Kap. 7 Der pin. Der pin it ein interner Freiheitgrad eine Teilchen und hängt weder von den räumlichen Koordinaten noch von Impul ab. Der pin legt die tatitik (Fermion oder Boon) fet. (QMII). tern Gerlach Eperiment (9). e M = L Magnetiche Moment de Waertoff Atom. mc F = ( M B) M B e Kraft auf Magnetiche Moment. => Zutänden mit verchiedenen L Quantenahlen erfahren verchieden tarke Kräfte. Quelle: Waertoff Zutand oder Ag : 5 => Geamt Drehimpul l= Erwartet Beobachtet: Aufpaltung de tahl in wei Komponenten o da, l=/. Pat nicht u möglichen Orbital Drehimpule die Ganahlig ind!
Interpretation: Elektron beitt eine interne Drehimpul pin von l = / Bem: pin der Elektron folgt au relativitiche Formulierung der QM. Dirac Gleichung (QMII). Der pin ½ Operator. Analog u Drehimpul: i, j, k = (,, ),, y i j = i ε k k = pin it unabhängig von Orbital Freiheitgraden.. H = H H orbital,,, i X j i P j i L j = = = pin mit. E gibt Zwei pin utänden, =, = Dreimpul Notation: = l =, m =, = l =, m =., It Bai von pin ½ Hilbertraum H = =, =, = =,
. = + i, = i + y y =, = + +, = =. Der pin Operator kann man durch die X Pauli pin Matrien Dartellen., ' =, ([ σ ] σ [ ] ', y σ ', ', ) ' ', ' = =,, i σ =, σ y =, σ = i Magnetiche Moment der Elektron: e M / g : = g = gμb Landé oder Giromagnetiche Faktor. mc g = Kann man au der Dirac Gleichung herleiten.
Dynamik von pin yteme pin Präeion. H = gμ B B / Heienberg bild: / ith ith / e ω () t = e e = R(, t) ( t = ), e = e e = B/ B, ω = R(, e ω t) ge B mc Larmor Frequen Drehung um Ache e Winkel ω t ( ) t y T= / π ω ( t) In Zeit hat eine volle Umdrehung durchgeführt. chrödinger bild: ith / iωte i/ iωte i/ ψ () t e ψ e ψ σ σ e σ ' σ ' ψ = = = σσ, ' =, σ e iω t / σ ' co( ω t / ) i in( ω t / ) e i in( ω t / )[ e ie y ] i in( ω + ω + ω t /)[ e ie y ] co( t /) i in( t /) e => Ψ ( t + π / ω ) = Ψ ( t) obwohl ( t + π / ω ) = ( t) = 4/ π ω Man erwartet Interferen Phänomene mit Periode! T
Neutron Weg im Uniform Magnetfeld B hat Länge Gechwindigkeit der Neutron: v ψ = ψ + ψ = final Pfad Pfad l ψ initial + e i ω l / v ψ initial Volle pin rotation für: Periode der Interferen Muter: ω l/ v= π ω l/ v= 4π
NMR. Nukleare Magnetiche Reonan H = gμ B /, B = (,, B ) B tationäre Zutände: E, E = gμ B / B gμ B = ω, ω Larmor Frequen. Energie Aufpaltung: B, E = gμ B / B B ω = ω In Magnetfeld der Frequen erwartet man ein Reonanverhalten de pinflip Übergang Modell: H = H + gμ B ( t) /, B ( t) = B (co( ωt),in( ωt),) B Geucht. Ut (,)
B = (,, B ) gμ ( ) B B gμ B B H t = (, ) + R e ω t e i = ω = ω e ( t ) e y e B () t = B R( e, ωt) e U () t = e ω ei: o da, U () t H() t U () t H ω it / = = ω + und Mit i U () tut (,) = H ω U () tut (,) t H ω, (,, )/, ( ) = Ω αi α = ω ω ω Ω Ω= ω + ω ω U t U t e U t e e it Ω αi/ itω / it Ω αi / () (,) = oder (,) =
