Abstan unkt/gerae. Geeben sin er unkt un ie Gerae : x = +λ. Gesucht ist er Abstan von zu. 2. ür ein λ ilt: +λ O,.h. (+λ O = x O Hieraus lässt sich λ berechnen, allemein: λ = ( O λ einesetzt in ie Geraenleichun eribt en ußpunkt, enauer O un schließlich ilt: = O O. Empfehlun: In Klausuren sollte von er (sich zu merkenen Beziehun (+λ O = auseanen weren, um zunächst λ zu bestimmen. Um en Abstan mit em GTR zu ermitteln, kann as Minimum er unktion (λ = +λ O bestimmt weren. Empfehlenswert ist, ie Vektoren un O zusammenzufassen. Der Betra wir wie üblich mit einer Wurzel aus einer Quaratsumme ebilet. 3. Berechne en ußpunkt un en Abstan: a ( 2 : x = ( 3 b ( : x = ( 3 + λ + λ( 2 ( 3
Abstan unkt/gerae Berechne en ußpunkt un en Abstan: a ( 2 : x = ( 3 b ( : x = ( 3 + λ + λ( 2 ( 3 Lösunen: a (3 9, λ = 9, = 7 b (4 8, λ = 8, = 9 2
Abstan unkt/gerae Laufener unkt A Geeben sin er unkt A( 3 6 un ie Gerae 2 : x = +t 4, t R 2 2 Gesucht ist er Abstan von A zu. Die Berechnun ist recht einpräsam, wenn ie Geraenleichun als laufener unkt eschrieben wir: 2 2+t O = +t 4, t R, zusammenefasst: O = +4t, t R 2 2 2+2t A A ür as t, as zum ußpunkt ehört, ilt: A = ( O OA = führt zu A,.h. (3+t+( 4+4t4+( 4+2t2 = mit t =. t = in ie Geraenleichun einesetzt eribt en ußpunkt (3 3 4, = A = 2 = 4,472 Berechne en ußpunkt un en Abstan: 2 4 a A( 7 : x = +t 7 3 2 b A(2 2 4 : x = +t 4 2 2 3
Abstan unkt/gerae Berechne en ußpunkt un en Abstan: 2 4 a A( 7 : x = +t 7 3 2 b A(2 2 4 : x = +t 4 2 2 Lösunen: a (6 3, t = 2, = 6 = 7,483 b (2 2, t =, = = 2,236 4
Abstan unkt/gerae LK. Berüne: = ( O = ( O = ( O = Q O 2. Berüne: λ+ = O... Q λ = ( O Q λ = 3. Berechne en ußpunkt un en Abstan: a ( 2 : x = ( 2 2 b (8 : x = + λ( 2 ( 3 + λ( 2 Lösunen: 3. a (4 2 4, λ = 2, = 6 b (3 2, λ = 2, = 4
Zum Lotfußpunkt Geeben sin er unkt un ie Gerae : x = +λ. λ = Q führt zum Lotfußpunkt. Q Q O = + Dies kann mit wenien Umformunen verifiziert weren. Hierurch wir auch er λ-term verstänlich. Q O = + O = +( Q }{{} Q (siehe Skalarproukt Q 6
Achsenabschnittsform er Ebene z 4 3 2 x 4 3 2 2 3 4 y x 3 + y + z 4 = Die Gleichun er Ebene mit en Achsenabschnitten a, b un c lautet: x a + y b + z c = oer a b x = c Dies kann unmittelbar mit einer Betrachtun er Achsen-Schnittpunkte bestätit weren. ür ie Schnittstelle x er Ebene mit er x-achse ilt z.b. y = un z =, also x = a. Alternativ kann mit en Achsen-Schnittpunkten ie Koorinatenform bcx+acy +abz abc = ermittelt weren. Diese iviiert urch abc eribt ie Achsenabschnittsform. 7
z S c b y x a Auf. Eine (punktförmie Kuel rollt eine schräe Ebene E von S herab. Wo trifft ie Kuel in er xy-ebene auf? Die Kuel rollt auf einer Linie S, ie senkrecht zur Spureraen von E verläuft. ür en ußpunkt ilt [ a +λ a b ] a b = c S = λ = a2 a 2 +b 2 = O = ab b a 2 +b 2 a Da λ nicht von c abhänt, ist auch O. ür weitere raestellunen siehe Abituraufaben GK Bayern 2. 8
Eränzun (er Graient ist kein verpflichtener Inhalt Die Ebene schließt mit er xy-ebene en Winkel ein. α = arctan c O = arctan c a 2 +b 2 ab ür z = c c a x c b y ilt ann: α = arctan c a 2 +b 2 ab = arctan ( fx f y. Wir erhalten: Die Steiun er Geraen es stärksten Ansties ist er Betra es Graienten. 9