Vorkurs -- 4. Beweisen.0.05
Aussageformen Aussagen können auch Parameter enthalten (z.b. x) Wahr oder falsch hängt dann vom Parameter x ab. Können natürlich auch mehrere Parameter sein. Beispiel einer solchen Aussage: A = x > 0 Für welche gegebene x ist dann diese Aussage wahr? Für x= würde daher gelten: A = true Ist eine solche Aussage überhaupt erfüllbar? ( x > 0 ) ( x < ) oder ( x < 0 ) ( x > )
Quantoren z.b. der Allquantor: x lr : x 0, Ist nur wahr, wenn wirklich für alle x ϵ lr gilt: x 0. Der Existenzquantor: x lr : x = Nur wahr, wenn es ein (oder mehrere) x in lr gibt mit x = 5. Wir wissen, dass x = ± 5 eine solche reelle Zahl ist. 5, Es gibt ein xϵir mit x =5 3
Beweisen Wesentlicher Inhalt der Mathematik: Aussagen und ihre Beweise Mit den vorgestellten Mitteln sind wir nun in der Lage, Behauptungen formal aufzuschreiben. Um diese formalen Behauptungen zu beweisen, bzw. die Aussagen auf Wahrheit zu prüfen, gibt es nun verschiedene Beweistechniken, die wir uns anschauen wollen. () Direkter Beweis: Man startet mit einer Aussage, deren Richtigkeit als angenommen/bewiesen/offensichtlich gilt, und leitet daraus neue Aussagen her, die dann auch gelten, bis man in einer letzten Ableitung bei der Aussage ankommt, die man eigentlich beweisen wollte. Kette von Implikationen! 4
Widerspruchsbeweis I Dabei nimmt man das Gegenteil der Behauptung an, die man zeigen will, und leitet daraus einen Widerspruch her zu anderen, schon als wahr erkannten Aussagen. A B A B wird bewiesen, indem wir ( A B) = A B = false! zeigen! Beispiel: ist irrational (kein Bruch). p q p q Annahme: = = q = p, p und q teilerfremd Dann muss p gerade sein, p=r q = r q gerade Konstruktivismus! 5
Widerspruchsbeweis II Aussage; Ein Schachbrett, dem zwei gegenüber liegende Ecken fehlen, kann nicht mit x Dominosteinen lücken- und überschneidungslos ausgefüllt werden. Wir nehmen das Gegenteil an, nämlich, dass es eine Anordnung von Dominosteinen gibt, die das Feld ausfüllen. Jeder Dominostein belegt genau ein weißes und ein schwarzes Feld Dann belegt eine beliebige Menge von Dominosteinen gleich viele schwarze wie weiße Felder Das reduzierte Schachbrett hat aber 30 weiße und 3 schwarze Felder (oder umgekehrt), da gegenüber liegende Felder die gleich Farbe haben. 6
Vollständige Induktion I: Idee: Ist eine Aussage A(n) für n = wahr, und ist für alle ganzen Zahlen n die Folgerung: A(n) A(n+) gültig, dann ist A(n) wahr für alle n ϵ ln. Beispiel-Aussage A(n): Für jedes n ϵ ln gilt Induktionsanfang n=: n i= ( i ) = n i= ( i ) = ( ) = = 7
Vollständige Induktion II Induktionsschritt n n+: Sei für n die Behauptung wahr, also Induktionsvoraussetzung ( ) Dann folgt für n+ n+ i= n n i= i = n ( i ) = ( i ) + ( ( n + ) ) = n + n + = ( n + ) i= Ind.Voraussetzung, Term n+ Weitere Beispiele: geometrische Reihe, Binomial 8
Beweis ohne Worte Direkter Beweis: Die Summe der ungeraden Zahlen bis n- ist gleich dem Quadrat von n: 3 4 5 + + + + = 5 9
+ + 3 +... + n =? 3 4 5 6 7 3 4 5 6 = ( n + ) n / 0
? a + ab + b = ( a + b )
sum = + + + + = 4 6 64 4 j= =0 j 0 j = 4 / 3 3 sum = 4
Ist das möglich? 8/3 5/ 3 4 5 6 7 8 3 4 5 3 3
Von Pólya stammen folgende Forderungen: - Man muss einen mathematischen Satz erraten, ehe man ihn beweist; - man muss die Idee eines Beweises erraten, ehe man die Details ausführt; - man muss Beobachtungen kombinieren und Analogien verfolgen; - man muss immer und immer wieder probieren. Das Resultat der schöpferischen Tätigkeit eines Mathematikers ist demonstratives Schließen, ist ein Beweis; aber entdeckt wird der Beweis durch plausibles Schließen, durch Erraten. Vorgehensweise beim Lösen von Übungsaufgaben? 4
Klassische Beweistechniken Beweis durch Hinschauen: Diese Aussage ist trivial?! Beweis durch Delegation: Machen Sie das mal als Übungsaufgabe! Beweis durch Ermüdung: Solange Umformen, bis jeder den Überblick verloren hat. Beweis durch Pause: Das schaffen wir vor der Pause nicht mehr. Wie wir vor der Pause bewiesen haben Beweis durch Beispiele: Die Aussage gilt für n= und n= Beweis durch Wischen: Die Aussage und Beweis an die Tafel schreiben und sofort wieder weg wischen 5
Klassische Beweise Behauptung: Alle natürlichen Zahlen sind interessant. Beweis: Angenommen, es wäre nicht so. Dann existiert eine kleinste natürliche Zahl, die nicht interessant ist. Diese Zahl ist offensichtlich interessant, was der Annahme, dass sie nicht interessant ist, widerspricht. Dies ist ein Widerspruch, also muss die Annahme falsch sein, womit die Behauptung gezeigt ist. Behauptung: In jedem Zimmer gibt es unendlich viele Fliegen. Beweis: Offensichtlich existiert in jedem Raum mindestens eine Fliege. Egal, wie viele Fliegen in einem Zimmer eliminiert werden, wird immer mindestens eine Fliege übrig bleiben! Behauptung: In einen Koffer passen unendlich viele Taschentücher. Beweis: Offensichtlich passt ein Taschentuch in jeden Koffer. Egal, wie voll der Koffer schon ist, wird es immer möglich sein, noch ein weiteres Taschentuch hinein zu quetschen. Behauptung: Mathematiker sind konvergent. Beweis: Mathematiker sind monoton und beschränkt. q.e.d. 6
Behauptung: Alle Zahlen sind gleich 0. Beweis: Sei a=b. Dann gilt: a = b a² = ab a² - b² = ab - b² (a + b)(a - b) = b(a - b) a + b = b a = 0, q.e.d. Paradoxon: Achilles und die Schildkröte 7
Große Beweise Das himmlische Beweisbuch Gauß als Schüler: ++ +n = (+n) + (+n-) + (3+n-) + = (+n)*n/ Beweis des Vierfarbensatzes Beweis der Fermat sche Vermutung Beweis der Bieberbach schen Vermutung Offen: Riemann sche Vermutung 8