Mathematik I Herbstsemester 208 Prof. Dr. Erich Walter Farkas http://www.math.ethz.ch/ farkas / 70
5. Integralrechnung Grundbegriffe Das bestimmte Integral als Flächeninhalt Der Fundamentalsatz Partielle Integration Integration durch Substitution Uneigentliche Integrale Integration von Partialbrüchen Volumen eines Rotationskörpers 2 / 70
Literatur Lothar Papula Mathematik für Ingenieure und Naturwissenschaftler Band Ein Lehr- und Arbeitsbuch für das Grundstudium 4. Auflage Springer Verlag Seiten 422-475, 487-495 Seiten 559-565 (Übungsaufgaben mit Lösungen im Anhang) 3 / 70
Grundbegriffe Definition Stammfunktion Gegeben Funktion f mit Definitionsbereich D = [a, b]. Eine Funktion F mit Definitionsbereich [a, b] heisst Stammfunktion für die Funktion f falls: F ableitbar ist und F (x) = f (x) für alle x [a, b] 4 / 70
Grundbegriffe Beispiele f (x) = x α wobei α F (x) = α+ x α+ ist eine Stammfunktion für f x > 0, f (x) = x F (x) = ln(x) + c, c R, ist eine Stammfunktion für f 5 / 70
Grundbegriffe Bemerkung Seien F und F 2 zwei Stammfunktionen von f. Dann gibt es ein c R mit F (x) F 2 (x) = c. Anwendung Bei der Suche nach einer Stammfunktion reicht es eine einzige zu finden, nennen wir diese F. Dann folgt: Jede Stammfunktion hat die Form F (x) + c mit c R. 6 / 70
Grundbegriffe Notation und Terminologie f (x)dx = {F (x) + c : c R} f (x)dx = unbestimmtes Integral von f Beispiel f (x) = cos x f (x) dx = cos x dx = {sin x + c : c R} Theorem Jede stetige Funktion f : [a, b] R besitzt eine Stammfunktion (also unendlich viele)! 7 / 70
Das bestimmte Integral als Flächeninhalt Das bestimmte Integral und Flächeninhalte Das bestimmte Integral der stetigen Funktion f wird definiert als die Fläche unter dem Graphen: von a bis b b a f (x)dx := Fläche unter dem Graphen y y = f (x) [ ] a b x 8 / 70
Das bestimmte Integral als Flächeninhalt Mathematisch wird das bestimmte Integral wie folgt definiert: a, b R, a < b ; f auf dem Intervall [a, b] stetig Unterteilung des Intervalls [a, b] : a = x 0 < x <... < x i < x i <... < x n = b [ ] I I I I I a = x 0 x x 2... x i x i x i... x n b = x n x Wahl eines Zwischenpunktes ξ i [x i, x i ], x i ξ i x i : in jedem Teilintervall ξ ξ 2 ξ i ξ n [ I I I I I ] x 0 x x 2... x i x i... x n x n x 9 / 70
Das bestimmte Integral als Flächeninhalt Bilden der Riemannschen Summe F n, := n f (ξ i ) x i i= y f (ξ i ) y = f (x) x i [ I I I I I ] x 0 ξ x ξ 2 x 2... x i ξ i x i... x n ξ n x n x 0 / 70
Das bestimmte Integral als Flächeninhalt Dann ist das Integral der Funktion f von a bis b: b a f (x)dx := y lim x i 0 n f (ξ i ) x i Fläche unter dem Graphen i= y = f (x) [ ] a b x / 70
Das bestimmte Integral als Flächeninhalt Flächenteile unterhalb der x-achse werden als negativ gezählt! y y = f (x) + + - [ ] a b x 2 / 70
Das bestimmte Integral als Flächeninhalt a < b ; n N f : [a, b] R stetig Zerlegung von [a, b] in n gleich lange Teilintervalle [x i, x i ] ; (i =, 2,..., n) [ ] I I I I I a = x 0 x x 2... x i x i x i... x n b = x n x x i = b a n, x i = a + i ( ) b a n 3 / 70
