Norbert Lilei Uiversität Erlage-Nürberg Stautstr. 7/B, D-958 Erlage
Motivatio Optik ist eie Schlüsseltechologie useres Jahrhuerts Beispiel: Herstellug vo Computer Chips mit optischer Lithographie Source: http://www.smt.zeiss.com
Motivatio Wichtige Parameter eies optische Systems Illumiatio optics Imagig system Aberratio Beugug Light source Object Image Polarisatio Kohärez (zeitlich u räumlich) Aperture stop Positio u Größe es Biles 3
Motivatio Geometrische Optik ist ie Grulage optischer (Abbilugs-) Systeme Berechug paraxialer Parameter Berechug vo Aberratioe Direkte Berechug er Itesitätsverteilug mit ray tracig, falls Beugugs- u Iterferezeffekte verachlässigt were ürfe (z.b. ikohärete Beleuchtugssysteme) 4
Grulage: Maxwell Gleichuge, Zeitharmoische Welle, Poytig Vektor 5
Maxwell Gleichuge Im folgee beutzte Symbole: E: elektrische Felstärke (Eiheit: V/m) D: elektrische Verschiebugsichte (Eiheit: A s/m ) H: magetische Felstärke (Eiheit: A/m) B: magetische Iuktio (Eiheit: V s/m = T) j: elektrische Stromichte (Eiheit: A/m ) : (freie) elektrische Laugsichte (Eiheit: A s/m 3 ) r: Ortsvektor (Eiheit: m) t: Zeit (Eiheit: s) Nabla Operator (Eiheit /m) / x / y / z 6
Maxwell Gleichuge Maxwell Gleichuge (für elektrische Laugsichte ): B r, t Er, t t Dr, t H r, t jr, t t Faraay s Iuktiosgesetz Ampère sches Gesetz, t D r Gesetz vo Gauß B r, t Gauß Gesetz für Magetismus 7
Maxwell Gleichuge Materialgleichuge (lieare u isotrope Materialie): r t r Er t D,, r t r H r t B,, r, t r Er t j, : ielektrische Fuktio (imesioslos), =8.854. - A s V - m - : magetische Permeabilität (imesioslos), =4. -7 V s A - m - : spezifische Leitfähigkeit (Eiheit: A V - m - ) 8
Zeit-harmoische Welle Zeit-harmoische Welle = moochromatische Welle Jee Kompoete u real es elektrische oer magetische Feles ist reell u hat ie Form: u real x, y, z, t u r, t A r cos r t Re A r with u r real A r i e r i e r t Re u r A: Amplitue er Welle : Phase er Welle u : statioäre komplexe Amplitue e i t c : Kreisfrequez : Frequez c: Vakuumlichtgeschwiigkeit : Vakuumwelleläge 9
Poytig Vektor Poytig Vektor beschreibt e Leistugsfluss: Richtug es Poytig Vektors = Richtug es Leistugsflusses Betrag es Poytig Vektors = Leistugsfluss pro Flächeelemet sekrecht zur Flussrichtug = Itesität Zeitabhägiger Poytig Vektor S t : r, t Er, t H r t S t, Physikalische Eiheit es Poytig Vektors: V A W S EH m m m Itegral es Poytig Vektors S t über ebee Fläche F (Detektor) = Leistugsfluss P urch iese Fläche: P S F F t
S Poytig Vektor Moochromatische Welle mit = Schwigugsfrequez vo sichtbarem Licht extrem hoch ur Zeitmittelwert techisch messbar: =c/=(3. 8 m/s)/(.5. -6 m)=6 THz Zeitgemittelter Poytig Vektor S: T r S r, tt Re Eˆ r exp it / T t / ReHˆ r exp it ReEˆ r cost ImEˆ r sit ReHˆ r cost ImHˆ r sit Re Eˆ r Re Hˆ r Im Eˆ r Im Hˆ r Re Eˆ r Hˆ r E H r, t ReEˆ rexp it r, t ReHˆ r exp it t t
Poytig Vektor Alterative Berechug es Betrages es Poytig Vektors: I e meiste Fälle, z.b. bei (ahezu) ebee Welle (siehe später), si ie Amplitue es magetische u elektrische Feles proportioal zueiaer Betrag es zeitgemittelte Poytig Vektors, auch geat Itesität I, ist proportioal zum Betragsquarat es komplexe elektrische Feles Ê: I c c r S r Eˆ r Eˆ r Eˆ r Solage keie absolute Werte ötig si, geügt ie Proportioalität: I r S r E ˆ r
Grulage er Geometrische Optik 3
Grulage er geometrische Optik Zeit-harmoische (moochromatische) Welle: Kreisfrequez E iklr i t r, t e r e e H iklr i t r, t h r e e e, h: lagsam veräerliche (i.a. komplexe) Vektorfuktioe es Ortes, ie ie Amplitue er Welle bestimme L s L: optische Wegläge (Phase =k L) : Brechzahl c kc u k c: Vakuumlichtgeschwiigkeit, : Vakuumwelleläge, k : Betrag es Wellevektors im Vakuum 4
Grulage er geometrische Optik Zeituabhägige Maxwell Gleichuge: ik L ikl ee i h e ik L ikl he i ee ik L he ik L ee } Folge aus erste beie Gleichuge (für =) ur ie erste beie Gleichuge si relevat. 5
Grulage er geometrische Optik Ableitug er Eikoal-Gleichug für ik L ikl h e i ee L h c e h e e c L h, i.e. k i k k ee h ik L c i h e L e ik L L e c h i k e k Orthogoalitätsbeigug für L, e u h 6
Grulage er geometrische Optik Mit u c e L L e L e L L e L Eikoal-Gleichug = Grugleichug er geometrische Optik Gültig für: Oer i Praxis: solage Aperture, Strukture etc. groß vergliche mit Welleläge 7
Grulage er geometrische Optik Defiitio eies Lichtstrahls: Ei Lichtstrahl ist eie Kurve sekrecht zu e Fläche gleicher optischer Wegläge L. L=cost. 8
Grulage er geometrische Optik Ableitug er Strahlgleichug: r: Ortsvektor eies Puktes auf er Strahlkurve s: Bogeläge auf er Strahlkurve r/ s Aus Eikoal-Gleichug: r L s r s s L s L r s r( s) L L r s s L 9
Grulage er geometrische Optik Für allgemeie GRIN (Graieteiex-) Meie muss ie Strahlifferetialgleichug umerisch gelöst were (oer i eiige Fälle aalytisch): s r s Für stückweise homogee Meie (=kostat) gilt: r s a p mit kostate Vektore a ( a =) u p Gleichug zur Darstellug eies Strahls beim ray tracig!
Grulage er geometrische Optik Greze er geometrische Optik: Eikoal-Gleichug wure abgeleitet für k, i.e.. Für Blee mit Durchmesser vo weige ist ies icht gültig u Beugug tritt auf. Ma ka zeige, ass ie Eikoal-Gleichug trotz elich großer Werte er Welleläge gültig ist, falls ie Amplitue er Welle sich ur lagsam mit em Ort äert. Dies si ie Grüe, warum geometrische Optik zwar falsche Resultate im Fokus eier ieale Lise liefert (Beugug verachlässigt), aber trotzem ie Itesitätsverteilug im Fokus eies Systems mit sehr große Aberratioe eiigermaße gut wieergibt!
