Analysis -BAUG r. Cornelia Busch F 6 erie. Überprüfen ie die Gültigkeit des atzes von Gauss F d div F dv, () anhand des Beispiels F(x, y, z) (3x, xy, xz), [, ] [, ] [, ] (Einheitswürfel im R 3 ). Wir berechnen für F(x, y, z) (3x, xy, xz) und [, ] 3 die linke und rechte eite in () separat. Linke eite von (): Wir müssen die eiten,..., 6 des Würfels separat betrachten. Beachte, dass der Normalenvektor immer gegen aussen orientiert sein muss. Linke eitenfl"ache : x, y, z. ie Rechnung für wollen wir im etail durchführen, die anderen fünf eiten gehen analog. Eine Parametrisierung von ist gegeben durch r : [, ] [, ] R 3, r(y, z) r y (y, z), r z (y, z) r y r z a der Normalenvektor nach aussen zeigen muss, wählen wir n r z r y (,, ). Es folgt F d da. R Rechte eitenfl"ache : x, y, z.. F(x, y, z) (3, y, z), n r y r z (,, ) Vordere eitenfl"ache 3 : y, x, z. F(x, y, z) (3x,, xz), n r x r z (,, ) y z ; F d 3. 3 F d.
Hintere eitenfl"ache 4 : y, x, z. F(x, y, z) (3x, x, xz), n r z r x (,, ) F d x da x dx dz 4 R. Untere eitenfl"ache 5 : z, x, y. F(x, y, z) (3x, xy, ), n r y r x (,, ) Obere eitenfl"ache 6 : z, x, y. Zusammen: F(x, y, z) (3x, xy, x), n r x r y (,, ) F d x da x dx dy. 6 R Rechte eite von (): div F dv F d 6 i i F d 3 + + 4.5. (3 + 3x) dv (3x + 3 x ) dy dz 5 F d. (3 + 3x) dx dy dz 9 dy dz 4.5.. a) Berechnen ie das Integral C F dr, wobei ist und C den Rand des Quadrates F(x, y, z) ( x y, z x, y z ) {(x, y, z) R 3 x, y, z } mit positiver Orientierung bezeichnet. er atz von tokes besagt rot F d wobei das Quadrat ist. Weiter gilt y z rot F x + y C F dr, y z x + y.
Eine Parametrisierung von ist gegeben durch r : [, ] [, ] R 3, r(x, y) r x (x, y), r y (x, y) r x r y und diese Orientierung des Normalenvektors ist konsistent mit der Aufgabenstellung. Wir erhalten also y rot F d da R x + y ( x + y) da 4 R ( x y ( x + y) dx dy x dx + b) Berechnen ie das Integral rot F d, wobei ist und die Fläche F(x, y, z) (y, z, x y z) ; ) y dy. {(x, y, z) R 3 x + y + z 5, 3 x 5} bezeichnet. ie Normale sei dabei nach aussen gerichtet. er atz von tokes besagt rot F d F dr, wobei C {(x, y, z) R 3 x 3, y + z 6} der Kreis parallel zur y z Ebene auf Höhe x 3 mit Radius r 4 ist. Eine Parametrisierung von C, konsistent mit der gegebenen Orientierung aus der Aufgabenstellung, ist r : [, π) R 3, r(t) 3 C 3 4 cos t 4 sin t ;
r (t) 4 sin t 4 cos t. amit ergibt sich C F dr π π π π F (r(t)) r (t) dt 8 cos t 4 sin t 3 4 cos t 4 sin t 4 sin t 4 cos t dt (6 sin t + cos t 6 cos t 6 cos t sin t) dt (6 sin t 6 cos t) dt } {{ } ( sin t 8 sin t ) π dt. π + ( cos t 6 cos t sin t) dt c) Berechnen ie das Oberflächenintegral F d, wobei ist und die Oberfläche von F(x, y, z) (3xy, xe z, z 3 ) {(x, y, z) R 3 y + z, x } bezeichnet. ie Normale sei dabei nach aussen gerichtet. 4
