103 66 Grudzüge der Fehler- ud Ausgleichsrechug 661 Fehlerarte- Aufgabe der Fehler- ud Ausgleichsrechug Jedes physikalisch-techische Experimet liefert gewisse gemessee Werte x Bei dem Messvorgag verwede wir bestimmte Messistrumete ud Messmethode Abhägig vo der Qualität der Istrumete ud der Methode beobachte wir bei aufeiaderfolgede Messuge eies Messwertes beispielsweise folgede Werte: x 1,x,x 3,,x, die i uterschiedlicher Grösse vo dem "tatsächliche" oder "wahre" Messwert x abweiche solle Die Grösse dieser Abweichuge ee wir die reale Fehler: Δf 1 =x 1 -x,δf =x -x,,δf =x -x Sie sid atürlich ubekat, weil der wahre Wert ubekat ist Zu jeder Messug berechebar sid higege die sogeate "scheibare" Fehler: Δv 1 =x 1 -p,δv =x -p,,δv =x -p, wori p der Zahlewert ist, de wir ahad der Messreihe als de wahrscheilichste Messwert beurteile Wir werde im Folgede zeige, dass wir auf der Grudlage der kleiste Fehlerquadrate für p de sogeate Mittelwert der Messreihe erreche Schliesse wir die Fehler aus, die durch falsches Ablese oder durch ubrauchbare Messgeräte etstehe, so bleibe zwei Kategorie vo Messfehler übrig: Systematische Fehler ud zufällige oder statistische Fehler Systematische Fehler etstehe durch ugeaue Messmethode oder vermeidbare Störuge beim Experimetiere Durch bloße Wiederholug vo Messuge mit deselbe Messgeräte lasse sich systematische Fehler weder erkee och ausschalte Sie sid i systematischer Weise erkebar ud durch Awedug aderer Messverfahre zu erfasse Zufällige Fehler beruhe auf uvorhersehbare Störeiflüsse im Experimet ud sid deshalb uvermeidlich Beispiele solcher Störeiflüsse sid: Kleie, icht bestimmbare Schwakuge der Umweltbediguge (Temperatur, Staubgehalt der Luft, Beleuchtug), zeitliche ud räumliche Schwakuge der Reibug im Messgerät, kleie icht zu erfassede Verlageruge vo Hebelgeleke, usw Systematische Fehler sid im Regelfall eiseitig; alle gemessee Date sid also etweder zu gross oder zu klei Die zufällige Fehler sid higege regellos verteilt Sie uterliege i ihre Abweichuge de Gesetze der Statistik ud heisse deshalb auch statistische Fehler Im Sie der Statistik stellt der Messprozess eie Zufallsbeobachtug dar, die Erfassug eies bestimmte experimetelle Wertes ist ei zufälliges Ereigis ud die Zusammestellug vo etwa Messwerte repräsetiert eie Stichprobe aus eier Grudgesamtheit Die Fehler- ud Ausgleichsrechug behadelt die Erfassug, Beurteilug ud Verarbeitug dieser Messwerte auf der Grudlage der Wahrscheilichkeitsrechug Die Erfassug der Messuge geschieht meist ahad vo protokollarische Erfassuge durch Liste ud Tabelle ud ihrer grafische Darstellug i Diagramme
104 Die Beurteilug erfolgt zuächst durch die Bildug gewisser Maßzahle, zb des arithmetische Mittelwertes ud des Streuugsquadrates Die Verarbeitug ka zb beihalte, welche Rückschlüsse sich aus de vorliegede Messwerte auf de Geamtprozess gewie lasse (Schluss vo der Stichprobe auf die Gesamtheit) 66 Notwedige Eigeschafte der Messwerte i der Wahrscheilichkeitstheorie Für user weiteres Vorgehe forder wir vo usere Messwerte x 1,x,x 3,,x, folgede Eigeschafte, um sie im Sie der Wahrscheilichkeitstheorie bearbeite zu köe 1 Alle Messwerte uterliege dem gleiche Geauigkeitsmass bezüglich ihrer Messmethode ud bezüglich der Beobachtug Die Grösse der Abweichuge sid zufälliger Art 3 Alle Messwerte sid voeiader