Grulage er geometrische Optik Ableitug es Brechugsgesetzes: Richtugsvektor eies Lichtstrahls: a=r/s Ersetze Grezfläche zwische zwei Meie mit Brechzahle u urch üe Schicht mit scheller, aber kotiuierlicher Äerug er Brechzahl. r s a L Itegralsatz vo Stokes: a S a r S C a a b N a a mit b N t lt a Dicke er geschlossee Kurve C um ie Fläche S geht gege t N a l
Grulage er geometrische Optik b N a a N a a b Aber: b ist beliebiger Vektor sekrecht zu N! a N N a a Sellius Gesetz Iterpretatio: Aus Betrag folgt ie bekate Gleichug si si mit sii N a i Zusätzlich liege a, a u N i eier Ebee (=Eifallsebee). Amerkug: Das Reflexiosgesetz wir formal urch ie gleiche Gleichug beschriebe (wobei = ). a 3
Paraxiale geometrische Optik 4
Paraxiale geometrische Optik Defiitio: Paraxial (=achsah) beeutet: Strahlhöhe si klei vergliche mit aere Parameter es Systems wie z.b. Liseurchmesser, Breweite, etc. Strahlwikel si so klei, ass mit guter Näherug gilt: si ta Beeutug er paraxiale Optik: Viele optische Größe, ie bei Abbiluge wichtig si, wie ie Breweite, ie Brepukte, ie Lage er Hauptebee, etc. si ur paraxial efiiert. 5
Paraxiale geometrische Optik Eiige Defiitioe: Im Folgee were ur zetrierte rotatiossymmetrische optische Systeme behaelt, bei ee ie optische Elemete wie Lise, Blee, etc. sekrecht u zetriert zu eier gemeisame optische Achse liege. optical axis C C Hauptstrahl = er Strahl eies vo eiem Objektpukt ausgehee Strahlebüels, er urch as Zetrum er Blee im optische System geht, ie e Öffugswikel es Strahlebüels am meiste eischräkt. 6
Paraxiale geometrische Optik Meriioalebee = Ebee, ie urch ie optische Achse u e abzubilee Objektpukt efiiert ist. Falls er Objektpukt auf er optische Achse liegt, ist sie icht eieutig, u jee Ebee urch ie optische Achse ka als Meriioalebee efiiert were. Sagittalebee = Ebee sekrecht zur Meriioalebee, ie außerem och e Hauptstrahl ethält. meriioal plae object poit P optical axis 7
Paraxiale geometrische Optik Darstellug eies paraxiale Strahls: I er paraxiale Optik were ur Strahle i er Meriioalebee betrachtet u ie z-kooriate (z-achse = optische Achse) eies Strahls wir exter gespeichert, a ur vo Ebee zu Ebee (mit jeweils kostater z-kooriate) gerechet wir. Eie Erweiterug auf Systeme mit Zyliersymmetrie ist leicht möglich, iem zwei sekrechte Ebee getret betrachtet were. Statt eie Strahl mit Startpukt p u Richtugsvektor a (.h. 6 Kompoete, wobei eie Kompoete vo a vom Vorzeiche abgesehe reuat ist wege a =) arzustelle, si ur och zwei Parameter ötig: Strahlhöhe x x Paraxialer Strahl x Strahlwikel (<<) optical axis 8
Paraxiale geometrische Optik Prizip es (paraxiale) ray tracigs i stückweise homogee Meie: Abfolge vo Freiraumausbreituge Ablekuge (Brechug, Reflexio oer Beugug ) a Elemete/Grezfläche Alle Operatioe köe mit x Matrize beschriebe were (so geate ABCD-Matrize). Nur erlaubt für zetrierte optische Systeme ohe Neiguge oer laterale Verschiebuge er Elemete. 9
Paraxiale geometrische Optik Paraxiale Vorzeichekovetioe > x > x < < optical axis R> R< Abstäe zwische Fläche si positiv, we vo liks ach rechts gezählt wir! 3
3 x x Freiraumausbreitug Ausbreitugsistaz x x x x x x M T ta Paraxiale geometrische Optik
Paraxiale geometrische Optik Brechug a eier ebee Fläche mit Brechzahle vor bzw. hiter er Grezfläche: Strahlhöhe bleibt a Grezfläche uveräert. si i si i i; i i i i i x i x i M R 3
33 Brechug a eier sphärische Fläche Krümmugsraius R, Brechzahle vor bzw. hiter er Fläche. R i i ( < ) x x x R x i i i i Hilfswikel wie i u i si immer positiv; =x/r ist i iesem Fall positiv, a x u R positiv si. x x R x M S Paraxiale geometrische Optik
34 Durchrechug eies gaze optische Systems Multiplikatio er Matrize er verschieee Operatioe (wobei ie Matrix er letzte Operatio gaz liks stehe muss!):,, mit R R f f R R R R S S L M M M R R Beispiel: Düe Lise (.h. Absta zwische beie sphärische Fläche = ) mit Brechzahl u Außemeium Luft: M M M M Paraxiale geometrische Optik
Paraxiale geometrische Optik Aweuge er paraxiale Matrixtheorie: Berechug es Biles/er Bilebee eies Objekts Berechug vo Hauptpukte/Hauptebee, Kotepukte, Brepukte u Breweite 35
36 Abbilug: Für Gesamt-Matrix vo Objektebee zu Bilebee ist B- Elemet =, a Bilhöhe x uabhägig vom Strahlwikel er Strahle es Objektpukts:,, f f f f f T L T total M M M M, f f f B O I O I Paraxiale geometrische Optik uabhägig vo sei B B Ax x Beispiel: Abbilug mit eier üe Lise er Breweite f F F =- O O ( <) I I = ( >) x O (>) x I (<)
Paraxiale geometrische Optik Noch zwei Defiitioe: Abbilugsmaßstab/Vergrößerug : Wir ei Objektpukt er Objekthöhe x O i eie Bilpukt er Höhe x I abgebilet, so ist er Abbilugsmaßstab als as Verhältis efiiert: x I : x O Für Matrix vom Objekt- zum Bilpukt gilt (B= wege Abbilug): xi AxO B AxO A Für üe Lise u auch allgemei folgt araus: I I u A f f f O I B O I Wikelvergrößerug : Die Wikelvergrößerug ist als as Verhältis Strahlwikel I im Bilraum zu Strahlwikel O im Objektraum efiiert: I : O I O 37
Paraxiale geometrische Optik Karialpukte eies allgemeie optische Abbilugssystems: Hauptebee u Hauptpukte: Ei Pukt i er objektseitige Hauptebee U wir mit em Abbilugsmaßstab =+ i eie Pukt i er bilseitige Hauptebee U abgebilet. Die beie Schittpukte er Hauptebee mit er optische Achse si ie Hauptpukte U u U. Kotepukte: Ei Pukt auf er optische Achse heißt objektseitiger Kotepukt N, we er auf eie aere bilseitige Pukt, geat bilseitiger Kotepukt N, für jee Strahl mit er Wikelvergrößerug =+ abgebilet wir. Brepukte: Alle vom objektseitige Brepukt F ausgehee Strahle, laufe im Bilraum parallel zur optische Achse. Alle Strahle, ie im Objektraum parallel zur optische Achse laufe, gehe im Bilraum urch e bilseitige Brepukt F. 38
Paraxiale geometrische Optik Breweite: Die objektseitige Breweite f ist ie Etferug zwische objektseitigem Hauptpukt U u objektseitigem Brepukt F (f>, falls F rechts vo U). Die bilseitige Breweite f ist ie Etferug zwische bilseitigem Hauptpukt U u bilseitigem Brepukt F (f >, falls F rechts vo U ) Karialpukte eies allgemeie optische Systems mit Brechzahle vor bzw. hiter em System P O O x O F N U N U F f f x I u u I P I 39
