Schaubilderanalyse Teil ab Klassenstufe 0 Erkennen von Funktionen der Typen: Ganzrational, gebrochen rational, eponentiell, Logarithmusund Wurzelfunktionen, Sinus und Kosinus Große Aufgabensammlung Hinweis: Die Aufgabensammlung dieses Tetes gibt es auch als eigenen Tet mit der Nummer 85 Die Lösungen ebenfalls mit der Nummer 85, Datei Nr 850 Stand 7 April 07 FRIEDRICH W BUCKEL INTERNETBIBLIOTHEK FÜR SCHULMATHEMATIK
850 Schaubilderanalyse Vorwort Nachdem man die einzelnen Funktionsarten kennen gelernt hat, muss man auch in der Lage sein, Funktionen anhand ihres Schaubildes zu identifizieren Dies passiert in Klassenstufe 0 wie auch in der Oberstufe und in der Abiturprüfung Dieser Tet will dies vermitteln Nach einführenden Grundlagen und Beispielen folgt eine große Aufgabensammlung Es werden nicht weniger als 87 Schaubilder mit weit über 00 Kurven gezeigt Dabei gebe ich Kurvengleichungen aber auch Funktionsgleichungen als Ergebnisse an, selten beides Hinweis: Bei Eponential- und Logarithmuskurven verwende ich konsequent das charakteristische Trapez Dieses wird für Logarithmuskurven im Tet 850 ab Seite 0 besprochen Bei den Eponentialfunktionen taucht es im Tet 800 ab Seite 8 auf Dort findet man weitere Aufgaben zum aktuellen Thema Für Unterrichtszwecke sowie Moodle-Systeme gibt es die Aufgaben und ihre Lösungen auch als Einzeltete Inhalt Grundlagen Parabelfunktionen Die Funktion f Einfache gebrochen rationale Funktionen Komplizierte gebrochen rationale Funktionen 5 5 Elementare Eponentialfunktionen 6 6 Eponentialfunktionen mit der Basis e 8 7 Logarithmusfunktionen 9 8 Wurzelfunktionen 9 Sinuskurven, Kosinuskurven Aufgaben nach Funktionsarten geordnet Aufgabe Parabelfunktionen Aufgabe Gebrochen rationale Funktionen Aufgabe Eponentialfunktionen 5 Aufgabe Logarithmusfunktionen 6 Aufgabe 5 Wurzelfunktionen 7 Aufgaben Gemischte Funktionsarten Aufgabe 6 8 Aufgabe 7 9 Aufgabe 8 0 Lösungen aller Aufgaben - 9
850 Schaubilderanalyse Grundlagen Zu Beginn wird an Hand einiger Beispiele erklärt, wie man vorgehen kann, um die Funktion, deren Graph dargestellt ist, zu identifizieren Dazu muss man die Grundeigenschaften der Funktionen kennen, die in den entsprechenden Basisteten dargestellt sind Außerdem ist es ganz wichtig, dass man weiß, wie man Kurven verschiebt (Tet 00) und oft auch, wie man sie strecken kann Parabelfunktionen Die (nicht gestreckte) Normalparabel hat die Gleichung y a b, mit dem Scheitel Sa b K : S0 0 y K : S K : S y y (+) bedeutet Verschiebung um nach links (-) bedeutet Verschiebung um nach rechts Abb Die Kurven K und K 5 haben einen Streckfaktor k für die y-richtung in ihrer Gleichung: K : y und K 5 : y 5 Bei K erkennt man k so: Bei einer Normalparabel (ungestreckt) kann man vom Scheitel aus so weitere Punkte gewinnen: Man geht um zur Seite und dann um y in Abb Richtung der Parabelachse weiter: Also um zur Seite und um nach oben, um zur Seite und dann um nach oben Bei K folgt aus nicht y nach oben sondern nur um, also wirkt hier der Streckfaktor mit (Punkt B) Das kann man bei C überprüfen: y 6 Die Parabel K 5 hat den Streckfaktor k und zusätzlich ein Minuszeichen, weil sie nach unten geöffnet ist Die Funktion f Ihr Schaubild ist K Merkmal: K hat im Ursprung einen Wendepunkt mit waagrechter Tangente und geht durch A K entsteht aus K durch Streckung in y-richtung mit dem Faktor k = und anschließender Verschiebung: f Für K gilt entsprechend: f Abb
