7. Reglerentwurf im Frequenzbereich

H A K O 7 Reglerentwurf im Frequenzbereich In dieem Kapitel werden zwei unterchiedliche Reglerentwurfverfahren im Frequenzbereich dikutiert Da o genannte Frequenzkennlinienverfahren it auf Regelkreie mit einem Freiheitgrad nach Abbildung 68 zugechnitten Der Reglerentwurf erfolgt dabei auf Grund von Anforderungen an da Einchwingverhalten der Antworten de gechloenen Regelkreie auf gewie augewählte Tetfunktionen, die dann in Anforderungen an da Bode-Diagramm de offenen Kreie übertragen werden Im Gegenatz dazu it die Methode der Polvorgabe eine algebraiche Methode, bei der zu einer gegebenen Streckenübertragungfunktion ein Regler o entworfen wird, da der gechloene Krei ein gewünchte Verhalten der Führungübertragungfunktion aufweit Diee Verfahren kann owohl für Regelkreie mit einem Freiheitgrad nach Abbildung 68 al auch für Regelkreie mit zwei Freiheitgraden nach Abbildung 612 formuliert werden 71 Da Frequenzkennlinienverfahren Dem Frequenzkennlinienverfahren liegt der Regelkrei von Abbildung 71 mit der Führunggröße r (t), der Stellgröße u (t), dem Regelfehler e (t) und der Auganggröße y (t) zu Grunde B B A A H 4 A C A H A E I I 4 I / I 4 I / I 4 A C A H 5 J H A? A Abbildung 71: Regelkrei mit einem Freiheitgrad al Bai für da Frequenzkennlinienverfahren Augangpunkt für da Frequenzkennlinienverfahren it die Vorgabe von Kenngrößen zur Charakteriierung de Einchwingverhalten de gechloenen Kreie mit der Übertragungfunktion T r,y () = ŷ ˆr = R () G () 1 + R ()G() = L () (71) 1 + L () al Antwort auf gewie Tetignale Dazu betrachte man den in Abbildung 72 dargetellten typichen Verlauf der Sprungantwort h (t) de gechloenen Kreie für r (t) = σ (t) 126

J A & 71 Da Frequenzkennlinienverfahren Kapitel 7 Reglerentwurf im Frequenzbereich D J 9 A @ A F K J J H Abbildung 72: Kenngrößen der Sprungantwort de gechloenen Kreie Da Einchwingverhalten de gechloenen Kreie wird nun an Hand der drei nachfolgenden Kenngrößen beurteilt: (1) Die Antiegzeit t r al Maß für die Schnelligkeit (Dynamik), (2) die Überchwingweite M oder da prozentuelle Überchwingen ü = (M 1) 100 al Maß für den Dämpfunggrad (Dynamik) owie (3) die bleibende Regelabweichung e al Maß für die tationäre Genauigkeit Diee Kenngrößen de zeitlichen Verhalten der Sprungantwort de gechloenen Kreie können nun über empiriche Näherungbeziehungen mit dem Frequenzgang de offenen Kreie L (Iω) in Zuammenhang gebracht werden Dazu wird voraugeetzt, da die Übertragungfunktion de offenen Kreie L () gemäß Definition 63 vom einfachen Typ it (1) Die Antiegzeit t r hängt mit der Durchtrittfrequenz ω C über die Näherungbeziehung ω C t r 15 (72) zuammen Da voraugeetzt wurde, da die Übertragungfunktion L () vom einfachen Typ it und damit der Betraggang von L () nur einen Schnittpunkt mit der 0-dB-Linie hat, trennt die Durchtrittfrequenz ω C jene Frequenzen, die vom offenen Regelkrei vertärkt werden, von jenen, die vom offenen Regelkrei abgechwächt werden (zur Erläuterung iehe auch Abbildung 610) Damit it, wie bereit im vorigen Kapitel beprochen, die Durchtrittfrequenz ω C ein Maß für die Bandbreite de offenen Kreie und bei teigendem ω C wird dementprechend auch die Dynamik de gechloenen Kreie chneller (2) Da prozentuelle Überchwingen ü kann über die empiriche Näherungbeziehung Φ[ ] + ü[%] 70 (73) 127

71 Da Frequenzkennlinienverfahren Kapitel 7 Reglerentwurf im Frequenzbereich mit der Phaenreerve Φ von (658) in Verbindung gebracht werden (iehe auch Abbildung 619) Nach dem vereinfachten Schnittpunktkriterium von Satz 66 für Übertragungfunktionen L () de offenen Kreie vom einfachen Typ it die Phaenreerve Φ ein Maß für den Abtand zur Stabilitätgrenze Die hat zur Konequenz, da eine Verminderung der Phaenreerve Φ eine Zunahme der Schwingneigung bzw de Überchwingen mit ich bringt Um diee Argumentation zu untertreichen, berechne man den Betrag der Führungübertragungfunktion T r,y () von (71) an der Stelle = Iω C T r,y (Iω C ) = L (Iω C) co (Φ) I in (Φ) = 1 + L (Iω C ) 1 co (Φ) I in (Φ) = 1 2 ( in Φ ) (74) 2 Man erkennt, da wegen lim T r,y (Iω C ) = (75) Φ 0 der gechloene Krei T r,y () für Φ = 0 ein konjugiert komplexe Polpaar bei ±Iω C aufweit und damit die Sprungantwort ungedämpft chwingt Aufgabe 71 Zeigen Sie, da die Beziehung L (Iω C ) = co (Φ) I in (Φ) mit der Durchtrittfrequenz ω C und der Phaenreerve Φ gilt (3) Die bleibende Regelabweichung e = lim t e (t) = lim t (r (t) y (t)) (76) teht nun direkt mit dem Vertärkungfaktor V der Übertragungfunktion de offenen Kreie L () in Verbindung Unter der Vorauetzung, da der gechloene Regelkrei tabil it, kann für (76) unmittelbar der Endwertatz der Laplace- Tranformation angewandt werden, und man erhält für e die Beziehung e = lim t e (t) = lim 0 ê () = lim 0 Setzt man für L () in (77) die Beziehung (654) 1 () (77) 1 + L ()ˆr L () = V ρ z L () n L (), z L (0) = n L (0) = 1 und ρ {0, 1} (78) ein, dann folgt e zu e = lim 0 ρ n L () () (79) ρ n L () + V z L ()ˆr 128

