Physikalisches Praktikum 3. Semester

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1 Torsten Leddig 26.Oktober 2004 Mathias Arbeiter Betreuer: Dr.Holzhüter Physikalisches Praktikum 3. Semester - passive lineare Netzwerke - 1

2 Aufgabe: 1. Lineare Netzwerke bei sinusförmiger Anregung: (a) Messen Sie an einer Reihenschaltung aus R, L und C als Funktion der Frequenz gleichzeitig die Teilspannungen und die Phasenverschiebung zwischen Eingangsspannung und Strom. (b) Stellen Sie die Resultate auf einfachlogarithmischen Papier dar und diskutieren Sie den Verlauf! (c) Ermitteln Sie aus den grafischen Darstellungen die Resonanzfrequenz f 0, die Güte Q, die Bandbreite f und die Phasenwinkel ϕ bei f gu und f go! Vergleichen Sie diese Werte mit den aus den Bauelementen gewonnenen. 2. Schaltverhalten der Netzwerke: (a) Die Reihenschaltung aus Aufgabe 1 ist an eine Rechteckspannung mit f << f 0 anzuschließen. Für unterschiedliche Dämpfungen sind die Spannungsverläufe an R, L und C zu oszillografieren, darzustellen und zu diskutieren! (b) Für den Schwingfall ist das logarithmische Dekrement experimentell und rechnerisch zu bestimmen! (c) Bauen Sie eine Reihenschaltung aus R und C auf. Oszillografieren Sie die Spannungsverläufe an R und C für τ = R C <,=,> t i (t i = halbe Schwingungsdauer der angelegten Rechtecksspannung). Diskutieren Sie die experimentellen mit den theoretisch zu erwartenden Kurven (Berechnung aus Bauelementdaten). Berücksichtigen Sie dabei den Innenwiderstand des Generators mit R i = 50Ω Vorbetrachtung: Widerstände im Wechselstromkreis: Ohmscher Widerstand: R = U I Induktiver Widerstand: X L = U I = ω L (bei einer Spule) Kapazitiver Widerstand: X C = U I = 1 ω C Blindwiderstand X = ω L 1 ω C im Reihenschwingkreis: Z = R 2 + X 2 Begriffe: Güte Q: Bandbreite: Differenz zwischen Frequenzwerten, bei denen die mittlere Leistung auf die Hälfte ihres Maximalwertes absinkt Impulsdauer: Zeitintervall zwischen ansteigender und abfallender Impulsflanke, gemessen an der vertikalen 50% - Marke der Signalamplitude Tastverhältnisse: Verhältnis Impulsdauer zu Periodendauer 2

3 1.1. Lineare Netzwerke bei sinusförmiger Anregung: Vorüberlegung: Eine Maximum bei den Spannungen kommt nicht bei jedem Widerstand zustande der Grenzwiderstand R gr ist der Widerstand bei dem gerade noch ein Maximum auftritt unser gewählter Widerstand muss geringer sein, als dieser Grenzwiderstand R gr = 2 L C C = 10nF L = 33mH R gr = 2 33mH 10nF = 2569Ω R < R gr wir wählen R = 1000Ω Versuchsaufbau: Durchführung: Funktionsgenerator fungiert als Spannungsquelle mit 1V < U < 5V Schaltung gemäß Versuchsaufbau Eingangsspannung und Spannung über dem ohmschen Widerstand werden vom Oszillator gemessen 3

4 Spannung über Kondensator U C und Spannung über der Induktivität U L werden mit digitalen Vielfachmessern gemessen ohmsche Widerstand gemäß Vorüberlegung einstellen bei konstanter Eingangsspannung U wird die Frequenz kontinuierlich verändert und die Spannungen gemessen dabei sollte der Frequenzbereich so groß sein, dass eine Phasenverschiebung von ca auftritt Messwerte: Eingangssspannung U = 2680mV ohmscher Widerstand der Spule R L = 293.2Ω Frequenz f Spannung U C Spannung U L Spannung U R Phasenversch. ϕ

5 Grafische Darstellung: alle drei Spannungen besitzen ein Maximum sehr gut erkennbar sind die theoretisch vorausgesagten Verschiebungen der Resonanzfrequenzen für Spule und Kondensator 5

