110 Kapitel 3: Lineare Funk onen 12. Eine Bezugsgenossenschaft berechnet für die ersten 20 kg eines Rasendüngers einen Kilopreis von 3. Bei einer Abnahme ab 20 kg werden nur noch 2,80 /kg in Rechnung gestellt. Bei einer Abnahme ab 50 kg beträgt der Kilopreis 2,50 /kg. a) Erstellen Sie für diese Preisstaffel eine Wertetabelle in 5er-Schritten bis 60 kg. b) Ermitteln Sie für jedes Mengenintervall die Zuordnungsvorschrift. c) Geben Sie die Funktionsgleichung der abschnittsweise definierten Funktion an. d) Stellen Sie die Zuordnung als abschnittsweise definierte Funktion grafisch dar. e) Lesen Sie die Gesamtpreise für die folgenden Mengen ab: 15 kg, 40 kg, 60 kg. Überprüfen Sie Ihr Ergebnis durch Rechnung. f) Der Kunde hat für den Dünger maximal 125 zur Verfügung. Welche Menge kann er dafür im günstigeren Fall kaufen? 3.5 Anwendungen der Linearfunktion In diesem Abschnitt werden einige Anwendungen aus dem Wirtschaftsleben beispielhaft anhand der Linearfunktionen vorgestellt. Alle Anwendungen können auch unter Verwendung anderer Funktionenklassen herangezogen werden. Tarifvergleiche Stoffinformation: Tarifvergleiche werden durchgeführt, wenn sich bei vergleichbaren Angeboten die Kosten für eine Leistung aus einem von der Menge unabhängigen Grundpreis und eine von der Leistungsmenge abhängigen Preis je verbrauchte Leistungseinheit zusammensetzen. Anwendungen: Strom- und Gastarife Taxitarife Handy-Tarife. Beispiel: Das Unternehmen easy-talk bietet zwei Tarife für Handys mit Vertrag an: Tarif A: Grundgebühr 15 je Monat und zusätzlich 0,19 je Gespräch; Tarif B: Grundgebühr 20 je Monat und zusätzlich 0,12 je Gespräch. a) Stellen Sie aus diesen Angaben die Funktionsgleichungen der beiden Tarife auf, die die Gesamtkosten (in ) in Abhängigkeit der Anzahl der Gespräche wiedergeben. b) Vergleichen Sie grafisch die Höhe der Handygebühren bei durchschnittlich 2 Gesprächen/Tag. c) Eine Schülerin überlegt, welcher der beiden Tarife für sie günstiger ist, wenn sie im Monat maximal 40 an Ausgaben für Handygebühren einplant. d) Berechnen Sie den Schnittpunkt der beiden Funktionsgraphen. Interpretieren Sie seine Koordinaten. Fertigen Sie ein Schaubild an.
Kapitel 3: Lineare Funk onen Lösung: a) Allgemeine Form der Geradengleichung: Grundgebühr: Tarif A: 15 ; Tarif B: 20. Gesprächsgebühr: Tarif A: 0,19 /Gespräch; Tarif B: 0,12 /Gespräch. b) 30 Tage 2 Gespräche/Tag = 60 Gespräche Der Tarif A ist um 0,80 günstiger. c) f(x) = 40 eingesetzt. Mit dem Tarif B können 35 Gespräche mehr geführt werden als mit Tarif A. Deshalb ist Tarif B günstiger. d) Bedingung: f A (x) = f B (x) Auflösen nach x Einsetzen in f A oder f B und y berechnen. Interpretation des Schnittpunktes: Im Schnittpunkt S wird die Anzahl der Gespräche angegeben, bei dem beide Tarife die gleichen Ausgaben verursachen. Da es nur ganzzahlige Werte für x geben kann, gilt: Bis zu 71 Gesprächen/Monat ist Tarif A günstiger, ab 72 Gesprächen/Monat ist Tarif B günstiger für den Kunden. 111 f(x) = y = mx + b f A (x) = y A = mx + 15 f B (x) = y B = mx + 20 f A (x) = y A = 0,19x + 15 f B (x) = y B = 0,12x + 20 f A (60) = y A = 0,19 60 + 15 = 26,40 f B (60) = y B = 0,12 60 + 20 = 27,20 f A (x) = 40 f B (x) = 40 0,19 x + 15 = 40 0,12 x + 20 = 40 0,19 x = 25 0,12 x = 20 x 131 x 166 0,19x + 15 = 0,12x + 20 15 0,12x 0,07x = 5 : 0,07 x 71,4 f A (71,4) = 0,19 71,4 + 15 28,6 Graphische Darstellung: Eingabe in den TI-Nspire CAS: Bild links: Calculator menu 3: Algebra 6: Gleichungssysteme lösen 1: Gleichungssystem lösen enter ok (Bestätigen: 2 Gleichungen) Eingabe der Gleichungen enter. Bild rechts: Graph Eingabe der Funktionsgleichungen menu 1: Fenstereinstellungen menu 6: Graph 4: Schnittpunkt (untere und obere Schranke eingeben) enter.
