3.4 Trigonalisierung und Jordansche Normalform

3.4 Trigonalisierung und Jordansche Normalform Definition 3.4.1. Sei V ein K-Vektorraum, F End K (V ). Ein Unterraum U V heißt F -invariant falls F (U) U. Bemerkung. (1) Falls U V ein F -invarianter Unterraum ist, so kann man die Einschränkung F U : U U als Element in End K (U) auffassen. (2) Falls so ein F -invarianter Unterraum U Dimension 1 hat, so existiert λ K mit U Eig(F, λ). (3) λ K: Eig(F, λ) ist F -invariant. Lemma 3.4.2. Sei V ein K-Vektorraum, dim V = n <, und sei U V ein F -invarianter Unterraum. (a) Sei E : e 1,..., e k Basis von U, die zu einer Basis E : e 1,..., e k, e k+1,..., e n von V ergänzt werde. Dann gilt: ( ) A C ME E (F ) = 0 B wobei A = M E E (F U) M k (K), B M n k (K), C M k (n k) (K) und 0 M (n k) k (K) die Nullmatrix. (b) Für die charakteristischen Polynome gilt P F = P A P B. Definition 3.4.3. Sei V ein K-Vektorraum, F End K (V ). Eine F -invariante Zerlegung von V ist eine Zerlegung der Form V = U 1 U 2... U r mit r 2 und F -invarianten U i. Bemerkung. (1) Falls in so einer direkten Summe U i = {0} für ein i, so kann dieses U i aus der direkten Summe entfernt werden. Wir sind an nicht-trivialen solchen Zerlegungen interessiert, also Zerlegungen mit dim U i > 0 ( i). (2) Seien V endlich-dimensional, F End K (V ) und V = U 1 U 2... U r eine nicht-triviale F -invariante Zerlegung, und sei E i Basis von U i und sei E : E 1,..., E r die (aneinandergereihte) Basis von V. Mit A i := M E i E i (F Ui ) gilt dann A 1 ME E A 2, A r wobei hier ausserhalb der diagonal aneinandergereihten Blöcke A i nur Nullen stehen. 1

Ziel: Sei V ein K-Vektorraum, dim V = n <, F End K (V ). Finde eine Basis E, sodass sich ME E (F ) wie in vorheriger Bemerkung mit möglichst einfachen Blöcken darstellen lässt, und wo diese Blöcke bis auf ihre Reihenfolge in gewisser Weise eindeutig durch F bestimmt sind. Bemerkung und Beispiele 3.4.4. Sei V ein K-Vektorraum, dim V = n <, F End K (V ). Folgende Fälle bzgl. der (Un)Möglichkeit F -invarianter Zerlegungen können auftreten. (1) Es gibt keinen F -invarianten Unterraum U mit {0} U V. Beispiel: Drehung in der Ebene R 2 um einen Winkel ungleich 2πn, π+2πn, n Z. (2) Es gibt einen F -invariante Unterraum U mit {0} = U V, es gibt aber nicht zwei solche F -invariante Unterräume {0} = U 1, U 2 V mit V = U 1 U 2. Beispiel: F : R 2 R 2 : x ( 0 1 0 0 ) x. (3) Es existiert eine nicht-triviale F -invariante Zerlegung V = U 1 U 2. Beispiel: Jedes F : R 2 R 2 mit zwei verschiedenen Eigenwerten. Definition 3.4.5. (1) Sei V ein K-Vektorraum, dim V = n <, F End K (V ). F ist trigonalisierbar falls eine Basis E von V existiert, sodass ME E(F ) eine obere Dreiecksmatrix ist. (2) A M n (K) ist trigonalisierbar falls A ähnlich zu einer oberen Dreiecksmatrix ist. Bemerkung. (1) F End K (V ) trigonalisierbar ME E (F ) trigonalisierbar für jede Basis E von V. (2) A M n (K) trigonalisierbar L A trigonalisierbar (wie üblich L A : K n K n : x A x, L A End K (K n )). Satz 3.4.6. Sei V ein K-Vektorraum, dim V = n <, F End K (V ). Dann sind äquivalent: (i) F trigonalisierbar; (ii) es existiert eine sogenannte Fahne von F -invarianten Unterräumen mit dim V i = i, 0 i n. {0} = V 0 V 1 V 2... V n 1 V n = V 2