Das bestimmte Integral als Flächeninhalt Zugehörige Riemannsche Summe (wähle ξ i = x i = rechter Endpunkt des Teilintervalls [x i, x i ]): b a n f (x i ) x i = i= n f i= = b a n ( a + i n f i= ( b a f (x)dx = lim n n ( )) b a b a = n n ( ( )) b a a + i n f i= ( a + i n ( )) ) b a n 4 / 70
Der Fundamentalsatz Verbindung zwischen das bestimmte Integral und Stammfunktionen Kernaussage dieses Abschnittes wird folgende sein: Sei I R ein Intervall und sei f eine stetige Funktion auf diesem Intervall. Dann gelten: a) f hat eine Stammfunktion. b) Ist F eine Stammfunktion von f und sind a, b I, so ist: Wie kommt man dazu? b a f (x)dx = F (b) F (a) 5 / 70
Der Fundamentalsatz I R Intervall ; a I ; f : I R stetig Neue Funktion Φ = Φ a : I R ; x Φ a(x) = x f (t)dt a Jedem x in I ordnen wir die Fläche unter dem Graphen von f zwischen a und x zu. x 0, x 0 + h I, mit x 0 ξ = ξ(h) x 0 + h Φ a(x 0 + h) Φ a(x 0) = = x 0 +h x 0 f (t)dt f (t)dt a a x 0 +h f (t)dt = h f (ξ(h)) y h y = f (x) f (ξ) Φ a (x 0 + h) Φ a (x 0 ) Φ a (x 0 ) = h f (ξ) [ I I I x a x 0 ξ x 0 + h x 0 6 / 70
Der Fundamentalsatz Bilden wir den Grenzwert, so erhalten wir: Somit gilt: Φ a (x 0 + h) Φ a (x 0 ) h f (ξ(h)) lim = lim h 0 h h 0 h = lim f (ξ(h)) = f (x 0 ) h 0 x Φ a (x) = f (t)dt a ist differenzierbar und Φ a (x) = f (x) (für alle x I ) 7 / 70
Der Fundamentalsatz Der Fundamentalsatz Sei I R ein Intervall und sei f auf I eine stetige Funktion. Dann gelten: a) f hat eine Stammfunktion. b) Ist F eine Stammfunktion von f und sind a, b I, so ist: Notation b a f (x)dx = F (b) F (a) F (b) F (a) =: F (x) b a b = f (x)dx = F (x) b a a 8 / 70
Der Fundamentalsatz Beispiel Gesucht: b 0 sin x dx Wir wissen: Die Stammfunktion von sin x ist cos x. Daraus folgt: b 0 sin x dx = cos(x) b 0 = cos(b) ( cos(0)) = cos(b) 9 / 70
Der Fundamentalsatz Satz (Bestimmung der Stammfunktion) { } x ) x α α+ dx = α + + C ; C R 2) dx = {ln x + C ; C R} x 3) cos x dx = {sin x + C ; C R} 4) sin x dx = { cos x + C ; C R} (falls α ) 20 / 70
Der Fundamentalsatz 5) Ist F Stammfunktion für f und ist G Stammfunktion für g, dann ist F ± G Stammfunktion für f ± g (f ± g)(x)dx = f (x)dx ± g(x)dx 6) Ist F Stammfunktion für f ; λ R, dann ist λf Stammfunktion für λf λf (x)dx = λ f (x)dx Beispiel: (x 2 + cos x) dx = x 2 dx + cos x dx = x 3 3 + C + sin x + C 2 = x 3 3 + sin x + C 2 / 70
Partielle Integration Satz (partielle Integration): a) u(x) v (x)dx = u(x)v(x) u (x)v(x)dx (Interpretation: Stammfunktion von u v = u v - Stammfunktion von u v) b) b a b u(x) v (x)dx = u(x) v(x) b a u (x)v(x)dx Bemerkung: Erfahrung ist gewünscht bei der Wahl der Funktionen u und v. a 22 / 70
Partielle Integration Beispiel e x 2 ln x dx Wir wollen partielle Integration verwenden und definieren passende u und v. Wahl: u(x) = x 2 v (x) = ln x u (x) = 2x v(x) =? recht schwierig, nicht optimal 2. Wahl: u(x) = ln x v (x) = x 2 u (x) = x v(x) = x3 3 23 / 70
Partielle Integration Jetzt integrieren wir x 2 ln x dx = ln x x 3 3 = x 3 3 ln x x 2 dx = x 3 3 = x 3 3 ln x x 3 9 + C x x 3 3 dx = x 3 x 2 3 ln x 3 ln x 3 x 3 3 dx 3 + C F (x) = x3 x3 3 ln x 9 + C ist eine Stammfunktion für x 2 ln x. 24 / 70