112 Kapitel 3: Lineare Funk onen Aufgaben zur Festigung des erworbenen Wissens 1. Ein Unternehmen der Telekommunikation bietet zwei Tarife für Handys mit Vertrag an: Tarif A: Grundgebühr 10 je Monat und zusätzlich 0,15 je Gespräch; Tarif B: Grundgebühr 15 je Monat und zusätzlich 0,08 je Gespräch. a) Stellen Sie die Funktionsgleichungen der beiden Tarife A und B auf, die die Gesamtkosten (in ) in Abhängigkeit der Anzahl der Gespräche wiedergeben. b) Zeichnen Sie ein Schaubild und bestimmen Sie grafisch, welcher Tarif bei durchschnittlich 50 Gesprächen je Monat günstiger ist. Überprüfen Sie das Ergebnis durch Rechnung. c) Geben Sie das Intervall an, in dem Tarif A günstiger ist. Ab wie viel Gesprächen lohnt sich ein Tarifwechsel? d) Welcher Preisunterschied ergibt sich bei den beiden Tarifen, wenn ein Kunde im Durchschnitt 60 Gespräche je Monat führt? 2. Ein Privatmann möchte seine Ausgaben für Erdgas senken, indem er einen Tarifwechsel zu einem günstigeren Tarif in Erwägung zieht. Folgende Angebote holt er über das Internet ein: Tarif 1&1: ohne Grundpreis, dafür ein Arbeitspreis von 0,08 /kwh. Tarif blue: Grundpreis 120 im Jahr und ein Arbeitspreis von 0,04 /kwh. a) Stellen Sie für beide Tarife die Funktionsgleichungen auf, die die Gaskosten in Abhängigkeit des Verbrauchs angeben. b) Welchen Tarif wird der Privatmann wählen, wenn er bisher einen Verbrauch von 2 400 kwh hatte? c) Geben Sie die Verbrauchsintervalle mit dem jeweils günstigeren Tarif an. 3. Ein Stromversorger bietet die Tarife classic und fix an. Classic: Grundpreis 8 je Monat, Arbeitspreis: 0,24 je verbrauchte kwh. Fix: Grundpreis 60 im Jahr, Arbeitspreis: 0,30 je verbrauchte kwh. a) Erstellen Sie für beide Tarife eine Tabelle, die die Stromkosten für einen Verbrauch bis zu 5 000 kwh pro Jahr angibt (in 500er-Schritten). b) Stellen Sie für beide Tarife die Gleichungen auf, die die jährlichen Stromkosten (in ) in Abhängigkeit vom Verbrauch (in kwh) angeben. Zeichnen Sie ein Schaubild. c) Stellen Sie für beide Tarife die Gleichungen auf, die die monatlichen Stromkosten (in ) in Abhängigkeit vom Verbrauch (in kwh) angeben. Wie hoch sind die Stromkosten eines Monats, in dem 350 kwh verbraucht wurden? d) Bei welchem Monatsverbrauch sind die Kosten gleich hoch? Welcher Kostenbetrag ergibt sich bei diesem Verbrauch?
Kapitel 3: Lineare Funk onen 113 Kosten Erlös Gewinn Stoffinformation: Bei der Produktion von Gütern und Dienstleistungen fallen unterschiedliche Arten von Kosten an, zum Beispiel Materialkosten, Fertigungskosten (Löhne, Gehälter), Verwaltungs- und Vertriebskosten. Sie werden den produzierten Leistungseinheiten, zum Beispiel der produzierten Stückzahl eines Gutes, zugeordnet. Die Kostenarten werden in fixe Kosten und variable Kosten eingeteilt. Die maximal zu produzierende Stückzahl pro Zeitabschnitt stellt die Kapazitätsgrenze dar. Fixkosten sind die Kosten, die unabhängig von der Produktionsmenge anfallen, zum Beispiel Gehälter, Pacht, Zinsen. Variable Kosten sind Kosten, die direkt auf eine produzierte Einheit bezogen sind (Stückkosten). Hierzu gehören zum Beispiel der Anteil an Fertigungsmaterial und an Fertigungslöhnen je produzierter Leistungseinheit. Die Kostenfunktion stellt eine Zuordnung dar zwischen der Produktionsmenge x (in Leistungseinheiten LE) und den daraus entstehenden Gesamtkosten K (in Geldeinheiten GE). Es gilt. K = K f + K v. Der Erlös E ist die in Geld bewertete Einnahme aus dem Verkauf der produzierten Güter (= Umsatz). Er wird berechnet als Produkt aus dem Preis je Einheit (p) und der verkauften Menge x, wobei der Preis als konstant angenommen wird (Marktform des Polypols). Es gilt: E = p x. Der Gewinn ist die Differenz aus dem erzielten Erlös und den dafür aufgewendeten Kosten. Ist der Erlös kleiner als die Kosten, entsteht ein Verlust. Es gilt: G = E K. Beispiel 1: Ein Industriebetrieb stellt ein bestimmtes Werkstück her. Bei einer Produktion von 60 ME fallen Gesamtkosten in Höhe von 5 000 an. Die bei der Produktion zu kalkulierenden Fixkosten werden mit 2 000 je Monat angegeben. Der Verkaufspreis des Werkstücks liegt bei 100 je ME. a) Erstellen Sie die Gleichung der Funktion, die die Gesamtkosten K in Abhängigkeit der Produktionsmenge x angibt (Kapazitätsgrenze x max = 80). b) Ermitteln Sie auch die Gleichung der Funktion, die den Erlös E aus dem Verkauf der Ware in Abhängigkeit der Absatzmenge x angibt. c) Stellen Sie die Geraden zu K und E in einem gemeinsamen Schaubild dar. Interpretieren Sie das Schaubild unter dem Gesichtspunkt der Gewinnsituation des Betriebes.
