Differentialgeometrie I (Kurventheorie) SS 2013 Lektion 8 26. Juni 2013 c Daria Apushkinskaya 2013 () Kurventheorie: Lektion 8 26. Juni 2013 1 / 18
10. Umlaufsatz 10. Umlaufsatz c Daria Apushkinskaya 2013 () Kurventheorie: Lektion 8 26. Juni 2013 2 / 18
10. Umlaufsatz Umlaufsatz Als Anwendung der Begriffsbildung (Rotationsindex) beweisen wir den berühmten Theorem 10.1 ( Umlaufsatz ) Sei α : [0, L] R 2 eine nach der Länge parametrisierte, einfach geschlossene Kurve (d.h. α [0,L) ist injektiv). Dann gilt: Rotationsindex I α {+1, 1}. c Daria Apushkinskaya 2013 () Kurventheorie: Lektion 8 26. Juni 2013 3 / 18
Anschaulich ist klar, dass es einen Punkt p Spur α gibt, so dass Spur α ganz auf einer Seite der Tangente in p liegt. Dazu nehme man eine Gerade, die Spur α nicht trifft (existiert, das Spur α kompakt ) und verschiebe diese solange parallel bis sie zu einer Tangente wird. O.E. kann man annehmen, dass p = α(0) = α(l) ist, sonst parametrisiere man um, was den Index nicht ändert. c Daria Apushkinskaya 2013 () Kurventheorie: Lektion 8 26. Juni 2013 4 / 18
Auf dem Dreieck L := { } (s, u) R 2 : 0 s u L betrachtet man die Sehnenabbildung α(u) α(s) α(u) α(s), s < u, u s < L σ(s, u) := α (s), s = u α (0), s = 0, u = L Da α einfach geschlossen ist, ist σ(s, u) wohldefiniert, denn in der ersten Definitionszeile ist s = 0, u = L ( α(u) = α(s)) verboten, nur für diese Wahl ist α(u) = α(s). c Daria Apushkinskaya 2013 () Kurventheorie: Lektion 8 26. Juni 2013 5 / 18
Außerdem ist σ stetig: Dazu ist zu prüfen: 1. Ist 0 s 0 L, so gilt und lim (s,u) (s 0,s 0 ),u>s α(u) α(s) α(u) α(s) = α (s 0 ) 2. lim (s,u) (0,L),u>s α(u) α(s) α(u) α(s) = α (0) c Daria Apushkinskaya 2013 () Kurventheorie: Lektion 8 26. Juni 2013 6 / 18
ad 1. Für s < u, u s < L ist α(u) α(s) α(u) α(s) = α(u) α(s) u s α(u) α(s) u s α(u) α(s) u s 1 = 1 1 α(s + ρ(u s))dρ u s ρ 0 = 1 falls (s, u) (s 0, s 0 ), s 0 0, u > s. 0 α (s + ρ(u s))dρ α (s 0 ),, c Daria Apushkinskaya 2013 () Kurventheorie: Lektion 8 26. Juni 2013 7 / 18
Also: lim (s,u) (s 0,s 0 ),u>s wegen α (s 0 ) = 1. α(u) α(s) α(u) α(s) = α (s 0 ) α (s 0 ) = α (s 0 ) c Daria Apushkinskaya 2013 () Kurventheorie: Lektion 8 26. Juni 2013 8 / 18
ad 2. Seien s < u, u s < L. Es gilt α(s) = α(s + L) (α L-periodisch fortgesetzt), also α(u) α(s) α(u) α(s) = α(u) α(s + L) u (s + L) u (s + L) α(u) α(s + L) mit α(u) α(s + L) u (s + L) α (L) bei u L, s 0, u > s. (s.o.). Gemäß u (s + L) < 0 gilt dann bei diesem Grenzübergang u (s + L) α(u) α(s + L) 1 α (L), was wegen α = 1 und α (0) = α (L) die Aussage 2.) ergibt. c Daria Apushkinskaya 2013 () Kurventheorie: Lektion 8 26. Juni 2013 9 / 18
Die weitere Vorgehensweise zur Berechnung von I α sieht so aus: I α wird vom Tangentenfeld t α bestimmt und wie nach der Definition des Rotationsindex vermerkt, können wir für ede stetige Kurve T : [0, L] S 1 eine Zahl I T Z definieren sofern T (0) = T (L) ist. (Man mache einfach die Konstruktion nach!) Speziell ist I α = I tα. Ist T ρ : [0, L] S 1, 0 ρ 1, eine Familie geschlossener Kurven, die stetig von ρ abhängt, so ist ρ I Tρ stetig, also const, da Z-wertig. Man suche eine Schar T ρ, so dass T 0 = t(= t α ) ist, und gleichzeitig T 1 eine so einfache Gestalt hat, dass man I T1 ausrechnen kann. c Daria Apushkinskaya 2013 () Kurventheorie: Lektion 8 26. Juni 2013 10 / 18