Partielle Integration Es gibt zwei Wege, das folgende bestimmte Integral zu lösen e x 2 ln x dx. Lösung mit Satz zur partiellen Integration (Teil b)) 2. Lösung mittels der im Teil a) bestimmten Stammfunktion 25 / 70
Partielle Integration. Lösung mit Satz zur partiellen Integration (Teil b) e x 2 ln xdx = ln x x 3 e e 3 x x 3 3 dx = (ln e e3 3 ln ) e x 2 3 3 dx ( e 3 = 3 0 ) e x 2 dx = e3 3 3 3 3 x 3 3 = e3 3 ( e 3 3) = 2 9 9 e3 + 9 e 26 / 70
Partielle Integration 2. Lösung mittels der im Teil a) bestimmten Stammfunktion: e x 2 e ln x dx = F (x) mit F Stammfunktion von x 2 ln x F (x) = x 3 3 ln x x 3 9 e ( x x 2 3 ln x dx = 3 ln x x 3 ) e 9 ( e 3 = 3 ln e ) ( ) 9 e3 3 ln = 2 3 9 9 e3 + 9 27 / 70
Partielle Integration Bemerkung: Manchmal ist v (x) nicht sichtbar! Beispiel 2: ln x dx = (ln x) dx u(x) = ln x v (x) = u (x) = x v(x) = x ln x dx = (ln x) x x x dx = x ln x dx = x ln x x + C 28 / 70
Partielle Integration Bemerkung Ziel der partiellen Integration ist die Vereinfachung des bestimmten / unbestimmten Integrals. Manchmal muss man zweimal oder dreimal integrieren. 29 / 70
Partielle Integration Beispiel 3: x 2 cos x dx u(x) = x 2 u (x) = 2x v (x) = cos x v(x) = sin x x 2 cos x dx = x 2 sin x 2x sin x dx = x 2 sin x 2 x sin x dx Jetzt integrieren wir x sin x dx : u(x) = x v (x) = sin x u (x) = v(x) = cos x x sin x dx = x cos x cos x dx = x cos x + sin x + C 30 / 70
Partielle Integration Auflösen x 2 cos x dx = x 2 sin x 2( x cos x + sin x + C) = x 2 sin x + 2x cos x 2 sin x + C Bemerkung: π 0 x 2 cos x dx = (x 2 sin x + 2x cos x 2 sin x) π 0 = (π 2 sin π + 2π cos π 2 sin π) (0 2 sin 0 + 2 0 cos 0 2 sin 0) = 2π 3 / 70
Integration durch Substitution Beispiel (Substitution) x cos(x 2 ) dx Partielle Integration ist schwierig ( x 2 ) Substitution: x 2 = u und somit 2x dx = du Somit: x cos(x 2 ) dx = = 2 2 cos(x 2 ) (2x dx) cos u du = 2 sin u + C = 2 sin x 2 + C = F (x) 32 / 70
Integration durch Substitution Rezept / Technik Bestimmen Sie u = g(x) du = g (x) dx dx = g (x) du f (x)dx ϕ(u)du Rücksubstitution u = g(x) Bemerkung Hoffnung: ϕ(u)du ist einfacher b a f (x)dx (Substitution u = g(x)) g(b) g(a) ϕ(u)du 33 / 70
Integration durch Substitution Beispiel 2 x dx für x (0, ) x 2. Versuch: geeignete partielle Integration 2. Versuch: Substitution x = sin u arcsin x = u x 2 = (sin u) 2 = (cos u) 2 (dx = cos(u)du) x dx = x 2 = sin u dx = (cos u) 2 sin u cos u cos u du }{{} dx sin u du = cos u + C = cos(arcsin x) + C 34 / 70
Integration durch Substitution Empfehlungen für Substitutionen: ) f (ax + b)dx u = ax + b du = a dx 35 / 70
Integration durch Substitution Beispiel (2x 3) dx u = 2x 3 du = 2dx dx = du 2 = u du 2 = 2 (2x 3)2 24 + C u du = 2 u2 2 + C = u2 24 + C 36 / 70
Integration durch Substitution Beispiel 2 4x + 5dx u = 4x + 5 du = 4dx dx = du 4 u du 4 = u du = 4 4 u 2 du = 4 = 4 2 3 u 3 2 + C = 6 u 3 2 + C = 6 (4x + 5) 3 2 + C 2 + u 2 + + C 37 / 70
Integration durch Substitution Beispiel 3 e 5x+206 dx u = 5x + 206 du = 5dx dx = du 5 e u du 5 = 5 e u du = 5 eu + C = 5 e5x+206 + C 38 / 70