Satz 3.4.7. Sei V ein K-Vektorraum, dim V = n <, F End K (V ). Dann sind äquivalent: (i) F trigonalisierbar mit λ 1,..., λ n K in der Diagonalen einer Darstellungsmatrix in oberer Dreiecksform; (ii) Das charakteristische Polynom P F zerfällt in Linearfaktoren: P F (X) = ( 1) n n i=1 (X λ i). Definition 3.4.8. Sei R ein Ring. Ein Element x R heißt nilpotent falls ein m N existiert mit x m = 0. Bemerkung. Da End K (V ) bzw. M n (K) Ringe sind, kann man von nilpotenten Endomorphismen bzw. nilpotenten Matrizen sprechen. Lemma 3.4.9. Sei V ein K-Vektorraum, F End K (V ). Falls F nilpotent ist, so ist 0 ein Eigenwert von F, und es ist der einzige Eigenwert von F. Lemma 3.4.10. Sei V ein K-Vektorraum, dim V = n <, F End K (V ). Falls F nilpotent ist, so ist F trigonalisierbar, wobei die Elemente in der Diagonalen einer Darstellungsmatrix von F in oberer Dreiecksform alle gleich 0 sind. Insbesondere gilt P F (X) = ( 1) n X n. Korollar 3.4.11. Sei V ein K-Vektorraum, 1 dim V = n <, N End K (V ) nilpotent, λ K, F := λ id V +N End K (V ). Dann ist F trigonalisierbar, wobei die Elemente in der Diagonalen einer Darstellungsmatrix von F in oberer Dreiecksform alle gleich λ sind, d.h. λ... ME E 0........ 0... 0 λ Insbesondere gilt P F (X) = ( 1) n (X λ) n. Lemma 3.4.12. Sei V ein K-Vektorraum, dim V = n <, G End K (V ). Dann gilt {0} Kern(G) Kern(G 2 ) Kern(G 3 )... und es gibt ein k n mit Kern(G l ) = Kern(G k ) l k. Satz und Definition 3.4.13. Sei V ein K-Vektorraum, 1 dim V = n <, und sei λ K ein Eigenwert von F. 3

(a) k n mit Kern((F λ id V ) l ) = Kern((F λ id V ) k ) l k. Der Unterraum Hr(F, λ) := Kern((F λ id V ) k ) ist F -invariant und heißt Hauptraum von F zum Eigenwert λ. (b) F λ := H Hr(F,λ) End K (Hr(F, λ)) ist von der Form F λ = λ id Hr(F,λ) +N mit N End K (Hr(F, λ)) nilpotent. Insbesondere ist F λ trigonalisierbar mit einzigem Eigenwert λ, und P Fλ (X) = ( 1) m (X λ) m, wobei m = dim Hr(F, λ). Satz 3.4.14. Sei V ein K-Vektorraum, dim V = n <, F End K (V ). Seien λ 1,..., λ s verschiedene Eigenwerte von F. Dann gilt s i=1 Hr(F, λ i) = s i=1 Hr(F, λ i). Lemma 3.4.15. Sei A M n (K) eine obere Dreiecksmatrix, in der die Diagonalelemente all gleich 0 sind. Dann gilt A n = 0. Satz 3.4.16. Sei V ein K-Vektorraum, dim V = n <, F End K (V ). Angenommen P F zerfällt vollständig in Linearfaktoren und wir haben P F (X) = ( 1) n r i=1 (X λ i) m i, wobei die λ 1,..., λ r alle verschieden sind (und r i=1 m i = n). Dann gilt: V = r Hr(F, λ i ) mit dim Hr(F, λ i ) = m i. i=1 Insbesondere gibt es eine Basis E von V sodass A 1 ME E A 2, A r mit λ i.... 0...... A i =.... M m i (K) 0... 0 λ i und wobei ausserhalb der diagonal aneinandergereihten Blöcke A i nur Nullen stehen. 4

Definition 3.4.17. Eine Jordanmatrix ist eine quadratische Matrix der Form λ 1 0... 0. 0 λ 1... J n (λ) =. 0 M n (K).... 1 0...... 0 λ Wir schreiben einfach J n statt J n (0). Satz 3.4.18 (Normalform nilpotenter Endomorphismen). Sei V ein K-Vektorraum, dim V = n <, N End K (V ) nilpotent. Dann existiert eine Basis E von V sodass ME E (N) = J s1 J s2 J sr wobei hier ausserhalb der diagonal aneinandergereihten Blöcke J si nur Nullen stehen. Die s i sind bis auf die Reihenfolge eindeutig bestimmt (d.h. ist E eine Basis, in der ME E (F ) von obiger Gestalt mit Jordanblöcken J t 1,..., J tq ist, so ist r = q und, gegebenenfalls nach Umnummerierung, s i = t i.) Zusatz. Die obigen s i lassen sich wie folgt berechnen. Betrachte Kern(N 0 ) = {0} Kern(N) Kern(N 2 )... Kern(N n ) = V (wir wissen dass N l = 0 für großes l und Kern(N l ) = Kern(N n ) für l n). Sei m i = dim(kern(n i )), also 0 = m 0 m 1 m 2... m n = n. Dann gilt: r i Blöcke vom Typ J i in obiger Matrix genau dann wenn r 1 + r 2 + r 3 +... + r n = m 1 r 1 + 2r 2 + 2r 3 +... + 2r n = m 2 r 1 + 2r 2 + 3r 3 +... + 3r n = m 3.. r 1 + 2r 2 + 3r 3 +... + nr n = m n D.h. r = (r 1,..., r n ) ist Lösung des LGS 1 1 1... 1 1 m 1 1 2 2... 2 2 m 2 1 2 3... 3 3 m 3... 1 2 3... n 1 n m n 5