uabhägig Mit diese Eigeschafte köe wir die Messwerte auffasse als Beobachtugsergebisse eier Stichprobe vom Umfag eier statistische Erhebug zur Grudgesamtheit aller mögliche Messwerte ud demzufolge mit de Gesetze der Statistik behadel Bei eier Messug werde wir im Regelfall als Ergebis der Beobachtug eie Zahl erhalte; demzufolge stelle die Zufallswerte x i, 1 i, eie stetige Verteilug dar 663 Mittelwert µ ud die Stadardabweichug σ Zuächst iteressiere wir us für die Häufigkeite, mit dee die eizele Messwerte auftrete Um dies aschaulich zu mache, orde wir die Messwerte der Größe ach Wir uterteile das Gesamtitervall zwische dem größte ud dem kleiste Messwert i Klasse ud protokolliere die Klassehäufigkeite Die absolute Klassehäufigkeit i stellt da die Azahl der Messwerte i der i-te Klasse "x i dar, die relative Klassehäufigkeit h i = i gibt de Bruchteil der Messwerte i der i-te Klasse a We wir die Azahl der Messuge kotiuierlich erhöhe ud die Klassebreite verkleier, so geht die diskrete Häufigkeitsverteilug i eie stetige über Die Verteilug der Messdate mittels f i = h i ergibt schliesslich "x i eie Dichtefuktio f(x) beschriebe, i der wir folgede empirische Eigeschafte erkee 1 Die Messwerte streue symmetrisch um ei zetrales Maximum Je grösser der Abstad vom Zetrum, desto kleier wird die Azahl a Zufallsmesswerte Diese Verteilug, die a die Gauß - Verteilug eriert, erkläre wir so Jede Messug ist eier grosse Zahl icht vorhersehbarer Eiflüsse uterworfe Der beobachtete Messfehler F setzt sich also zusamme aus eier grosse Azahl zufälliger Eizelfehler F 1,F,F m, vo dee keier die adere etscheided überwiegt ud die wir als uabhägig voeiader asehe dürfe: F=F 1 +F ++F m
105 Gemäss dem zetrale Grezwertsatz i 6184 köe wir da de Gesamtfehler F als eie aäherd ormalverteilte Zufallsvariable darstelle Setze wir also für die Messug voraus, dass keie systematische Abweichuge soder ur zufällige Messfehler auftrete, so köe wir daraus folger, daß die Messgröße X im Regelfall eie aäherd ormalverteilte Zufallsgrösse ist mit der ormierte Dichtefuktio: f(x) = 1% x$µ ( 1 $ "# e ' * # ), $ + < x < + We ur zufällige Fehler möglich sid ud wir die Messug hireiched häufig wiederhole, so wird sich für die Messdate x 1,x,x 3,,x eie ormalverteilte Streuug um eie Mittelwert µ eistelle Dieser Wert ist somit der wahrscheilichste Messwert ud wird als der "wahre" Messwert agesehe Der Parameter Stadardabweichug σ gibt us eie Iformatio über die Geauigkeit eier Messug Kleie Werte vo σ bedeute eie schlake Verteilugskurve ud eie hohe Geauigkeit, währed grosses σ eie breite Verteilug ud eie gerigere Geauigkeit bedeute Geerell erhalte wir folgede Iformatio aus der Normalverteilug: 68,3% aller Messwerte liege imitervall :µ " # < x < µ + # 95,5% aller Messwerte liege imitervall :µ " # < x < µ + # 99,7% aller Messwerte liege imitervall :µ " 3# < x < µ + 3# Das Hauptproblem eier statistische Betrachtug besteht zuächst dari, dass die Parameter µ ud σ ubekat sid Mit eier hireiched grosse Zahl vo Messuge liesse diese sich gut approximiere, eie solche grosse Zahl vo Messuge liegt aber meist icht vor 664 Schätzwerte für de Mittelwert µ ud die Stadardabweichug σ Wir müsse deshalb versuche aus der uzureichede Azahl vo Messuge zumidest die beste (wahrscheilichste) Schätzwerte der wahre Werte µ ud σ zu