114 Kapitel 3: Lineare Funk onen Lösung: a) allgemeine Funktion: Die Fixkosten werden als y-achsenabschnitt abgetragen, b = 2 000. Die Koordinaten des Punktes P(60 5 000) werden in die Gleichung eingesetzt. Aufgelöst nach m erhält man den Wert der variablen Kosten je ME und die gesuchte Kostenfunktion K. b) Die Erlöse verhalten sich proportional zur abgesetzten Menge. Die Steigung m gibt den Preis des Werkstücks an. c) Interpretation: Aufgrund der Fixkosten sind die Gesamtkosten zunächst höher als die Erlöse. Das heißt, der Betrieb arbeitet mit Verlust. K(x) = mx + b K(x) = mx + 2 000 K(60) = 5 000 eingesetzt: 5000 = m 60 + 2 000 2 000 : 60 m = 50 K(x) = 50x + 2 000 E(x) = m x m = 100 E(x) = 100 x Graph der Funktion Da aber der Verkaufspreis (100 ) größer ist als die variablen Kosten je ME (50 ), übersteigen die Erlöse ab einer bestimmten Menge (Gewinnschwelle) die Kosten, sodass der Betrieb mit Gewinn produziert. Grafisch abgelesen liegt diese Menge bei x = 40, denn hier sind die Kosten gleich den Erlösen, nämlich 4 000. Die Gewinnschwelle liegt also bei 40 ME. Die Gewinnschwelle wird auch als Nutzenschwelle oder break-even-punkt bezeichnet. Eingabe in den TI-Nspire CAS: Lösung mit Calculator: Lösung mit Graphs:
Kapitel 3: Lineare Funk onen 115 Beispiel 2: Abschnittsweise definierte Kostenfunktion Bei der Herstellung eines Massenartikels fallen Fixkosten in Höhe von 5 000 je Zeiteinheit an. Die Kostenrechnung hat für verschiedene Produktionsmengen die dafür anfallenden Gesamtkosten ermittelt und tabellarisch zusammengestellt: Produktion (in Stück) 0 10 000 25 000 40 000 Gesamtkosten K (in ) 5 000 8 000 11 000 26 000 a) Stellen Sie den Kostenverlauf in Form einer abschnittsweise definierten Funktion dar, indem Sie je zwei Wertepaare durch eine Gerade miteinander verbinden. Ermitteln Sie die Gleichungen der Geradenabschnitte mithilfe des GTR. b) Wie hoch sind die Kosten bei folgenden Produktionsmengen: 15 000 Stück, 30 000 Stück? c) Der Artikel kann am Markt zu einem Preis von 0,50 /Stück abgesetzt werden. Bestimmen Sie die Gleichung der Erlösfunktion. Bestimmen Sie die Gewinnschwelle. Ab welcher Produktionsmenge arbeitet der Betrieb aufgrund der gegebenen Daten mit Verlust (Gewinngrenze)? Lösung: Eingabe in den TI-Nspire CAS: a) Ermittlung der Funktionsterme: Bild 1: Lists & Spreadsheets Kopfspalten A und B beschriften (Stück, Kosten) Eingabe der Wertepaare. Bild 2: Graphs 3: Grafiktyp 4: Streudiagramm Achsen belegen (x: Stück; y: Kosten) menu Fenster 1: Fenstereinstellungen enter Grenzen eingeben (x: 0 bis 45 000; y: 0 bis 30 000) enter. Bild 3: menu Punkte 7: Gerade (mit dem Zeiger auf einen Punkt gehen, markieren und mit einem Nachbarpunkt verbinden 1: Aktionen 7: Koordinaten/Gleichungen enter (Funktionsgleichung wird angezeigt) Vorgang mit den anderen Wertepaaren wiederholen. b) Bestimmung der Kosten bei 15 000 und 30 000 Stück: Die Kosten bei 15 000 Stück betragen 9 000, die Kosten bei 30 000 Stück betragen 16 000.
116 Kapitel 3: Lineare Funk onen c) Bestimmung von Gewinnschwelle und Gewinngrenze: 3: Grafiktyp 1: Funktion (0.5x eingeben) enter 7: Punkte 3: Schnittpunkte Mit dem Zeiger auf den Schnittpunkt gehen, fixieren 1: Aktion 7: Koordinaten/Gleichungen (Schnittpunktkoordinaten werden angezeigt) Antwort: Die Gewinnschwelle liegt bei 20 000 Stück, die Gewinngrenze liegt bei 28 000 Stück. Aufgaben zur Festigung des erworbenen Wissens 1. Von einem Industrieunternehmen sind die folgenden Informationen bekannt. Bestimmen Sie jeweils die Gewinnschwelle. Zeichnen Sie ein Schaubild. a) K(x) = 2 000 + 0,8x b) K(x) = 10x + 60 000 c) K(x) = 12,45x + 23 400 E(x) = 2,2x E(x) = 14x E(x) = 18,95x 2. Ermitteln Sie aus dem nebenstehenden Schaubild die folgenden Daten: a) Höhe der Fixkosten, b) Gewinnschwelle, c) Höhe des Erlöses an der Gewinnschwelle, d) Kapazitätsgrenze, e) Höhe des Gewinns bei Vollauslastung der Kapazität, f) Verkaufspreis p, g) Variable Stückkosten. 3. Bestimmen Sie aus den vorliegenden Informationen die Kostenfunktion. Zeichnen Sie jeweils Kosten-, Erlös- und Gewinnfunktion in ein gemeinsames Koordinatensystem: a) G(x) = 2x 200; E(x) = 8x b) G(x) = 4x 1 000; E(x) = 10x 4. Von einem Unternehmen liegen die Kostenfunktion und die Gewinnfunktion vor. Bestimmen Sie daraus die Gleichung der Erlösfunktion. Fertigen Sie ein Schaubild an. a) K(x) = 4x + 8 000; G(x) = 2x 8 000 b) K(x) = 15x + 2 000; G(x) = 3x 2 000