6 die Kurve entspricht dem erwartetem Verlauf der Phasensprung ist deutlich erkennbar 1.3. Kenngrößen der Schwingung: Eigenfrequenz f 0 : abgelesener Wert aus Diagramm: f 0 = 8300Hz Berechnung: f 0 = 1 2 π 33mH 10nF = 8761Hz Die Differenz zwischen errechnetem Wert und dem experimentell errechnetem Wert beträgt 461 Hz möglicherweise besitzen die Bauelemente nicht die angegebenen Größen weiterhin liegen Fehler in der Spannungsmessung vor, sowie Ablesefehler im Diagramm Güte der Schwingung: Bandbreite f = f go fgu f gu und f go sind die Frequenzen bei denen die mittlere Leistung auf die Hälfte des Maximalwertes abgefallen (f go ) bzw. angstiegen (f gu ) ist U U 2 6

7 aus dem Diagramm abgelesende Werte: f gu = 5800Hz f go = 12600Hz f = 12600Hz 5800Hz = 6800Hz Berechnung mit experimentell ermittelten Größen: mit Q exp = f 0 f Q exp = 1.22 Q = 8300Ht 6800Hz Berechnung mit gegebenen und errechneten Größen: mit Q theo = ω0 L R mit ω 0 = 1 L C Q theo = L R ges L C R ges = 1000Ω + 50Ω Ω = Ω 33mH Q theo = Ω 33mH 10nF Q theo = 1.35 der theoretisch berechnete Wert weicht um 0.13 vom experimentell ermitteltem Wert ab dies entspricht einer Abweichung von 10 % mögliche Fehlerquellen liegen in Ableseungenauigkeiten vom Diagramm begründet, sowie ungenaue Angaben bei den Widerständen der Bauelemente Phasenwinkel: abgelesene Phasenwinkel für f 0, f gu und f go : φ f0 = 0 φ fgu = 43 φ fgo = 47 7

8 2.1. Spannungsverläufe im R-L-C-Schwingkreis: Widerstand R ges = R + R L + R i = ( )Ω = 353Ω Die Frequenz muss niedrig sein, damit Kondensator mit ins spiel kommen kann! Schwingkreis im Schwingfall: Einstellungen: L = 33mH C = 10nF R = 10Ω f = 801Hz Spannung über dem Kondensator: die Rechteckspannung führt zu konstanter Eingangsspannung während einer halben Periodendauer dadurch ist der Kondensator auf einen bestimmten, von der Eingangsspannung abhängigen, Wert geladen durch die Eingangsspannung wird der Kondenator nun weiter aufgeladen (der Stromfluss sinkt), wodurch die Spannung steigt während des Aufladens, wird in der Spule eine Gegenspannung induziert hat sich der Kondensator maximal aufgeladen, ist der Stromfluss maximal gehemmt, und in der Spule wird keine Gegenspannung induziert der Kondensator beginnt sich wieder zu entladen, wodurch die Stromstärke steigt, und in der Spule wieder eine Gegenspannung induziert wird, wodurch der Stromfluss nur langsam zunimmt ist der Kondensator entladen, so ist der Stromfluss maximal nach Entladung wird der Stromfluss wieder kleiner, wodurch sich das Magnetfeld in der Spule ändert, sich dadurch ein Gegenfeld bildet, welches dafür sorgt, dass der Strom weiterfließt und den Kondensator wieder auflädt 8

9 dieser Schwingvorgang wiederholt sich nun ständig durch die konstante Eingangsspannung wird der Kondensator natürlich nicht vollständig entladen, sondern seine Spannung sollte um einen Wert schwingen, welcher der Eingangsspannung entspricht die experimentell ermittelte Kurve entspricht genaue diesen theoretischen Vorbetrachtungen Spannung über der Induktivität: zu Beginn der Periode, fällt über der Spule fast die komplette Eingangsspannung ab, da der ohmsche Widerstand sehr gering ist und der Kondensator noch nicht geladen ist lädt sich der Kondensator auf, so wird eine Gegenspannung in der Spule induziert, die U L entgegengesetzt ist die Spannung U L wird somit geringer und erreicht ein Minimum, wenn der Kondensator vollständig entladen ist anschließend sinkt der Stromfluss, wodurch abermals eine Gegenspannung induziert wird, die nun jedoch so gerichtet ist, dass sie den Kondensator wieder auflädt die Spannung an der Spule steigt demzufolge (nur mit umgekehrtem Vorzeichen) der Kondensator lädt sich abermals auf, die induziert Spannung sinkt und der Schwingvorgang beginnt von neuem an der experimentell ermittelten Kurve ist diese Schwingung der Spannung an der Spule sehr gut erkennbar 9