71 Da Frequenzkennlinienverfahren Kapitel 7 Reglerentwurf im Frequenzbereich Die bleibende Regelabweichung e für die beiden Tetignale r (t) = σ (t) und r (t) = t jeweil für ρ {0, 1} ind nachfolgender Tabelle r (t) = σ (t) bzw ˆr () = 1 : ρ = 0 e = 1 1 + V ρ = 1 0 (710) r (t) = t bzw ˆr () = 1 ρ = 0 e = : 2 ρ = 1 e = 1 V zu entnehmen Man erkennt alo au (79) und (710), da die Übertragungfunktion de offenen Kreie L () mindeten eine einfache Poltelle bei = 0 (ρ 1) haben mu, damit die bleibende Regelabweichung zufolge eine Eingangprunge r (t) = σ (t) Null it Analog dazu mu L () mindeten eine doppelte Poltelle bei = 0 (ρ 2) haben, damit die bleibende Regelabweichung bei einer rampenförmigen Einganggröße r (t) = t Null wird Man beachte aber, da im Fall ρ 2 die Übertragungfunktion L () nicht mehr vom einfachen Typ it und omit die Stabilitätprüfung auch nicht mit dem vereinfachten Schnittpunktkriterium erfolgen kann, ondern da Nyquitkriterium nach Satz 65 herangezogen werden mu Man beachte, da die empirichen Näherungbeziehungen (72) und (73) für eine Übertragungfunktion de gechloenen Kreie vom Typ T r,y () = 1 1 + 2ξ (T) + (T) 2, T > 0 und 0 < ξ < 1 (711) mit der zugehörigen Übertragungfunktion de offenen Kreie L () = auch exakt hergeleitet werden können Löen Sie dazu nachfolgende Aufgaben: 1 T (2ξ + T) (712) Aufgabe 72 Berechnen Sie die Steigung t W der Sprungantwort de gechloenen Kreie (711) am Wendepunkt (iehe Abbildung 72) Ergebni: t W = 1 T exp ( arctan 1 ξ 2 1 ξ 2 ξ ) ξ Zeigen Sie, da in dieem Fall für die Antiegzeit t r gilt t r = 1/ t W Berechnen Sie weiter allgemein die Durchtrittfrequenz ω C für L () von (712) Ergebni: ω C = 1 T 4ξ4 + 1 2ξ 2 129

71 Da Frequenzkennlinienverfahren Kapitel 7 Reglerentwurf im Frequenzbereich Zeichnen Sie da Produkt ω C t r al Funktion de Dämpfunggrade ξ im Bereich 05 ξ 08 Aufgabe 73 Berechnen Sie da Maximum M der Sprungantwort de gechloenen Kreie (711) (iehe Abbildung 72) Ergebni: ( ) M = 1 + exp ξπ 1 ξ 2 Betimmen Sie weiter allgemein die Phaenreerve Φ für L () von (712) Ergebni: Φ = arctan 2ξ 4ξ4 + 1 2ξ 2 Zeichnen Sie den Audruck (M 1)100 + Φ[ ] } {{ } ü[%] al Funktion de Dämpfunggrade ξ im Bereich 05 ξ 08 E hat ich nun gezeigt, da die empirichen Näherungbeziehungen (72) und (73) auch für Syteme höherer Ordnung innvoll ind, inbeondere dann, wenn die Sprungantwort de gechloenen Kreie in erter Näherung durch ein konjugiert komplexe Polpaar betimmt it Damit lät ich die Vorgangweie beim Reglerentwurf nach dem Frequenzkennlinienverfahren wie folgt angeben: (A) Zu einer gegebenen Streckenübertragungfunktion G () müen die Kenngrößen de Einchwingverhalten de gechloenen Kreie (t r, M oder ü und e ) pezifiziert werden (B) Die Kenngrößen t r, M oder ü und e werden mit Hilfe der Beziehungen (72), (73) und (79) in Vorgaben an den Frequenzgang de offenen Kreie L (Iω) überetzt (C) Ein Regler R () mu o gewählt werden, da der gechloene Krei BIBO-tabil it und die Forderungen von (B) erfüllt werden It die Übertragungfunktion L () = R () G () vom einfachen Typ, dann folgt automatich au dem vereinfachten Schnittpunktkriterium die Stabilität de gechloenen Kreie Sehr oft führt da Frequenzkennlinienverfahren auch bei Übertragungfunktionen L () de offenen Kreie, die nicht vom einfachen Typ ind, zu brauchbaren Ergebnien, doch mu dann die Stabilität de gechloenen Kreie mit Hilfe de Nyquitkriterium nach Satz 65 unterucht werden (D) Um ein kriechende Einlaufen der Sprungantwort in den tationären Endwert zu vermeiden, oll in (C) der Regler R () o entworfen werden, da ca 1 Dekade um die Durchtrittfrequenz ω C die Betragkennlinie von L () mit mindeten 20 db/dekade abfällt 130

71 Da Frequenzkennlinienverfahren Kapitel 7 Reglerentwurf im Frequenzbereich (E) Die Qualität de Entwurfe it immer durch Simulation zu überprüfen, inbeondere auch dehalb, weil da Verfahren ich auf empiriche Formeln tützt Sind die Ergebnie nicht zufriedentellend, dann mu man ich die Frage tellen, ob die Anforderungen von (A) überhaupt prinzipiell erfüllbar ind, oder ob ein anderer Regler R () von (C) die Situation verbeern würde (F) Die Begrenzung der Stellgröße u (t), die bei jedem technich relevanten Proze vorhanden it, kann im Rahmen diee einfachen Entwurfverfahren nicht ytematich berückichtigt werden Sollte ich bei der Simulation herautellen, da man zu viel Stellgröße benötigt, dann mu man die Anforderungen in (A) entprechend den Überlegungen von Abchnitt 63 verändern, alo die Antiegzeit t r vergrößern Im Rahmen einer Führungregelung ollte auf keinen Fall ein Sprung ondern immer ein hinreichend glatte Signal al Führunggröße verwendet werden (man wiederhole dazu auch die Überlegungen von Abchnitt 63) Beipiel: PI-Reglerentwurf (A) Streckenübertragungfunktion: G() = Entwurfvorgaben: t r = 3, ü = 10 % und e r(t)=σ(t) = 0 5 1 + 2 0707 + 2 (713) (B) Vorgaben an den Frequenzgang de offenen Kreie L (Iω): ω C = 05 rad 1, Φ = 60 und der offene Krei mu mindeten eine einfache Poltelle bei = 0 haben (C) Al Regler wird ein PI-Regler der Form R () = V I (1 + T I ) (714) gewählt Im erten Schritt wird da Bode-Diagramm aller bekannten Terme de offenen Kreie L () = R () G (), alo L 1 () = 5 (1 + 2 0707 + 2 ) (715) gezeichnet, iehe Abbildung 73 An der Durchtrittfrequenz ω C = 05 errechnet ich da Argument von L 1 (Iω C ) zu arg (L 1 (Iω C )) = 1333 Damit mu wegen Φ = 60 mit Hilfe de Linearterm im Zähler de PI-Regler (1 + T I ) die Phae um 133 angehoben werden Au dieer Bedingung arg (1 + Iω C T I ) = arctan(ω C T I ) = 133 π (716) 180 folgt T I zu T I = 047 In einem zweiten Schritt wird V o berechnet, da der Betraggang bei ω C die 0-dB-Linie chneidet, alo die Bedingung 5 (1 + 047Iω C ) V I Iω C (1 wc 2 + I2 0707ω C) = 1 (717) 131

71 Da Frequenzkennlinienverfahren Kapitel 7 Reglerentwurf im Frequenzbereich erfüllt it Au (717) erhält man ofort V I = 01 Der PI-Regler lautet daher R () = 01 (1 + 047) (718) (D) Au dem Bode-Diagramm de offenen Kreie L () von Abbildung 73 erkennt man, da einereit die Bedingungen von (B) erfüllt ind und anderereit die Betragkennlinie von L () um die Durchtrittfrequenz ω C mit mindeten 20 db/dekade abfällt $ * A J H = C I C = C E @ * " " $ M + 2 D = I A C = C E # & # M E H = @ I Abbildung 73: Bode-Diagramme de offenen Kreie L 1 () und L () (E) Die zugehörige Sprungantwort de gechloenen Kreie von Abbildung 74 zeigt, da die Entwurfanforderungen recht gut erfüllt werden (F) In dieem Beipiel wurden an die Stellgröße keine Anforderungen getellt E ei noch anzumerken, da die Vorgangweie, zuert die Phae an der Durchtrittfrequenz ω C mit dem Linearterm de PI-Regler (1 + T I ) einzutellen und anchließend mit V I den Betrag zu korrigieren, inofern Sinn macht, al der Vertärkungfaktor V I de PI-Regler zwar den Betrag aber nicht die Phae ändert 132