Integration durch Substitution Empfehlungen für Substitutionen 2) f (x) f (x)dx u = f (x) du = f (x)dx u du = 2 u2 + C = 2 f (x)2 + C 39 / 70
Integration durch Substitution Beispiel }{{} sin x cos }{{} x dx u = sin x f f du = cos dx u du = 2 u2 + C = 2 (sin x)2 + C 40 / 70
Integration durch Substitution Beispiel 2 ln x x dx = ln x x dx = ln x (ln x) dx u = ln x du = x dx u du = 2 u2 + C = (ln x)2 2 + C 4 / 70
Integration durch Substitution Empfehlungen für Substitutionen: 3) f (x) f (x) dx = f (x) f (x) dx u = f (x) du = f (x)dx u du = ln u + C 42 / 70
Integration durch Substitution Beispiel 2x 3 x 2 3x + dx u = x 2 3x + du = (2x 3)dx u du = ln u + C = ln x 2 3x + + C 43 / 70
Integration durch Substitution Beispiel 2 e x e x + 5 dx u = ex + 5 du = e x dx u du = ln u + C = ln ex + 5 + C = ln(e x + 5) + C 44 / 70
Integration durch Substitution Empfehlungen für Substitutionen 4) r > 0 fest vorgegeben, x r Erinnerung: (cos y) 2 + (sin y) 2 = für alle y r 2 x 2 dx x = r sin u r 2 x 2 = r 2 r 2 (sin u) 2 = = r (sin u) 2 = r dx = r cos u du r 2 ( (sin u) 2 ) (cos u) 2 = r cos u = r cos u (weil hier u = arcsin( x r ) [ π 2, π 2 ] cos(u) 0). 45 / 70
Integration durch Substitution r 2 x 2 dx = (r cos u) r cos u du g = r 2 f {}}{{}}{ cos u cos u du } {{ } J 46 / 70
Integration durch Substitution Partielle Integration mit f (u) = sin u, g(u) = sin u J = cos u cos u du = cos u sin u ( sin u sin u) du = cos u sin u + (sin u) 2 du = cos u sin u + ( (cos u) 2 ) du = cos u sin u + u (cos u) 2 du } {{ } J J = cos u sin u + u J J = (cos u sin u + u) 2 r 2 x 2 dx = ( x ) 2 r 2 (cos u sin u + u), u = arcsin r 47 / 70
Integration durch Substitution Empfehlungen für Substitutionen: 5) Notation: x x 2 25 cosh(u) = 2 (eu + e u ) sinh(u) = 2 (eu e u ) cosh 2 (u) sinh 2 (u) = dx x = 5 cosh(u) = 5 2 (eu + e u ) 48 / 70
Integration durch Substitution x 2 25 = 5 2 cosh 2 (u) 5 2 = 5 2 (cosh 2 (u) ) = 5 cosh 2 (u) = 5 sinh 2 (u) = 5 sinh(u) dx = 5 2 (eu e u ) du = 5 sinh(u) du 5 cosh(u) 5 sinh(u) du = 5 cosh(u) du 5 sinh(u) = 5 2 (eu + e u )du = 5 2 (eu e u ) + C = 5 sinh(arcosh(x/5)) + C = 5 (x/5) 2 + C = x 2 25 + C 49 / 70
Integration durch Substitution f (x, x 2 a 2 ) dx x = a cosh(u) f (x, x 2 + a 2 ) dx x = a sinh(u) 50 / 70
Uneigentliche Integrale Bisher entweder f (x) dx (alle Stammfunktionen für f ; unbestimmte Integrale) oder b a f (x) dx (Zahl, Fläche unter der Kurve zwischen a und b) 5 / 70
Uneigentliche Integrale Definition b f (x) dx; f (x) dx; a uneigentliche Integrale f (x) dx Berechnung des Integrals ) wähle λ a und berechne 2) berechne lim λ λ a a f (x) dx, f (x) dx wird wie folgt behandelt: λ a f (x) dx das ist dann a f (x) dx 52 / 70
Uneigentliche Integrale Beispiel Lösung: sei λ 0 λ 0 f (x) dx = f (x) = + x 2 I = λ 0 + x 2 dx = arctan λ 0 = arctan λ arctan 0 = arctan λ 0 f (x)dx = lim λ λ 0 0 f (x) dx f (x)dx = lim λ arctan λ = π 2 Geometrische Interpretation Der Flächeninhalt zwischen f (x) und x-achse ist endlich und gleich π 2. 53 / 70
