Systemtheorie Teil B

d 0 d c d c uk d 0 yk d c d c Systemtheorie Teil B - Zeitdiskrete Signale und Systeme - Musterlösungen Manfred Strohrmann Urban Brunner

Inhalt 9 Musterlösungen Zeitdiskrete pproximation zeitkontinuierlicher Systeme... 4 9. Sprunginvarianter Systementwurf... 4 9. Tiefpass-Filterentwurf über bilineare Transformation... 6 9.3 Hochpass-Filterentwurf über bilineare Transformation... 7 9.4 pproximation eines zeitkontinuierlichen Systems... 8 9.5 Vergleich unterschiedlicher Systementwürfe... 9 9.6 Filterentwurf mit und ohne Prewarping...

9 Musterlösungen Zeitdiskrete pproximation zeitkontinuierlicher Systeme 9. Sprunginvarianter Systementwurf a) Die Sprungantwort des Systems mit der Übertragungsfunktion Gs 3 s 5 s hat die Laplace-Transformierte Hs 3 s 3 s 5 s s 3 s 5 s Die Koeffizienten der Partialbrüche errechnen sich zu 3 s 5 s s 0 3 9 s 5 s s 3 3 3 5 s 3 s s 5 5 5 und die Sprungantwort lautet t t t t 9 5 3 5 h t e e t e e t 3 5 3 5 3 5 b) Mit T = ergibt sich direkt k k 3 5 3 5 hk e e k c) Zur einfacheren Transformation in den z-bereich wird die Sprungantwort umgeformt zu k k k k 3 5 3 5 h k e e k e e k 3 5 3 5 Es ergibt sich die z-transformierte der Sprungantwort z 3 z 5 z z e z e Hz 3 5 und die Übertragungsfunktion des zeitdiskreten Systems

Signal Signal z 3 z 5 z z 3 z 5 z z z 3 5 3 5 z e z e z e z e 3 5 3 5 z e z e Gz d) Die Impulsantwort des zeitdiskreten Systems lautet k k k k 3 5 3 5 g k h k h k e e k e e k 3 5 3 5 k k k k 3 3 5 5 3 3 5 5 k e k e k e k e k Zur Berechnung der Impulsantwort des zeitkontinuierlichen Systems wird eine Partialbruchzerlegung durchgeführt. Es ergibt sich der nsatz Gs 3 s 5 s 3 s 5 s mit den Koeffizienten 3 5 s s 3 5 3 s s 5 Daraus wird die Impulsantwort g(t) bestimmt zu t t 3 5 gt e e t Beide Impulsantworten sind in dem folgenden Bild dargestellt.. Sprungantworten Sprungantwort h(t) Sprungantwort h[k] 0.5 Impulsantworten Impulsantwort g(t) Impulsantwort g[k] 0.8 0. 0.6 0.4 0.05 0. 0 0 5 0 5 0 Zeit t 0 0 5 Zeit t e) Das Integral der zeitkontinuierlichen Impulsantwort g(t) ergibt die Sprungantwort h(t). Im zeitdiskreten Bereich kann dieses Integral nur genähert werden, sodass bei identischen Impulsantworten g[k] = g(kt ) die Sprungantworten voneinander abweichen. Stimmen die Sprungantworten h[k] = h(kt ) überein, ergibt sich im zeitkontinuierlichen Bereich die Impulsantwort über die bleitung der Sprungantwort. uch diese Operation kann im zeitdiskreten Bereich nur genähert werden. Damit können selbst bei einer btastzeit T = nur die Impulsantworten g(t) und g[k] oder die Sprungantworten h(t) und h[k] übereinstimmen.