Kapitel 3: Lineare Funk onen 117 Angebots- und Nachfragefunktion (Marktgleichgewicht) Stoffinformation Beim hier beschriebenen Marktmodell des Polypols bei vollkommener Konkurrenz stehen vielen Anbietern eines Produkts viele Nachfrager gegenüber. Zwischen beiden besteht ein Interessenkonflikt, weil die Haushalte (Nachfrager) für das betrachtete Produkt möglichst wenig ausgeben wollen, die Unternehmen (Anbieter) aber einen möglichst hohen Preis erzielen möchten. Gelingt es, diese Interessen auszugleichen, spricht man vom Marktgleichgewicht. Entscheidend ist, dass der Anbieter beim Polypol den Preis nicht beeinflussen kann, da er vom Markt vorgegeben wird. Der Staat kann durch gezielte Maßnahmen (Höchst- und Mindestpreisfestsetzung, Steuern oder Subventionen) auf das Marktgleichgewicht Einfluss nehmen. Es ist davon auszugehen, dass bei einem niedrigen Preis wenig und bei einem hohen Preis viel angeboten wird. Dieser Zusammenhang wird mit der Angebotsfunktion durch einen steigenden Verlauf ausgedrückt. Umgekehrt wird die Nachfrage bei einem niedrigen Preis groß und bei einem hohen Preis gering sein, was auf einen fallenden Verlauf der Nachfragefunktion schließen lässt. Unterstellt man einen linearen Zusammenhang zwischen Angebot bzw. Nachfrage einerseits und dem Preis andererseits, so lässt sich die Marktsituation anhand der linearen Funktionen modellieren. Ein Marktgleichgewicht G liegt dann vor, wenn die angebotene Menge gleich der nachgefragten Menge ist. Grafisch ist dies im Schnittpunkt der Angebots- und Nachfragefunktion abzulesen. Die Abszisse des Schnittpunktes G stellt die Gleichgewichtsmenge x o, die Ordinate den Gleichgewichtspreis y o dar. Die Angebotsfunktion Die Nachfragefunktion Die Nullstelle der Nachfragefunktion gibt die Sättigungsmenge an, weil an dieser Stelle selbst bei einem Preis von 0 keine weitere Nachfrage mehr auftritt. Der Schnittpunkt mit der y-achse gibt den Höchstpreis an, zu dem es keine Nachfrage mehr gibt (x = 0). Darstellung des Marktgleichgewichts G
118 Kapitel 3: Lineare Funk onen Beispiel 1: Auf einem Markt sind Angebot und Nachfrage nach einem bestimmten Gut durch folgende Angebotsfunktion f A und Nachfragefunktion f N gegeben: f A (x) = 0,5x + 5 und f N (x) = 0,6x + 27. a) Geben Sie für die Nachfragefunktion einen ökonomisch sinnvollen Definitionsbereich D ök an. b) Zeichnen Sie die Graphen der Funktionen in ein Koordinatensystem und bestimmen Sie grafisch das Marktgleichgewicht. Überprüfen Sie das Ergebnis rechnerisch. c) Ermitteln Sie den Höchstpreis und die Sättigungsmenge. d) Durch einen staatlichen Eingriff wird der Marktpreis auf 20 (Mindestpreis) festgesetzt. Verdeutlichen Sie diese Maßnahme am Schaubild und beurteilen Sie die Konsequenzen am Markt. e) Durch einen staatlichen Eingriff wird der Marktpreis auf 10 herabgesetzt (Höchstpreis). Welche Konsequenz ergibt sich daraus am Markt? f) Aufgrund verstärkter Werbemaßnahmen verändert sich die Nachfrage nach dem Gut, sodass fortan der Höchstpreis bei 30 und die Sättigungsmenge bei 60 liegt. Bestimmen Sie die neue Nachfragefunktion und das neue Marktgleichgewicht (bei gleichbleibender Angebotsfunktion), vergleichen Sie die neue und die frühere Marktsituation. g) Berechnen Sie den am Markt erzielten Gesamtumsatz, der sich unter den früheren und den neuen Bedingungen ergibt. Lösung: a) Die Nachfragefunktion kann nur im I. Quadranten verlaufen. Sie wird begrenzt durch die Achsenschnittpunkte. b) Berechnung des Marktgleichgewichts: Bedingung: f A (x) = f N (x) 0,5x + 5 = 0,6x + 27 + 0,6x 5 1,1x = 22 x = 20 Einsetzen in eine der Funktionen, hier f A : f A (20) = 0,5 20 + 5 = 15 Schnittpunkt mit der y-achse: P(0 27); Schnittpunkt mit der x-achse: f N (x) = 0. 0,6x + 27 = 0 x = 45 D ök ={x 0 x 45} b) Marktgleichgewicht, grafische Lösung: Das Marktgleichgewicht wird bei einem Preis von 15 Geldeinheiten und 20 Mengeneinheiten erzielt. c) Der Höchstpreis kann im y-achsenabschnitt abgelesen werden. Die Sättigungsmenge an der Nullstelle der Nachfragefunktion. Höchstpreis: p max = 27 Sättigungsmenge: x max = 45
Kapitel 3: Lineare Funk onen 119 d) Bei der Festsetzung auf 20 geht die Nachfrage zurück und das Angebot steigt. Es entsteht ein Angebotsmengenüberschuss (AMÜ). Berechnung: f A (x) = 20 0,5x + 5 = 20 x = 30 f N (x) = 20 0,6x + 27 = 20 x 11,67 AMÜ = 30 11,67 = 18, 33 e) Bei der Höchstpreisfestsetzung nimmt die Nachfrage zu, während das Angebot zurückgeht. Es entsteht ein Nachfragemengenüberschuss (NMÜ). Berechnung: f A (x) = 10 0,5x + 5 = 10 x = 10 f N (x) = 10 0,6x + 27 = 10 x 28,33 NMÜ = 28,33 10 = 18, 33 f) Höchstpreis liegt bei 30, also b = 30 Sättigungsmenge liegt bei 60, also f(60) = 0 Gleichung der neuen Nachfragefunktion: f N (x) = mx + 30 0 = m 60 + 30 m = 0,5 f N (x) = 0,5x + 30 Berechnung des neuen Gleichgewichts: Bedingung: f N (x) = f A (x) 0,5x + 30 = 0,5x + 5 x = 25 Eingesetzt in f A : f A (25) = 0,5 25 + 5 = 17,5 Neues Marktgleichgewicht: G(25 17,5) Vergleich: Durch die Werbung nimmt die Nachfrage zu, was zu einer größeren Abnahmemenge bei höherem Preis führt. Menge: + 5, Preis: + 2,5. g) Gesamter Umsatz am Markt ist U = p o x o. Umsatz bisher: U = 20 15 = 300 Umsatz neu: U = 25 17,5 = 437,50 Der Staat kann nicht nur durch eine Mindest- oder Höchstpreisfestsetzung auf das Marktgeschehen eingreifen. Durch Subventionierung bzw. Besteuerung des Gutes kann er ebenfalls Einfluss auf das Angebot ausüben. Dabei kann die Besteuerung durch einen festen Betrag auf den Marktpreis oder durch einen prozentualen Aufschlag erfolgen.