er atz von Gauss besagt F d wobei gilt mit div F dv, {(x, y, z) R 3 y + z, x }. ie Menge ist der Vollzylinder von x bis x mit der x Achse als rehachse und Radius und ist die gesamte Oberfläche von, d.h. die Mantelfläche und die beiden eckel. amit dürfen wir den atz von Gauss auch tatsächlich ohne Weiteres anwenden. Mit div F(x, y, z) 3y + + 3z 3(y + z ) folgt F d div F dv 3 (y + z ) dv 3 6π π r 4 4 r r r dφ dr dx 6π dx 6π 4 r 3 dr dx dx 6π 3 4 9 π. Bemerkung: Zur Berechnung des Integrals wurden Zylinderkoordinaten benutzt (x Achse Zylinderachse). Aus y + z (Abstandsquadrat von der Achse) wurde dabei r. 3. as Gesetz von Fourier der Wärmeübertragung besagt, dass der Wärmefluss F proportional zum negativen Gradienten der Temperatur T ist, d.h. F k T. as bedeutet, dass der Wärmeübergang in Richtung kälterer Bereiche erfolgt. ie Proportionalitätskonstante k ist die Wärmeleitfähigkeit mit der Einheit Gegeben sei k und die Temperatur T (x, y, z) + e z auf {(x, y, z) R 3 x, y, z }. 5 J m s K bzw. W m K.
Berechnen ie, direkt und mit Hilfe des atzes von Gauss, den Gesamtfluss F d durch die Oberfläche des Würfels von innen nach aussen. Nach der Formel gilt F T (,, e z ). irekt: Es seien,..., 6 die eitenflächen des Würfels. ann gilt 6 F d F d i i da + e z + da + 3 e z 4 + da + 5 e 6 5 ( e ) da + Mit dem atz von Gauss: 6 e da (e ) dx dy e. F d div F dv e z dz e z e. e z e z e e z dx dy dz da da da Bemerkung: In diesem Fall ist die Berechnung mit dem atz von Gauss um einiges kürzer. 4. Es schneit mit einer konstanten Menge chnee pro Minute und Quadratmeter. Ein chneepflug beginnt die Räumungsarbeiten um Uhr. In der ersten tunde fährt er 6
km weit, in der zweiten tunde km. Wir setzen voraus, dass die Geschwindigkeit des chneepflugs umgekehrt proportional zur Höhe der chneedecke ist. tellen ie eine ifferentialgleichung für die Höhe h(t) der gesamten chneedecke auf. Wann hat es zu schneien begonnen? a die chneedecke gleichmässig wächst, muss die (ungepflügte) chneehöhe h(t) linear mit der Zeit wachsen, damit muss h(t) also eine Geradengleichung h(t) αt + β erfüllen. Hier messen wir die Zeit t in tunden und t entspricht Uhr. ies erhält man auch, wenn man die Bedingung ḣ(t) α > (konstante chneezunahme) integriert. α und β sind dabei Konstanten, welche wir bestimmen müssen. Zur Zeit t liegt somit bereits eine chneehöhe von h() β : h. iese Konstante ist somit bereits eine Anfangsbedingung und wir müssen diese nicht noch näher bestimmen. ie Geschwindigkeit des chneepflugs ist umgekehrt proportional zur chneehöhe. Wenn wir mit x(t) die vom chneepflug zurückgelegte istanz bezeichnen, bedeutet das also ẋ(t) C h(t) C αt + h, C ist dabei eine weitere Konstante. iese ifferentialgleichung können wir lösen, indem wir auf beiden eiten integrieren und erhalten x(t) C α ln(αt + h ) + γ mit einer weiteren Integrationskonstante γ. Nun sind folgende aten (Anfangsbedingungen) gegeben: er chneepflug startet zur Zeit t, zur Zeit t hat er km zurückgelegt, zur Zeit t hat er + 3 km zurückgelegt. ies liefert die drei Gleichungen Aus x() folgt durch Einsetzen, dass x(), x(), x() 3. x() C α ln(h ) + γ, also γ C α ln(h ) und x(t) C α ln(αt + h ) C α ln(h ) C ( ) αt + α ln h Cα ( h ln + αt ). h Aus x() folgt x() C α ln ( + α h ) C α ), ln ( + α h 7