850 Schaubilderanalyse Einfache gebrochen rationale Funktionen: Das Schaubild der Grundfunktion f ist K Diese Kurve hat die senkrechte Asymptote = 0 (y-achse) und die waagrechte Asymptote y = 0 (-Achse) und geht durch A Die Kurve K entsteht aus K durch Verschiebung um nach links (aus wird +) und um nach oben: () 7 f Abb Eine Streckung ist nicht dabei, was man am Punkt B erkennt bzw am kleinen Quadrat durch den Schnittpunkt S der Asymptoten und durch A bzw bei K durch S' und B Die Kurve K liegt rechts unter der waagrechten Asymptote Also wird y zuerst an der -Achse gespiegelt zu y Dann folgt die Verschiebung: 7 f Die Kurve K wurde vor der Verschiebung mit dem Faktor in y-richtung gestreckt Dies erkennt man am roten Rechteck Das blaue Quadrat in Abbildung zu y wird also in der Höhe verdoppelt und dann als Rechteck verschoben, so wie man es in Abb 5 mit S und B sieht Dabei geht also y über in y Dann wird verschoben: Abb5 Streckung Verschiebung y in y Richtung um nachlinks y undumnachunten y Ergebnis: f5
850 Schaubilderanalyse 5 Kompliziertere gebrochen rationale Funktionen: Dieser Abschnitt setzt fundierte Kenntnisse über diese Kurven voraus (siehe Tet 808) Daher entfällt in diesem eine ausführliche Erklärung sowie Aufgaben K 6 hat die senkrechten Asymptoten = - und = Daher steht im Nenner Der Grad des Zählers muss kleiner als der Nennergrad sein Da man die Nullstelle = 0 erkennt, könnte man ansetzen mit f 6 Man muss aber einen Streckfaktor k noch beachten: k Ansatz: f6 Zur Bestimmung von k macht man die Punktprobe mit Ergebnis: A : k f k und das muss sein Also folgt: k = f6 Die Kurve K 7 hat die senkrechte Asymptote = ohne Vorzeichenwechsel und eine doppelte Nullstelle - Das bringt den Ansatz: f k 7 Man erhält k =, entweder, wenn man erkennt, dass y = die waagrechte Asymptote ist, denn lim f k lim k lim k k Durch Vergleich folgt k = ) k Oder man erkennt, dass f0 ist und bestimmt f0 k k Ergebnis: f 7 8 f Erklärung Von der Ursprungsgeraden y = geht es bei = um nach oben, bei = um nach oben bei um nach oben
850 Schaubilderanalyse 6 5 Elementare Eponentialfunktionen Das Schaubild jeder elementaren Eponentialfunktion f besitzt ein charakteristisches (krummliniges) Trapez Abb 9 zeigt dies für die Funktion Man beginnt mit P O f : r s b 0, der von der waagrechten Asymptote (-Achse) den Abstand hat Dann geht man senkrecht zur Asymptote nach O Von da um nach rechts bis E 0 und dann nach P Zusammen mit dem Kurvenbogen P P O entsteht ein krummliniges Trapez Dieses ist charakteristisch für die spezielle Funktion Beispiel: Ich verrate zuerst: Die dargestellte Funktion lautet f Man erkennt an Hand der Gleichung sofort, dass die Kurve y zugrunde liegt Und wer ein klein wenig Erfahrung mit Verschiebungen hat, erkennt auch, dass diese Grundkurve um nach links und um nach unten verschoben worden ist Nun gehen wir den umgekehrten Weg: Wie bestimmt man in Abb 0 die Gleichung der Kurve? Schritt: Waagrechte Asymptote ist y Schritt: Man bestimmt den Kurvenpunkt P O, der um oberhalb dieser Asymptoten liegt Schritt: Zeichne das charakteristische Trapez ein: Gehe von P O um nach unten zur Asymptote (Punkt O' ), dann um nach rechts zu E Dann nach oben zur Kurve bis P Die Strecke EP hat die Länge : b = ist die Basis der Funktion Ergebnis: f Die + im Eponenten besagt: Verschiebung um nach links Die - besagt: Verschiebung um nach unten Abb zeigt auf die Richtigkeit des Vorgehens: Oben ist die Kurve y eingezeichnet, zusammen mit dem charakteristischen Trapez (gelb) und der Seite b = (Basis), denn f ist die Basis Dann erkennt man den Verschiebungspfeil OO', der aus der Kurve y die Kurve y macht und das gelbe Trapez in das blaue überführt Und dieses blaue Trapez hat rechts die Seite b mit der Länge