120 Kapitel 3: Lineare Funk onen Beispiel 2: Die Nachfrage nach Schaumwein lässt sich durch die Funktion f N (x) = 0,04x + 30 beschreiben. Das Angebot richtet sich nach dem Preis: Bei einem Preis von 12 werden 100 Flaschen angeboten, bei einem Preis von 18 werden 200 Flaschen angeboten. Die Kapazität der anbietenden Weinkellereien liegt bei 400 Flaschen pro Woche. a) Berechnen Sie die Gleichung der (linearen) Angebotsfunktion und bestimmen Sie grafisch und rechnerisch das Markgleichgewicht. b) Der Staat erhöht die Steuer auf Schaumwein um 2 je Flasche. Untersuchen Sie die Auswirkungen dieser Maßnahme (Marktgleichgewicht, zusätzliche Steuereinnahme T des Staates). Veranschaulichen Sie die neue Situation. c) Der Staat erhebt eine 20 %ige Schaumweinsteuer. Welche Auswirkungen hat dies auf die Angebotsfunktion mit der Gleichung f A (x) = 0,06x + 6? Bestimmen Sie auch die Folgen auf den Gleichgewichtspreis und die Gleichgewichtsmenge. d) Wie hoch ist das durch die 20 %ige Besteuerung erzielte gesamte Steueraufkommen des Staates? Lösung: a) Einsetzen der Koordinaten der Wertepaare (100 12) und (200 18) in f(x) = mx + b Lösung des linearen Gleichungssystems: Gleichsetzungsmethode: (1) = (2): Einsetzen von m und b in die Gleichung: Marktgleichgewicht: f A (x) = f N (x) Bestimmung des Gleichgewichtspreises: Das Marktgleichgewicht stellt sich ein bei einer Gleichgewichtsmenge von 240 Flaschen und einem Gleichgewichtspreis von 20,40. f(100) = 12 : m 100 + b = 12 f(200) = 18 : m 200 + b = 18 (1) b = 12 100m (2) b = 18 200m 12 100m = 18 200m 100m = 6 m = 0,06 b = 6 Angebotsfunktion: f A (x) = 0,06x + 6 D ök = {x 0 x 400} 0,06x + 6 = 0,04x + 30 x = 240 f A (240) = 0,06 240 + 6 =20,4 Marktgleichgewicht G(240 20,4).
Kapitel 3: Lineare Funk onen 121 b) Der feste Steuerbetrag von 2 führt zu einer Verschiebung des Angebots. Bestimmung des neuen Marktgleichgewichts durch Gleichsetzen von f A (x) und f N (x). Berechnung des Preises durch Einsetzen des x-wertes in f A (x). Die Menge geht um 20 Flaschen zurück, der Preis steigt um 0,8. Neue Angebotsfunktion: f A (x) = 0,06x + 6 + 2 = 0,06x + 8 0,06x + 8 = 0,04x + 30 + 0,04x 8 0,1x = 22 x = 220 f A (220) = 0,06 220 + 8 = 21,2 Neues Gleichgewicht: G(220 21,2) Die zusätzliche Steuereinnahme T des Staates berechnet sich als Produkt aus der Menge und dem Steuerbetrag je Flasche: T = 220 2 = 440 Der Staat hat eine zusätzliche Steuereinnahme von 440. c) Die 20 %ige Steuererhöhung führt zu einer 20 %igen Erhöhung des Preises, die neue Angebotsfunktion ist mit dem Prozentfaktor 1,2 zu multiplizieren. Bestimmung des neuen Marktgleichgewichts durch Gleichsetzen von f A (x) und f N (x), anschließend Berechnung des zugehörigen Preises. Der berechnete x- Wert ist aufzurunden (Anzahl Flaschen). Die Menge geht um 36 Flaschen zurück, der Preis steigt um 1,44. Neue Angebotsfunktion: f A (x) = (0,06x + 6) 1,2 = 0,072x + 7,2 0,072x + 7,2 = 0,04x + 30 x 203,57 f N (204) = 0,04 204 + 30 = 21,84 d) Das zusätzliche Steueraufkommen T des Staates berechnet sich als Produkt aus der Menge und dem Steuerbetrag, der sich an der Stelle x = 204 aus der Preisdifferenz der alten und der neuen Angebotsfunktion ergibt. T = 204 3,60 = 734,40 Der Staat hat eine zusätzliche Steuereinnahme von 734,40. f A neu (204) = 21,84 (=neues Marktgleichgewicht) f A alt (204) = 0,06 204 + 6 = 18,24 f A neu (204) f A alt (204) = 21,84 18,24 = 3,60
122 Kapitel 3: Lineare Funk onen Aufgaben zur Festigung des erworbenen Wissens 1. Auf einem vollkommen polypolistischen Markt sind die Angebots- und Nachfragefunktion gegeben. Berechnen Sie das jeweilige Marktgleichgewicht. Fertigen Sie ein Schaubild an. a) f A (x) = 0,3x + 3 b) f A (x) = 0,5x + 2 c) f A (x) = x + 1 d) f A (x) = 0,4x + 5 f N (x) = 0,5x + 7 f N (x) = 0,8x + 8,5 f N (x) = 0,5x + 6 f N (x) = x + 12 2. Ermitteln Sie aus dem nebenstehenden Schaubild die folgenden Daten: a) Marktgleichgewicht, b) Sättigungsmenge, c) Angebotsmengenüberschuss, d) Höchstpreis, e) Mindestpreis, f) Gleichung der Nachfragefunktion. 