Übungsblatt 9 Lösungen. Die luminiumfolie kann bei der Erhitzung auf die Temperatur über dem Feuer (insbesondere im Vergleih zur Kartoffel) nur sehr wenig Wärmeenergie m aufnehmen, da sie nur wenig Masse besitzt (die Folie ist sehr dünn). Zudem hat luminium eine relativ geringe spezifishe Wärmekapazität ((l (s) ) 0.90 kg K ) im Vergleih zur Kartoffel ((Kartoffel) in der Grössenordnung von 3.4 kg K ). Obwohl die Folie also im direkten Kontakt mit der Glut / der Flamme stand, hat sie bei der dadurh bedingten Erhitzung deutlih weniger Energie aufgenommen (bzw., da sie ein sehr guter Wärmeleiter ist, diese auh stets an die Kartoffel weitergegeben). Wenn die Kartoffel herausgenommen und die Folie von ihr getrennt wird, dann kühlt sih die Folie deutlih shneller ab als die Kartoffel, da sie hierfür deutlih weniger Energie abgeben muss. Zudem hat die luminiumfolie im Verhältnis zu ihrer Masse eine grössere Oberflähe, wodurh die Wärmeenergie besser (mit grösserer Energiestromstärke) abgegeben werden kann.. : falsh Dies wäre nur genau dann der Fall, wenn beide Körper die gleihe Masse und identishe Wärmekapazität aufweisen würden. : rihtig (jedenfalls für reine Stoffe) (Präziser müsste man ergänzen, dass dies bei reinen Stoffen der Fall ist.) : falsh Die spezifishe Shmelzwärme hat die Einheit [L f ] kg, während die spezifishe Wärmekapazität die Einheit [] D: rihtig besitzt. eide haben die Einheit [L f ] [L v ]. kg 3. + 3 30 K 3 Gegeben: Die spezifishe Wärmekapazität von Körper ist doppelt so gross wie die von : ½ Körper hat die dreifahe Masse von Körper : m 3 m nfangstemperatur von Körper : T 0 93 K nfangstemperatur von Körper : T 40 33 K Gesuht: Gleihgewihtstemperatur T Ggw? Seite / 6
Rehnung: Die Gleihgewihtstemperatur ist (Herleitung siehe z.. ufgabe 4 von Übungsblatt 7): T Ggw Einsetzen: ½ für und 3 m für m : T Ggw + + 3 3 3 T + 3 T + Mit den Werten für T und T erhält man: + 3 93 K + 3 33 K 30 K 3 + 3 4. Der Temperatur-Untershied ist beim Goldklotz ungefähr um den Faktor 3 grösser als beim Kupferklotz: u u 3 (d.h. u 3 u ) u u Gegeben: Spezifishe Wärmekapazität von Kupfer: u (u (s) ) 0.39 kg K Spezifishe Wärmekapazität von Gold: u (u (s) ) 0.3 kg K Die Masse der beiden Klötze ist identish: m m u m u kg Die den Klötzen zugeführte Energiemenge ist identish: u u Gesuht: Verhältnis der Temperatur-Untershieds u beim Goldklotz zum Temperatur- Untershied u beim Kupferklotz: u u Lösung durh Überlegung: Die spezifishe Wärmekapazität von Kupfer ist in etwa dreimal so gross wie die spezifishe Wärmekapazität von Gold. Das bedeutet, dass für eine bestimmte Temperaturänderung einer gegebenen Masse Kupfer dreimal so viel Energie zugeführt werden muss wie das bei Gold notwendig wäre. Wenn daher zwei Klötzen mit identisher Masse die gleihe Energiemenge zugeführt wird, dann ergibt sih dadurh bei Gold ein dreimal grösserer Temperatur-Untershied. Lösung durh formale Rehnung: m Das Verhältnis der Temperaturänderung u beim Goldklotz zur Temperaturänderung u beim Kupferklotz ist also: u 0.39 u u u u u u 3 u u u 0.3 u u u u Übungsblatt 9 Lösungen Seite / 6
