für b > a ist der Abstand δ(p a, P b ) = 2 sin(b a)ϕ = 2 b a 1 2 j=0 ( 1) j ( b a 2j + 1 ) sin 2j+1 ϕ cos b a 2j 1 ϕ in der im eine rationale Zahl.

auf Kreisen - Teil 2 Weitere Konstruktionsmethode die etwas mit Faktorzerlegungen zu tun hat. in der im

auf Kreisen - Teil 2 Weitere Konstruktionsmethode die etwas mit Faktorzerlegungen zu tun hat. Betrachte den Ring Z[ϱ] mit ϱ = 1+ 3 2. in der im

auf Kreisen - Teil 2 Weitere Konstruktionsmethode die etwas mit Faktorzerlegungen zu tun hat. Betrachte den Ring Z[ϱ] mit ϱ = 1+ 3 2. In Z[ϱ] besitzt jede Primzahl p 1 mod 6 (in Z) eine Primfaktorzerlegung der Form γ(p) γ(p), wobei wir mit γ(p) die zu γ(p) konjugiert komplexe Zahl bezeichnen. in der im

auf Kreisen - Teil 2 Weitere Konstruktionsmethode die etwas mit Faktorzerlegungen zu tun hat. Betrachte den Ring Z[ϱ] mit ϱ = 1+ 3 2. In Z[ϱ] besitzt jede Primzahl p 1 mod 6 (in Z) eine Primfaktorzerlegung der Form γ(p) γ(p), wobei wir mit γ(p) die zu γ(p) konjugiert komplexe Zahl bezeichnen. 7 = (3 + ϱ)(3 + ϱ), 13 = (4 + ϱ)(4 + ϱ), 19 = (5 + 2ϱ)(5 + 2ϱ), 31 = (6 + ϱ)(6 + ϱ), 37 = (7 + 3ϱ)(7 + 3ϱ), 43 = (7 + ϱ)(7 + ϱ). in der im

auf Kreisen - Teil 2 Wähle R = r 1 i=0 p i 1 mod 6 ist. p v i i als Produkt von Primzahlen (in Z) in der im

auf Kreisen - Teil 2 Wähle R = r 1 i=0 p v i i als Produkt von Primzahlen (in Z) p i 1 mod 6 ist. Zu jedem Teiler r 1 drei komplexen Zahlen η 0 = i=0 p u i i r 1 γ(p i ) v i +u i γ(p i ) v i u i, i=0 η 1 = η 0 ϱ und η 2 = η 0 ϱ 2. betrachte die in der im

auf Kreisen - Teil 2 Wähle R = r 1 i=0 p v i i als Produkt von Primzahlen (in Z) p i 1 mod 6 ist. Zu jedem Teiler r 1 drei komplexen Zahlen η 0 = i=0 p u i i r 1 γ(p i ) v i +u i γ(p i ) v i u i, i=0 η 1 = η 0 ϱ und η 2 = η 0 ϱ 2. betrachte die in der im Es ergeben sich 3 r 1 (v i + 1) unterschiedliche Werte für die η i. i=0

auf Kreisen - Teil 2 Die Punkte von P definieren wir nun durch die Koordinaten ( ( ) ( )) Rη 2 Rη 2 R, I. 3 3 in der im

auf Kreisen - Teil 2 Die Punkte von P definieren wir nun durch die Koordinaten ( ( ) ( )) Rη 2 Rη 2 R, I. 3 3 Ergibt sich eine ganzzahlige Punktmenge auf einem Kreis aus n = 3 r 1 (v i + 1) Punkten mit einen i=0 Durchmesser kleiner 2R 3. in der im

Gute Wahlen für R R P diam(p) 1 3 1 7 6 8 7 2 9 56 7 13 12 105 7 2 13 18 735 7 13 19 24 1.995 7 2 13 2 27 9.555 7 2 13 19 36 13.975 7 13 19 31 48 61.880 7 2 13 2 19 54 181.675 7 2 13 19 31 72 433.225 7 13 19 31 37 96 2.289.957 7 2 13 2 19 31 108 5.632.056 7 2 13 19 31 37 144 16.029.704 7 13 19 31 37 43 192 98.468.151 in der im

Neue Resultate minimale Durchmesser (K. 2005) ( d(2, n) ) n=10,...,36 = 105, 105, 105, 532, 532, 735, 735, 735, 735, 1995, 1995, 1995, 1995, 1995, 1995, 9.555, 9.555, 9.555, 10.672, 13.975, 13.975, 13.975, 13.975, 13.975, 13.975, 13.975, 13.975 in der im

Neue Resultate minimale Durchmesser (K. 2005) ( d(2, n) ) n=10,...,36 = 105, 105, 105, 532, 532, 735, 735, 735, 735, 1995, 1995, 1995, 1995, 1995, 1995, 9.555, 9.555, 9.555, 10.672, 13.975, 13.975, 13.975, 13.975, 13.975, 13.975, 13.975, 13.975 Bemerkung Punkte der Beispiele mit minimalem Durchmesser liegen für 1 n 36 jeweils auf einem Kreis in der im