ermittel Dies geschieht so Zu jeder Azahl vo Messuge existiert ei Mittelwert " x i x = m x = s = s = # ( x i " x) "1 Mittelwert (Erwartugswert) x ud ei mittlerer Fehler m x : Wir zeige u: Der Mittelwert x ist der wahrscheilichste Wert p, de wir auf der Grudlage der kleiste Fehlerquadrate eier Messreihe zuorde köe Defiiere wir für jede Messwert eie sogeate scheibare Fehler durch: v i =x i -p, so erreche wir als otwedige Bedigug dafür, dass für de wahrscheilichste Wert die Summe der Fehlerquadrate ei Miimum ergibt: ud Mittlerer Fehler (Stadardabweichug)
106 S(p) = " v i = "( x i #p) i = Miimum, mit ds dp = 0 " d % ( x i #p) ( ' $ * dp ' )* = # $ ( x i #p) = 0 " $ x i = +p, also p = 1 " x i = x Daach ist also der Mittelwert x der beste Schätzwert für de Erwartugswert µ Aalog ist die Stadardabweichug s der beste Schätzwert für die Stadardabweichug der ormalverteilte Grudgesamtheit Also köe wir mit diese beide Maßzahle eie Verbidug zur Gaußsche Normalverteilug herstelle, idem wir de Mittelwert x der Stichprobe als mathematische Erwartug µ ud de mittlere Fehler m x als Stadardabweichug s, mit m x = s, iterpretiere Mit dieser Vorgehesweise verwede wir eie Stichprobe vom Umfag dazu, die Wahrscheilichkeit für das Auftrete eies beliebige Messwertes zu formuliere bzw die Wahrscheilichkeit eies Messfehlers Δx=x- x vorherzusage Mit zuehmedem Umfag der Stichprobe werde sich x ud m x veräder Sid für die Messwerte die obige Voraussetzuge 1-3 gegebe, so werde diese beide Masszahle mit zuehmedem Stichprobeumfag gege die "wahre" Werte µ ud s kovergiere Wir fasse zusamme: Seie uabhägige Eizelmessuge x 1,x,x 3,,x gegebe, für die keie systematische, soder ur zufällige Messabweichuge vorliege Jede Messabweichug setzt sich zusamme aus eier Vielzahl uabhägiger Eizelfehler mit gleicher Grösseordug Da ist die gemessee Grösse ormalverteilt mit ubekate Parameter Erwartugswert µ ud Stadardabweichug σ Die ubekate Parameter ersetze wir durch folgede beste Schätzwerte: " x i x = Mittelwert der Messreihe als Schätzwert für µ ud 1 s = "1 # $ ( x i " x) Stadardabweichug der Messreihe als Schätzwert vo σ Vergrösser wir die Zahl der Messuge, so ergebe sich daraus Veräderuge i usere Schätzwerte Die Stadardabweichug für de sich veräderde Mittelwert beschreibt die Streuug der aus de verschiedee Messreihe ermittelte Werte x um de wahre Wert µ: s x = s = 1 ( "1) # $ ( x i " x)
107 Beispiel Bei eier Messug werde isgesamt 5 Messwerte ermittelt Vo de Messuge wird erwartet, dass sie ormalverteilt sid Es werde Schätzwerte µ ud σ errechet ud daraus eie Gauß-Verteilug hergeleitet Messwerte = 1" 5 71 48 7 37 46 = 6 "10 51 46 49 59 51 = 11"15 67 59 49 51 5 =16 " 0 35 63 6 57 36 = 1" 5 48 39 53 6 5 Die Schätzwerte sid µ = 54 ud " =101 Offesichtlich lasse sich Schätzwerte µ ud σ auch da ermittel, we die Messug die Voraussetzuge zu eier Normalverteilug icht erfüllt Die Frage, ob eie Darstellug mittels Normalverteilug gerechtfertigt ist, ka zuächst durch die Darstellug der Messwerte durch ei Dichtediagramm geprüft werde Ei solches Diagramm ist für die vorliegede Messwerte durch Klassebildug vo Klasse der Läge "x i =1 mit de Klassemitte 35 (Messwerte zwische 3 ud 4), 45 (Messwerte zwische 4 ud 5),usw Diese Darstellug zeigt äherugsweise eie ormalverteilte Grafik I dieser Grafik sid die Messwerte