J 71 Da Frequenzkennlinienverfahren Kapitel 7 Reglerentwurf im Frequenzbereich D J & $ " " $ & " $ & Abbildung 74: Sprungantwort de gechloenen Kreie Beipiel: Lead-Lag-Reglerentwurf (A) Streckenübertragungfunktion: G () = 18 ( ( + 1) 18 1 + 2 08 + ( ) ) 2 (719) 28 28 Entwurfvorgaben: t r = 01, ü = 20 % und e r(t)=t = 001 (B) Vorgaben an den Frequenzgang de offenen Kreie L (Iω): ω C = 15 rad 1, Φ = 50 und der Vertärkungfaktor V L de offenen Kreie mu nach (710) den Wert V L = 1 e = 100 (720) annehmen Damit errechnet ich unmittelbar der Vertärkungfaktor de Regler zu V R = V L /18 = 5556 (721) (C) Berechnet man nun Betrag und Phae von L 1 (Iω) = V R G (Iω) an der Stelle ω = ω C, dann erhält man L 1 (Iω C ) = 193 und arg (L 1 (Iω C )) = 16965 (722) Man erkennt alo, da der Betrag geenkt und die Phae angehoben werden mu Da der Vertärkungfaktor V L durch die Forderung an die bleibende Regelabweichung fixiert it, kann nicht die gleiche Vorgangweie wie im vorigen Abchnitt beim 133

71 Da Frequenzkennlinienverfahren Kapitel 7 Reglerentwurf im Frequenzbereich PI-Reglerentwurf gewählt werden, ondern man mu in dieem Fall einen Lead-Lag- Regler entwerfen Dazu wird in einem erten Schritt ein Lead-Regler o betimmt, da die Phae an der Durchtrittfrequenz um ϕ = 3965 + 10 angehoben wird Die Phae wird dehalb um zuätzliche 10 angehoben, da bei der nachfolgenden Betragabenkung durch ein Lag-Glied auch die Phae wieder abgeenkt wird Da Lead-Glied mit der Übertragungfunktion (iehe auch 560) R Lead () = 1 + T 1 + ηt hat nach Abchnitt 54 an der Stelle die maximale Phaenanhebung ϕ max von ϕ max = arg (R Lead (Iω max )) = arctan, 0 < η < 1 (723) ω max = 1 ηt (724) ( 1 η ) arctan ( η) (725) Legt man nun die Durchtrittfrequenz genau an die Stelle der maximalen Phaenanhebung, alo ω max = ω C, dann folgt au (725) ( ) η = 1 + 2 tan( ϕ) tan( ϕ) tan( ϕ) 2 + 1 = 0135 (726) bzw mit (724) gilt T = 1 ηωc = 01814 (727) Da Lead-Glied hat demnach die Übertragungfunktion R Lead () = 1 + 01814 1 + 00245 (728) Eine erneute Berechnung de offenen Kreie führt zu der Übertragungfunktion L 2 () = V R G ()R Lead () = 5556 18 ( 18 + 1) ( 1 + 2 08 + ( 28 28 ) 2 ) 1 + 01814 1 + 00245 (729) Der Betrag und die Phae von L 2 (Iω) an der Stelle ω = ω C ergibt ich zu L 2 (Iω C ) = 5252 und arg (L 2 (Iω C )) = 120 (730) Im nächten Schritt mu nun an der Durchtrittfrequenz ω C der Betrag um a = 1/5252 = 019 und die Phae um ϕ = 10 geenkt werden Dazu wähle man ein Lag-Glied mit der Übertragungfunktion R Lag () = 1 + T 1 + ηt, η > 1 (731) 134

71 Da Frequenzkennlinienverfahren Kapitel 7 Reglerentwurf im Frequenzbereich Au den Bedingungen arg (R Lag (Iω C )) = arctan (ω C T) arctan(ω C ηt) = ( ) ωc T ηω C T = arctan 1 + ηωc 2 T = ϕ 2 (732) und 1 + ω 2 R Lag (Iω C ) = C T 2 = a (733) 1 + η2 ωc 2 T 2 folgen für T und η die allgemeinen Beziehungen T = a 1 + tan( ϕ) 2 1 ω C T tan ( ϕ) und η = (734) ω C tan ( ϕ) ω C T (1 + ω C T tan( ϕ)) bzw für obige Beipiel T = 0305 und η = 537 Damit lautet die Übertragungfunktion de Lag-Regler R Lag () = 1 + 0305 1 + 1638 (735) Fat man (721), (728) und (735) zuammen, dann ergibt ich die Reglerübertragungfunktion zu ( ) ( ) 1 + 01814 1 + 0305 R () = V R R Lead ()R Lag () = 5556 (736) 1 + 00245 1 + 1638 (D) Au dem Bode-Diagramm de offenen Kreie L () von Abbildung 75 erkennt man, da einereit die Bedingungen von (B) erfüllt ind und anderereit die Betragkennlinie von L () um die Durchtrittfrequenz ω C mit mindeten 20 db/dekade abfällt (E) Die Sprung- owie die Rampenantwort de gechloenen Kreie ind Abbildung 76 zu entnehmen (F) In dieem Beipiel wurden an die Stellgröße keine Anforderungen getellt Aufgabe 74 Berechnen Sie die Beziehungen für T und η von (734) Beipiel: Kompenationreglerentwurf (A) Al Streckenübertragungfunktion betrachte man die Antriebregeltrecke von Abbildung 62 mit der Übertragungfunktion (iehe auch (68)) G ut,n,ω 2 () = ( )( 1 + 1117 1 + 132166 22222 ) ( 1 + 2 0138 ( 182 ) ( + ) ) 2 (737) 182 Entwurfvorgaben: t r = 05, ü = 5 %, e r(t)=σ(t) = 0 und u T,n 1 für r (t) = 100σ (t) 135

! 71 Da Frequenzkennlinienverfahren Kapitel 7 Reglerentwurf im Frequenzbereich $ * A J H = C I C = C E @ * " " $ M + & " # 2 D = I A C = C E '! # & M E H = @ I Abbildung 75: Bode-Diagramme de offenen Kreie L 1 (), L 2 () und L () (B) Vorgaben an den Frequenzgang de offenen Kreie L (Iω): ω C = 3 rad 1, Φ = 65 und der offene Krei mu mindeten eine einfache Poltelle bei = 0 haben (C) Al Regler wird in dieem Fall ein o genannter Kompenationregler der Form V R (1 + 2 0138 ( ) ( 182 + ) ) 2 182 R () = (1 + T R ) 2 (738) gewählt Im erten Schritt wird da Bode-Diagramm aller bekannten Terme de offenen Kreie L () = R () G ut,n,ω 2 (), alo L 1 () = 22222 ( )( ) (739) 1 + 1117 1 + 132166 gezeichnet, iehe Abbildung 77 An der Durchtrittfrequenz ω C = 3 errechnet ich da Argument von L 1 (Iω C ) zu arg (L 1 (Iω C )) = 1045 Daher mu wegen Φ = 136