Uneigentliche Integrale Definition Falls a f (x) dx <, so heisst das uneigentliche Integral konvergent (sonst divergent). Bemerkungen:. Für b und anschliessend f (x) dx wähle λ < b, berechne lim 2. Zur Berechnung von C f (x) dx und b λ λ C f (x) dx f (x) dx b λ f (x) dx f (x) dx : wähle C R und berechne 54 / 70
Uneigentliche Integrale Beispiel Lösung: I = x 3 dx λ λ λ x 3 dx = x 3 dx = x 2 λ 2 = ( λ 2 2) = ( ) 2 2 λ 2 = 2 2λ 2 λ ( lim dx = lim λ x 3 λ 2 ) 2λ 2 = 2 Fazit: I = 2 ; das heisst I ist konvergent. 55 / 70
Uneigentliche Integrale Beispiel 2 Lösung f (x) = x I = λ λ λ 0 xdx = x 2 2 dx = 0 0 3 x 3 2 = 2 ) (λ 3 3 2 0 2 = 2 3 3 λ 3 2 0 λ 0 xdx 0 f (x)dx = lim λ λ 0 3 xdx = lim λ 2 λ 3 2 = + Fazit: I ist divergent, Fläche unter x ist unendlich. 56 / 70
Uneigentliche Integrale Beispiel 3 Beweisen Sie: Lösung: Sei zunächst α. dx = lim x α = lim λ [ λ λ α + x α+ = α lim [ λ α ] = λ dx ist konvergent α > x α dx = lim x α ] λ λ = lim λ [ λ α ] x α dx { < ; falls α > + ; falls α < [ λ α α] 57 / 70
Uneigentliche Integrale Spezialfall α = λ lim λ = + x α dx = lim ln x λ λ = lim [ln λ ln ] λ konvergent genau dann wenn α > 58 / 70
Integration von Partialbrüchen Bemerkung dx = ln x + C x x β dx = x β dx = β + x β+ + C (falls β ) 59 / 70
Integration von Partialbrüchen Bemerkung Sei a R fest x a dx u = x a du = dx x a dx = du = ln u + C = ln x a + C u 60 / 70
Integration von Partialbrüchen Bemerkung (Forts.) Sei a R fest dx (mit β ) u = x a (x a) β = du = dx (x a) β dx = u β du = β + u β+ + C β + (x a) β+ + C 6 / 70
Integration von Partialbrüchen Beispiel zu Bemerkung : dx = ln x 3 + C x 3 (x 2) 2 dx = 2 + (x 2) 2+ + C = (x 2) + C 62 / 70
Integration von Partialbrüchen Definition Echt gebrochene rationale Funktionen sind Funktionen der Form f (x) = P(x) Q(x) P, Q sind Polynome P(x) = a k x k + a k x k +... + a x + a 0, Grad P = k Q(x) = b m x m + b m x m +... + b x + b 0, Grad Q = m wobei k < m 63 / 70
Integration von Partialbrüchen Beispiele f (x) = 2x 3 x 2 + f (x) = x 2 4 x 3 + 3x + 2 64 / 70
Integration von Partialbrüchen Ziel: Stammfunktionen für gebrochene rationale Funktionen finden Bemerkung: falls Q(x) = ax 2 + bx + c, mit a 0 Nullstellen von Q(x) sind x = b ± b 2 4ac 2a falls: > 0 b 2 4ac > 0 es gibt zwei reelle Lösungen x, x 2 von Q(x) = 0 und wir können schreiben Q(x) = a(x x )(x x 2 ) Beispiel: x 2 3x + 2 = (x )(x 2) 65 / 70
Integration von Partialbrüchen falls: = 0 b 2 4ac = 0 x = x 2 = b 2a Q hat eine doppelte Nullstelle Beispiel: Q(x) = x 2 4x + 4 = ( 4) 2 4 4 = 0 Q(x) = a(x x ) 2 Q(x) = (x 2) 2 66 / 70
Integration von Partialbrüchen Stammfunktionen für gebrochene rationale Funktionen Beispiele (werden in der Vorlesung vorgestellt) 67 / 70
Integration von Partialbrüchen falls: < 0 b 2 4ac < 0 Q hat keine reellen Nullstellen (hat zwei komplexe Nullstellen) Beispiel: Q(x) = x 2 + x + 3 68 / 70
Volumen eines Rotationskörpers Volumen eines Rotationskörpers Volumen dv =Grundfläche Höhe = π f 2 (x) dx V = dv = b a b πf 2 (x) dx = π f 2 (x) dx a Der Graph f rotiert um die x-achse Querschnittsfläche an der Stelle x : πf 2 (x) = F (x) 69 / 70
Volumen eines Rotationskörpers Beispiel b V = π ( ) 2 b dx = π x ) ( = π b ) lim π = π b ( b ( = π b f (x) = x x 2 dx = π x ) b 70 / 70