i Klasse gruppiert Die absolute Häufigkeit der Messwerte i de eizele Klasse der Läge 1 zeigt äherugsweise eie Normalverteilug Die Normalverteilug wurde mit de Schätzwerte der Messdate erstellt 665 Zuverlässigkeit der Schätzwerte Was us och fehlt, ist eie Aussage darüber, wie zuverlässig die ermittelte Schätzwerte vo µ ud σ sid Diese Zuverlässigkeit drücke wir so aus Wie gross ist die Wahrscheilichkeit P, dass der ubekate wahre Wert µ i eiem symmetrische Itervall vorgegebeer Größe um de Schätzwert x liegt Ei solches Vertrauesitervall lässt sich formuliere Die
108 Theorie zur Herleitug des Vertrauesitervalls geschah im Kapitel 63 Die Vorgehesweise wurde dort so beschriebe Ist die Stadardabweichug eier ormalverteilte Messreihe ubekat, so köe wir deoch für die Grösse des ubekate Mittelwertes µ eie Wahrscheilichkeit P vorgebe ud dazu ei Itervall I=[ x-c µ x+c] defiiere, so dass µ mit der Wahrscheilichkeit P i I liegt Die Abweichuge ( x-c) ud ( x+c) beschreibe symmetrisch die so geate Vertrauesgreze ach ute ud ach obe Für Messwerte bestimme wir Vertrauesgreze ± c zur Wahrscheilichkeit P mittels de Quatile der Studet- Verteilug so: Mit der Wahrscheilichkeit P soll der aus dem Mittelwert abgeleitete Wert x = x "µ s ["t,t] liegt: $ ' P "t# x "µ ) #t) = 09 s ) % ( x zu de Messwerte x 1,x,x der Studet t- Verteilug eie Wert aehme, der im Itervall Aus dieser Forderug, dere t Werte wir aus der Literatur achlese oder zb mit Mathematica bereche, erreche wir da die c Werte mittels c = t s Da heißt das Vertrauesitervall so: x " t s # µ # x + t s Für verschiedee ud P sid eiige Werte vo t i der Tabelle eigetrage Azahl P = 0683 P = 09 P = 095 P = 099 = 5 114 13 78 460 =10 106 183 6 35 = 5 10 171 06 80 =100 101 166 198 63 " #(Gauss) 100 165 196 58 Wede wir die Tabellewerte auf user Beispiel a, so erhalte wir u a folgede Aussage Für =5 ud P=09 bzw P=095 laute die Itervalle: 54 "171# 101 5 54 " 06# 101 5 $ x $ 54 +171# 101 5 $ x $ 54 + 06# 101 5 % 54 1 4 " 0345 4 3 $ x $ 54 1 4 + 0346 44 3 bzw 4894 5586 % 54 1 4 " 0417 4 3 $ x $ 54 1 4 + 0417 44 3 483 5657
109 666 Gauß-Fehlerfortpflazug 6661 Idirekte Messgrösse Viele physikalische Gesetze Z=f(X,Y,) verküpfe zwei oder mehrere voeiader uabhägige ud ormalverteilte Variable Häufig ist es eifacher, auf idirektem Weg zuächst die Meßvariable X,Y, zu bestimme ud daraus aschließed mit dem physikalische Gesetz Z=f(X,Y,) zu erreche, als Z direkt durch eie Messug zu bestimme ZB köe wir das ideale Gasgesetz pv =1, wori p der Druck, v das spezifische Volume, T die Temperatur ud RT R die spezifische Gaskostate bedeute, ach v auflöse: v = v(p,t) = RT p Iteressiere wir us i eiem Experimet für das spezifische Volume v oder die Dichte " = 1, so ist es ratsam v idirekt über die Meßwerte vo p ud T zu bestimme Bei dieser Methode stellt sich die Frage, i welcher Weise der gesuchte Mittelwert v eier Meßreihe vom v Umfag vo de Mittelwerte abhägt: p = 1 " p i ud T = 1 " T i Für eie allgemeiere Darstellug kehre wir vom spezielle Beispiel zu de Begriffe X,Y, ud Z für die Name der Zustadsvariable ud x,y, ud z für die Werte der Zustadsvariable zurück Dabei gehe wir aus vo eier Meßreihe vom Umfag ud zwei gemessee Größe X ud Y: x 1,x,x 3, ud y 1,y,y 3, ud de Mittelwerte x = 1 " x i ud y = 1 " y i Die eizele Messwerte besitze vom jeweils zugehörige