10 Spannung über dem ohmschen Widerstand: Spannung am ohmschen Widerstand ist mit dem Strom in Phase anfangs fließt maximal Strom und gemäß U = R I ist U R maximal steigt die Spannung über dem Kondensator und der Spule, so verringert sich die Spannung über dem Widerstand bedingt durch die periodische Schwingung von U C und U L schwingt auch U R (siehe Schwingkreis in der Erklärung von U C und U L ) Schwingkreis im überdämpftem System (Kriechfall): Einstellungen: L = 33mH C = 10nF R = Ω f = 801Hz Spannung über dem ohmschen Widerstand: 10

11 am Anfang fließt maximal Strom, so dass gemäß U = R I die Spannung am Widerstand maximal ist der Kondensator beginnt sich aufzuladen eine Gegenspannung wird im Kondensator aufgebaut dadurch sinkt die Spannung am ohmschen Widerstand da sich der Kondensator exponentielle auf- und entlädt, baut sich die Gegenspannung ebenfalls exp. auf U R sinkt exponentiell ab dadurch das der Widerstand so groß ist, kann sich der Kondensator nur sehr langsam entladen kippt die Spannung, so beginnt der Vorgang analog nur mit umgekehrten Vorzeichen Spannung über dem Kondensator: Kondensator lädt sich auf aufgrund der großen Dämpfung (da großer ohmscher Widerstand) fließt nur ein geringer Strom langsame Aufladung (asymptotische Annäherung an den Maximalwert) durch den sehr geringen Strom, ist der Einfluss, während des Ent- und Aufladens des Kondensators, der Spule auf den Schwingkreis sehr klein beim Umpolen der Recheckspannung entlädt sich der Kondensator ebenfalls langsam exponentiell und nähert sich dem Minimalwert an 11

12 Spannung über der Induktivität: am Anfang ist der Kondensator entladen keine Gegenspannung der Strom steigt von Null auf den Maximalwert eine Gegenspannung wird in der Spule induziert der Kondensator beginnt sich nur langsam zu entladen geringe Änderung des Magnetfelds induzierte Gegenspannung sinkt langsam ab ist der Kondensator auf- bzw. entladen und wird die Recheckspannung umgepolt, dann ändert sich der Strom und damit das Magnetfeld maximal und die induzierte Spannung steigt (für einen kurzen Moment) schnell an, um dann langsam wieder abzufallen 2.2 Logarithmisches Dekrement: Formeln: Theorie: Λ theo = R ges T 0 2 L (1) 12

13 Experiment: Λ exp = ln ( UR1 U R2 ) (2) Durchführung: Schwingfall für U R einstellen Schwingungsdauer dieser abklingelnden Schwingung mit dem Oszillograph ermitteln diesen Wert in (1) einsetzen und ausrechnen danach zwei hintereinander folgende Amplituden der Spannung messen und damit experimentelle das log. Dek. berechnen (Gleichung (2)) Messwerte: T 0 = 132µs U R1 = 41.25mV U R2 = 22.50mV Λ theo = 353Ω 132µs 2 33mH Λ theo = 0.71 Λ exp = ln Λ exp = 0.61 Auswertung: die beiden Werte weichen erheblich voneinander ab die Periodendauer kann hinreichend exakt bestimmt werden und auch die Spannungsamplituden sind gut mit Hilfe des Oszillographen zu ermitteln Ursachen müssen in ungenauen Widerstandswerten liegen 13