Paraxiale geometrische Optik Berechug vo Hauptpukte U,U, Kotepukte N,N, Brepukte F,F eies allgemeie optische Systems Die Matrix M es Systems sei vo er Ebee es Scheitels er erste Fläche bis zur Ebee es Scheitels er letzte Fläche gegebe. Absta wir vo U,N oer F zum erste Scheitel bzw. vom letzte Scheitel zu U,N oer F gemesse,.h. je positiv, falls rechts avo! = M S, M S,... M S,m- M S,m =... m- = m- m = m F N... N F N N F F U U u u 4
4 Paraxiale geometrische Optik Gesamt-Matrix M vo Ebee im Absta vor em System zu Ebee im Absta hiter em System (z.b. vo U ach U oer N ach N ): C D C C D A B C A D C B A D C B A M Berechug er Hauptpukte U u U : laut Defiitio Abbilugsmaßstab A =, B = (wege Abbilug vo U ach U ) C D B C D A C D A B C A C A U U U U U U U M et
4 Paraxiale geometrische Optik Aaloge Berechug er Kotepukte N u N : laut Defiitio = für x= D = u B = (wege Abbilug) C A B C A D C D A B C D C D N N N N N N N ) et( M Brepukt F objektseitig: für x= ist = für alle C D C D D D D x C F F Brepukt F bilseitig: für = ist x = für alle x C A C A A x A B x A x F F
Paraxiale geometrische Optik Berechug er objektseitige Breweite f: f wir vom objektseitige Hauptpukt U zum objektseitige Fokus F gemesse,.h. f ist egativ, we er Fokus F liks es Hauptpukts U liegt. f U F D D AD BC A B C C C et M C Berechug er bilseitige Breweite f : f wir vom bilseitige Hauptpukt U zum bilseitige Fokus F gemesse,.h. f ist positiv, we er Fokus F rechts es Hauptpukts U liegt. M S, M A A S,... M S,m- M S,m f U F = C C C =... m- m-=m Der egative reziproke Wert es Matrix- Koeffiziete C ist also gleich er bilseitige Breweite. F N... N F N N F U U F u u = m 43
Paraxiale geometrische Optik Zusammefassug: Abstäe er Karialpukte vom Scheitel er erste Fläche bzw. vom Scheitel er letzte Fläche es Systems U N F U N F D A B C D C D C A C A D B C A C AD BC f C f C et M C = M S, M S,... M S,m- M S,m =... m- = F N... N F N N F U U F u u m- m = m 44
Paraxiale geometrische Optik Verhältis er Breweite f u f : f etm f Die Matrix eies allgemeie (Lise-)Systems besteht aus em Proukt vo Matrize für Freiraumausbreitug u Brechug a ebee/sphärische (oer auch asphärische) Grezfläche. Determiate es Proukts vo Matrize ist gleich em Proukt er Determiate er Eizelmatrize. M S, M S,... M S,m- M S,m i i et i i i = et u =... m- m-=m i i Ri N... N i N N et f f f M U U oer f u u m F F F F = m 45
Paraxiale geometrische Optik Wichtigster Fall: Systeme mit ietische Außemeie = A D C B et U N N A C M C D et( M) A C D C A C D B U Haupt- u Kotepukte falle zusamme! f f f f Die Beträge vo objekt- u bilseitiger Breweite si ietisch, ur as Vorzeiche ist verschiee. 46
Paraxiale geometrische Optik Abbilug graphisch u Listig sche Strahlkostruktio P O O x O F F Iciet ray x I F F u u P O O x O F P I x I F I u u P I I Sammellise Zerstreuugslise Auxiliary ray u u Refracte ray Parallele Strahle bile i er Breebee eie Fokus Hilfsstrahl ermöglicht ie Kostruktio es gebrochee Strahls 47
Paraxiale geometrische Optik Abbilugsgleichug: Objektweite O : vo Hauptebee U ach Objektpukt P O gemesse. Bilweite I : vo Hauptebee U ach Bilpukt P I gemesse. D O U A B O C A I U I C Optical B B A D C P O system O etμ C x O F I O I O F F U U F O I Z U U Z O I f f f Speziell für = : I O I f O f f u u I x I P I 48
Paraxiale geometrische Optik Newto-Gleichug: Statt er Hauptpukte were ie Brepukte als Bezugspukte geomme. Z: axialer Absta F ach P O Z : axialer Absta F ach P I Herleitug aus Abbilugsgleichug: Z f O u Z f I O I O I f Z f Z f ZZ ff Z f Z f f P O O O x O F F U U Z f f Z u u I I x I P I Aschauliche Ableitug aus Graphik (Vorzeiche beachte): xo xi xo xi u Z f f Z ZZ ff 49
Paraxiale geometrische Optik Beziehug zwische Tiefemaßstab u Abbilugsmaßstab: Der Tiefemaßstab ist efiiert als ie Ableitug Z /Z,.h. als Verhältis er Verschiebug Z er Bilebee bei eier kleie Verschiebug Z er Objektebee. ff Z ff f ZZ ff Z Z Z Z Z Im letzte Schritt wure ei Ergebis er letzte Folie verweet: xo xi xi f Z f x Z O Der Tiefemaßstab Z /Z ist also proportioal zum Quarat es laterale Abbilugsmaßstabs! 5
Paraxiale geometrische Optik Helmholtz-Lagrage-Ivariate er Abbilug: Betrachte as vo P O ausgehee Strahlebüel mit Öffugswikel O u as zugehörige ach P I eilaufee Strahlebüel mit Öffugswikel I. Uter Beachtug er Vorzeiche (Achtug: Öffugswikel müsse als Differeze vo Strahlwikel aufgefasst were!) ergibt sich: x O tao f xo I tai f I O I f f x x I O P O O O x O F F U U x x Z f f Z I O x O u u O x I I I I x I P I 5
Paraxiale geometrische Optik Die Helmholtz-Lagrage-Ivariate sagt z.b. aus, ass bei eiem vergrößerte Bil er bilseitige Aperturwikel etspreche kleier ist: I O Verwate Beiguge er icht-paraxiale Optik: I er icht-paraxiale Optik, we beliebige Strahlwikel bei er Abbilug zugelasse were, gibt es zwei verschieee Beiguge, ie icht beie gleichzeitig bei eiem optische System erfüllt sei köe, ie aber beie i paraxialer Näherug zur Helmholtz-Lagrage-Ivariate führe: Sius-Beigug: ötig für scharfe Abbilug vo Pukte i kleiem laterale Gebiet um ie Achse herum: x si x si Herschel-Beigug: ötig für scharfe Abbilug vo axiale Pukte i kleiem Gebiet lägs er Achse: x si / x si / O O O O I I I I 5
Paraxiale geometrische Optik Düe u icke Lise: Das wichtigste bzw. häufigste optische Elemet ist eie Lise, ie i.a. aus zwei sphärische Fläche (oer eier sphärische u eier plae Fläche) besteht. Düe Lise: Dies ist eie Iealisierug, bei er er axiale Absta zwische e Scheitel beier Fläche gleich Null gesetzt wir. Da falle ie beie Hauptebee mit er Liseebee zusamme. Reale Lise köe bestefalls äherugsweise als üe Lise behaelt were! M L / f mit f L R R L : Brechzahl er Lise : Brechzahl Außemeium Dicke Lise: Die eliche Dicke (=Absta zwische e Scheitel beier Fläche) wir berücksichtigt. Die Hauptebee si i.a. getret u köe auch außerhalb er Lise liege. Bestimmug er Karialpukte eier icke Lise Übuge 53