Mittelwert die Abweichuge ud s i : r i = x i " x ud s i = y i " y Dies ergibt für x i ud y i : x i = x + r i ud y i = y + s i Setze wir diese Werte ei i die Fuktiosgleichug z=f(x,y) so erhalte wir isgesamt idirekte Meßwerte: z i = f( x i,y i ) = f( x + r i,y + s i ) Die Differeze vo jedem idirekt bestimmte z i zum Wert w i = z i " f( x,y) = f( x i,y i ) " f( x,x) = f( x + r i,y + s i ) " f( x,y) Ma beachte, daß wir zuächst keie Aussage z = f x,y ( ) formuliere köe Eie solche Aussage etsteht, we wir für kleie Abweichuge s i die Werte w i durch das totale Differetial dz i ersetze: w i " dz i = df( x,y) = f x ( x,y)r i + f y ( x,y)s i f( x,y) seie: r i ud r i
110 Da gilt äherugsweise: z i " f(x,y) = f(x i,y i ) " f(x,y) = f x (x,y)r i + f y (x,y)s i ud z i = f( x i,y i ) = f(x,y) + f x (x,y)r i + f y (x,y)s i Wir bilde aus de - Messwerte de Mittelwert z = 1 " z i = 1 " [ f(x,y) + f x (x,y)r i + f y (x,y)s i ] $ ( = 1 %" f(x,y) + f(x,y) #" r i + f(x,y) #" s i ) ' =#f (x,y) =0 =0 * = 1 ## f(x,y) = f(x,y) Nu köe wir de Mittelwert eier idirekte Meßgröße defiiere Defiitio des Mittelwertes eier idirekte Meßgröße Der Mittelwert z der idirekte Meßgröße Z=f(X,Y) läßt sich aus de Mittelwerte beide voeiader uabhägige Meßgröße X ud Y bereche: x ud y der z = f(x,y)
111 666 Fehlerfortpflazug ach Gauß Die Stadardabweichuge s x ud s y i de beide voeiader uabhägige Meßgröße x ud y beschreibe die Streuug der Meßwerte um ihre Mittelwerte x ud y Kosequeterweise streut damit auch die aus x ud y berechete Größe z(x,y) um ihre Mittelwert z = f(x,y) Die Stadardabweichug s z der idirekte Meßgröße Z wird vo s x, s y ud dem fuktioale Zusammehag z=f(x,y) abhäge Zuächst rufe wir us die Notatio für die Abweichuge der idirekte Meßwerte z i =f(x i,y i ) vom Mittelwert z = f(x,y) is Gedächtis: w i = z i " f( x,y) = f( x i,y i ) " f( x,y) = f( x + r i,y + s i ) " f( x,y) Für kleie Abweichuge r i ud s i ersetze wir die Werte w i durch das totale Differetial dz i : w i = z i " z # dz i = f x ( x,y)r i + f y ( x,y)s i f y (x,y) kür- Für die Summe der Abweichugsquadrate erreche wir, wobei wir für zer f x ud f y schreibe: ( ) " w i = "(z i # z) = " f x $ r i + f y $ s i = (f x $ " ri + f x $ f y $r i $ s i + f y $ si ) = f x $ " ri + fx f y $ " r i $ s i + f y $ " si f x (x,y) ud Für eie hireiched große Zahl vo Meßwerte ergibt die Summatio der Produkte (r i s i ), die mit gleicher Wahrscheilichkeit positiv oder egativ sid, äherugsweise Null: # r i " s i $ 0 Für die Abweichugsquadrate folgt da: " w i = "( z i # z) = f x " r i + f y s i " Für die Stadardabweichug s z der Eizelmessuge z i folgt: s z = 1 # w "1 i = 1 #( z i " z) = "1 i $ 1 "1 f x r i + # fy % s i # ' ) ( $ 1 = f x % "1 r # i ' $ ) + f y 1 ( % "1 s i # ' ) = f x * s x + fy * sx * fy, ( wori f x = f x (x,y), f y = f y (x,y), r i = x i " x ud s i = y i " y bedeute