Rechnung ergibt: ( ω ω) ω ( ω ω) + ω ω Ut (,) = in( + t/) ω = ω = μ g B / ω gμ / B B =. Reonan in Amplitude bei. B. Hängt von Magnetiche Moment de Kern und Lokal Magnetfeld ab. Breite der Reonan.. Beim Reonan it π => Bei t = % ω (,) in( ω /) t Ut = ω Wahrcheinlichkeit Kernpin umudrehen. (,) Ut
Der pinor Zutand.. Geamt Hilbertraum de Elektron. orbital pin mit.b. H orbital L ( ) und pn i H = H H = H =. Bai von H ei bai von H orbital d.h. d = orbital ei bai von H d.h. = Dann it: pin =, = d bai von H d.h. ψ H ψ ψ( ) =, pin. kalarprodukt: () ( y )( ) = y = δ ( y ) δ ' ', ' Damit it: ψ () = ( ) ψ
. Operatoren in H A : H H A = A A und A A = A A A ( ) ( ) ( ) orbital pin orbital pin orbital pin : H H A : H H orbital orbital orbital pin pin pin Beip: = = d ( ) ( ) orbital pin =, Hamilton Operator de Elektron im äußere EM Feld. = B( X ) M e ( ) ( ) ge H = ( ) P + A X eφ X m c + B X mc B ( ) = H = i X i Orbital Ortraum Dartellung der tationäre chrödinger Gleichung. ( ) H ψ = E ( ) ψ = ψ ( ) i =
' =, y y ' y ' ψ ψ ( ) ( ) ( )( ) d H = E ge H, δ + B ( ) [ ] ψ ( ) = Eψ ( ) Orbital, ' i i, ' ' ' =, i mc i= i = σ i, σ i Pauli pin Matri Mit pinor Wellenfunktion ψ ( ) ψ ( ) = ψ ( ) hat man dann: ge H, Orbital + Bi( ) i ψ ( ) = Eψ( ) i mc i = Pauli Theorie de Elektron.
Beip: Waertoff Atom mit B = A( ) = (,, B ) P Ze e H Orbital = + B L m mc P Ze e H = + B L + g m mc tationäre Zutände: ( ) (Coulomb Eichung) => A( ) = B (Vernachläigung der diagmagnetichen Term) ψ n,, l m, u () r nl, ( ) = Yl, m ( θϕ, ) r = Z + eb E Ry ( / ),, m + g n m n mc ψ n,, l m, = u () r nl, ( ) Yl, m ( θϕ, ) r = Z E Ry + μ ( /) n, m, BB m g n Geamt Magnetiche Moment: M H e = = + B mc to t ( L g )
pin-bahn Kopplung. v Elektron: -e In CM Intertialytem Elektron bewegt ich mit Gechwindigkeit v. In Elektron Ruht. Kern: Ze B' = B v E, γ = (iehe ED) c v / c In e ( ) ( ) H = e ( ) + φ + gμb / m c P A X X B X = H Orbital ollte man B durch B ereten. Mit φ( ) = φ( r), E = φ( ), v = p/ m it ( ) gμb φ H = H / Orbital + gμbb X L / cm X r = X pin-bahn Kopplung. It keine Inertialytem! Korrektur: Klaich Thoma preceion (iehe Jackon, Claical ED.), QM Dirac Gleichung (iehe QM II ) -> Faktor ½.
pin-bahn Kopplung, ymmetrie Eigenchaften. Hamilton Operator: Hilbert Raum: H = H Orbital Hpin H Orb Ze H P = pin + α L = HOrb + α L m X ( ) ( ) ( ) ( ) = H + α L Orb i i i= Ĥ it nicht invariant unter i i( ) Θ / T ( e, Θ ) = e e L L Ĥ it invariant unter i i + Θ / ( e, Θ ) =, T e e L De f : J L + Geamt Drehimpul.