9. Tiefpass-Filterentwurf über bilineare Transformation a) Das zeitdiskrete Filter soll eine Grenzfrequenz von g = 0.4996 Hz aufweisen. Wegen der Frequenzverschiebung bei der bilinearen Transformation und einer btastzeit von T = 0. muss das analoge Filter ausgelegt werden auf eine Grenzfrequenz von g T 0.4996 0. ga tan tan tan 0.5 T T 0. Daraus ergibt sich die Zeitkonstante von T ga b) Die Übertragungsfunktion des zeitdiskreten Systems ergibt sich bei der bilinearen Transformation aus G z Gs z s T z T 9 0 T c) Zur Bestimmung der Differenzengleichung muss die Übertragungsfunktion umgeformt werden Gz Y z z z U z 9 9 z usmultiplizieren führt zu der Gleichung Y z 9 z U z z Mit der Verschiebungsregeln ergibt sich die Differenzengleichung yk9 yk uk uk uflösen nach y[k] führt zu u k u k 9 y k yk d) Die Übertragungsfunktion des Systems besitzt einen Pol an der Stelle 9 Er liegt im Einheitskreis, so dass das System stabil ist. Damit kann der Frequenzgang berechnet werden über G Gz j j e cos( ) j sin( ) j e 9 ze cos( ) 9 j sin( ) Der mplitudengang ergibt sich aus dem Betrag des Frequenzgangs zu cos( ) j sin ( ) cos( ) cos( ) 9 sin ( ) 80 798 cos( ) n der Stelle g = g T = 0.0999 ergibt sich erwartungsgemäß der Frequenzgang

g 9.3 Hochpass-Filterentwurf über bilineare Transformation a) Das Filter kann zerlegt werden in die Form 3 s Gs 3 s Es ist ein Hochpass-Filter mit einer Grenzfrequenz von G = /3 und k = b) Bestimmung von G(z) durch bilineare Transformation, T = z 3 3 s z G z 3 s z z s z 6 z 6 7 z 5 7 z 5 / 7 z 3 z c) Der Pol der Übertragungsfunktion liegt bei z = 5/7 und liegt damit innerhalb des Einheitskreises. Das System ist somit stabil und der Frequenzgang ergibt sich aus j j sin j e e 4 j G e j e 7 z 5 / 7 7 cos j sin 5 / 7 7 cos 5 / 7 j sin j ze Der mplitudengang errechnet sich aus dem Betrag des Frequenzgangs zu 44 44 cos 37 35 cos d) Das zeitdiskrete Filter wird über die bilineare Transformation berechnet. Damit kann die Grenzfrequenz des Ω G berechnet werden zu T G 3 G arctan arctan 0.3303 e) Die Übertragungsfunktion im z-bereich Gz Y z z z U z 7 z 5 / 7 7 5 / 7 z 7 5 z kann umgeformt werden zu Y z 7 5 z z U z Rücktransformation führt zu der Gleichung 7 yk 5 yk uk uk beziehungsweise y k u k u k 5 y k 7

9.4 pproximation eines zeitkontinuierlichen Systems a) Die Differentialgleichung kann wegen der verschwindenden nfangsbedingungen direkt in den Laplace-Bereich transformiert werden als s Ys Ys s Us und es ergibt sich die Übertragungsfunktion Y s s s Gs U s s s b) us den Korrespondenzen der Laplace-Transformation ergibt sich t gt t e t c) Umrechnung des Filters durch bilineare Transformation s T z führt zu der Übertragungsfunktion Gz Y z T z U z s T z T 4 z 4 T 4 z T 4 s z z z s T z T d) Berechnung der Impulsantwort g(k) durch Zerlegung von G(z) G z z z z z z T 4 z T 4 T 4 T 4 T 4 T 4 T 4 T 4 z z z T 4 T 4 T 4 Mit T = 0. errechnet sich G(z) zu Gz z z z z 0. 4 4. z 0.905 0. 4 z 0. 4 Mit den Korrespondenzen zur z-transformation ergibt sich k k g k 0.48 0.905 k 0.48 0.905 k e) Bestimmung der Differenzengleichung aus der Übertragungsfunktion G(z) Gz Y z z U z 4. z 3.8 Umformung ergibt Yz4. z 3.8 z Uz beziehungsweise Y z 4. 3.8 z z U z Rücktransformation mit der Verschiebungsregel ergibt die Differenzengleichung