was wir in die Bedingung x() 3 einsetzen. as ergibt 3 x() C ( α ln + α ) h ) ( 3 ln ( + αh ln + α ). h ( ln + α ) ln ( + α h Wenden wir auf beide eiten die Exponentialfunktion an, so ergibt sich ( + α ) 3 ( + α ). h h Mit der ubstitution u α h folgt ( + u) 3 ( + u) u 3 + 3u + 3u + 4u + 4u + u 3 u u u(u u ). h ) Mit der sformel für quadratische Gleichungen finden wir damit also Fallunterscheidung: u, u 5 α, α 5, u 3 + 5, h, α 3 + 5 h. ie α macht keinen inn und entspricht der ituation, dass kein chnee fällt (h(t) h ). Beachte, dass wir oben bereits verwendet haben, dass α > und zwar als wir ẋ(t) integriert haben. Hier würden wir also eine konstante Geschwindigkeit des chneepflugs erhalten (ẋ(t) C/h ). ies widerspricht jedoch den Anfangsbedingungen, dass er chneepflug langsamer wird. ie α 5 h < macht ebenfalls keinen inn, da die chneehöhe abnehmen würde. amit bleibt noch die korrekte α 3 + 5 h > übrig. ie chneehöhe erfüllt also die Gleichung h(t) + 5 h t + h. Wir suchen nun den Zeitpunkt T, als der chneefall eingesetzt hat, dies entspricht der Bedingung h(t ), was auf h(t ) + 5 h T + h T + 5.68 führt. ieses Resultat hängt nicht von h ab! Weiter entsprechen.68 tunden ungefähr 37 Minuten, womit es um ca. :3 Uhr zu schneien begonnen hat. 8
5. Finden ie eine ifferentialgleichung, in der sowohl y(x) als auch eine der ersten beiden Ableitungen y (x) bzw. y (x) vorkommen, so dass die jeweils gegebene Funktion y eine L"osung dieser ifferentialgleichung ist: a) y(x) x α + 5x β, α, β > Bemerkung: Zu dieser Aufgabe gibt es nat"urlich beliebig viele richtige L"osungen. Hier folgen also einfach einige Beispiele. y(x) x α + 5x β, y (x) α x α + 5 β x β α x ( xα + 5 x β ) 5 α x β + 5 β x β x ( xα + 5 x β ) + 5 (β α) x β. Eine ifferentialgleichung mit L"osung y w"are also gegeben durch y (x) α x y(x) + 5 (β α) xβ. b) y(x) λx y(x) λx e ln () λx y (x) e ln () λx ln () λ x. Eine ifferentialgleichung mit L"osung y w"are also (weil ln () ln ( ) ln (4)) y (x) λ ln (4) x y(x). c) y(x) tanh(x) y(x) tanh(x) y (x) Ebenfalls gilt cosh (x) cosh (x) sinh (x) cosh tanh (x) (x) y (x) cosh (x) sinh(x) cosh (x) sinh(x) sinh(x) cosh(x) tanh(x) sinh(x) sinh (x) cosh(x) tanh(x) sinh (x) tanh (x). M"ogliche Antworten sind daher y (x) sinh(x) cosh(x) y(x), y (x) sinh (x) y (x), y (x) y (x). 9
d) y(x) a sin(7x) + b cos(7x), x ( π, π y(x) a sin(7x) + b cos(7x) y (x) 7(a cos(7x) b sin(7x)) y (x) 49(a sin(7x) + b cos(7x)). Eine ifferentialgleichung mit L"osung y w"are also ) y (x) 49y(x).