11 Wir ee diese Gleichug das Gaußsche Fehlerfortpflazugsgesetz für Stadardabweichuge Das Fehlerfortpflazugsgesetz für Variaze erhalte wir daraus durch quadriere Es lautet: s z = fx " sx + fy " sx " fy Nu variiere icht ur die direkt bzw idirekt ermittelte Größe x i, y i bzw z i ierhalb eier Stichprobe vom Umfag, soder es variiere für verschiedee Stichprobe auch die pro Stichprobe hergeleitete Kegröße Mittelwert ud Variaz De Zusammehag zwische de Stadardabweichuge s x, s y ud s z der Eizelmessuge ud de Stadardabweichuge der Mittelwerte s x, s y ud s z, beschreibe wir durch: s x = s x, s y = s y s z = s z = ud s z = s z Für die Stadardabweichug des Mittelwertes s z gilt da: f x " sx + fy " sy # s = f x " x # s y % ( + f y " % ( = ( f x " s $ ' $ ' x ) + ( f y " s y ) Dies ist das Fehlerfortpflazugsgesetz vo Gauß für die Stadardabweichug des Mittelwertes Für die Variaz gilt da etspreched: s = fx " s z ( x ) + ( f y " s y ) = f x " sx + fy " sy Amerkuge Das Gauß Fehlerfortpflazugsgesetz läßt sich aalog auf Messgrösse awede, die vo mehr als zwei Variable abhäge Hägt die Messgrösse W beispielsweise vo drei Variable ab, W=W(X,Y,Z) so formuliere wir gaz etspreched: s w = $ "w "x (x,y,z) # s ' % x) + "w $ ( "y (x,y,z) # s ' $ y) + "w % ( "z (x,y,z) # s ' % z) ( Dari bedeute u s x, s y,ud s z die Stadardabweichuge der Mittelwerte der drei direkt gemessee Größe X,Y ud Z ud s w die Stadardabweichug des Mittelwertes der idirekte Meßgröße W Zusammefassug Sei Z eie idirekte Meßgröße, die vo de zwei direkt meßbare Größe X ud Y abhägt: Z=f(X,Y) Aus de Messuge liege folgede Ergebisse vor: x = x ± "x ud y = y ± "y, wori x ud y die Mittelwerte ud Δx ud Δy die Meßusicherheite darstelle, welche ma im allgemeie durch die Stadardabweichuge beschreibt: "x = s x = s x ud "y = s y = s y z = f(x,y) Die idirekte Meßgröße besitzt da de Mittelwert:
113 Die Geauigkeit vo Z beschreibe wir durch "z = s z ud bereche s z so: s z = $ "f %"x x,y ( ) # s x ' $ ) + "f ( %"y x,y ( ) # s y ' ) ( Für eifache Zusammehäge z=f(x,y) sieht die Geauigkeit vo Z so aus: Z=X±Y: "z = ("x) + ("y) Z=k X Y: "z z = "x x + "y y Z = k " X Y : "z z = "x x + "y y Z=k X α Y β "z z = # $ "x x + %$ "y y Beispiel Für ei ideales Gas sid die Größe Druck p, Volume m v = V, wori m die Masse des Gases bedeutet ud v das spezifische Volume mit ideale Gasgesetz: v = 1 " ud ρ als Dichte, ud T verküpft durch das p = m R" T Die Größe R stellt dari die spezifische Gaskostate dar Für V die vorgegebee Temperatur T=T 0 (isotherme Messug) wurde aus Messuge vo p ud V die Gasmege im Behälter ermittelt: m = m(p,v) = p " V Dabei wurde für p ud V folgede Date abgelese: R=871, T 0 =300K R" T 0 Volume [qcm] 55,01 55,09 55,08 55,1 54,99 55,03 55,0 55,04 55,03 Druck [bar] 1,01301 1,01385 1,01433 1,001 1,01318 1,00097 1,0137 1,01513 1,0139 Aus diese Meßwerte erreche wir folgede statistische Meßgröße: Mittelwert V=550456 cm 3, Stadardabweichug des Mittelwertes s V =0014 Mittelwert p=101301, Stadardabweichug des Mittelwertes s p =00017 Die Stadardabweichuge der Eizelmessuge s V ud s p sid um de Faktor 3 größer, zb s V = " s V = 3" s V Für de Mittelwert vo m(p,v) erreche wir aus de Meßdate:
114 m = f(p,v) = p " V 101301" 550456 = = 000065 R" T 0 871" 300 Die partielle Ableituge heiße: "m "p (p,v) = V "m(p,v) "p ' ) ( = m p = V R# T 0 ud "m "V (p,v) = p "m(p,v) "V = m p V = R# T 0 Also gilt: = 0000639 ud = 00000117 R# T 0 R# T 0 Das Gauß - Fehlerfortpflazugsgesetz liefert da folgede Wert für die Stadardabweichug s m = $ % "m "p p,v ( ) # s p ' $ ) + "m ( % "V p,v ( ) # s V Wege m=k p V gilt atürlich auch: = ( 0000639# 00017) + ( 00000117# 0014) = 0000011 "z z = "x x + "y y # "m m = "p p + "V V = s p p + s V V = 00017 + 0014 = 0,00169, 101301 550456 also ist Δm=000169 00065=0000011