J A & J 71 Da Frequenzkennlinienverfahren Kapitel 7 Reglerentwurf im Frequenzbereich " D J 5 F H K C = J M H J ' & 4 = F A = J M H J % & $ $ # " H J J "! " # $ % & '!! " # $ % & ' Abbildung 76: Sprung- und Rampenantwort de gechloenen Kreie 65 mit Hilfe der verbleibenden Terme im Nenner de Regler (1 + T R ) 2 die Phae um 105 abgeenkt werden Au dieer Bedingung errechnet ich T R zu T R = tan ( ) 105 π 2 180 = 00306 (740) ω C Die Betragkorrektur an der Durchtrittfrequenz ω C = 3 erfolgt mit Hilfe de Vertärkungfaktor V R V R = 1 L 2 (Iω C ) = 00141 mit L 2 () = ( 1 + 1117 22222 ) (1 + 00306) 2 ) ( 1 + 132166 (741) und omit lautet die geamte Reglerübertragungfunktion ( 00141 1 + 2 0138 ( ) ( 182 + ) ) 2 182 R () = (1 + 00306) 2 (742) (D) Au dem Bode-Diagramm de offenen Kreie L () von Abbildung 77 erkennt man, da einereit die Bedingungen von (B) erfüllt ind und anderereit die Betragkennlinie von L () um die Durchtrittfrequenz ω C mit mindeten 20 db/dekade abfällt (E) Die Sprungantwort de gechloenen Kreie it dem linken Bild von Abbildung 78 zu entnehmen (F) Zur Überprüfung der Betragbechränkung der Stellgröße u T,n 1 für r (t) = 100σ (t) wird die Übertragungfunktion G r,ut,n () = R () 1 + R () G ut,n,ω 2 () (743) 137

71 Da Frequenzkennlinienverfahren Kapitel 7 Reglerentwurf im Frequenzbereich * A J H = C I C = C E @ * M +!! 2 D = I A C = C E " #! " M E H = @ I Abbildung 77: Bode-Diagramme de offenen Kreie L 1 () und L () berechnet und die Sprungantwort für r (t) = 100σ (t) aufgezeichnet Im rechten Bild von Abbildung 78 erkennt man, da diee Forderung nicht eingehalten wird Den Auführungen von Abchnitt 63 folgend wird dehalb dem Regelkrei ein Vorfilter der Form vorgechaltet F () = ˆr ˆω 2,oll = 1 1 + 2 092 ( ( 5) + ) 2 (744) 5 Wie man ich an Hand von Abbildung 78 elbt überzeugen kann, bedingt diee Maßnahme eine dratiche Verringerung der Stellgröße ohne dabei weentlich die Dynamik der Führungregelung zu verringern E ei an dieer Stelle erwähnt, da chwach gedämpfte quadratiche Terme der Form ( 1 + 2ξT + (T) 2 ) ( mit T > 0, 0 < ξ < 07 wie der Term 1 + 2 0138 ( ) ( 182 + ) ) 2 182 von (737) typicher Weie bei der Regelung mechanicher Syteme auftreten Man beachte, da obige Vorgangweie eine Kompenationreglerentwurfe dann bei praktichen Implementationen nicht zum Ziel führt, wenn die tatächlichen Streckenparameter vom Modell zu weit abweichen In dieem Fall empfiehlt e ich, den quadratichen 138

J $ # "! J 71 Da Frequenzkennlinienverfahren Kapitel 7 Reglerentwurf im Frequenzbereich " & $ " 5 F H K C = J M H J @ A H D H K C I > A H J H = C K C I B K J E B H H J I J D J D A 8 H B E J A H E J 8 H B E J A H 5 F H K C = J M H J @ A H 5 J A C H A > A H J H = C K C I B K J E B H H J I J D A 8 H B E J A H E J 8 H B E J A H # # #! # # #! Abbildung 78: Sprungantworten der Führung- und Stellgrößenübertragungfunktion mit und ohne Vorfilter Term nicht exakt zu kompenieren, ondern ein o genannte Notchfilter zu entwerfen ( Abbildung 79 zeigt da Bode-Diagramm eine möglichen Notchfilter für den Term 1 + 2 0138 ( ) ( 182 + ) ) 2 der Form 182 R N () = 1 + 2 0138/a ( ) ( 182 + ) 2 182 1 + 2 0138a ( ) ( 182 + ) 2 (745) 182 für verchiedene Werte von a > 0 Man erkennt, da größere Werte von a ein breitbandigere Kompenieren der törenden Reonanzfrequenz bedingen und omit der Regelkrei robuter gegenüber Schankungen de Werte der Reonanzfrequenz wird, ich gleichzeitig aber die Phae vor der Reonanzfrequenz entprechend verchlechtert Aufgabe 75 Entwerfen Sie für die Streckenübertragungfunktion G () = ŷ û = 50 ( )( 1 + 1 + einen PI-Regler o, da die Sprungantwort de gechloenen Kreie folgende Spezifikationen t r = 001, ü = 10 %, e r(t)=σ(t) = 0 und u 15 für r (t) = 500σ (t) erfüllt Überprüfen Sie da Entwurfergebni durch Simulation in Matlab/Simulink Ergebni: Ein möglicher PI-Regler, der diee Anforderung erfüllt, lautet 171 2330 ) R () = 39 1 + 5673 Aufgabe 76 Entwerfen Sie für die Streckenübertragungfunktion G () = 05 ( 2 + 1) 139

71 Da Frequenzkennlinienverfahren Kapitel 7 Reglerentwurf im Frequenzbereich # # * A J H = C I C = C E @ * = = = " # ' 2 D = I A C = C E " # " # ' M E H = @ I Abbildung 79: Bode-Diagramm eine Notchfilter zur Kompenation der Reonanzfrequenz einen Regler o, da die Sprungantwort de gechloenen Kreie folgenden Spezifikationen t r = 1, ü = 10 % und e r(t)=σ(t) = 0 genügt Hinwei: Benutzen Sie einen Regler der Form R () = V R 1 + 2 1 + T R und überprüfen Sie da Entwurfergebni durch Simulation in Matlab/Simulink Aufgabe 77 Entwerfen Sie für die Streckenübertragungfunktion G () = ( 1 + 0196 0759 ) ( 1 + 2 0152 ( 5945 ) ( + ) ) 2 5945 einen Regler o, da die Sprungantwort de gechloenen Kreie folgenden Spezifikationen t r = 2, ü = 0 % und e r(t)=σ(t) = 0 genügt Hinwei: Entwerfen Sie in einem erten Schritt einen PI-Regler Fall bei der Überprüfung de Entwurfergebnie durch Simulation in Matlab/Simulink kein zufriedentellende Reultat erzielt wird, erweitern Sie den PI-Regler um ein geeignete Notchfilter Aufgabe 78 Entwerfen Sie für die Streckenübertragungfunktion G () = 1 2 + 2 + 2 140

