Fakultät für Physik und Geowissenschaften Physikalisches Grundpraktikum E7 Fourier-Analyse gekoppelter elektrischer Schwingungen Aufgaben 0. In der Vorbereitung sind die Fourierkoeffizienten für eine Rechteck- und eine Dreiecksschwingung analytisch zu berechnen. Führen Sie unter Verwendung geeigneter Software (z.b. ORIGIN) eine Fast-Fourier-Transform (FFT) eines Sinus-, Dreieck- und Rechtecksignals durch. Vergleichen Sie die Ergebnisse für das Dreieck- und Rechtecksignal mit den analytischen Ergebnissen.. Messen Sie den Zeitverlauf einer Sinus-, einer Dreieck- und einer Rechteckspannung mit dem USB- Oszilloskop unter Verwendung des internen Funktionsgenerators. Analysieren Sie den Zeitverlauf mittels Fouriertransformation. Vergleichen Sie die experimentellen mit den analytisch berechneten Ergebnissen. Untersuchen Sie den Alias-Effekt (siehe Nyquist-Shannonsches Abtasttheorem), indem Sie bei vorgegebener Grenzfrequenz f G der FFT die Frequenz f einer Sinusschwingung von f < f G zu f > f G durchstimmen und jeweils das Fourierspektrum betrachten. Erklären Sie die Beobachtungen. 2. Messen Sie für zwei kapazitiv gekoppelte Schwingkreise und zehn verschiedene Kopplungskondensatoren mit Hilfe von Abklingvorgängen die Schwebungsschwingungen in zwei verschiedenen Messschaltungen ( Tief- und Hochpunkt-Schaltung ). Stellen Sie für jede Schaltung die zehn Frequenzspektren in einer Abbildung dar. Bestimmen Sie aus den Fourier-Transformierten die Frequenzen der gleich- sowie der gegensinnigen Schwingung. Ermitteln Sie die jeweiligen Kopplungsgrade. Bestimmen Sie aus dem Fit der theoretischen Beziehung für die Kopplungsgrade an die Daten die Kapazität. 3. Messen Sie die Schwebungsdauer für einen ausgewählten Wert des Kopplungskondensators. Vergleichen Sie mit dem aus den Frequenzen der gleich- und gegensinnigen Schwingung berechneten Wert. 4. Ermitteln Sie für zwei induktiv gekoppelte Schwingkreise den Kopplungsgrad in Abhängigkeit vom Abstand zwischen den Schwingkreisspulen. Stellen Sie den Kopplungsgrad graphisch dar. Nach welchem Abstandsgesetz ändert sich der Kopplungsgrad? Stellen Sie die Frequenzspektren in einer Abbildung dar. iteratur Demtröder, Experimentalphysik 2, Springer, 2009 Bergmann, Schäfer, ehrbuch der Experimentalphysik, Band 2, Elektromagnetismus, de Gruyter, 2006
Physikalisches Praktikum, 4. Auflage, Hrsg. W. Schenk, F. Kremer, Fourier-Transformation und Signalanalyse Geräte und Zubehör USB-Oszilloskop, Umschalter, Steckplatine, Widerstände, Kondensatoren, Spulen, Notebook Grundlagen Die mathematische Beschreibung gekoppelter Schwingkreise erfolgt hier unter der Annahme, dass die Verluste von Spulen und Kondensatoren klein (geringe Dämpfung) und die Größe der Kondensatoren bzw. Induktivitäten in den beiden Schwingkreisen gleich groß sind. Kapazitive Kopplung, Tiefpunkt-Schaltung Im Fall von kapazitiv gekoppelten Schwingkreisen unterscheidet man zwischen zwei Messschaltungen, der so genannten Tiefpunkt- und der Hochpunkt-Schaltung, die in den folgenden beiden Paragraphen vorgestellt werden. Wendet man die Maschenregel auf die linke Masche der in Abb. dargestellten Tiefpunkt-Schaltung an, so erhält man für die Spannungen und Ströme U,A + U,A + U K = d 2 I A dt 2 + I A + (I A I B ) = 0, () mit der Kopplungsstromstärke I K = I A I B. U,A A U,B B I A I k I B U,A A U k k B B U,B A Abbildung : Kapazitiv gekoppelte Kreise, Tiefpunkt-Schaltung Mit der entsprechenden Gleichung für die rechte Masche ergeben sich die beiden Differentialgleichungen d 2 I A dt 2 + I A + (I A I B ) = 0, (2) d 2 I B dt 2 + I B (I A I B ) = 0. (3) beschreibt den Kopplungskondensator. Nach Addition der Gln. (2) und (3) ergibt sich d 2 dt 2 (I A + I B ) + (I A + I B ) = 0, (4) und als ösung dieser Differentialgleichung folgt (I A + I B ) = (I A,0 + I B,0 ) cos(ω t). (5) 2