Paraxiale geometrische Optik Lisetype: bicovex plae-covex covex-cocave plae-cocave bicocave Amerkuge: Bikovexe u plakovexe Glaslise i Luft si geerell Sammellise. Plakokave u bikokave Glaslise i Luft si geerell Zerstreuugslise. Bei Meiske (kovex-kokav) hägt es vo e Raieverhältisse ab. Ist as Außemeium höher breche als as Lisemeium (z.b. Luftlise i Wasser), so si bikovexe u plakovexe Lise Zerstreuugslise, währe plakokave u bikokave Lise u Sammellise si. Eie Lise mit gegebeer Breweite ka urch verschieee Lisetype realisiert were. Die Aberratioe eier Lise i eier bestimmte Abbilugssituatio häge aber etscheie vom Lisetyp ab (siehe später)! 54
Paraxiale geometrische Optik Behalug vo spiegele Fläche i er x- Matrixtheorie: Der reale Strahlegag wir aufgefaltet (= a Ebee sekrecht zur optische Achse gespiegelt), amit ie Strahle ach wie vor vo liks ach rechts laufe. Eifaches Beispiel: ebeer Spiegel sekrecht zur optische Achse im aufgefaltete Strahlegag läuft er Strahl uveräert weiter. M RP i i x= x 55
Paraxiale geometrische Optik Reflexio a sphärischer Fläche: Krümmugsraius R i i i i x / R M RS R (Alle Wikel i Graphik si positiv) Real reflecte ray Ray of the mirrore, ufole ray path x i R i x R Mirror plae 56
Paraxiale geometrische Optik Berechug er Karialpukte liefert: Haupt- u Kotepukte liege alle am Scheitel Die bilseitige Breweite ist: R f Ei kovexer Spiegel/ Wölbspiegel wirkt zerstreue Ei kokaver Spiegel/ Hohlspiegel wirkt sammel F mirrore R/ U, U, N, N R/ Mirror plae = Pricipal plae Ray of mirrore path F, F R Merkregel für f = R /: Hohlspiegel bilet Pukt i Krümmugsmittelpukt i sich ab mit = :-Abbilug mit Bilweite I =f = R 57
58 Greze er x-matrixtheorie: Geeigte oer lateral verschobee Elemete si icht erlaubt! Elemete wie Beugugsgitter oer Prisme, ie eie globale Ablekug aller Strahle verursache, si auch icht erlaubt. Abhilfe: Erweiterug auf eie 3x3-Matrixtheorie x D C x B A x Paraxiale geometrische Optik
Paraxiale geometrische Optik Beispiel: Beugugsgitter mit Perioe u Beugugsorug m si si m paraxial m m= M G,3x3 m m= m=- Gratig 59
Paraxiale geometrische Optik Geeigte oer lateral verschobee Elemete: Trasformatio es paraxiale Strahls vom globale i ei lokales Kooriatesystem, i em as Elemet weer geeigt och verschobe ist: Multiplikatio mit Trasformatiosmatrix M GL,3x3 Strahl hiter Elemet im lokale Kooriatesystem ergibt sich eifach urch Multiplikatio mit ormaler Elemet-Matrix Rück-Trasformatio vom lokale is globale Kooriatesystem urch Multiplikatio mit er Matrix M LG,3x3 =M GL,3x3-6
Paraxiale geometrische Optik Berechug er Trasformatiosmatrize: x z x xcos x x x xsi x x x x paraxial ray M M GL,3x3 LG,3x3 M x GL,3x3 x x x z x z z 6
6 / / )) /( / (/ / / / f f f f f f f f f syst M f f Beispiel: System aus zwei Lise, wobei ie zweite Lise um Wikel geeigt u um Distaz lateral verschobe ist. Paraxiale geometrische Optik Ergebis: Neigug er Lise hat keie Eifluss auf Ergebis, aber alle Strahle bekomme eie zusätzliche Wikel /f.
Blee, Pupille u Luke 63
Blee, Pupille u Luke Wir verlasse jetzt ie paraxiale Optik Blee, ie e Öffugswikel eies Strahlbüels oer e Bereich es abgebilete Biles begreze, spiele eie wichtige Rolle. Blee beeiflusse: Lichtleistug, ie ei optisches System eifage ka Auflösug eies Abbilugssystems Aberratioe eies Abbilugssystems Größe es Bilfeles 64
Blee, Pupille u Luke Aperturblee: Die Aperturblee ist iejeige physikalisch vorhaee Blee i eiem optische Abbilugssystem, ie e Öffugswikel es e Bilpukt formee Strahlebüels am stärkste eischräkt. Eitrittspupille: Die Eitrittspupille ist as Bil er Aperturblee, as urch ie er Aperturblee voragehee optische Elemete erzeugt wir. Austrittspupille: Die Austrittspupille ist as Bil er Aperturblee, as urch ie er Aperturblee achfolgee optische Elemete erzeugt wir. 65
Blee, Pupille u Luke Bilseitiger Aperturwikel I : halber Öffugswikel es e Bilpukt formee Strahlebüels. Bilseitige umerische Apertur NA I : Numerische Apertur im Bilraum NA I = I si I ( I : Brechzahl im Bilraum) Objektseitiger Aperturwikel O : halber Öffugswikel es vom Objektpukt ausgehee Strahlebüels, as e Bilpukt formt. Objektseitige umerische Apertur NA O : Numerische Apertur im Objektraum NA O = O si O ( O : Brechzahl im Objektraum) Erfüllt ei optisches System ie Sius-Beigug, so gilt: NAO I xi sii O xo sio NAI Abbilugsmaßstab 66
Blee, Pupille u Luke Bestimmug er Aperturblee i eiem optische System: Bereche ie Biler aller im optische System vorhaee Blee, Liseöffuge etc. urch ie er jeweilige Blee i voragehee optische Elemete (z.b. mit Hilfe er paraxiale Matrixtheorie) Durchmesser i es Bleebiles u axialer Absta l i es Bleebiles vom Objektpukt. Die Aperturblee ist a iejeige Blee i mit em kleiste Wert: i tai l i Der zugehörige Wert i ist er objektseitige Aperturwikel O. Amerkug: Die Aperturblee ka auch vor bzw. ach e abbilee optische Elemete liege. I iesem Fall fällt ie Aperturblee mit er Eitritts- bzw. Austrittspupille zusamme. 67
Blee, Pupille u Luke Bestimmug er Aperturblee (graphisch) (virt.) Bil vo S 3 Für P ist S ie Aperturblee Für P ist S 3 ie Aperturblee Welche Blee Aperturblee ist, hägt vom Objektpukt ab! S (virt.) Bil vo S S S 3 P P F P F F Hilfsstrahle (grü) zur Kostruktio es Strahlverlaufs hiter Lise er ie Apertur begrezee Strahle (schwarz) 68
Blee, Pupille u Luke Hauptstrahl: Der Hauptstrahl ist erjeige vom Objektpukt ausgehee Strahl, er urch as Zetrum er Aperturblee geht. Da ie Eitritts- u ie Austrittspupille Biler er Aperturblee si, geht er Hauptstrahl auch urch ie Zetre er Eitritts- u Austrittspupille! Bei starke Aberratioe vo stark außeraxiale Objektpukte ka es sei, ass ies icht exakt er Fall ist (Pupilleaberratioe). 4 3 - - -3-4 Distaces i mm, horizotal z-axis, vertical x-axis - -5 5 Exit pupil Etrace pupil Aperture stop 4 3 - - -3-4 - -5 5 RAYTRACE Copyright 6 Uiversity Erlage-Nuremberg 69