72 Polvorgabe im Frequenzbereich Kapitel 7 Reglerentwurf im Frequenzbereich einen Regler o, da die Sprungantwort de gechloenen Kreie folgenden Spezifikationen t r = 1, ü = 20 % und e r(t)=σ(t) = 0 genügt Hinwei: Benutzen Sie einen PI-Regler und überprüfen Sie da Entwurfergebni durch Simulation in Matlab/Simulink Aufgabe 79 Entwerfen Sie für die Streckenübertragungfunktion G () = 5 ( 2 + 2 ( ( 5) + ) ) 2 5 einen Regler o, da die Sprungantwort de gechloenen Kreie folgenden Spezifikationen t r = 025, ü = 20 % und e r(t)=σ(t) = 0 genügt Hinwei: Überprüfen Sie da Entwurfergebni durch Simulation in Matlab/Simulink Aufgabe 710 Entwerfen Sie für die Streckenübertragungfunktion G () = 1 2 + 2 ( 2) + ( 2 einen Regler o, da die Antiegzeit der Sprungantwort de gechloenen Kreie folgender Spezifikation t r = 075 genügt Hinwei: Da außer an die Antiegzeit t r keine weiteren Anforderungen getellt ind, veruchen Sie den Entwurf mit Hilfe eine einfachen P-Regler R () = V R durchzuführen Aufgabe 711 Entwerfen Sie für die Streckenübertragungfunktion 1 + 12 G() = 2 ( 1 + 2 06 ( ) ( 08 + ) ) 2 08 einen Regler o, da die Sprungantwort de gechloenen Kreie folgenden Spezifikationen t r = 0625, ü = 10 % und e r(t)=t = 025 genügt Hinwei: Überprüfen Sie da Entwurfergebni durch Simulation in Matlab/Simulink 72 Polvorgabe im Frequenzbereich Die Methode der Polvorgabe it eine algebraiche Reglerentwurfmethode, bei der zu einer gegebenen Streckenübertragungfunktion G () ein Regler o entworfen wird, da der gechloene Krei von der Führunggröße r (t) zur Auganggröße y (t) ein gewünchte Verhalten der Führungübertragungfunktion T r,y () aufweit Natürlich kann die Führungübertragungfunktion T r,y () nicht beliebig vorgegeben werden, ondern mu in Abhängigkeit von der Streckenübertragungfunktion G () gewien Einchränkungen genügen Dazu nachfolgende Definition: Definition 71 (Implementierbarkeit) Man nennt eine Führungübertragungfunktion T r,y () zu einer Streckenübertragungfunktion G () implementierbar, wenn die nachfolgenden Bedingungen erfüllt ind: ) 2 141

H A K O 72 Polvorgabe im Frequenzbereich Kapitel 7 Reglerentwurf im Frequenzbereich (1) Da Regelgeetz it realiierbar (iehe Satz 44), (2) der Regelkrei it intern tabil (iehe Satz 61) und (3) der Regelkrei it nicht degeneriert, dh ämtliche Übertragungfunktionen de gechloenen Kreie ind realiierbar Die Implementierbarkeit einer Führungübertragungfunktion kann nun ehr einfach überprüft werden, e gilt nämlich folgender Satz: Satz 71 (Implementierbarkeit) Eine Führungübertragungfunktion T r,y () zu einer realiierbaren Streckenübertragungfunktion G () it genau dann implementierbar, wenn (1) die Führungübertragungfunktion T r,y () BIBO-tabil und (2) die Stellgrößenübertragungfunktion T r,u () = T r,y () G () (746) realiierbar und BIBO-tabil it Bewei: Führungübertragungfunktion it implementierbar Bedingungen (1) und (2): Da der Regelkrei gemäß Definition 71 Bedingung (2) intern tabil ein mu, ind die Führung- und die Stellgrößenübertragungfunktion T r,y () und T r,u () BIBO-tabil Au der Bedingung (3) von Definition 71 folgt, da T r,y () und T r,u () realiierbar ein müen Wenn G () realiierbar it, dann folgt au der Realiierbarkeit von T r,u () nach (746) automatich die Realiierbarkeit von T r,y () Bedingungen (1) und (2) Führungübertragungfunktion it implementierbar: Dieer Teil de Beweie erfolgt kontruktiv an Hand der nächten beiden Kapitel Polvorgabe mit einem Freiheitgrad Den weiteren Betrachtungen liegt ein Regelkrei mit einem Freiheitgrad nach Abbildung 710 zugrunde 4 I / I 4 A C A H 5 J H A? A Abbildung 710: Regelkrei mit einem Freiheitgrad 142

72 Polvorgabe im Frequenzbereich Kapitel 7 Reglerentwurf im Frequenzbereich Für die realiierbaren Übertragungfunktionen G () und R () gelte G () = a () b () = n j=0 a j j n j=0 b j j, b n 0 und R () = x () y () = m j=0 x j j m j=0 y j j, y m 0 (747) mit den teilerfremden Zähler- und Nennerpolynomen a (), b () owie x (), y () Die Führungübertragungfunktion T r,y () errechnet ich dann in der Form T r,y () = a ()x() a ()x() + b () y () (748) Im Rahmen der Polvorgabe mit einem Freiheitgrad wird eine realiierbare Übertragungfunktion R () o entworfen, da die Pole von T r,y () eine gewünchte Lage aufweien Nach (748) it diee Aufgabe aber äquivalent dazu, die o genannte Diophantiche Gleichung a () x () + b ()y () = d () (749) für die gegebenen teilerfremden Polynome a () und b () der Streckenübertragungfunktion G () und da gewünchte Nennerpolynom d () der Führungübertragungfunktion T r,y () nach den Polynomen x () und y () der Reglerübertragungfunktion R () zu löen Da Ergebni lät ich im nachfolgenden Satz formulieren: Satz 72 (Polvorgabe mit einem Freiheitgrad) Gegeben it der Regelkrei mit einem Freiheitgrad nach Abbildung 710 mit der Streckenübertragungfunktion n-ter Ordnung G () = a (), grad (a ()) < grad (b ()) = n (750) b () und den teilerfremden Polynomen a () und b () Dann exitiert zu jedem Polynom d () mit grad (d ()) = 2n 1 eine Löung x () und y () der Diophantichen Gleichung o, da für die Reglerübertragungfunktion gilt a () x () + b ()y () = d () (751) R () = x () y (), grad (x ()) grad (y ()) = n 1 (752) Bewei: Setzt man in der Diophantichen Gleichung (751) für die Polynome die Audrücke von (747) ein und wählt für d () ein Polynom der Ordnung p, dann erhält man n m n m a j j x j j + b j j y j j = j=0 j=0 j=0 j=0 p d j j, d p 0 (753) j=0 Durch Aumultiplikation der Audrücke in (753) ergibt ich (a n n + a n 1 n 1 + + a 0 ) (x m m + x m 1 m 1 + + x 0 )+ (b n n + b n 1 n 1 + + b 0 )(y m m + y m 1 m 1 + + y 0 ) = d p p + + d 0 (754) 143

