ÜBUNG : Z-TRANSFORMATION, SYSTEMSTRUKTUREN 8. AUFGABE Bestimmen Sie die Systemfunktion H(z) aus den folgenden linearen Differenzengleichungen: a) b) y(n) = 3x(n) x(n ) + x(n 3) y(n ) + y(n 3) 3y(n ) y(n) = x(n ) + x(n ) + y(n ) 3y(n ) 9. AUFGABE Bestimmen Sie die lineare Differenzengleichung eines LTI-Systems aus folgenden Systemfunktionen: a) b) z 3z + 6z 9 z 3, 5z + z Sind die beiden Systeme stabil?. AUFGABE Gegeben sei das folgende digitale System: X(z) + A(z) + Y (z) z 3 z 3 a) Transformieren Sie das System in die. kanonische Struktur (Direktform II)! b) Transformieren Sie das System in die. kanonische Struktur (Parallelstruktur)! c) Ersetzen Sie das IIR-System näherungsweise durch ein FIR-System, dessen Ausgangsfunktion maximal % von der des IIR-Systems abweichen soll!
. AUFGABE Gegeben sei ein digitales System mit der Systemfunktion + z +.75z a) Geben sie die. kanonische Struktur der Realisierung des Systems an! b) Berechnen Sie den Amplitudengang des Systems und stellen Sie diesen grafisch dar! c) Das System wird nun durch Wegfall der Rückführung (a = ) modifiziert. Wie lautet nun der Amplitudengang? d) In welchem Wertebereich muss a liegen, damit das System stabil ist?
LÖSUNGEN ZUR. ÜBUNG 8. AUFGABE Die Systemfunktion eines diskreten LTI-Systems, welches durch die lineare Differenzengleichung N M a k y(n k) = b k x(n k) bzw. (Hinweis: durch geeignete Normierung gilt o.b.d.a. immer a =.) M N y(n) = b k x(n k) a k y(n k) k= beschrieben wird, ist mittels z-transformation durch gegeben. M i= b iz i + N k= a kz k a) Die Koeffizienten liest man ab zu y(n) = 3 b x(n) x(n ) + b b 3 x(n 3) y(n ) + a a 3 y(n 3) 3 a y(n ) Damit ergibt sich b = 3 b = a = b = a = b 3 = a = (immer) a 3 = a = 3 3 z + z 3 + z z 3 + 3z oder ohne negative Potenzen von z (mit z erweitert) = 3z z 3 + z z + z 3 z + 3 3
b) Analog. b = a = b = a = b = a = 3 9. AUFGABE Bringe H(z) in die erforderliche Normalform z + z z + 3z ) = z + z z + 3 M i= b iz i + N k= a kz k d.h. negative Potenzen und Normierung auf a =. Bestimme dann mit der Beziehung aus Aufgabe 8 die lineare Differenzengleichung. a) y(n) = z 3z + 6z 9 = z + z 3z b =, a =, a =, a = 3 M b i x(n i) i= N a k y(n k) k= = x(n ) y(n ) + 3y(n ) Bedingung für Stabilität des LTI-Systems ist, dass alle Pole innerhalb des Einheitskreises z = liegen. Bestimmung der Pole: 3z + 6z 9 = z + z 3 = z / = ± + 3 z = z = z = 3 z = 3 Keiner der beiden Pole erfüllt die Bedingung z <, daher ist das System nicht stabil!