3. Auf einem Polypolmarkt liegt der Höchstpreis für ein bestimmtes Gut bei 12 und die Sättigungsmenge bei 60. Die Angebotsfunktion verläuft linear mit der Steigung 0,3. Bei einem Preis von 5 Geldeinheiten werden insgesamt 10 Mengeneinheiten nachgefragt. a) Bestimmen Sie die Gleichungen der Nachfrage- und Angebotsfunktion. b) Berechnen Sie das Marktgleichgewicht. 4. Auf einem Polypolmarkt sind Angebots- und Nachfragefunktion für ein bestimmtes Produkt wie folgt gegeben: f A (x) = 0,5x + 6 und f N (x) = 0,5x + 25. a) Berechnen Sie das Marktgleichgewicht. b) Zu welchem Preis werden 12 Mengeneinheiten angeboten? c) Wie viel Mengeneinheiten werden zu einem Preis von 10 nachgefragt? d) Der Staat greift auf das Marktgeschehen ein und setzt einen Mindestpreis von 20 fest. Wie hoch ist dadurch der Angebotsmengenüberschuss? 5. Von einem Markt für ein bestimmtes Gut sind Nachfrage- und Angebotsfunktion wie folgt gegeben: f A (x) = 0,2x + 10 und f N (x) = 0,3x + 25. Der Staat besteuert das Gut mit 2 GE je Stück. Berechnen Sie das alte und das neue Marktgleichgewicht. Wie hoch ist die Gesamtsteuereinnahme des Staates?
Kapitel 3: Lineare Funk onen 123 Konsumenten- und Produzentenrente Stoffinformation In der Marktform der vollkommenen Konkurrenz (Polypol) sind Angebot und Nachfrage im Marktgleichgewicht zum Ausgleich gebracht, was durch den Schnittpunkt von Angebots- und Nachfragefunktion verdeutlicht wird. Am fallenden Verlauf der Nachfragefunktion lässt sich erkennen, dass es Konsumenten gibt, die bereit wären, für ein bestimmtes Konsumgut einen höheren Preis als den Gleichgewichtspreis (Marktpreis) zu zahlen. Da sie aber nur den geringeren Marktpreis zahlen müssen, erzielen sie einen Preisvorteil, der als Konsumentenrente bezeichnet wird. Fasst man die Zahlungsbereitschaft aller Konsumenten, einen höheren Preis als den Marktpreis zu zahlen, zusammen, so lässt sich die Konsumentenrente grafisch als Fläche zwischen der Nachfragefunktion und der Marktpreisgeraden darstellen (siehe rote Fläche). Auf der Angebotsseite gibt es Anbieter, die bereit wären, das Konsumgut zu einem geringeren Preis als den Gleichgewichtspreis anzubieten. Dadurch, dass sie mit dem Marktpreis einen höheren Preis erwirtschaften, erzielen sie einen Preisvorteil, der als Produzentenrente bezeichnet wird. Grafisch ist die Produzentenrente die Fläche, die von der Marktpreisgerade und der Angebotsfunktion eingeschlossen wird (siehe graue Fläche). Bei linearem Verlauf von Angebots- und Nachfragefunktion können Konsumenten- und Produzentenrente mit der Dreiecksformel berechnet werden. Beispiel: Auf einem Markt sind Angebot und Nachfrage nach einem bestimmten Gut durch folgende Angebotsfunktion f A und Nachfragefunktion f N gegeben: f A (x) = 0,5x + 2 und f N (x) = 0,5x + 8. a) Berechnen Sie das Marktgleichgewicht und zeichnen Sie ein Schaubild. Kennzeichnen Sie die Konsumenten- und Produzentenrente. b) Berechnen Sie die Höhe der Konsumenten- und Produzentenrente.
124 Kapitel 3: Lineare Funk onen Lösung: a) Bestimmung des Gleichgewichts durch Gleichsetzen von f A (x) und f N (x) und Auflösen nach x. Berechnen des Preises durch Einsetzen in f A oder f N. Gleichgewichtsmenge: x 0 = 6 Gleichgewichtspreis: p 0 = 5 f A (x) = f N (x) 0,5x + 2 = 0,5x + 8 x = 6 f A (6) = 0,5 6 + 2 = 5 Marktgleichgewicht: G(6 5). b) Dreiecksformel: A = 1 g h 2 Konsumentenrente: KR = 1 6 (8 5) = 9 2 Produzentenrente: PR = 1 6 (5 2) = 9 2 In diesem Fall sind Konsumentenrente und Produzentenrente gleich groß, weil die Steigungsfaktoren der beiden Funktionen dem Betrag nach gleich sind (0,5). Aufgaben zur Festigung des erworbenen Wissens 1. Auf einem Markt der vollkommenen Konkurrenz (Polypol) gelten für ein bestimmtes Produkt die Angebotsfunktion mit der Gleichung f A (x) = 0,25x + 5 und die Nachfragefunktion mit der Gleichung f N (x) = 0,5x + 20. a) Geben Sie den Höchstpreis an. b) Wie hoch ist die Sättigungsmenge? c) Ab welchem Preis sind Produzenten bereit, das Produkt anzubieten? d) Berechnen Sie das Marktgleichgewicht. e) Berechnen Sie die Produzenten- und Konsumentenrente. 2. Ermitteln Sie aus dem nebenstehenden Schaubild die folgenden Daten: a) Das Marktgleichgewicht, b) Konsumentenrente, c) Produzentenrente, d) Nachfragefunktion, e) Angebotsfunktion, f) Höchstpreis.