72 Polvorgabe im Frequenzbereich Kapitel 7 Reglerentwurf im Frequenzbereich bzw (a n x m + b n y m ) n+m + (a n 1 x m + a n x m 1 + b n 1 y m + b n y m 1 ) n+m 1 + + (a 0 x 0 + b 0 y 0 ) = d p p + d p 1 p 1 + + d 0 (755) Au (755) erkennt man durch Koeffizientenvergleich, da einereit die Beziehung n+m = p gelten mu und da anderereit p + 1 Gleichungen in 2m + 2 Unbekannten zu löen ind Darau errechnen ich die Ordnungen m und p der Regler- und der Führungübertragungfunktion zu m = n 1 und p = 2n 1 (756) Schreibt man nun die Gleichungen de Koeffizientenvergleiche von (755) in Matrixform an, dann erhält man a 0 b 0 0 0 0 0 x 0 d 0 a 1 b 1 a 0 b 0 y 0 d 1 a 0 b 0 x 1 d 2 a n b n a n 1 b n 1 a 1 b 1 y 1 = (757) a n b n a 2 b 2 x n 1 d 2n 2 y 0 0 0 0 a n b n 1 d 2n 1 n } {{ } R Die Matrix R, die au den Koeffizienten der Polynome a () und b () gebildet wird, nennt man auch Reultante Wie noch gezeigt wird, it die Reultante R zweier Polynome a () und b () genau dann regulär, wenn a () und b () teilerfremd ind Da aber in Satz 72 voraugeetzt wurde, da a () und b () teilerfremd ind, it damit da Gleichungytem (757) eindeutig löbar Weiter folgt au der letzten Gleichung von (757) wegen a n = 0, b n 0 (iehe (750)) und d 2n 1 0 ofort die Beziehung y n 1 0 und damit die Realiierbarkeit von R () Die beendet auch den Bewei Im Bewei von Satz 72 wurde noch nachfolgender Satz verwendet, der im Weiteren auch bewieen werden oll: Satz 73 (Sylveter-Kriterium) Die Reultante R zu den Polynomen a () und b () it genau dann regulär, wenn die Polynome a () und b () teilerfremd ind Bewei: a () und b () ind teilerfremd R it regulär oder äquivalent dazu R it ingulär a () und b () ind nicht teilerfremd: Unter der Annahme, da R ingulär it, exitiert für da Gleichungytem Rz = 0 mit z T = [x 0, y 0, x 1, y 1,,x n 1, y n 1 ] (758) eine nichttriviale Löung z 0 Damit gibt e eine nichttriviale Reglerübertragungfunktion (752) o, da gilt a () x () + b ()y () = 0 (759) 144

72 Polvorgabe im Frequenzbereich Kapitel 7 Reglerentwurf im Frequenzbereich bzw a () b () = y () x () mit grad (b ()) = n und grad (x ()) n 1 (760) Darau erkennt man unmittelbar, da a () und b () nicht teilerfremd ein können Aufgabe 712 Beweien Sie die Umkehrung, da die Regularität von R die Teilerfremdheit der Polynome a () und b () impliziert E ei an dieer Stelle angemerkt, da die Einchränkung der betrachteten Streckenübertragungfunktionen G () in (750) auf jene mit Zählergrad kleiner al Nennergrad (trictly proper) nicht unbedingt notwendig it Man mu im Falle von Übertragungfunktionen G () mit Zählergrad gleich Nennergrad lediglich zuätzlich überprüfen, ob der Regelkrei nicht degeneriert it Tafelbeipiel: Berechnen Sie für die Streckenübertragungfunktion G () = 1 ( 2) (761) einen Regler R () durch Polvorgabe mit einem Freiheitgrad o, da alle Pole de gechloenen Kreie bei 1 liegen Ergebni: Die Reglerübertragungfunktion lautet R () = 14 1 9 (762) Aufgabe 713 Schreiben Sie ein Programm in Matlab, da au der Streckenübertragungfunktion G () und dem gewünchten Nennerpolynom de gechloenen Kreie d () die Reglerübertragungfunktion R () berechnet Aufgabe 714 Berechnen Sie für die Streckenübertragungfunktion G () = 4 ( + 3) ( 10) einen Regler R () durch Polvorgabe mit einem Freiheitgrad o, da alle Pole de gechloenen Kreie bei 1 liegen Ergebni: Die Reglerübertragungfunktion lautet 2508 + 8192 R () = 00333 Aufgabe 715 Berechnen Sie für die Streckenübertragungfunktion G () = + 2 ( 2 1) einen Regler R () durch Polvorgabe mit einem Freiheitgrad o, da die Pole de gechloenen Kreie bei 1, 2 ± 3I und 4 ± 5I liegen Ergebni: Die Reglerübertragungfunktion lautet R () = 3352 + 300 + 2665 2 + 13 + 655 145

H K O 72 Polvorgabe im Frequenzbereich Kapitel 7 Reglerentwurf im Frequenzbereich Polvorgabe mit zwei Freiheitgraden Wie man au (748) unmittelbar erkennt, kann durch die Methode der Polvorgabe mit einem Freiheitgrad da Zählerpolynom der Führungübertragungfunktion T r,y () nicht gezielt beeinflut werden Dieer Nachteil kann nun mit Hilfe der Polvorgabe mit zwei Freiheitgraden beeitigt werden Man betrachte dazu den Regelkrei mit zwei Freiheitgraden von Abbildung 711 8 I / I 4 I Abbildung 711: Regelkrei mit zwei Freiheitgraden Für den Regler ei angenommen, da V () und R () da gleiche Nennerpolynom y () beitzen (iehe auch Aufgabe 64) Man agt dann auch, V () und R () bilden ein dynamiche Sytem Wie wir im Folgenden noch ehen werden, hat die eentielle Konequenzen bei der Realiierung de Regler Die Übertragungfunktionen G (), R () und V () angechrieben in Form ihrer Zähler- und Nennerpolynome lauten dann G () = a () b () = V () = z () y () = n j=0 a j j x () n j=0 b, R () = j j y () = m j=0 x j j m j=0 y j j und (763) m j=0 z j j m j=0 y j j mit b n 0 und y m 0 Ohne Einchränkung der Allgemeinheit wird auch hier wieder voraugeetzt, da für die Streckenübertragungfunktion gilt grad (a ()) < grad (b ()) = n und da die Polynome a () und b () teilerfremd ind Nach Satz 71 it eine Führungübertragungfunktion T r,y () genau dann implementierbar, wenn T r,y () BIBO-tabil und die Stellgrößenübertragungfunktion T r,u () = Tr,y() G() realiierbar und BIBO-tabil it Um dieen Satz auf den Regelkrei mit zwei Freiheitgraden von Abbildung 711 anwenden zu können, berechne man in einem erten Schritt die zugehörige Führung- und Stellgrößenübertragungfunktion T r,y () = V () G () 1 + R ()G() = a ()z () a ()x() + b () y () = z T () n T () (764) 146

72 Polvorgabe im Frequenzbereich Kapitel 7 Reglerentwurf im Frequenzbereich und T r,u () = T r,y () G () = z T () n T () b () a () (765) Damit ergibt ich al unmittelbare Konequenz von Satz 71 folgender Satz: Satz 74 (Implementierbarkeit für einen Regelkrei mit zwei Freiheitgraden) Eine Führungübertragungfunktion T r,y () = z T () (z n T () T () und n T () teilerfremd) zu einer realiierbaren Streckenübertragungfunktion G () = a() (a () und b () teilerfremd) it für den Regelkrei mit zwei Freiheitgraden von Abbildung 711 genau dann b() implementierbar, wenn nachfolgende Bedingungen erfüllt ind: (1) Da Polynom n T () it ein Hurwitzpolynom, (2) die Graddifferenz von T r,y (), alo grad (n T ()) grad (z T ()), it größer gleich der Graddifferenz von G (), alo grad (b ()) grad (a ()), und (3) alle Nulltellen j von G () mit Re ( j ) 0 ind auch Nulltellen von T r,y () Aufgabe 716 Beweien Sie Satz 74 Hinwei: Verwenden Sie Satz 71 und wenden Sie dieen auf die Beziehungen (764) und (765) an Die Vorgangweie bei der Polvorgabe mit zwei Freiheitgraden ieht nun wie folgt au: (A) Zu einer gegebenen Streckenübertragungfunktion G () = a() wähle man eine implementierbare Führungübertragungfunktion T r,y () = z T() b() n T, die die Bedingungen () (1) - (3) von Satz 74 erfüllt (B) Danach berechne man die Stellgrößenübertragungfunktion T r,u () gemäß (765) und führe ämtliche Kürzungen zwichen z T () und a () durch (eingerahmte Polynome in (765)) Bezeichnet man mit z T () und ã () die gekürzten Polynome, dann ergibt ich T r,u () zu T r,u () = z T () b () n T () ã () (766) Man untercheidet nun drei Fälle: (a) grad (n T ()ã()) = 2n 1: E kann ofort die Diophantiche Gleichung für x () und y () gelöt werden a ()x() + b () y () = d () = n T ()ã() (767) 147