Falls m 1,..., m n N schon bekannt, so kann man dieses LGS lösen und mit den bekannten Lösungsmethoden zeigt man, dass es dann ein eindeutiges r Z n (sogar notwendigerweise in N n 0) gibt, welches dieses LGS löst (Übung). Dies zeigt dann auch die Eindeutigkeit der s i (bis auf die Reihenfolge). Bemerkung. Falls in 3.4.18 gilt N k = 0 aber N k 1 0, so gibt es in der dortigen Matrix mindestens ein s i mit s i = k, aber es gibt kein s j > k. Korollar 3.4.19. Sei V ein K-Vektorraum, dim V = n <, N End K (V ) nilpotent, λ K und F = λ id V +N. Dann existiert eine Basis E von V sodass J s1 (λ) ME E J s2 (λ)... J sr(λ) wobei hier ausserhalb der diagonal aneinandergereihten Blöcke J si (λ) nur Nullen stehen. Die s i sind bis auf die Reihenfolge eindeutig bestimmt Satz und Definition 3.4.20 (Hauptsatz über die Jordansche Normalform). Sei (a) V ein K-Vektorraum, dim V = n <, F End K (V ), oder (b) F M n (K). Angenommen P F zerfällt in Linearfaktoren. Dann gilt: (a) Es gibt eine Basis E von V sodass J s1 (λ 1 ) ME E J s2 (λ 2 ) J sr(λ r ) wobei hier ausserhalb der diagonal aneinandergereihten Blöcke J si (λ i ) nur Nullen stehen. Die Paare (s i, λ i ) sind bis auf die Reihenfolge eindeutig bestimmt. (b) F ist ähnlich zu einer wie in (a) beschriebenen Blockmatrix. Die Paare (s i, λ i ) sind bis auf die Reihenfolge eindeutig bestimmt. Eine wie in (a) beschriebenen Blockmatrix heißt Jordansche Normalform (JN) von F. Bemerkung. Über C zerfallen Polynome immer in Linearfaktoren. Also besitzt jede Matrix in M n (C) bzw. jeder Endomorphismus in End C (V ) (wobei dim V < ) eine Jordansche Normalform. 6

Algorithmus zur Bestimmung der JN von Matrizen 3.4.21. Sei A M n (K). (1) Berechne das charakteristische Polynom P A (X) und bestimme, ob es in Linearfaktoren zerfällt. Falls nicht, so existiert keine JN. (2) Falls P A (X) in Linearfaktoren zerfällt, berechne für jede Nullstelle λ in P A (X) deren Vielfachheit m = m(p A, λ) (siehe 3.3.18). (3) Berechne für jede solche Nullstelle λ die Dimension m λ,i des Lösungsraums des LGS ( (A λi n ) i 0 ), und zwar für 1 i m, wobei dann gilt 1 m λ,1 m λ,2... m λ,m = m. Nach dem Zusatz zu 3.4.18 lässt sich nun die Anzahl r k der Blöcke vom Typ J k (λ) berechnen. Man beachte hierbei: Zur Berechnung der Dimensionen m λ,i reicht es, zunächst Rang(A λi n ) i zu berechnen. Dann gilt nach Korollar 2.5.8: m λ,i = n Rang(A λi n ) i. Es gibt sicher ein i m mit m λ,i = m. Sobald man bei so einem i angelangt ist mit m λ,i = m, so gilt notwendigerweise m λ,i+1 = m λ,i+2 =... = m λ,m = m (diese Werte muss man also nicht mehr langwierig berechnen). Es kann nur Jordanblöcke J k (λ) geben mit k m. Für die Anzahlen r k der Blöcke vom Typ J k (λ), 1 k m muss man schließlich die (eindeutige) Lösung (r 1, r 2,..., r m ) des LGS 1 1 1... 1 1 m λ,1 1 2 2... 2 2 m λ,2 1 2 3... 3 3 m λ,3... 1 2 3... m 1 m m λ,m = m bestimmen. 7