b) Bestimmung der Pole: +, 5z = z 3, 5z + z = z +.5z b =, a =, a =.5 y(n) = x(n ).5y(n ) z +, 5 = z / = ±j z = z = < Beide Pole befinden sich innerhalb des Einheitskreises, das System ist daher stabil.. AUFGABE Berechnung der Systemfunktion: A(z) = X(z) + 3 z A(z) A(z) = X(z) 3z Y (z) = A(z) 3 z Y (z) Y (z) = + A(z) = 3 z + 3 z X(z) 3z a) Man liest die Koeffizienten ab zu Y (z) X(z) = ( + 3 z )( 3 z ) = 9 z b = a = Die erste kanonische Struktur besitzt das Blockschaltbild: a = a = 9 X(z) + + Y (z) z 9 z 5
bzw. vereinfacht: X(z) + Y (z) 9 z b) Für die Parallelstruktur werden Systeme erster Ordnung parallel geschaltet. Der Ausgang berechnet sich durch die Summe der Glieder erster Ordnung = α z p + β z p +... A p z + B p z +... Dabei sind p, p,... Polstellen von H(z). Die Summanden stellen Partialbrüche von H(z) dar. Man wendet also die Partialbruchzerlegung an: Koeffizientenvergleich: ( + 3 z )( 3 z ) = A + 3 z + B 3 z = A( 3 z ) + B( + 3 z ) = A + B = A ( 3 ) + B 3 A = B = + + 3 z 3 ( z ) = + + 3 z 3 z + X(z) 3 z + Y (z) + 3 z 6
c) Zur Approximation als FIR-Filter (keine Rückkopplung, d.h. a k = für alle k > ) muss H(z) in eine Form ohne Nennerpolynom überführt werden. Dazu wird die Polynomdivision (schriftlich) durchgeführt. Das Ergebnis ist allerdings ein Polynom mit unendlicher Anzahl an Koeffizienten, d.h. die Polynomdivision lässt sich nicht beenden: : ( + 9 z ) = + 9 z + 8 z + 79 z 6 +... Anmerkung: Eine andere Möglichkeit ist hier die Bestimmung über die Summenformel der geometrischen Reihe: n= a n = a 9 z = n= ( ) n 9 z Durch diese Umformung sind nun zwar alle a k = (k > ), d.h. H(z) ist in FIR-Form, es ist aber noch kein FIR-Filter, da die Anzahl der Koeffizienten b k und damit die Länge der Impulsantwort unendlich ist. Zur Erinnerung: Aus den Koeffizienten b k erschließt sich direkt die Impulsantwort, denn es gilt die Beziehung b k z k b k δ(n k) = h(n) Um ein FIR-Filter zu erhalten, darf es in der Impulsantwort nur eine endliche Anzahl von null verschiedener Werte geben. Die Impulsantwort muss daher, unter Hinnahme von Fehlern, gekürzt werden. Der tolerierbare Fehler der FIR-Approximation ist mit % gegeben. Diese Angabe ist auf den Maximalwert der Impulsantwort bezogen, welcher hier b = ist (die b k sind monoton fallend mit steigenden Werten für k). Die absolute Fehlertoleranz beträgt damit ; es verschwinden alle Werte b k < : H(z) FIR = + 9 z + 8 z. AUFGABE a) erste kanonische Stuktur: + z +.75z X(z) + + Y (z) z.75 7
b) Zur Berechnung des Frequenzgangs wird z = e j gesetzt. Der Amplitudengang ist der Betrag des Frequenzgangs: H() = H() = = + e j +.75e j + e j +.75e j = ( + cos( )) + sin ( ) ( +.75 cos( )) +.75 sin ( ) H(), linear H()/dB H()..3 3.3..5 3 3 3 Das System stellt einen Notch-Filter da (Bandsperrverhalten). c) Mit a = ergibt sich ein FIR-Filter zweiter Ordnung: + z Der Amplitudengang berechnet sich zu H() = + e j = ( + cos( )) + sin ( ) H(), linear H()/dB H() 3 3 3 3 8
Das System besitzt ebenfalls Bandsperrverhalten, allerdings weniger schmalbandig. Man würde so ein Filter nicht mehr als Notch-Filter bezeichnen. d) Hinreichende Bedingung für Stabilität ist, dass alle Pole des Systems innerhalb des Einheitskreises z = liegen. Bestimmung der Pole: Für Stabilität muss gelten + a z = z, = ± a z, = a < (Vorsicht: z C, Betragsstriche nötig) Da der Betrag der Wurzelfunktion im Einheitskreis von [; ] wieder auf [; ] abbildet ( Quadrieren bleibt im Einheitskreis ), ist die Lösung gegeben durch a < 9