Dabei ist ω die Eigenkreisfrequenz der Schwingung mit ω = ω 0 =. (6) Subtrahiert man die Gln. (2) und (3), erhält man d 2 ( dt 2 (I A I B ) + + 2 ) (I A I B ) = 0, (7) und als ösung folgt (I A I B ) = (I A,0 I B,0 ) cos(ω 2 t). (8) mit der Eigenkreisfrequenz ω 2 = ( ). (9) + 2 Durch Umstellung der Gln. (5) und (9) erhält man I A = 2 (I A,0 + I B,0 ) cos(ω t) + 2 (I A,0 I B,0 ) cos(ω 2 t), (0) I B = 2 (I A,0 + I B,0 ) cos(ω t) 2 (I A,0 I B,0 ) cos(ω 2 t). () Regt man die Schwingungen beider Schwingkreise mit gleichgroßen Amplituden phasengleich an, oszillieren beide Schwingkreise mit der gleichen Frequenz f = ω /(2π) (gleichsinnige Schwingung). Für den Fall, dass die Anregung beider Schwingkreise mit gleichgroßen Amplituden aber mit einer Phasenverschiebung von 80 (I A,0 = I B,0 ) erfolgt, ist die Frequenz f 2 = ω 2 /(2π) (gegensinnige Schwingung). Wird nur einer der Kreise zum Zeitpunkt t = 0 angeregt (I A 0, I B = 0), entstehen für geringe Kopplungen Schwebungsschwingungen (Abb. 2), die die Frequenzen f und f 2 enthalten. U T Intensität t T S f f 2 f Abbildung 2: inks: Ausschwingvorgang mit Schwebung, Periodendauer T, Schwebungsdauer T S. Rechts: Fourier-Spektren kapazitiv gekoppelter Schwingkreise: gleich- (schwarze Kurve) und gegensinnige Kopplung (graue Kurve), Schwebungsschwingung (blaue Kurve). Aus der Definition des Kopplungsgrades k mit k = ω 2 ω2 2 ω 2 + ω2 2 (2) 3
folgt mit den Gln. (6) und (0) der Kopplungsgrad für die Tiefpunkt -Schaltung: k,t = +. (3) Für die Kreisfrequenz der Schwebung gilt ω S = 2π T S = ω 2 ω. (4) Kapazitive Kopplung, Hochpunkt-Schaltung Für die Hochpunkt-Schaltung zur Untersuchung kapazitiv gekoppelter Schwingungen verwendet man die in Abb. 3 dargestellte Grundschaltung. D k I k E I,A I,B A A A B B B I,A I,B Abbildung 3: Kapazitiv gekoppelte Kreise, Hochpunkt-Schaltung Werden die Kirchhoff-Regeln auf die Masche sowie die beiden Knoten D und E angewendet, erhält man die Gleichungen Mit 0 = I K I,A I,B (Masche ), (5) I,A = I K + I,A (Knoten D), (6) I,B = I K + I,B (Knoten E). (7) 0 = U,A + U,A = I,A + d 2 I,A dt 2 (8) folgt für den Schwingkreis A mit den Gln. (5) und (6) die Differentialgleichung 0 = I (,A d 2 + I,A dt 2 + d 2 ) I + dt 2 mit I + = I,A + I,B. Mit den Gln. (5) und (7) ergibt sich für den Kreis B: 0 = I (,B d 2 + I,B dt 2 + d 2 ) I + dt 2. (20) Die Gln. (9) und (20) stellen wieder ein gekoppeltes System von Differentialgleichungen dar. Nach Addition und Subtraktion folgen aus diesen Gleichungen unter Verwendung von I + und I = I,A I,B die entkoppelten Differentialgleichungen: 0 = I + + ( + 2 (9) ) d 2 I + dt 2, (2) 0 = I + d 2 I dt 2. (22) 4
Mathematisch lässt sich das Zeitverhalten des Stromes als inearkombination I = A + cos(ω + t) + A cos(ω t) (23) mit den Kreisfrequenzen ω + = ω = ( + 2K ) (24) (25) beschreiben ( k > 0, ω > ω + ). Die Beiträge der Amplituden der beiden Eigenschwingungen zur Gesamtschwingung hängen dabei von den Anfangsbedingungen ab. Für den Kopplungsgrad erhält man in Analogie zum Fall der Tiefpunkt-Schaltung die Beziehung k,h = ω2 ω+ 2 ω 2 + ω+ 2 =. (26) + Induktive Kopplung Die Differentialgleichungen für den Fall von zwei induktiv gekoppelten Schwingkreisen werden wieder unter Verwendung der Kirchhoff-Regeln hergeleitet. I A I B U A U B A A A M B B B Abbildung 4: Grundschaltung induktiv gekoppelter Schwingkreise In jedem der Kreise (Abb. 4) tragen Kondensator und Spule zur Spannung bei. Durchdringt das Magnetfeld der einen