Neue Resultate minimale Durchmesser (K. 2005) ( d(2, n) ) n=10,...,36 = 105, 105, 105, 532, 532, 735, 735, 735, 735, 1995, 1995, 1995, 1995, 1995, 1995, 9.555, 9.555, 9.555, 10.672, 13.975, 13.975, 13.975, 13.975, 13.975, 13.975, 13.975, 13.975 Bemerkung Punkte der Beispiele mit minimalem Durchmesser liegen für 1 n 36 jeweils auf einem Kreis d(2, 27) = 9.555 in der im

Neue Resultate minimale Durchmesser (K. 2005) ( d(2, n) ) n=10,...,36 = 105, 105, 105, 532, 532, 735, 735, 735, 735, 1995, 1995, 1995, 1995, 1995, 1995, 9.555, 9.555, 9.555, 10.672, 13.975, 13.975, 13.975, 13.975, 13.975, 13.975, 13.975, 13.975 Bemerkung Punkte der Beispiele mit minimalem Durchmesser liegen für 1 n 36 jeweils auf einem Kreis d(2, 27) = 9.555 VLA hat einen maximalen Durchmesser von 36 Km in der im

Allgemeine Lage Erdős Gibt es sieben Punkte in der, keine 3 auf einer Geraden, keine 4 auf einem Kreis, mit paarweise ganzzahligen Abständen? in der im

Allgemeine Lage Erdős Gibt es sieben Punkte in der, keine 3 auf einer Geraden, keine 4 auf einem Kreis, mit paarweise ganzzahligen Abständen? Antwort (K. und Kreisel 2006) Falls es sie gibt, ist der Durchmesser der Punktmenge relativ groß: ḋ(2, 7) > 41.700 in der im

Kleinstes ganzzahliges Sechseck in allgemeiner Lage 87 68 85 158 68 170 131 127174 127 136 131 158 85 in der im 87

Allgemeine Kostruktion Sechsecke in allgemeiner Lage x 2 b y 2 a z 2 c in der im

Diophantsches Gleichungssystem Diophantsches Gleichungssystem x 2 = 2b 2 + 2c 2 a 2, y 2 = 2a 2 + 2c 2 b 2, z 2 = 2a 2 + 2b 2 c 2, in der im

Diophantsches Gleichungssystem Diophantsches Gleichungssystem x 2 = 2b 2 + 2c 2 a 2, y 2 = 2a 2 + 2c 2 b 2, z 2 = 2a 2 + 2b 2 c 2, Suche nach Lösungen Durchlaufe 1 a d, a 2 < b < a und bestimme x, y aus der Differenz der ersten beiden Gleichungen, in der im (y x)(y + x) = 3(a b)(a + b).

im Definition minimaler Durchmesser: d(3, n) in der im

im Definition minimaler Durchmesser: d(3, n) Bisher bekannt d(3, 4) = 1, d(3, 5) = 3, d(3, 6) = 4, d(3, 7) = 8, d(3, 8) = 13, d(3, 10) = 17 in der im

im Definition minimaler Durchmesser: d(3, n) Bisher bekannt d(3, 4) = 1, d(3, 5) = 3, d(3, 6) = 4, d(3, 7) = 8, d(3, 8) = 13, d(3, 10) = 17 Durch vollständige Konstruktion (K. 2005) d(3, 9) = 16, d(3, 10) = d(3, 11) = d(3, 12) = 17, d(3, 13) = 56, d(3, 14) = 65, d(3, 15) = 77, d(3, 16) = 86, d(3, 17) = 99, d(3, 18) = 112, d(3, 19) = 133, d(3, 20) = 154, d(3, 21) = 195, d(3, 22) = 212, d(3, 23) = 228 in der im

Typische Struktur in der Abbildung: 2-dimensionale ganzzahlige Punktmenge aus 12 Punkten mit Durchmesser 77. im Typische Struktur (K. 2005) Für 13 n 23 besitzen die minimalen Beispiele alle diese Struktur: Punkte P i liegen auf einem Kreis.

Obere Schranken Lemma (K. 2004) Ist P eine ganzzahlige planare mit n 1 Punkten auf einer Geraden und einem weiteren Punkt, so gilt d(m, n 2 + m) diam(p) für m 2. in der im

Obere Schranken Lemma (K. 2004) Ist P eine ganzzahlige planare mit n 1 Punkten auf einer Geraden und einem weiteren Punkt, so gilt d(m, n 2 + m) diam(p) für m 2. Folgerung K. 2005 d(m, n 2 + m) d(2, n) in der im für 9 n 120 und m 2.