Kapitel 3: Lineare Funk onen 125 Aufgaben zur Wiederholung Tarifvergleiche 1. Eine Klasse der Fachoberschule hat bei mehreren Busunternehmen die Tarife für eine Schulfahrt eingeholt. Folgende Angebote zweier Reiseunternehmen liegen vor: Sorglos-Reisen: 140 je Tag und für jeden gefahrenen km 1,30. Holiday-Tours: 80 je Tag und für jeden gefahrenen km 1,60. a) Stellen Sie für beide Angebote die Funktionsgleichungen auf, die die Gesamtkosten in Abhängigkeit der gefahrenen Strecke angeben. Fertigen Sie eine Zeichnung an. b) Um wie viel unterscheiden sich die Angebote bei einer Entfernung von 150 km (grafische und rechnerische Lösung verlangt)? c) Bei wie viel km Fahrstrecke ergeben sich für beide Unternehmen die gleichen Kosten? 2. Ein Energieunternehmen bietet einen Gas-Tarif zu folgenden Bedingungen an: Arbeitspreis 5,66 ct/kwh zuzüglich einem monatlichen Grundpreis von 11,90. Ein anderer Anbieter berechnet 4,16 ct/kwh und einen Grundpreis von 16,43 /Monat. a) Stellen Sie für beide Tarife den funktionalen Zusammenhang zwischen dem Jahresverbrauch in kwh und den dafür zu entrichtenden Gesamtkosten in Form einer Funktionsgleichung her. b) Welche Kosten ergeben sich jeweils für einen Jahresverbrauch von 4 000 kwh? c) Stellen Sie fest, ab welcher jährlichen Abnahmemenge der zweite Anbieter günstiger ist. 3. Die Personalabteilung eines Unternehmens möchte für die Region Süd einen neuen Vertreter oder Vertreterin einstellen. Es werden Verhandlungen mit zwei Bewerberinnen geführt: Frau Albrecht fordert als Vergütung ein festes Monatsgehalt von 2 000 zuzüglich einer 5 %igen Umsatzprovision. Bewerberin Bertold wünscht sich ein Monatsgehalt von 1 500, aber 10 % Umsatzprovision. Beurteilen Sie die beiden Gehaltsvorstellungen unter mathematischen Gesichtspunkten. 4. Ein Hausbesitzer ermittelt drei Angebote von Stromanbietern A, B und C: Arbeitspreis je kwh Grundpreis je Monat A: 22,47 ct 5,95 B: 19,68 ct 12,18 C: 21,47 ct 8,50 a) Ermitteln Sie den günstigsten Anbieter bei einer jährlichen Abnahmemenge von 5 000 kwh. b) Bestimmen Sie die abschnittsweise definierte Funktion, die den jeweils günstigsten Anbieter in Abhängigkeit von der Abnahmemenge (in kwh) angibt.
126 Kapitel 3: Lineare Funk onen 5. Gegeben sind die folgenden Handy-Tarife: Tarif I: Base mit sms classic : 0,19 /Gespräch, Tarif II: call flat : 30 pro Monat. a) Stellen Sie für beide Tarife eine Funktionsgleichung auf und fertigen Sie ein Schaubild an. b) Ab wie viel Gesprächen lohnt sich der Abschluss des call flat -Tarifs? c) Stellen Sie eine abschnittsweise definierte Funktion auf, die den jeweils günstigeren der beiden Tarife angibt. 6. Ein Internet-Provider bietet folgende Tarife an: Tarif easy surf zu 4 ct je Minute einschließlich Telefongebühren und altanet zu 5 ct je Minute zuzüglich 8 Grundgebühr je Monat. Allerdings werden 120 Freiminuten gewährt. a) Erstellen Sie für beide Tarife die Funktionsgleichungen und zeichnen Sie einen Graphen. b) Nach wie viel Gesprächsminuten führen beide Tarife zu den gleichen Kosten? Kosten-Erlöse-Gewinn 7. Die Gesamtkosten eines Betriebes betragen 2 400 bei einer Produktionsmenge von 30 Stück. Bei einer Produktionsmenge von 50 Stück fallen Gesamtkosten an in Höhe von 2 800. a) Wie lautet die Gleichung der Gesamtkosten? b) Stellen Sie die Gewinnfunktion auf, wenn das Produkt am Markt zu einem Preis von 30 abgesetzt werden kann. Bestimmen Sie die Gewinnschwelle. c) Wie hoch ist der Gewinn bei einem Absatz von 300 Stück? d) Wie hoch ist der maximal erzielbare Gewinn bei einer Kapazitätsgrenze von 500 Stück? 8. In einem Fertigungsbetrieb betragen die Fixkosten 6 000 GE je Abrechnungsperiode. Das produzierte Produkt wird zu 14 GE am Markt abgesetzt. Die Gewinnschwelle liegt bei x = 2 000 Mengeneinheiten. Es wird ein linearer Verlauf der Kostenfunktion unterstellt. Wie hoch sind die variablen Stückkosten des Produkts? 9. Bei der Produktion eines Serienartikels fallen bei einer Produktionsmenge von 80 Stück Gesamtkosten in Höhe von 2 100 an. Nach Ausweitung der Produktion auf 110 Stück ist mit Gesamtkosten in Höhe von 2 700 zu rechnen. Es können maximal 200 Stück je Zeiteinheit produziert werden. a) Stellen Sie die Gleichung der Kostenfunktion auf, die die Gesamtkosten (y ) in Abhängigkeit der Produktionsmenge (x Stück) angibt. Geben Sie auch die ökonomisch sinnvolle Definitionsmenge an. Interpretieren Sie die Werte der Parameter m und b. b) Wie hoch sind die Produktionskosten bei einer Stückzahl von 150, 250 und 300 Stück? c) Im letzten Zeitabschnitt wurde bei einer abgesetzten Menge von 200 Stück ein Gewinn von 500 erzielt. Zu welchem Preis wurde der Artikel angeboten?