Spule die Windungen der anderen Spule, erfolgt nach dem Faradayschen Induktionsgesetz eine Kopplung der Ströme in den beiden Kreisen. Unter der Voraussetzung = A = B und = A = B erhält man: I 2 A + d I A dt 2 I 2 B + d I B dt 2 + M d 2 I B = 0, (27) dt2 + M d 2 I A = 0. (28) dt2 Die Stärke dieser Kopplung wird durch die Gegeninduktivität M beschrieben. Eine Entkopplung dieses Differentialgleichungssystems erfolgt in Analogie zum kapazitiv gekoppelten Fall. Durch die Addition und Subtraktion der Gln. (27) und (28) und mit I + = I A + I B bzw. I = I A I B folgt: I 2 + + ( + M)d I + = 0, dt2 (29) I 2 + ( M)d I dt 2 = 0. (30) 5
Die entsprechenden Kreisfrequenzen sind ω + = ω = ( + M) (3) ( M) (32) Mit der Eigenkreisfrequenz ω 0 = / der ungekoppelten Schwingung erhält man ω ± = ω 0 ± M = ω 0 ± k, (33) mit dem Kopplungsgrad der induktiv gekoppelten Schwingung k = M. (34) Im Fall schwacher Kopplung ergibt sich ω = ω ω + = k ω 0. (35) Versuchsdurchführung In der Vorbereitung, in Aufgabe 0, überprüfen Sie die Abhängigkeit der FFT-Spektren von der Zahl der Perioden des Datensatzes, der für die FFT verwendet wird, sowie von der Windowing-Methode (z.b. Rechteck, Hanning). Wie unterscheiden sich die FFT-Spektren einer Sinus- und einer osinus-funktion? Welche Bedeutung haben die Real-/Imaginärteil- und die Amplitude/Phase-Darstellungen? Berechnen Sie die FFT-Spektren der Funktion sin(2πf t) cos(2πf 2 t) für geeignet gewählte Frequenzen f und f 2 in den zwei Fällen f f 2 (Schwebung) und f = 0f 2 und interpretieren Sie diese. Wie unterscheiden sich die FFT-Spektren der Funktionen sin(2πf t) cos(2πf 2 t) und cos(2πf t) sin(2πf 2 t)? Warum? In Aufgabe, die dem Kennenlernen des Messplatzes und der praktischen Anwendung der Fourier- Transformation (FFT) dient, wird der interne Funktionsgenerator des Oszilloskops an den Eingang A des Oszilloskops angeschlossen. Stellen Sie das Oszilloskop so ein, dass gleichzeitig Zeitdarstellung und Frequenzspektrum angezeigt werden. Stellen Sie eine feste Abtastrate für die FFT am Digitaloszilloskop ein und betrachten Sie das Frequenzspektrum einer Sinusspannung, wenn Sie die Frequenz f dieses Signals von f < f G zu f > f G variieren. Beobachten Sie weiterhin FFT-Spektren einer Dreieck- und einer Rechteckspannung. Für Aufgabe 2 ist in einem Vorexperiment mit den bei dieser Aufgabe verwendeten Bauteilen ein ungekoppelter Schwingkreis aufzubauen (Abb. 5). S U a Abbildung 5: Schaltung zur Messung der Eigenfrequenzen und der Dämpfungskonstanten der Einzelschwingkreise 6
Der Kondensator (Kapazität ) wird mittels der Gleichspannung U a aufgeladen. Nach dem Schließen des Stromkreises bestehend aus Spule (Induktivität ) sowie dem Kondensator mit einem Umschalter (S) kommt es zum exponentiell gedämpften Ausschwingverhalten. Überprüfen Sie in einem Vorversuch die Identität der Eigenfrequenzen der ungekoppelten Schwingkreise. Sind die Eigenfrequenzen unterschiedlich, ist ggf. die Frequenzabstimmung der Kreise mit zusätzlich zur Verfügung gestellten Bauteilen durchzuführen. Für Aufgabe 2 ist die in Abb. 6 dargestellte Messschaltung aufzubauen. Anschließend werden die Kondensatoren mit Hilfe der Spannung U a geladen. Die adezustände der Kondensatoren bestimmen die Anfangsbedingungen. k U a Abbildung 6: Tiefpunkt-Schaltung kapazitiv gekoppelter Schwingkreise Bei der Schaltung in Abb. 6 erkennt man, dass hier (links und rechts) Reihenschaltungen eines Kondensators (Kapazität ) und einer Spule (Induktivität ) vorliegen, die miteinander und mit dem variablen Kopplungskondensator parallel geschaltet sind. Der linke und rechte Kondensator sind also verschieden geladen (die Vorzeichen der adungen sind jedoch gleich). Es handelt sich um einen gemischten Ausgangszustand und dementsprechend treten Schwingungen mit den Frequenzen f und f 2 gemäß der Gln. (6) und (9) auf. Um die Messung zu starten, wird der Umschalter (S) geschlossen. Für zehn unterschiedliche Kapazitäten des Kopplungskondensators wird mit dem Digitaloszilloskop der Ausschwingvorgang gemessen und das Frequenzspektrum bestimmt. Stellen Sie die zehn FFT-Spektren in einer Grafik dar. Bestimmen Sie die Frequenzen f sowie f 2 und berechnen Sie die jeweiligen Kopplungsfaktoren k,t. Die so genannte Hochpunkt-Schaltung ist nach Abb. 7 aufzubauen. Diese ermöglicht durch die eindeutig bestimmten Anfangszustände der geladenen Kondensatoren die Eigenschwingungen eines kapazitiv gekoppelten Systems separat zu messen. S k S U b U a Abbildung 7: Hochpunkt-Schaltung kapazitiv gekoppelter Schwingkreise Mit der Anfangsbedingung U a = U b wird der Fall der gleichsinnigen Schwingungen (Frequenz f ) realisiert, während man für U a = U b die gegensinnigen Schwingungen (Frequenz f 2 ) erfassen kann. 7
Messen Sie die FFT-Spektren für etwa zehn verschiedene Werte der Kopplungskapazität und stellen Sie alle Spektren in einem Graphen dar. Bestimmen Sie die Frequenzen f und f 2 und berechnen Sie die jeweiligen Kopplungsfaktoren k,h. Stellen Sie die Kopplungsfaktoren k,t und k,h in einem Diagramm in Abhängigkeit von der Kapazität des Kopplungskondensators graphisch dar. Bestimmen Sie durch Fit der Gln. (3) bzw. (26) die Kapazität des Kondensators und vergleichen Sie mit dem nominellen Wert. Bei der Auswahl der Größe der Kopplungskondensatoren für die Messungen mit der Tief- und der Hochpunkt-Schaltung sind die unterschiedlichen Abhängigkeiten der Kopplungsgrade k,t und k,h von zu beachten, um eine zweckmäßige Verteilung der Messwerte in der zu erstellenden graphischen Darstellung zu erhalten. Bei Aufgabe 3 können durch Überbrücken des rechten Schalters Schwebungsschwingungen aufgenommen und die Periodendauer und die Schwebungsdauer für einen geeignet ausgewählten Wert der Kopplungskapazität ermittelt werden. Die aus den Frequenzen f und f 2 berechneten Werte T und T s sind mit denjenigen aus den Schwebungsschwingungen erhaltenen Werten zu vergleichen. Zur Durchführung von Aufgabe 4 wird die in Abb. 8 dargestellte Schaltung aufgebaut. Als Kopplungsspulen werden zwei flache, identische Kreisspulen verwendet, die sich koaxial und parallel gegenüberstehen. A A B B U a Abbildung 8: Schaltung für die Messung induktiv gekoppelter Schwingkreise Nach dem aden des Kondensators A wird der Umschalter geschlossen und Ausschwingvorgang und Frequenzspektrum mit dem Digitaloszilloskop gemessen. Es sind für etwa acht unterschiedliche Abstände zwischen den Kreisspulen die Frequenzen f + und f sowie die Frequenz f 0 des ungekoppelten Schwingkreises zu ermitteln. Damit ist der Kopplungsgrad k zu berechnen und die Gegeninduktivität M zu ermitteln. Die Abhängigkeit von M vom Abstand d zwischen den Spulen ist graphisch darzustellen und zu diskutieren. Welchem Abstandsgesetz genügen die Daten? 8
Die Versuche werden mit einem USB-Oszilloskop (Picoscope 5000 Series) durchgeführt. Die grafische Oberfläche des Oszilloskops ist in Abb. 9 gezeigt. Eine kurze Einweisung erfolgt zu Beginn des Praktikums. Abbildung 9: Programmoberfläche des Picoscope 5000 Series: A: Zeitdarstellung, B: Frequenzspektrum,. Einstellung Spannungsbereich, 2: Einstellung der Zeitkonstanten, 3: Datenpunktanzahl (im Beispiel ks = 000 Datenpunkte jeweils in Zeitdarstellung und Spektrum), 4: Auflösung des AD-Wandlers zur Spannungsmessung, 5: Triggeroptionen 9