Blee, Pupille u Luke Telezetrie: Objektseitig telezetrisches System: Die Aperturblee ist i er hitere Breebee es Teils es optische Systems, as er Aperturblee vorageht. Eitrittspupille liegt im Ueliche. Bilseitig telezetrisches System: Die Aperturblee ist i er vorere Breebee es Teils es optische Systems, as er Aperturblee achfolgt. Austrittspupille liegt im Ueliche. Falls ei optisches System sowohl objektseitig als auch bilseitig telezetrisch ist, heißt es beiseitig telezetrisch. Beispiel: Kepler- Teleskop aus zwei Lise, i ere gemeisamer Breebee sich ie Aperturblee befiet. Bei objekt- bzw. bilseitiger Telezetrie läuft er Hauptstrahl im Objekt- bzw. Bilraum parallel zur optische Achse! 7
Blee, Pupille u Luke Abbilug mit eier Eizellise (liks) u eiem beiseitig telezetrische System (rechts) Abbilugsmaßstab bei telezetrischem System ietisch für Objekte mit verschieeem Absta, icht jeoch bei er Eizellise! 5 4 3 Distaces i mm, horizotal z-axis, vertical x-axis -3 - - Aperture stop 5 4 3 8 6 Distaces i mm, horizotal z-axis, vertical x-axis - -5 5 5 Aperture stop 8 6 - - - - 4 - -4-6 4 - -4-6 -3-3 -8-8 -4-4 - - -3 - - RAYTRACE Copyright 6 Uiversity Erlage-Nuremberg - -5 5 5 RAYTRACE Copyright 6 Uiversity Erlage-Nuremberg 7
Blee, Pupille u Luke Felblee: Die Felblee ist iejeige physikalisch vorhaee Blee im optische System, ie as Bilfel begrezt. Eitrittsluke: Die Eitrittsluke ist as Bil er Felblee, as urch ie er Felblee voragehee optische Elemete erzeugt wir. Austrittsluke: Die Austrittsluke ist as Bil er Felblee, as urch ie er Felblee achfolgee optische Elemete erzeugt wir. 7
Blee, Pupille u Luke Felwikel: Der objektseitige (bilseitige) Felwikel O ( I ) ist er Wikel, uter em as Objektfel (Bilfel) vom Zetrum er Eitrittspupille (Austrittspupille) aus erscheit. Bestimmug er Felblee: Bereche ie Biler aller im optische System vorhaee Blee urch ie er jeweilige Blee i voragehee optische Elemete Durchmesser i es Bleebiles u axialer Absta L i es Bleebiles vo er Eitrittspupille. Die Felblee ist a iejeige Blee i mit em kleiste Wert: i tai Li Der zugehörige Wert i ist er objektseitige Felwikel O. 73
Blee, Pupille u Luke Beispiel: Aperturblee u Felblee (virt.) Bil vo S 3 I iesem Beispiel begrezt er Detektor as Bilfel u ist eshalb ie Felblee u gleichzeitig Austrittsluke. S Bil vo S =Eitrittspupille S Das Objektfel ist a ietisch mit er Eitrittsluke. P Aperturwikel O S 3 F F F F Objektfel/ Eitrittsluke O Felwikel Detektor/ Bilfel/ Austrittsluke 74
Blee, Pupille u Luke Vigettierug: Falls ie Verbiugsliie zwische eiem Objektpukt u er Eitrittspupille außerhalb er Eitrittsluke liegt, ka er Hauptstrahl icht passiere u meist wir ieser Objektpukt icht abgebilet. I mache Fälle köe aber trotzem aere Strahle ieses Objektpuktes ei Bil forme, as aber folglich eie gerigere Itesität hat. Das Bilfel ist eshalb icht scharf begrezt u ies bezeichet ma als Vigettierug. ( ) j vigette image poit fiel stop aperture stop 75
Ray Tracig = Strahlverfolgug 76
Ray Tracig Ray tracig i stückweise homogee Meie: Abfolge vo Freiraumausbreituge Brechug/Reflexio oer Gitterbeugug (a lokalem Beugugsgitter) a Fläche 77
Ray Tracig Mathematische Darstellug eies Strahls: r p sa r : Ortsvektor eies Puktes auf em Strahl p : Startpukt es Strahls a : Eiheitsvektor i Strahlrichtug s : geometrische Wegläge vo p ach r 78
Ray Tracig Itere Speicherug eies Strahls mit folgee Parameter: Startpukt p Richtugsvektor a Optische Wegläge L am Startpukt Optioal: Gewichtug es Strahls (trasportierte Lichtleistug) Optioal: Polarisatiosvektor 79
Ray Tracig Freiraumausbreitug erforert:. Berechug es Schittpuktes eies Strahls mit er ächste Fläche Neuer Startpukt es ächste Strahlabschitts. Berechug er optische Wegläge L es Strahls am eue Startpukt L L s : Brechzahl es Meiums 8
Ray Tracig Berechug es Schittpuktes eies Strahls mit er Fläche: Fläche sei mit eier Fuktio F implizit beschriebe F r Fp sa Mathematisch gesehe müsse ie Nullstelle eier Fuktio er Variable s gefue were. Für Kegelschitte (Ebee, Sphäre, Zylier, ) u allgemeie Quarike ist ies aalytisch möglich. I aere Fälle (z.b. allgemeie Asphäre) ist es ur och umerisch möglich. 8
Ray Tracig Beispiel: ebee Fläche mit Mittelpukt C u Normale z Fläche: F r r C z Strahl : r p sa s C p a z z 8
Ray Tracig Praktische Amerkuge: Im allgemeie Fall existiere mehrere Schittpukte Pukt mit er kleiste positive Etferug s muss geomme were. Die Flächebegrezug (kreisförmig, rechteckig, rigförmig, ) muss berücksichtigt were. Beispiel: Ebee Kreisfläche mit Mittelpukt C u Raius r am Schittpukt r mit er Fläche muss zusätzlich ie Gleichug r-c r erfüllt sei. Im allgemeie Fall wir jee Fläche i eiem agepasste lokale Kooriatesystem beschriebe ( eifachere Beschreibug er Fläche) Kooriatetrasformatioe er Strahle vom globale is lokale Kooriatesystem u umgekehrt müsse urchgeführt were. 83
84, R p C a p C a p C s R p C a p C s s sa p r R C r r F : Strahl Fläche: C r R z D Beispiel: sphärische Fläche mit Mittelpukt C, Krümmugsraius R, lateralem Durchmesser D u Flächeormale z 4 R D R r C z Rabeigug: Ray Tracig
Ray Tracig Berechug er Flächeormale N eier allgemeie Fläche: Fläche implizit beschriebe mit eier Fuktio F(r)= Bereche am Schittpukt es Strahls mit er Fläche F N F Beispiele: Ebee Fläche: Sphärische Fläche: N z N r r C C Allgemeie Fläche z=f(x,y): F N r z f x, y f / x, f / y, f / x f / y 85
86 Brechug eies Strahls a eier Fläche mit lokaler Flächeormale N: Eifalleer Strahl mit Richtugsvektor a u gebrocheer Strahl mit Richtugsvektor a müsse as Brechugsgesetz erfülle u mit N i eier gemeisame Ebee liege: N a a N a N a N N a N a N N a a a sigum N a N a a Ray Tracig
Ray Tracig Reflexio eies Strahls a eier Fläche mit lokaler Flächeormale N: Folgt aus em vektorielle Brechugsgesetz, iem ie aere Normalekompoete geomme u = gesetzt wir. Vektorielles Reflexiosgesetz: a a a a N N sigum a N a N a N N N 87