Kapitel 3: Lineare Funk onen 127 10. Es liegen folgende Funktionen vor: K(x) = 5 000 + 25x und E(x) = 45x. a) Berechnen Sie die Gewinnfunktion und die Gewinnschwelle. b) Der Betrieb möchte, dass die Gewinnschwelle schon bei einer Absatzmenge von 200 Stück erreicht wird. Auf welchen Betrag müssten hierzu die variablen Stückkosten mindestens gesenkt werden? 11. In einem Unternehmen für Kleinwerkzeuge fallen monatlich 60 000 an Fixkosten an. Die variablen Stückkosten betragen 20. Aufgrund von Kapazitätsbeschränkungen kann der Betrieb maximal 5 000 Stück im Monat herstellen. Der Verkaufspreis liegt bei 35 je Stück. a) Stellen Sie die Gleichungen der Kosten-, Erlös- und Gewinnfunktion auf. Erstellen Sie ein Schaubild. Geben Sie eine ökonomisch sinnvolle Definitionsmenge der Funktionen an. b) Bei welcher Stückzahl wird die Gewinnschwelle erreicht? c) Berechnen Sie den Gewinn, der erzielt werden kann, wenn die Kapazität voll ausgelastet ist und die produzierte Menge vollständig abgesetzt werden kann? d) Aufgrund von Schwierigkeiten im Produktionsablauf konnten im vergangenen Monat nur 3 000 Stück produziert und verkauft werden. Welche Auswirkungen hatte dies auf die Gewinnsituation des Unternehmens? e) Wie ändert sich die Situation, wenn sich die variablen Kosten aufgrund erhöhter Energiekosten um 5 erhöhen, gleichzeitig der Marktpreis auf 30 fällt? Marktgleichgewicht 12. Auf einem Markt der vollkommenen Konkurrenz (Polypol) verläuft die Nachfragefunktion durch die Punkte N 1 (200 25) und N 2 (1000 5). Die zugehörige Angebotsfunktion hat die Gleichung f A (x) = 0,05x + 10. a) Bestimmen Sie den Höchstpreis und die Sättigungsmenge des Marktes. b) Berechnen Sie das Marktgleichgewicht. c) Wie hoch ist der Angebotsüberschuss, wenn der Staat den Mindestpreis auf 27 festsetzt? d) Wie hoch ist der Nachfrageüberschuss, wenn der Staat den Höchstpreis auf 20 festsetzt? 13. Gegeben sind die Angebots- und Nachfragefunktion eines Marktes mit den folgenden Gleichungen: f N (x) = 0,2x + 24 und f A (x) = 0,5x + 10. a) Berechnen Sie Gleichgewichtspreis und Gleichgewichtsmenge. b) Der Staat subventioniert das Gut mit 2 je Stück. Berechnen Sie, wie sich diese Maßnahme auf das Gleichgewicht auswirkt. Welchen Betrag muss der Staat insgesamt für diese Maßnahme aufwenden?
128 Kapitel 3: Lineare Funk onen 14. Die Geraden einer Nachfrage- und einer Angebotsfunktion verlaufen durch die Punkte A 1 (100 12) und A 2 (400 32) sowie durch N 1 (200 36) und N 2 (300 34). a) Bestimmen Sie die Gleichungen der Nachfrage- und Angebotsfunktion und das zugehörige Marktgleichgewicht. Fertigen Sie ein Schaubild an. b) Wie hoch ist der Angebotsmengenüberschuss, wenn der Staat einen Mindestpreis von 35 festsetzt? c) Berechnen Sie die Konsumenten- und die Produzentenrente des Marktes. 15. Die monatliche Nachfrage nach einer bestimmten Sorte Portwein kann durch eine lineare Funktion beschrieben werden, die durch die Punkte N 1 (100 46) und N 2 (400 46) verläuft. Die Angebotsfunktion wird durch eine Gerade durch die Punkte A 1 (50 9) und A 2 (200 18) angegeben. Aufgrund von Liefervereinbarungen beträgt die Mindestmenge des Angebots 100 Flaschen im Monat. Die Kapazitätsgrenze liegt bei 500 Flaschen. a) Stellen Sie die Gleichung der Angebots- und Nachfragefunktion auf. Geben Sie eine ökonomisch sinnvolle Definitionsmenge der beiden Funktionen an. b) Interpretieren Sie die Schnittpunkte der Nachfragefunktion mit den Achsen. c) Ermitteln Sie die Gleichgewichtsmenge und den Gleichgewichtspreis. Fertigen Sie ein Schaubild an. d) Wie hoch ist die Konsumenten- und die Produzentenrente? e) Bestimmen Sie den Nachfrageüberschuss, wenn der Staat einen Höchstpreis von 23,20 festsetzt. f) Der Staat erwägt eine Besteuerung des Portweins von 2 je Flasche. Welchen Einfluss hätte diese Maßnahme auf das Marktgleichgewicht? Wie hoch wäre die Gesamtsteuereinnahme des Staates? g) Anstatt der Besteuerung je Flasche soll nun geprüft werden, wie sich eine 15 %ige Besteuerung auswirken würde. Analysieren Sie diese Maßnahme im Hinblick auf das Marktgleichgewicht und auf die Gesamtsteuereinnahme des Staates.