. Damit die gewünshte Gleihgewihtstemperatur erreiht werden könnte, müsste in die adewanne kaltes Wasser in einer Menge gefüllt werden, welhe mehr als das Doppelte (a. das.-fahe) des bereits vorhandenen Wassers beträgt. Da die Wanne bereits zu einem Drittel gefüllt ist, ist dies niht möglih (die Wanne würde überlaufen).! Gegeben: m m heiss ⅓ m tot bzw. Vorgabe: m m kalt m! T Ggw 38 3 K T T heiss 8 38 K bzw. 47 47 K T T kalt 7 90 K bzw. K (H O (l) ) 4. kg K Gesuht bzw. zu zeigen: m m kalt? bzw. m > m Es wird also ausgerehnet, welhe Menge m an kaltem Wasser zum heissen hinzugegeben werden müsste, um die gewünshte Endtemperatur zu erreihen. (Dabei wird sih zeigen, dass diese Masse m grösser ist als das Doppelte der bereits in der adewanne vorhandenen Masse m. Da die adewanne zu eginn zu einem Drittel gefüllt ist, würde die adewanne in diesem Fall überlaufen.) Rehnung: Die vom heissen Wasser abgegebene Wärmeenergie entspriht betragsmässig der vom kalten Wasser aufgenommenen Wärmeenergie : einsetzen:, m,, m m m m m m kürzen nah m auflösen Mit den gegebenen Werten für und erhält man: 47 m m m m. > m Folglih würde die zuvor bereits zu einem Drittel gefüllte Wanne überlaufen beim Versuh, die gewünshte Gleihgewihtstemperatur zu erreihen. lternativer, übertrieben komplizierter Rehnungsweg: uf dasselbe Resultat kann man auh gelangen, indem man die Formel für die Gleihgewihtstemperatur verwendet. Es zeigt sih, dass der Rehenweg dabei ein Stük komplizierter wird. Im llgemeinen lohnt sih die nwendung dieser Formel dann, wenn tatsählih die Gleihgewihtstemperatur T Ggw die gesuhte Grösse ist, beziehungsweise (genau) dann wird diese Formel benötigt. T Ggw m T Ggw (m + m ) m T + m T T Ggw m + T Ggw m m T + m T T Ggw m m T m T T Ggw m + m m + m Übungsblatt 9 Lösungen Seite 3 / 6 (m + m ) linke Seite ausmultiplizieren alle Terme mit m auf die linke Seite bringen m und m ausklammern m (T Ggw T ) m (T T Ggw ) : (T Ggw T ) m m T T T Ggw Ggw T Mit den gegebenen Werten für T, T und T Ggw ergibt sih: T TGgw 8 38 47 m m m m m. > m T T 38 7 Ggw
6. a) Ein Teil der Wärmeenergie des heissen Wassers wird an das kalte Glas abgegeben, so dass sih ein thermishes Gleihgewiht zwishen Glas und Wasser einstellt. emerkungen: - Natürlih kann es auh zur bgabe von Wärmeenergie durh Wärmeleitung, Konvektion oder Strahlung in die Umgebung kommen, sofern man niht von einem abgeshlossenen System ausgeht. - Die Zunahme an Wärmeenergie durh Umwandlung von potentieller Energie beim Eingiessen ist vernahlässigbar klein. b) T Ggw 74 347 K Gegeben: m m(h O) 00 g 0. kg m m(glas) g 0. kg T T(H O) 80 33 K T T(Glas) 0 93 K (H O (l) ) 4. kg K (Glas) 0.8 kg K Gesuht: T Ggw? Rehnung: T Ggw 4. 0. kg 80 + 0.8 0. kg 0 kg kg 74 4. 0. kg + 0.8 0. kg kg kg Plausibilitätskontrolle: Gleihgewihtstemperatur liegt zwishen den beiden usgangstemperaturen und näher bei der Temperatur des Stoffs mit der grösseren Masse und höheren spezifishen Wärmekapazität. 7. Energiemenge, die dem Wasser zugeführt werden muss: (H O (l) ) m 4. kg K 0. kg 60 K 0.4 Zeitspanne t, welhe bei der gegebenen Energiestromstärke dafür benötigt wird: t P (H O (l) ) m P 4. 0. kg 60 K kg K 00 W 00.8 s > min 8. Im gasförmigen Zustand enthält das Wasser eine grosse Menge an latenter Wärme, die dem Wasser als Verdampfungsenergie zugeführt werden musste, um es in den gasförmigen Zustand zu bringen. Diese Verdampfungsenergie ist deutlih grösser als die gesamte thermishe Energie, welhe dem Wasser für die Erwärmung von 0 auf 00 zugeführt werden musste (vgl. Theorieeintrag mit Erwärmungskurve). Wenn der Wasserdampf in Kontakt mit der Haut kommt, dann kondensiert ein Teil des gasförmigen Wassers an der Haut. Dabei wird die latente Wärme wieder frei (Kondensationsenergie) und wird an die Haut abgegeben, deren Temperatur dadurh so stark zunimmt, dass sie Shaden nimmt (Verbrennungen). Übungsblatt 9 Lösungen Seite 4 / 6