Um diese Schritte auszuführen, sei { L ((1 u)s, (1 + u)s), 0 s 1/2, ϕ u (s) := L ((1 + u)s u, (1 u)s + u), 1/2 s 1, wobei 0 u 1 als fixierter Parameter gedacht wird. Es gilt: ϕ u hat Werte in L für jedes u [0, 1], ϕ u passt bei 1/2 stetig zusammen, auch (s, u) ϕ u (s) ist eine stetige Abbildung [0, 1] [0, 1] L, speziell ist ϕ 0 (s) = L(s, s). c Daria Apushkinskaya 2013 () Kurventheorie: Lektion 8 26. Juni 2013 11 / 18
Alle Spuren starten in (0, 0) und laufen wie angedeutet nach (L, L), die Spur von ϕ 0 ist die Diagonale. Es sei schließlich T u := σ ϕ u : [0, 1] S 1, 0 u 1. Man hat Stetigkeit von σ, also Stetigkeit von jeder einzelnen Kurve T u, aber offensichtlich ist auch (s, u) T u (s) = σ(ϕ u (s)) stetig wegen der Stetigkeit von (s, u) ϕ u (s). c Daria Apushkinskaya 2013 () Kurventheorie: Lektion 8 26. Juni 2013 12 / 18
Daher und mit den Vorbemerkungen ist Rotationsindex I Tu der Kurve T u konst Z. (beachte: T u (0) = T u (1) = α (0), T u erfüllt also die Erfordernisse zur Definition des Index!) Außerdem: T 0 (s) = σ(ϕ 0 (s)) = σ(l(s, s)) = α (Ls), m.a. W.: I T0 = T α, so dass obige Zahl konst Z gerade I α ist. Insbesondere folgt: I α = I T1, und den Index von T 1 können wir in einem letzten Schritt ausrechnen: c Daria Apushkinskaya 2013 () Kurventheorie: Lektion 8 26. Juni 2013 13 / 18
Es ist T 1 = σ ϕ 1 : [0, 1] S 1. Durchläuft s das Intervall [0, 1/2], so durchläuft σ(ϕ 1 (s)) = σ(0, 2Ls) = α(2ls) α(0) α(2ls) α(0) die normierten Sehnen vom Punkt α(0) aus, wobei σ(ϕ 1 (0)) = α (0), σ (ϕ 1 (1/2)) = α (0), wobei σ(ϕ 1 (s)) stets auf derselben Hälfte von S 1 bleibt, da Spur α ja auf einer Seite der Tangente in α in α(0) bleibt. Die Änderung des Winkels ist also π oder π. c Daria Apushkinskaya 2013 () Kurventheorie: Lektion 8 26. Juni 2013 14 / 18
Für s zwischen 1/2 und 1 variiert σ(ϕ 1 (s)) = σ(2ls L, L) = α(l) α(2ls L) α(0) α(2ls L) = α(l) α(2ls L) α(0) α(2ls L) offensichtlich genau in der anderen Hälfte von S 1. Die Winkeländerung (von α (0) = σ(ϕ 1 (1/2)) auf α (0) = σ(ϕ 1 (1))) ist wieder +π oder π (in beiden Fällen gleiches Vorzeichen). Insgesamt folgt 2π oder 2π also Winkeländerung, so dass I α = ±1. c Daria Apushkinskaya 2013 () Kurventheorie: Lektion 8 26. Juni 2013 15 / 18
10. Umlaufsatz Korollar Korollar Es sei α : [0, L] R 2 eine einfach geschlossene, nach der Länge parametrisierte Kurve. κ α bezeichne die orientrierte Krümmung. Dann gilt: a) L L κ α ds = ±2π. (Die Größe κ α ds wird auch Tatlkrümmung von α 0 0 genannt. Für einfach geschlossene Kurven ist diese also ±2π.) b) Ist κ α 1/r für ein r > 0, so ist L = L(α)(= Länge von α) 2πr. c) Aus κ α 1/r folgt L(α) 2πr. d) Es ist max κ α 2π/L. c Daria Apushkinskaya 2013 () Kurventheorie: Lektion 8 26. Juni 2013 16 / 18
10. Umlaufsatz Beweis von Korollar Beweis von Korollar a) Für geschlossene, nach der Länge parametrisierte Kurven wurde gezeigt 2πI α = L 0 κ α (s)ds, so dass die Behauptung für einfach geschlossene Kurven aus I α = ±1 folgt. c) Es ist mit a) also L 2πr. 2π = L 0 κ α ds L 0 κ α ds L r c Daria Apushkinskaya 2013 () Kurventheorie: Lektion 8 26. Juni 2013 17 / 18
10. Umlaufsatz Beweis von Korollar Beweis von Korollar b) Die Voraussetzung κ α 1/r liefert speziell, dass κ α keinen Vorzeichenwechsel hat. Also gilt wieder mit a): d.h. L 2πr. 2π = L 0 κ α ds = L 0 κ α ds L r, d) Wäre max κ α (1 ε)2π/l für ein ε > 0, so ergubt c): was unmöglich ist. 1 L 2π (1 ε)2π L > L, c Daria Apushkinskaya 2013 () Kurventheorie: Lektion 8 26. Juni 2013 18 / 18