4. yk 3.8 yk uk uk uflösen nach y(k) liefert auf das Ergebnis y k u k u k 3.8 y k 4. 9.5 Vergleich unterschiedlicher Systementwürfe a) Die bilineare Transformation von G(s) führt zu G B z 5 s z s 0 0 z 9 T z 5 T z b) Das System besitzt folgende Eigenschaften: Eigenschaft Kausalität Sprungfähigkeit symptotische Stabilität Keine Schwingungsneigung Infinite-Impulse-Response (IIR-System) Grenzstabil invertierbares System Übertragungsfunktion Zählergrad M Nennergrad N Zählergrad M = Nennergrad N Pol innerhalb des Einheitskreises positiver reeller Pol Pol nicht im Koordinatenursprung Nullstellen auf dem Einheitskreis Verstärkung G(z = ) = c) Frequenzgang des Systems errechnet sich wegen der Stabilität des Systems zu j G G z j e e 9 B B ze j d) Die Grenzfrequenz des über bilineare Transformation entwickelten zeitdiskreten Systems BG ergibt sich aus der 3-dB-Grenzfrequenz des analogen Systems G T 5 zu T BG 5 G arctan arctan 0.993

e) usmultiplizieren der Übertragungsfunktion Yz z 9 Uzz Division durch z Y z 9 z U z z und Rücktransformation in den Zeitbereich yk 9 yk uk uk führt zu der Differenzengleichung u k u k 9 y k yk f) Die Übertragungsfunktion kann dargestellt werden als Gs 5 s 5 s 0. Daraus ergibt sich die Übertragungsfunktion des impulsinvarianten Systems von z e z 5 e z 5 z 0.887 n G z I n T 0. g) Für das bilineare System ergibt sich über die Differenzengleichung u k u k 9 y k yk die Impulsantwort an der Stelle k = 0 zu 0 0 9 g 0 g0 Damit ist die Impulsantwort g die Impulsantwort des Systems G B. Wegen der Nullstelle = - ist das Pol-Nullstellen-Diagramm das Pol-Nullstellen-Diagramm von dem System G B. Der mplitudengang des Systems G B weist an der Stelle = eine Nullstelle auf. Damit ist der mplitudengang der mplitudengang von dem System G B.

9.6 Filterentwurf mit und ohne Prewarping a) Bei der bilinearen Transformation ohne Prewarping wird folgende Substitution vorgenommen: z z z 4 z z s G G K T z T Damit ergibt sich für die Übertragungsfunktion G z s GK z G K G K G G G z G s z K z K z z K K z K z K K Mit den angegebenen Werten ist 4 K.73 z und die Übertragungsfunktion lautet G z z 4 4 4 4 4 z z z z 4.48.43 z 0.805 b) Das System hat zwei reelle Nullstellen bei = -. Die Polstellen errechnen sich mit der Gleichung K K K z z 0 K K K K zu z K K K K K K, K K Die Pole liegen damit an den Stellen, 0.405 j 0.407 Damit ergibt sich das linke Pol-Nullstellen-Diagramm:

Imaginärteil normiert Imaginärteil normiert Bilineare Transformation ohne Prewarping Bilineare Transformation mit Prewarping 0 0 - - - - 0 Realteil normiert - - 0 Realteil normiert c) Bei der bilinearen Transformation mit Prewarping wird die Substitution s T tan G G K G durchgeführt. Die Rechnung von ufgabenteil a) ändert sich demnach nicht, es wird nur die Konstante K durch K ersetzt. Mit den angegebenen Werten ist K T tan tan tan 4 G G und die Übertragungsfunktion lautet G z K K z K z K K z z z z z z 3.44 z 0.5858 d) Die Nullstellen sind von der Änderung nicht betroffen. Die Pole errechnen sich zu z K K K K, K K Die Pole liegen damit an den Stellen, j 0.44 Damit ergibt sich das oben bereits gezeigte rechte Pol-Nullstellen-Diagramm. e) Die richtige Lösung bezüglich mplitudengang ergibt sich aus der - 3 db Grenzfrequenz. Bei Prewarping bleibt die bei 500 rad/s, damit gehört Lösung B zum Filterentwurf mit Prewarping. Die Sprungantwort eines Systems mit hoher Grenzfrequenz ist schneller als die eines Systems mit niedrigerer Grenzfrequenz. Damit gehört Lösung C zum Filterentwurf mit Prewarping.