Ray Tracig Eiige Defiitioe: Sequetielles Ray Tracig (Staarmous): Die Reihefolge, i er ei Strahl ie Fläche trifft, wir urch e Nutzer vorgegebe. Nicht-sequetielles Ray Tracig (z.b. für Beleuchtugssysteme): Das Programm berechet für jee Strahl automatisch ie jeweils physikalisch ächste Fläche. Dazu müsse ie Schittpukte es Strahls mit alle Fläche berechet u er Schittpukt mit er kürzeste positive Etferug vom Startpukt geomme were. Strahle köe auch i mehrere aufgespaltet (z.b. gebrocheer u reflektierter Strahl) u rekursiv gerechet were. Polarisatios Ray Tracig: Dazu wir jeem Strahl ei lokaler Polarisatiosvektor (komplexwertiger Vektor) zugeoret u bei jeer Brechug/Reflexio a eier Fläche wir mittels er Fresel Gleichuge er eue Polarisatiosvektor berechet. 88
Ray Tracig User hauseigees Simulatiosprogramm: RAYTRACE Ray tracig Schema Welleaberratioe Spotiagramm Puktbilfuktio (PSF) 89
Ray Tracig Beispiel eies Beleuchtugssystems (Mote Carlo Simulatio mit icht-sequetiellem Ray Tracig): Lichthomogeisierug mit Hilfe vo Mikrolise-Arrays 9
Ray Tracig Itesitätsverteilug es Lichts i er Zielebee ( Millioe Strahle) 9
Strahl- u Welleaberratioe 9
Aberratioe Vorbemerkug zur optische Abbilug: a) object poit ieal les Bisher wure gesagt, ass Abbilug beeutet, ass alle Strahle, ie vo eiem Objektpukt ausgehe, wieer i eie ieale Bilpukt zusamme laufe. Dies alleie geügt aber icht! Auch ie optische Wegläge müsse ietisch sei, a ma sost aufgru er Welleatur es Lichts Auslöschuge im Fokus erhalte ka. b) object poit c) object poit real les ieal les / plate ieal image poit aberrate image poit (ray aberratios) aberrate image poit (wave aberratios) 93
Aberratioe Defiitioe: Die Strahlqueraberratioe x, y si ie laterale Abweichuge er Strahle i er Bilebee vom (ieale) Bilpukt. Die Welleaberratioe W si ie Abweichuge i er optische Wegläge zwische er reale Wellefrot u eier ieale sphärische Welle um e Bilpukt. Beziehug Strahl- u Welleaberratioe: W W x R ; y R x y R: Krümmugsraius er Referezsphäre 94
Aberratioe Die Strahlqueraberratioe köe irekt aus e Strahlate berechet were: Grafische Darstellug er Schittpukte er Strahle mit eier Ebee (ormalerweise er Bilebee) Spotiagramm 95
Aberratioe Die Welleaberratioe köe aus e Strahlate uter Berücksichtigug er optische Wegläge berechet were: Bereche ie optische Wegläge a e Schittpukte er Strahle mit eier Referezsphäre um eie Pukt ahe es Bilpuktes. Die Referezsphäre sollte abei as Zetrum er Austrittspupille berühre, u ie Startpukte er Strahle sollte i er Austrittspupille gleichmäßig verteilt sei. 96
Aberratioe Miestes rei verschieee Bilpukte köe efiiert were, falls Aberratioe vorhae si: Paraxialer Bilpukt: Schittpukt paraxialer Strahle Bester Bilpukt bezüglich Strahlqueraberratioe: Schwerpukt er Strahlschittpukte mit er Ebee, i er ie Strahlqueraberratioe miimal si (im Sie er Summe er kleiste Quarate = RMS Wert) Bester Bilpukt bezüglich Welleaberratioe: Mittelpukt er Referezsphäre, ie miimale Welleaberratioe liefert (wieerum im Sie er Summe er kleiste Quarate = RMS Wert) 97
Aberratioe Beispiel: Lise mit sphärischer Aberratio, Zerike Koeffiziet a s =.4, NA=., =.5 µm, f = mm, Fresel Zahl F=.5.4.3.. -. -. -.3 Distaces i mm, horizotal z-axis, vertical x-axis 99.7 99.8 99.9.. z= a s /NA z=6 a s /NA.5.4.3.. -. -. -.3 -.4 paraxial focus best focus wave aberratios 99.7 99.8 99.9.. -.4 best focus ray aberratios 98
Aberratioe Spotiagramm = grafische Darstellug er Strahlqueraberratioe Paraxialer Bilpukt Bester Bilpukt bzgl. Welleaberratioe Bester Bilpukt bzgl. Strahlaberratioe 99
Aberratioe Welleaberratioe W (optische Weglägeiffereze berechet mit Ray Tracig) Paraxialer Bilpukt Bester Bilpukt bzgl. Welleaberratioe Bester Bilpukt bzgl. Strahlaberratioe PV-Wert:.4 PV-Wert:.6 PV-Wert:.
Aberratioe Die wichtigste Aberratiostype Moochromatische Aberratioe (= für kostate Welleläge ) Chromatische Aberratioe (Dispersio für variabel) Puktbilaberratioe: Sphärische Aberratio Astigmatismus Coma Felaberratioe: Bilfelwölbug Verzeichug Breweite wellelägeabhägig (+ chromatische Fehler höherer Orug)
Aberratioe Sphärische Aberratio: Eizige Aberratio, ie bei eiem rotatiossymmetrische optische System auch für eie Objektpukt auf er optische Achse auftritt. Achsahe u achsfere Strahle scheie ie optische Achse i uterschielicher Etferug Bilpukt wir uscharf Welleaberratio wächst mit NA 4 Strahlqueraberratio wächst mit NA 3 Gegemaßahme: Numerische Apertur verriger ( gerigere Lichtleistug) Spezielles Lisesystem oer asphärische Lise verwee
Aberratioe 3 Sphärische Aberratio (bikovexe sphärische Lise): I,paraxial = mm Distaces i mm, horizotal z-axis, vertical x-axis Distaces i mm, horizotal z-axis, vertical x-axis - -5 - -5 5 5 - -5 - -5 5 5 3 3 3 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5-5 -5-5 -5 - - - - -5-5 -5-5 - - - - -5-3 -3 - -5 - -5 5 5-5 -5-3 -3 - -5 - -5 5 5 Spotiagramme/Welleaberratioe am Ort mit gerigste Welleaberratioe (RMS) NA=.5 I,best =98. mm Aberratios (Lamba) P/V:.7,8,6,4, Y-axis (mm) - -5 5 Wave aberratios - ColorPlot - -8-6 -4-4 6 8 X-axis (mm) NA=. I,best =9.3 mm Aberratios (Lamba) P/V: 9.5 5 5 Y-axis (mm) - -5 - -5 5 5-5 Wave aberratios - ColorPlot - -5 - -5 5 5 X-axis (mm) 3
Aberratioe Astigmatismus: Typisches Auftrete: Schmales, schiefes Strahlbüel Erklärug: Strahle i Meriioal- u Sagittalebee fokussiere i verschieee Ebee Breliie i verschieee Ebee, azwische kreisförmiger Spot Breliie Breliie optische Achse 4
Aberratioe Astigmatismus: Welleaberratio hat typische Sattelform Wave aberratios - 3D-plot Wave aberratios - ColorPlot Aberratios (Lamba),5,4,3,,,4, - - X-axis - - Y-axis - -5 - -5 5 5 X-axis (mm) Welleaberratio wächst mit NA u mit r off,axis Strahlqueraberratio wächst liear mit NA u mit r off,axis Absta er Breliie wächst mit r off,axis, uabhägig vo NA Aberratios (Lamba),5,4,3,, Y-axis (mm) - -5 - -5 5 5 5
