Ba-Wü: BG Neuer Lehrplan athematik odul-5: Prozesse Teil 3b: zyklische Februar und ärz 2016 1
Stoffverteilungsplan 1 Woche Inhalte 1 + 2 Einstufige Prozesse Darstellung mit Tabellen, Graph, atrizen u. Vektoren Rechnen mit atrizen und Vektoren 3 + 4 Umkehrung eines Prozesses Lineare Gleichungssysteme, inverse atrix einfache atrizengleichungen 5 Übungen 6 + 7 Zweistufige Prozesse Verflechtungsdiagramm, Verflechtungsmatrizen Bedarfs-, Kosten-, Gewinnermittlung 8 + 9 Übungen, Klassenarbeit 10 Austauschprozesse, stochastische atrizen Verteilungsvektor, Übergangsmatrix und graph, atrixpotenzen 11 Stabilitätsvektor, Grenzmatrix Absorbierender Zustand 12 + 13 Übungen neu 14 + 15 Entwicklungsprozesse, zyklische atrizen Populationsentwicklungen 16-18 Übungen, Klassenarbeit Februar und ärz 2016 RPF: Umsetzung der Bildungsstandards in der Oberstufe der beruflichen Gymnasien 2
aikäfer entwickeln sich über einen Zeitraum von mehreren Jahren. Aus den im Boden abgelegten Eiern schlüpfen nach einigen Wochen Engerlinge, die sich im zweiten Jahr verpuppen. Ende April des folgenden Jahres schlüpfen die Käfer, die wieder Eier legen und danach sterben. an kann beobachten, dass alle drei bis vier Jahre besonders viele Käfer fliegen. Februar und ärz 2016 RPF: Umsetzung der Bildungsstandards in der Oberstufe der beruflichen Gymnasien 3
Annahme Ein aikäferweibchen legt 80 Eier, von denen sich ¼ zu Larven entwickelt. ¼ der Larven verpuppt sich, und aus etwa 20% der Puppen schlüpfen schließlich aikäfer. 80 Eier Larven Puppen aikäfer 0,25 0,25 0,2 0 0 0 80 0 keine Umverteilung keine stochastische atrix Februar und ärz 2016 RPF: Umsetzung der Bildungsstandards in der Oberstufe der beruflichen Gymnasien 4
v v 0 0 0 80 640 240 Anfangsverteilung v 0 40 0 50 0 0 0 80640 4000 Aus den 640 Eier 240 160 werden v 160 40 60 0 50 Larven 8 1 0 640 1000 v 40 12 2 1 v 960 160 v 250 8 3 2 v 640 240 v 40 50 4 3 Nach vier Jahren stellt sich wieder der Anfangszustand ein. Eier Larven Puppen aikäfer Februar und ärz 2016 RPF: Umsetzung der Bildungsstandards in der Oberstufe der beruflichen Gymnasien 5
0 0 0 80 0 4 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 E Zyklische Wiederholung Februar und ärz 2016 RPF: Umsetzung der Bildungsstandards in der Oberstufe der beruflichen Gymnasien 6
Annahme Ein aikäferweibchen legt 100 Eier, von denen sich ¼ zu Larven entwickelt. ¼ der Larven verpuppt sich, und aus etwa 20% der Puppen schlüpfen schließlich aikäfer. 0 0 0 100 0 Februar und ärz 2016 RPF: Umsetzung der Bildungsstandards in der Oberstufe der beruflichen Gymnasien 7
0 0 0 100 0 4 1, 0 1, 5 E 0 0 1, 25 0 4 0 0 0 1, 25 Zyklisches Wachstum Februar und ärz 2016 RPF: Umsetzung der Bildungsstandards in der Oberstufe der beruflichen Gymnasien 8
Annahme Ein aikäferweibchen legt nur 60 Eier, von denen sich ¼ zu Larven entwickelt. ¼ der Larven verpuppt sich, und aus etwa 20% der Puppen schlüpfen schließlich aikäfer. 0 0 0 60 0 Februar und ärz 2016 RPF: Umsetzung der Bildungsstandards in der Oberstufe der beruflichen Gymnasien 9
0 0 0 60 0 4 75 0 0 0 75 0 0 3 E 0 75 0 4 0 0 75 Zyklische Abnahme Februar und ärz 2016 RPF: Umsetzung der Bildungsstandards in der Oberstufe der beruflichen Gymnasien 10
allgemein Eine Übergangsmatrix mit der Eigenschaft k = E für eine natürliche Zahl k heißt zyklisch. Für eine Übergangsmatrix der Form gilt immer 4 = a b c d E 44, 0 0 0 a b 0 0 0 0 c 0 0 0 0 d 0 Eine Population, deren Entwicklung durch eine solche Übergangsmatrix beschrieben wird, nimmt (zyklisch) ab, wenn a b c d < 1 entwickelt sich zyklisch, wenn a b c d = 1 nimmt (zyklisch) zu, wenn a b c d > 1 Februar und ärz 2016 RPF: Umsetzung der Bildungsstandards in der Oberstufe der beruflichen Gymnasien 11