9. Ohne erüksihtigung des Gefässes: 6.7 K 6.7 Gegeben: P 000 W t 70 s m m(h O) kg (H O (l) ) 4. kg K Gesuht:? Rehnung: P t 000 W 70 s 70'000 W 70 kw m P t 000 W 70 s 70 K 6.7 K 6.7 4. 4. kg Mit erüksihtigung des Gefässes: 6.3 K 6.3 Gegeben: P, t, P t 000 W 70 s 70'000 W 70 kw (wie oben) m m(h O) kg (H O (l) ) 4. kg K m m(l) 9 g 0.09 kg (l (s)) 0.90 kg K Gesuht:? Voraussetzung / nnahme: Das Wasser und das Gefäss sind bei eginn der Wärmezufuhr im thermishen Gleihgewiht (haben beim eginn der Erwärmung die gleihe Temperatur) und sind am Ende wieder im thermishen Gleihgewiht. Überlegungen und Rehnung: Man überlegt sih, welhe Menge an Wärmeenergie in diesem Fall dem System Gefäss + Wasser für eine bestimmte Temperaturzunahme zugeführt werden muss. Um Untershied zur erehnung ohne erüksihtigung des Gefässes liegt in diesem Fall niht mehr ein einzelner, homogener Stoff vor, sondern ein System aus Gefäss und Wasser. Die Energie, welhe dem gesamten System zugeführt werden muss, ergibt sih als Summe aus der Energie für das Gefäss und der Energie für das Wasser: + m m Da das Gefäss und Wasser hier ein System bilden, sind die Temperatur-Untershiede gleih. Das heisst es gilt und man kann wie folgt ausklammern: m m m m ( m m ) (Der usdruk ( m m ) ist hier also die gesamte Wärmekapazität niht zu verwehseln mit der spezifishen des Systems Gefäss + Wasser. Nun muss die obige Gleihung noh nah aufgelöst und die gegebenen Zahlenwerte müssen eingesetzt werden: P t 000 W 70 s 6.3 K 4. kg + 0.90 0.09 kg Übungsblatt 9 Lösungen Seite / 6
Lösungsweg-Variante: wenn man die falshe Idee hat: Die zugeführte Wärmeenergie wird zunähst auf das Gefäss übergehen, welhes diese sehr shnell ans Wasser weitergeben wird, da luminium ein guter Wärmeleiter ist. Das erhitzte Gefäss wird dabei solange Energie ans Wasser abgeben, wie das Wasser eine tiefere Temperatur hat. Im Endzustand wird sih die zugeführte Wärmeenergie so zwishen Gefäss und Wasser verteilt haben, dass sih beide dieselbe Temperatur haben (es wird sih also ein thermishes Gleihgewiht eingestellt haben). Diese Endtemperatur wird um eine bestimmte Differenz grösser sein wird als im usgangszustand. Wie viel Energie jedem der beiden Körper zugeführt wurde und damit, welher der Körper welhen nteil der zugeführten Energie abbekommen hat, kann man anhand der Temperaturdifferenz ausrehnen: Für das Wasser gilt: eim Gefäss gilt: eide Körper haben die gleihe Temperatur, diese Temperaturdifferenzen sind also gleih gross:. Durh Gleihsetzen ergibt sih: und damit für das Verhältnis von und : bzw. Das bedeutet: Die gesamthaft zugeführte Wärmeenergie wird sih entsprehend der gesamten Wärmekapazitäten (niht der spezifishen) zwishen Gefäss und Wasser verteilen. Die gesamthaft zugeführte Energiemenge entspriht der Summe von und : +. () Setzt man hier das Resultat von () ein, dann erhält man: + + m m m ( m m ) + einsetzen: m + ausmultiplizieren wie gehabt. ausklammern nah auflösen Übungsblatt 9 Lösungen Seite 6 / 6