72 Polvorgabe im Frequenzbereich Kapitel 7 Reglerentwurf im Frequenzbereich (b) grad (n T ()ã()) < 2n 1: Um nun die Diophantiche Gleichung löen zu können, wird T r,u () im Zähler und Nenner um ein Hurwitzpolynom r (), auch Realiierungpolynom genannt, mit grad ( r ()) = 2n 1 grad (n T ()ã()) in der Form T r,u () = z T () b () r () (768) n T () ã () r () erweitert Anchließend kann die Diophantichen Gleichung a () x () + b ()y () = d () = n T () ã() r () (769) für x () und y () gelöt werden (c) grad (n T ()ã()) > 2n 1: Die gewählte Übertragungfunktion T r,y () mu in zwei BIBO-tabile jeweil für ich realiierbare Teilübertragungfunktionen T r,y () = T 1 ()T 2 () o zerlegt werden, da man für T 2 () die Implementierungaufgabe löen kann In einem zweiten Schritt wird vor die Reglerübertragungfunktion V () die Übertragungfunktion T 1 () gechaltet und damit ergibt die Serienchaltung von T 1 () und T 2 () die gewünchte Führungübertragungfunktion T r,y () (C) Im letzten Schritt mu noch da Zählerpolynom z () der Übertragungfunktion V () berechnet werden Dazu vergleiche man die Zählerpolynome von T r,y () = a ()z () a ()x() + b () y () und und darau erhält man die Beziehung T r,y () = T r,u ()G() = z T ()a() r () d () (770) z () = z T () r () (771) Reglerrealiierung Da die Reglerübertragungfunktionen V () und R () ein dynamiche Sytem bilden (V () und R () haben da gleiche Nennerpolynom y ()), mu der Regler auch al olcher implementiert werden, inbeondere dann, wenn y () kein Hurwitzpolynom it Eine geeignete Realiierung der Übertragungfunktionen V () und R () eine dynamichen Sytem der Form V () = b V,0 + b V,1 + + b V,n 1 n 1 + b V,n n a 0 + a 1 + + a n 1 n 1 + n R () = b R,0 + b R,1 + + b R,n 1 n 1 + b R,n n a 0 + a 1 + + a n 1 n 1 + n (772) it durch die o genannte erweiterte 2-te Standardform von (461) 148

72 Polvorgabe im Frequenzbereich Kapitel 7 Reglerentwurf im Frequenzbereich mit d dt x 1 x 2 x n 1 x n } {{ } x 0 0 a 0 x 1 1 0 0 a 1 = 1 x 2 0 0 + 0 an 2 x n 1 0 0 1 a n 1 x n } {{ }} {{ } A x x 1 x 2 u = [ 0 0 0 1 ] } {{ } c T x n 1 x n } {{ } x bv,0 b R,0 bv,1 b R,1 bv,n 2 b R,n 2 bv,n 1 b R,n 1 } {{ } B + [ [ ] ] r b V,n b R,n } {{ } y D [ ] r y (773) gegeben bv,j = b V,j b V,n a j und b R,j = b R,j b R,n a j für j = 0, 1,, n 1 (774) Aymptotiche Verhalten Abgeehen davon, da die Führungübertragungfunktion T r,y () implementierbar ein mu, alo den Bedingungen von Satz 74 genügt, wüncht man ich oft ein definierte aymptotiche Verhalten Man fordert beipielweie, da der tationäre Regelfehler e (t) = y (t) r (t) für einen Einheitprung r (t) = σ (t) Null wird, alo der Bedingung lim t e (t) = lim 0 ê() = lim (ˆr () ŷ ()) = lim 0 0 ( 1 1 T r,y () ) = 0 (775) genügt Au (775) erkennt man, da in dieem Fall für die Führungübertragungfunktion T r,y () die Beziehung lim 0 T r,y () = 1 gelten mu Diee Überlegung kann nun natürlich auf allgemeinere Eingangignale r (t) erweitert werden Al zweite Beipiel betrachte man jenen Fall, da der Fehler e (t) für ein harmoniche Referenzignal der Form r (t) = A in (ω 0 t) im eingechwungenen Zutand zu Null gemacht werden oll Die bedeutet alo, da man die Bedingung T r,e (Iω 0 ) = 0 bzw einhalten mu Simulationbeipiel: Für die Streckenübertragungfunktion T r,e (Iω 0 ) = 1 T r,y (Iω 0 ) = 0 (776) G () = ( 2)( + 3) ( 3) 3 (777) 149

72 Polvorgabe im Frequenzbereich Kapitel 7 Reglerentwurf im Frequenzbereich it ein Regler durch Polvorgabe mit zwei Freiheitgraden o zu entwerfen, da die Führungübertragungfunktion T r,y () implementierbar it und da aymptotiche Verhalten lim t e (t) = 0 für r (t) = σ (t) aufweit Sämtliche Pole eine eventuell benötigten Realiierungpolynom r () ind auf -2 zu legen (A) Man überzeugt ich leicht, da mit T r,y () = 1 2 2 ( + 1) 2 (778) eine geeignete implementierbare Führungübertragungfunktion gegeben it (B) Die zugehörige Stellgrößenübertragungfunktion T r,u () lautet T r,u () = T r,y () G () = 1 2 ( 2) ( 3) 3 ( + 1) 2 ( 2) ( + 3) (779) bzw nach Kürzung der gerahmten Terme erhält man T r,u () = 1 ( 3)3 2 ( + 1) 2 ( + 3) (780) Da der Grad de Nennerpolynom von T r,u () gleich 3 und die Streckenordnung n = 3 it, mu T r,u () um ein Realiierungpolynom 2-ter Ordnung der Form erweitert werden r() { }} { T r,u () = 1 ( 3)3 2 ( + 2) 2 ( + 1) 2 ( + 3) ( + 2) 2 } {{ } r() Damit ergibt ich die zu löende Diophantiche Gleichung zu ( ( 2) ( + 3) x0 + x } {{ } 1 + x 2 2) + ( 3) 3 ( y0 + y } {{ } } {{ } 1 + y 2 2) } {{ } a() x() b() y() = ( + 1) 2 ( + 3)( + 2) 2 } {{ } d() (781) (782) und man erhält al Ergebni x () = 161 2 1006 + 1969 und y () = 2 143 438 (783) (C) Da Zählerpolynom z () der Übertragungfunktion V () folgt unmittelbar au (771) zu z () = z T () r () = 1 2 ( + 2)2 = 1 2 2 2 2 (784) 150