Aberratioe Astigmatismus: Lise bikovex, aber asphärisch, so ass sphär. Aberratio= NA=., r off,axis =.5 mm NA=.5, r off,axis =5 mm NA=., r off,axis =5 mm Distaces i mm, horizotal z-axis, vertical x-axis Distaces i mm, horizotal z-axis, vertical x-axis Distaces i mm, horizotal z-axis, vertical x-axis - -5 - -5 5 5 - -5 - -5 5 5 - -5 - -5 5 5 3 5 3 5 3 5 3 5 3 5 3 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5-5 -5-5 -5-5 -5 - - - - - - -5-5 -5-5 -5-5 - - - - - - -5-5 -5-5 -5-5 -3-3 -3-3 -3-3 - -5 - -5 5 5 - -5 - -5 5 5 - -5 - -5 5 5 Wave aberratios - ColorPlot Wave aberratios - ColorPlot Wave aberratios - ColorPlot Aberratios (Lamba),5,4,3,, Y-axis (mm) - -5 - -5 5 5 Aberratios (Lamba),3,, Y-axis (mm) - -5 5 P/V:.5,4 P/V:.5 P/V:.,5 - -5 - -5 5 5 X-axis (mm) - -8-6 -4-4 6 8 X-axis (mm) Aberratios (Lamba),5 Y-axis (mm) - -5 - -5 5 5 - -5 - -5 5 5 X-axis (mm) 6
Aberratioe Astigmatismus: Lise bikovex, aber asphärisch, so ass sphär. Aberratio= NA=., r off,axis =.5 mm NA=.5, r off,axis =5 mm NA=., r off,axis =5 mm Distaces i mm, horizotal z-axis, vertical x-axis Distaces i mm, horizotal z-axis, vertical x-axis Distaces i mm, horizotal z-axis, vertical x-axis - -5 - -5 5 5 - -5 - -5 5 5 - -5 - -5 5 5 3 5 3 5 3 5 3 5 3 5 3 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5-5 -5-5 -5-5 -5 - - - - - - -5-5 -5-5 -5-5 - - - - - - -5-5 -5-5 -5-5 -3-3 -3-3 -3-3 - -5 - -5 5 5 - -5 - -5 5 5 - -5 - -5 5 5 z=.54 mm z=.9 mm z=.4 mm 7
Aberratioe Coma: Typisches Auftrete: Weit geöffetes, schiefes Strahlbüel Erklärug: Uterschieliche Rigzoe i er Austrittspupille es Systems bile lateral verschobee Kreise mit uterschieliche Raie i er Bilebee kometeartiger Schweif, wobei ie Spitze am paraxiale Bilpukt liegt. 8
Aberratioe Coma: Zustaekomme er Schweifstruktur urch Überlagerug er Rigstrukture i er Bilebee. Rigzoe i Austrittspupille Zugehörige Strahlverteilug i Bilebee 9
Aberratioe Coma: Welleaberratio hat typische Zwiebelform Aberratios (Lamba) 3 - - Wave aberratios - 3D-plot X-axis - - Y-axis Aberratios (Lamba) 3 Y-axis (mm) - -5 - -5 5 5 Wave aberratios - ColorPlot - -5 - -5 5 5 X-axis (mm) Welleaberratio wächst mit NA 3 u r off,axis Strahlaberratio wächst mit NA u r off,axis
Aberratioe Coma: Lise plakovex, aber asphärisch, so ass sphär. Aberratio= NA=., r off,axis =.5 mm NA=.5, r off,axis = mm NA=., r off,axis = mm Distaces i mm, horizotal z-axis, vertical x-axis Distaces i mm, horizotal z-axis, vertical x-axis Distaces i mm, horizotal z-axis, vertical x-axis - -5 - -5 5 5 - -5 - -5 5 5 - -5 - -5 5 5 3 3 3 3 3 3 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5-5 -5-5 -5-5 -5 - - - - - - -5-5 -5-5 -5-5 - - - - - - -5-5 -5-5 -5-5 -3-3 - -5 - -5 5 5 Wave aberratios - ColorPlot -3-3 - -5 - -5 5 5 Wave aberratios - ColorPlot -3-3 - -5 - -5 5 5 Wave aberratios - ColorPlot Aberratios (Lamba),5,5 Y-axis (mm) - -5 - -5 5 5 - -5 - -5 5 5 X-axis (mm) Y-axis (mm) - -5 5 P/V:.8 P/V:.47 P/V: 3.6 Aberratios (Lamba),4,3,, - -8-6 -4-4 6 8 X-axis (mm) Aberratios (Lamba) 3 Y-axis (mm) - -5 - -5 5 5 - -5 - -5 5 5 X-axis (mm)
Aberratioe Coma: Lise plakovex, aber asphärisch, so ass sphär. Aberratio= NA=., r off,axis =.5 mm NA=.5, r off,axis = mm NA=., r off,axis = mm Distaces i mm, horizotal z-axis, vertical x-axis Distaces i mm, horizotal z-axis, vertical x-axis Distaces i mm, horizotal z-axis, vertical x-axis - -5 - -5 5 5 - -5 - -5 5 5 - -5 - -5 5 5 3 3 3 3 3 3 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5-5 -5-5 -5-5 -5 - - - - - - -5-5 -5-5 -5-5 - - - - - - -5-5 -5-5 -5-5 -3-3 - -5 - -5 5 5-3 -3 - -5 - -5 5 5-3 -3 - -5 - -5 5 5
Aberratioe Bilfelwölbug: Keie Puktbilaberratio soer Felaberratio. Bilpukte liege auf eier Bilschale (zwei verschieee Sphäre für Strahle i Meriioal- u Sagittalebee, falls Astigmatismus vorliegt). 3
Aberratioe Verzeichug: Wieerum Felaberratio, bei er er Abbilugsmaßstab vo er Etferug es Objektpuktes vo er optische Achse abhägt. a) b) c) Kisseförmig immt mit r off,axis zu. Ieales Bil uabhägig vo r off,axis. Toeförmig immt mit r off.axis ab. 4
Aberratioe Puktbilaberratioe höherer Orug u aere Fehler: Nebe e klassische Seielsche Aberratioe sphärische Aberratio, Astigmatismus u Coma gibt es och weitere Fehler (z.b. Dreiblattfehler/Trifoil) u isbesoere sphärische Aberratio, Astigmatismus u Coma höherer Orug. Ei vollstäiges orthogoales Fuktioesystem auf em Eiheitskreis bile ie Zerike-Polyome. Eiige ieser Polyome etspreche e klassische Seielsche Puktbilaberratioe. Durch eie Zerike-Polyomfit a ie Welleaberratioe lasse sich ie verschieee Terme bereche. 5
6 Aberratioe Zerike-Polyome: si y cos x mit si cos,, m m R Z y x Z m m m Das Raial-Polyom R m hägt ur vo er raiale Kooriate i er Austrittspupille ab u hat ie Form:!!!! m s s s m s m s m s s R Aufgru er Orthogoalität auf em Eiheitskreis gilt: falls l l Z Z l l
Aberratioe Zerike-Polyome bis Gra 4: Values of Polyomial - ColorPlot Polyomial Value Y-axis (mm) -,5,5,9,8,7,6,5 Values of Polyomial - ColorPlot -,8 -,6 -,4 -,,,4,6,8 X-axis (mm) Values of Polyomial - ColorPlot -,8 -,6 -,4 -,,,4,6,8 X-axis (mm) 7 Polyomial Value Y-axis (mm) -,5,5,5 -,5 -,8 -,6 -,4 -,,,4,6,8 X-axis (mm) Polyomial Value Y-axis (mm) -,5,5,5 -,5 Gra Values of Polyomial - ColorPlot Values of Polyomial - ColorPlot Values of Polyomial - ColorPlot -,8 -,6 -,4 -,,,4,6,8 X-axis (mm) Polyomial Value Y-axis (mm) -,5,5,5 Values of Polyomial - ColorPlot Gra 4 Values of Polyomial - ColorPlot -,8 -,6 -,4 -,,,4,6,8 X-axis (mm) Polyomial Value Y-axis (mm) -,5,5 -,8 -,6 -,4 -,,,4,6,8 X-axis (mm),5 -,5 Polyomial Value Y-axis (mm) -,5,5 -,8 -,6 -,4 -,,,4,6,8 X-axis (mm),5 -,5 Polyomial Value Y-axis (mm) -,5,5 -,8 -,6 -,4 -,,,4,6,8 X-axis (mm),5 -,5 Polyomial Value Y-axis (mm) -,5,5,5 -,5 Values of Polyomial - ColorPlot -,8 -,6 -,4 -,,,4,6,8 X-axis (mm) Polyomial Value Y-axis (mm) -,5,5,5 -,5 Values of Polyomial - ColorPlot Values of Polyomial - ColorPlot Values of Polyomial - ColorPlot -,8 -,6 -,4 -,,,4,6,8 X-axis (mm) Polyomial Value Y-axis (mm) -,5,5 -,8 -,6 -,4 -,,,4,6,8 X-axis (mm),5 -,5 Polyomial Value Y-axis (mm) -,5,5,5 -,5 Values of Polyomial - ColorPlot Values of Polyomial - ColorPlot -,8 -,6 -,4 -,,,4,6,8 X-axis (mm) Values of Polyomial - ColorPlot -,8 -,6 -,4 -,,,4,6,8 X-axis (mm) Polyomial Value Y-axis (mm) -,5,5,5 -,5 Polyomial Value Y-axis (mm) -,5,5 -,8 -,6 -,4 -,,,4,6,8 X-axis (mm),5 -,5 Polyomial Value Y-axis (mm) -,5,5 -,8 -,6 -,4 -,,,4,6,8 X-axis (mm),5 -,5 Polyomial Value Y-axis (mm) -,5,5,5 -,5 Tetrafoil.5 o Astigmatismus. Or. 45 o Sphärische Aberratio Astigmatismus. Or. o Tetrafoil o Trifoil 3 o Coma y-richt. Coma x-richt. Trifoil o Astigmatismus 45 o Defokus Astigmatismus o Tilt y Tilt x Kostate Gra Gra Gra 3