Obere Schranken Lemma (K. 2005) Sei P eine ganzzahlige planare Punktmenge aus n Punkten, bei der n 1 Punkte auf einer Strecke AB liegen, h die Länge der Höhe auf die Strecke AB und P eine ganzzahlige planare Punktmenge aus n Punkten, bei der die Punkte alle auf einem Kreis mit Radius h liegen. Dann gilt d(3, n + n 1) max(diam(p), diam(ps )). in der im

Obere Schranken Satz (Laue, K. 2005) d(m, m 2 + m) 17 für m 2. in der im

Obere Schranken Satz (Laue, K. 2005) Beweis. d(m, m 2 + m) 17 für m 2. Betrachte einen regelmäßigen m-dimensionalen Simplex der Kantenlänge 23 und schneide an den m + 1 Ecken jeweils einen m-dimensionalen regelmäßigen Simplex der Kantenlänge 8 ab. in der im

Obere Schranken Lemma (K. 2005) Ist P eine ganzzahlige planare Punktmenge mit n 2 Punkten auf einer Geraden g und zwei weiteren Punkten P 0, P 1 auf einer dazu parallelen Geraden mit P 0 P 1 = u, und existieren v, w N mit u 2 + v 2 = w 2, so gilt d(m, n 2 + 2(m 2)) max(w, diam(p)) in der im für m 2.

Allgemeines Konstruktionsprinzip Abbildung: Verschmelzen zweier. Allgemeines Konstruktionsprinzip Rekursives Zusammensetzen von Strukturen aus Unterstrukturen. Ab einem geeigneten Punkt Cliquensuche, falls möglich. in der im

Anzahl Tetraeder Definition Anzahl Tetraeder mit Durchmesser d: α(d, 3) in der im

Anzahl Tetraeder Definition Anzahl Tetraeder mit Durchmesser d: α(d, 3) Anzahlen (K. 2005) 1000 d=1 α(800, 3) = 8.430.487.428.682 α(d, 3) = 4.300.868.949.462.219 in der im

Anzahl Tetraeder Definition Anzahl Tetraeder mit Durchmesser d: α(d, 3) Anzahlen (K. 2005) 1000 d=1 α(800, 3) = 8.430.487.428.682 α(d, 3) = 4.300.868.949.462.219 in der im Laufzeiten Berechnung von α(800, 3) 10 Stunden Schleife von 1 bis α(800, 3)

Anzahl Tetraeder Definition Anzahl Tetraeder mit Durchmesser d: α(d, 3) Anzahlen (K. 2005) 1000 d=1 α(800, 3) = 8.430.487.428.682 α(d, 3) = 4.300.868.949.462.219 in der im Laufzeiten Berechnung von α(800, 3) 10 Stunden Schleife von 1 bis α(800, 3) 9 Stunden

Konstruktion räumlicher Eine wichtige Invariante Volumen eines ganzzahligen Tetraeders [Simplex] läßt sich schreiben als V = q k, q Q, k N, k quadratfrei in der im

Konstruktion räumlicher Eine wichtige Invariante Volumen eines ganzzahligen Tetraeders [Simplex] läßt sich schreiben als V = q k, q Q, k N, k quadratfrei k heißt Charakteristik in der im

Konstruktion räumlicher Eine wichtige Invariante Volumen eines ganzzahligen Tetraeders [Simplex] läßt sich schreiben als V = q k, q Q, k N, k quadratfrei k heißt Charakteristik Satz (K. 2004) Jedes nicht entartete Tetraeder [Simplex] einer 3- [m-] dimensionalen ganzzahligen Punktmenge besitzt die selbe Charakteristik. in der im

Algorithmische Fortschritte vs. Rechenpower Mooresches Gesetz Alle 18 Monate verdoppelt sich die Komplexität von integrierten Schaltkreisen. in der im

Algorithmische Fortschritte vs. Rechenpower Mooresches Gesetz Alle 18 Monate verdoppelt sich die Komplexität von integrierten Schaltkreisen. Rechenleistung verdoppelt sich alle 1,5 Jahre in der im

Algorithmische Fortschritte vs. Rechenpower Mooresches Gesetz Alle 18 Monate verdoppelt sich die Komplexität von integrierten Schaltkreisen. Rechenleistung verdoppelt sich alle 1,5 Jahre Vergleich: Konstruktion räumlicher Lothar Piepmeyer Dezember 1988 für Durchmesser 15 S. K. November 2005 für Durchmesser 228 in der im

Algorithmische Fortschritte vs. Rechenpower Mooresches Gesetz Alle 18 Monate verdoppelt sich die Komplexität von integrierten Schaltkreisen. Rechenleistung verdoppelt sich alle 1,5 Jahre Vergleich: Konstruktion räumlicher Lothar Piepmeyer Dezember 1988 für Durchmesser 15 S. K. November 2005 für Durchmesser 228 bei Aufwand von O(d 6 ) entspricht die Verbesserung mehr als 34 Jahre (ohne algorithmische Fortschritte) in der im