850 Schaubilderanalyse 7 Abb enthält zwei Kurven, deren Gleichungen man anhand der charakteristischen Trapeze aufstellen kann: Die obere Kurve entsteht aus in y-richtung: y y durch Verschiebung um Die untere Kurve hat die Basis, entsteht also aus y durch eine Verschiebung um nach links und nach unten Jetzt ACHTUNG: So ist es richtig: y So ist es falsch: y Man muss den durch die Verschiebung nach links bedingten Summanden + zu addieren und benötigt daher eine Klammer: -(+), was dann zu - führt Wenn man + zu addiert, entsteht der Term -+, und das ist falsch (was man z B durch eine Wertetafel oder das Schaubild eines Rechners überprüfen kann) für Ungläubige Abb zeigt zwei Kurven die vor der Verschiebung der Grundkurve zuerst an der -Achse gespiegelt worden sind: K 5 entsteht aus y durch Verschiebung um in y-richtung: y K 6 entsteht aus y durch Verschiebung um in y-richtung: y Zum Abschluss noch zwei schwere Aufgaben: K 7 entsteht so: Spiegelung Verschgiebung y y y an Achse um nach oben um nach rechts K 8 entsteht so: y y y Spiegelung Verschgiebung () an Achse um nach oben um nach links was man umformen kann in y Hinweis: Man könnte fragen, warum hier kein Streckfaktor in y-richtung vorkommt Der Grund: Eine Streckung in y-richtung kann durch eine Verschiebung in -Richtung ersetzt werden!!! Beispiel: 8 y Und eine in -Richtung gestreckte Kurve kann durch ein ungestreckte Kurve mit anderer Basis y 8 D h wenn man y mit dem Faktor k in -Richtung streckt (besser: staucht), dann entsteht die Kurve y 8 Daher berücksichtigt man bei der Identifizierung von Eponentialkurven keine Streckfaktoren dargestellt werden:
850 Schaubilderanalyse 8 6 Eponentialfunktionen mit Basis e In der Oberstufe wird die Basis e,788 (Eulersche Zahl) als Basis verwendet Hier einige Beispiele dazu: K gehört zur Grundfunktion f e : Sie hat die negative -Achse zur Asymptote und geht durch 0 Ich habe dann das charakteristische Trapez eingezeichnet: Von 0 um auf die Asymptote zu, dann um nach rechts, dann geht es um f e nach oben Die Strecke vom Punkt E nach oben hat stets die Länge e der Basis K erkennt man gleich als verschobene Kurve K Dazu sucht man den Punkt, der um oberhalb der waagrechten Asymptote y = - liegt: Man erkennt dann schon die Verschiebung: um nach rechts und um nach unten: f e K entsteht, indem man K zuerst an der -Achse spiegelt und dann um 6 nach oben und um nach links verschiebt: f e 6 Eine weitere Grundfunktion ist f e Ihr Schaubild K hat die positive -Achse als Asymptote K 5 entsteht daraus durch Verschiebung von K um nach unten A geht dann in B über, der um oberhalb der Asymptote y = - liegt: f e 5 K 6 entsteht aus K zuerst durch Spiegelung an der -Achse und dann Verschiebung um nach rechts und um nach oben (dies sieht man an der waagrechten Asymptote y = oder daran, dass der gespiegelte Punkt A' 0 nach C () verschoben wird: f e e 6
850 Schaubilderanalyse 9 7 Logarithmuskurven usw auf der CD