Aberratioe Zerike-Polyome bis Gra 4:,8,6 Values of Polyomial - 3D-plot -,5 X-axis Values of Polyomial - 3D-plot,5 -,5,5 Kostate Values of Polyomial - 3D-plot Y-axis Gra Gra Tilt y Tilt x -,5,5 -,5,5 -,5 X-axis Values of Polyomial - 3D-plot Values of Polyomial - 3D-plot,5 -,5 -,5 X-axis Y-axis Values of Polyomial - 3D-plot,5,5 Trifoil 3 o -,5 Values of Polyomial - 3D-plot -,5 X-axis Y-axis X-axis,5,5 Astigmatismus 45 o Values of Polyomial - 3D-plot,5 -,5 -,5 Y-axis -,5 X-axis,5 Y-axis Values of Polyomial - 3D-plot X-axis,5 Coma y-richt. -,5 -,5 Values of Polyomial - 3D-plot X-axis Y-axis,5,5 Defokus -,5 Values of Polyomial - 3D-plot,5 -,5 Y-axis -,5 X-axis,5 Y-axis Values of Polyomial - 3D-plot,5 Coma x-richt. -,5 Values of Polyomial - 3D-plot -,5 X-axis Y-axis,5 Astigmatismus o Values of Polyomial - 3D-plot,5 Gra -,5 Gra 3 Trifoil o,5 Gra 4 Y-axis Values of Polyomial - 3D-plot -,5 X-axis,5 -,5 Y-axis,5 Tetrafoil.5 o -,5 X-axis,5 -,5 Y-axis,5 Astigmatismus. Or. 45 o,5 -,5 X-axis,5 -,5 Y-axis,5 Sphärische Aberratio -,5 X-axis,5 -,5 Y-axis,5 Astigmatismus. Or. o -,5 X-axis,5 -,5 Y-axis,5 Tetrafoil o 8
Aberratioe Vergleich Seielsche Terme u Zerike-Polyome: Klassische Seielsche Terme: x cos (Astigmatismus) 3 x y x cos (Coma) 4 x y (sphärische Aberratio) Korrespoieree Zerike-Polyome: cos cos si x y (Astigmatismus) 3 cos 3x y x x (Coma) 4 6 6 6x y 6x y (Sphärische Aberratio) Zerike-Polyome si jeweils mit Terme ierigerer Orug (hier Tilt u Defokus) kompesiert, so ass ie RMS-Werte er Aberratioe miimal were. I er Praxis beeutet as, ass bei Aberratioe er Pukt maximaler Itesität bzgl. es paraxiale Bilpuktes axial (Defokus) oer lateral (Tilt) verschobe ist. 9
Aberratioe Vergleich Seiel-Terme/Zerike-Polyome: je gleicher Aberratioswert Zerike-Polyom Seielscher Term Mittelwert,5 RMS,5 P-V Max Mi 6,e-5 Polyomial Value Polyomial Value,8,6,4, Mittelwert,5 RMS, P-V Max Mi 3,e-5,8,6,4, Y-axis (mm) -,5,5 Y-axis (mm) -,5,5 Values of Polyomial - ColorPlot P/V: RMS:.5 -,8 -,6 -,4 -,,,4,6,8 X-axis (mm) Astigmatismus Values of Polyomial - ColorPlot P/V: RMS:. -,8 -,6 -,4 -,,,4,6,8 X-axis (mm) Mittelwert,5 RMS,8 P-V Max Mi -,7 Polyomial Value Polyomial Value,8,6,4, Mittelwert,7 RMS,59 P-V,33 Max,33 Mi,,3,5,,5,,5 Y-axis (mm) -,5,5 Y-axis (mm) -,5,5 Values of Polyomial - ColorPlot P/V: RMS:.8 -,8 -,6 -,4 -,,,4,6,8 X-axis (mm) Values of Polyomial - ColorPlot -,8 -,6 -,4 -,,,4,6,8 X-axis (mm) Mittelwert,33 RMS,3 P-V Max Mi,e-8 Polyomial Value Polyomial Value,8,6,4, Mittelwert,84 RMS,75 P-V,5 Max,5 Mi,5e-8,5,,5,,5 Y-axis (mm) -,5,5 Y-axis (mm) -,5,5 Values of Polyomial - ColorPlot P/V: RMS:.3 -,8 -,6 -,4 -,,,4,6,8 X-axis (mm) Coma Sphärische Aberratio P/V:.33 RMS:.59 Values of Polyomial - ColorPlot P/V:.5 RMS:.75 -,8 -,6 -,4 -,,,4,6,8 X-axis (mm)
Aberratioe Vergleich Seiel-Terme/Zerike-Polyome: je gleicher Aberratioswert Zerike-Polyom Seielscher Term Mittelwert,6 RMS,6 P-V Max Mi,5 Polyomial Value Polyomial Value,8,6,4, Mittelwert,5 RMS, P-V Max Mi,3,8,6,4,,5,5 -,5 -,5 X-axis X-axis Values of Polyomial - 3D-plot,5 Astigmatismus Values of Polyomial - 3D-plot,5 -,5 -,5 Y-axis Y-axis,5,5 Mittelwert,5 RMS,9 P-V Max Mi -,5 Polyomial Value Mittelwert,7 RMS,59 P-V,33 Max,33 Mi,33 Polyomial Value,8,6,4,,8,6,4,,5,5 -,5 X-axis -,5 X-axis Values of Polyomial - 3D-plot,5 Coma Sphärische Aberratio Values of Polyomial - 3D-plot,5 -,5 -,5 Y-axis Y-axis,5,5 Mittelwert,34 RMS,3 P-V Max Mi,4e-7 Polyomial Value,8,6,4, Mittelwert,84 RMS,75 P-V,5 Max,5 Mi,4e-7 Polyomial Value,8,6,4,,5,5 -,5 -,5 X-axis X-axis Values of Polyomial - 3D-plot,5,5 -,5 Values of Polyomial - 3D-plot -,5 Y-axis Y-axis,5,5
Aberratioe Aberratioe höherer Orug: Beispiel sphärische Aberratio RMS,45 P-V,5 Max Mi -,5 RMS,38 P-V Max Mi - RMS,33 P-V,4 Max Mi -,43 Polyomial Value,5 Y-axis (mm) -,5,5 Polyomial Value,5 -,5 Y-axis (mm) -,5,5 Polyomial Value,5 Y-axis (mm) -,5,5 RMS,45 P-V,5 Max Mi -,5,8 -,8 -,6 -,4 -,,,4,6,8 X-axis (mm) -,8 -,6 -,4 -,,,4,6,8 X-axis (mm) -,8 -,6 -,4 -,,,4,6,8 X-axis (mm) 4. Orug 6. Orug 8. Orug RMS,38 P-V Max Mi - RMS,33 P-V,4 Max Mi -,43,8,6,5,6 Wave aberratios,4, Wave aberratios Wave aberratios,4, -, -,5 -, -,4 -,8 -,6 -,4 -,,,4,6,8 r [uit circle] Bei kovetioelle optische Systeme omiiere Aberratioe 4. Orug. Aberratioe höherer Orug ehme mit wachseer Orug stark ab. -,8 -,6 -,4 -,,,4,6,8 r [uit circle] -,4 -,8 -,6 -,4 -,,,4,6,8 r [uit circle]
3 Chromatische Aberratio: Breweite f eier üe Lise mit Krümmugsraie R u R u Brechzahl hägt vo Welleläge ab (a vo abhägt): Aberratioe R R f / f R R f f f f f Charakteristische Größe für Stärke er Dispersio: Abbe-Zahl V 656.3 m 486. m 587.6 m C F C F V
Aberratioe Deutug er Abbe-Zahl (bei Materialie mit ormaler Dispersio,.h. Brechzahl immt mit steigeer Welleläge ab): V F C / f F / f C F C / f (Allgemeie Defiitio) V f F f f C C / f f F f C f f F (Näherugsweise Defiitio) Materialie mit geriger Dispersio (z.b. Krogläser, BK7: V =64.) habe eie große Abbe-Zahl. Materialie mit starker Dispersio (z.b. Flitgläser, SF: V =8.4) habe eie kleie Abbe-Zahl. 4
Aberratioe Sphärische Lise Zoom Asphärische Lise Zoom Paraxiale Bilebee 5
Aberratioe Beispiel: :-Abbilug mit bikovexer Lise f =5mm, NA imag =., =.5µm mm Sphärische Lise Asphärische Lise 6