14 2.3. R-C-Schaltkreis: Versuchsanordnung: Durchführung: die Kapazität wird konstant bei C = 10nF gehalten der Widerstand R und die Frequenz der Rechteckspannung sind so zu kombinieren, dass τ = R C <,=,> t i (t i ist für drei verschieden große Widerständen wurden nun unterschiedliche Frequenzen angelegt und die verschiedenen Fälle untersucht und ausgewertet Vorbetrachtung: der Kondensator hat genau die halbe Periodendauer der Rechteckspannung Zeit, um sich aufzuladen die Geschwindigkeit mit der sich der Kondensator auflädt, ist bestimmt durch τ = R C umso geringer der Widerstand, desto schneller lädt er sich auf ist die Frequenz niedrig, hat der Kondensator ausreichend Zeit um sich aufzuladen 14

15 Widerstand R = Ω geringe Frequenz f = 390Hz U = 1 e s Ω 10nF = 72.3% U ges der Kondensator schafft es also nicht zu knapp drei Viertel aufzuladen dadurch wird eine nicht zu vernachlässigende Spannung im Kondensator aufgebaut, wodurch die resultierende Spannung am Widerstand R mit steigender Aufladung des Kondensators merklich sinkt die experimentell ermittelte Kurve bestätigt diese theoretische Vorüberlegung hohe Frequenz f = 10439Hz U = 1 e s Ω 10nF = 4.7% U ges 15

16 der Kondensator kann sich nur zu knapp 5 % aufladen dadurch wird keine nennenswerte Spannung am Kondensator aufgebaut, so dass fast die komplette Recheckspannung über dem ohmschen Widerstand abfällt in der experimentell ermittelten Kurve wird deutlich, dass die Spannung über dem Kondensator kaum erkennbar ist, und somit die Spannung über dem Widerstand fast identisch mit der Eingangsspannung ist die Theorie wurde bestätigt! Widerstand R = 500Ω geringe Frequenz f = 390Hz (Übersicht) geringe Frequenz f = 390Hz (detaillierter Ausschnitt) 16

17 U = 1 e s 500Ω 10nF = 100% U ges der Kondensator schafft es also sich komplett innerhalb einer halben Periode aufzuladen da der ohmsche Widerstand sehr gering ist, kann ein großer Strom fließen nur in der kurzen Phase, während die Rechteckspannung umpolt, fällt über dem Widerstand eine große Spannung ab da der Kondensator sich schnell auflädt, wird demzufolge schnell eine Spannung im Kondensator aufgebaut, so dass der Strom gehemmt wird, der Widerstand des Kondensators somit erhöht wird und über dem ohmschen Widerstand kaum noch Spannung abfällt da der Kondensator wesentlich weniger Zeit zum Aufladen benötigt, als die halbe Periodendauer der Rechteckspannung, steigt die Spannung am Kondensator sprunghaft an, um dann konstant über den Rest der halben Periodendauer zu bleiben dadurch kommt es auch kurz nach dem Umpolen der Rechteckspannung nur zu einer kurzen Spannungsspitze am ohmschen Widerstand die kurze Spannungsspitze am ohmschen Widerstand ist in der experimentell ermittelten Kurve sehr gut sichtbar in der detaillierteren Auflösung ist des Weiteren der exponentielle Ent- und Aufladevorgang des Kondensators sehr gut zu sehen hohe Frequenz f = 22750Hz U = 1 e s 500Ω 10nF = 98.7% U ges der Kondensator schafft es sich nahezu komplett aufzuladen anders als bei geringer Frequenz, braucht er jedoch fast genau die halbe Periodendauer bis er sich vollständig aufgeladen hat dadurch erstreckt sich der exponentielle Spannungsverlauf über die gesamte halbe Periodendauer und wird nicht nur als kurze Spannungsspitze sichtbar der exponentielle Auf- und Entladevorgang sind sehr deutlich an den Kurven zu erkennen 17

18 Widerstand R = 4520Ω die Kurven bei diesem Widerstand stellen Zwischenstufen dar, zwischen den Extremsituationen R = Ω und R = 500Ω die Auswertung erfolgt analog den vorherigen geringe Frequenz f = 398Hz hohe Frequenz f = 22750Hz 18