72 Polvorgabe im Frequenzbereich Kapitel 7 Reglerentwurf im Frequenzbereich Die Realiierung der Reglerübertragungfunktionen 1 2 V () = 2 2 2 2 143 438 R () = 1612 1006 + 1969 2 143 438 in der erweiterten 2-ten Standardform von (773) lautet [ ] [ ][ ] [ ][ ] d x1 0 438 x1 221 72487 r = + dt x 2 1 143 x 2 735 22017 y } {{ } } {{ }} {{ } } {{ } x A x B u = [ 0 1 ] [ ] x1 + [ 05 161 ] [ ] r } {{ } x 2 } {{ } y } {{ } c T D x (785) (786) Integralanteil im Regler E zeigt ich nun, da dieer Regler eine prungförmige Störung d (t) = σ (t) am Augang tationär nicht unterdrücken kann Um die zu zeigen, berechne man die Störübertragungfunktion 1 T d,y () = 1 + R ()G() = b ()y () (787) a () x () + b ()y () und wende den Endwertatz der Laplace-Tranformation an lim y (t) = lim T d,y () 1 t 0 = lim T d,y () = 0 (788) 0 Man ieht unmittelbar, da (788) nur dann erfüllt werden kann, wenn entweder die Streckenübertragungfunktion G () oder die Reglerübertragungfunktion R () eine Poltelle bei = 0 hat Um nun in den Regler ytematich einen Integralanteil (Pol bei = 0) einzubauen, wird folgender Trick angewandt Man entwirft den Regler für die um einen Integrator erweiterte Strecke G() = 1 G () (789) und realiiert anchließend dieen Integrator im Regler Abbildung 712 veranchaulicht diee Vorgangweie Simulationbeipiel: Für da Beipiel mit der Streckenübertragungfunktion (777) und der Führungübertragungfunktion (778) erhält man in dieem Fall mit allen Realiierungpolen bei -2 1 2 V () = 3 3 2 6 4 1 3 + 21 2 850 2712 R () = 10723 6388 2 + 12180 4 1 3 + 21 2 850 2712 (790) 151

H @ O 72 Polvorgabe im Frequenzbereich Kapitel 7 Reglerentwurf im Frequenzbereich 8 I I / I / I 4 I Abbildung 712: Zum Einbau eine Integralanteil bei der Polvorgabe mit zwei Freiheitgraden bzw in erweiterter zweiter Standardform x 1 0 0 0 0 d x 2 dt x 3 = 1 0 0 2712 0 1 0 850 x 4 0 0 1 21 u = [ 0 0 0 1 ] x 1 x 2 x 3 x 4 x 1 x 2 x 3 x 4 + 4 4 6 12184 3 6388 05 1072 + [ 0 0 ][ ] r y [ ] r y (791) Störverhalten Da Realiierungpolynom hat auf die Führungübertragungfunktion keine Auwirkung und it daher, abgeehen davon, da e tabil zu wählen it, willkürlich Berechnet man hingegen die Störübertragungfunktion und verwendet die Beziehung (769) T d,y () = 1 1 + R ()G() = b () y () a ()x() + b () y () = b () y () n T () ã () r (), (792) o erkennt man, da da Realiierungpolynom ich im Allgemeinen nicht heraukürzt und omit da Störverhalten ehr wohl beeinflut Simulationbeipiel: Man kann für da Beipiel mit der Streckenübertragungfunktion (777) und der Führungübertragungfunktion (778) zeigen, da durch Verchieben der Realiierungpole von -2 auf -20 die Dynamik de Störverhalten weentlich verbeert wird Aufgabe 717 Schreiben Sie ein Programm in Matlab, da au der Streckenübertragungfunktion G () und der gewünchten Führungübertragungfunktion T r,y () owie 152

72 Polvorgabe im Frequenzbereich Kapitel 7 Reglerentwurf im Frequenzbereich der eventuell benötigten Realiierungpole die Reglerübertragungfunktionen V () und R () berechnet Aufgabe 718 Schreiben Sie ein Programm in Matlab, da für die Reglerübertragungfunktionen V () und R () die Matrizen A, B, c T und D der erweiterten 2-ten Standardform von (773) berechnet Aufgabe 719 Geben Sie für die Streckenübertragungfunktion G () von (777) eine implementierbare Führungübertragungfunktion T r,y () o vor, da gilt (1) lim t y (t) = 0 für einen Einheitprung der Störung am Augang d (t) = σ (t) und (2) der Fehler e (t) für ein harmoniche Referenzignal der Form r (t) = A in (ω 0 t) im eingechwungenen Zutand it Null Ergebni: Um die Forderung (1) zu erfüllen, mu man im Regler einen Integralanteil einbauen und die Forderung (2) kann durch eine Führungübertragungfunktion der Form T r,y () = 1 2 ( 2) (α 0 + α 1 ) ( + 1) 4 mit α 0 = 4 3ω4 0 8ω2 0 + 1 ω 2 0 + 4 α 1 = 2 ω4 0 14ω2 0 + 9 ω 2 0 + 4 berückichtigt werden Entwerfen Sie nun für ω 0 = 4 einen Regler durch Polvorgabe mit zwei Freiheitgraden und legen Sie ämtliche Realiierungpole auf -20 Ergebni: Die Reglerübertragungfunktionen lauten V () = 2053 1461 2 3384 25640 1 3 + 56 2 19550 59140 R () = 207303 135500 2 + 265200 200 1 3 + 56 2 19550 59140 Simulieren Sie den Regelkrei in Matlab/Simulink Aufgabe 720 Berechnen Sie für die Streckenübertragungfunktion G () = 4 ( + 2) 2 einen Regler nach der Methode der Polvorgabe mit zwei Freiheitgraden Wählen Sie au den nachfolgenden Führungübertragungfunktionen T r,y () = 1 4 4 ( + 1) 2, T r,y () = 1 4 4 ( + 1) 3, T r,y () = 1 4 4 ( + 1) 2, die implementierbare au und legen Sie eventuelle Realiierungpole auf 1 Ergebni: Die erweiterte zweite Standardform de Regler lautet [ ] [ ][ ] [ ] [ ] d x1 0 1701 x1 0175 0758 r = + dt x 2 1 1 x 2 025 009 y u = [ 0 1 ][ ] x 1 + [ 025 0298 ][ ] r x 2 y 153

73 Literatur Kapitel 7 Reglerentwurf im Frequenzbereich 73 Literatur 1 Chen C-T, Control Sytem Deign, Pond Wood Pre, New York, (1987) 2 Chen C-T, Linear Sytem Theory and Deign, Harcourt Brace Jovanovich College Publiher, Orlando, (1984) 3 Cremer M, Regelungtechnik, 2Auflage, Springer, Berlin, (1995) 4 Doyle JC, Franci BA, Tannenbaum AR, Feedback Control Theory, MacMillan, New York, (1992) 5 Föllinger O, Regelungtechnik, 6Auflage, Hüthig Buch Verlag, Heidelberg, (1990) 6 Hofer A, Gauch F, Schlacher K, Digitale Regelkreie, Oldenbourg, München, (1991) 7 Merz L, Jachek H, Grundkur der Regelungtechnik, 13Auflage, Oldenbourg, München, (1996) 8 Rohr Ch, Mela JL, Schultz DG, Linear Control Sytem, McGraw-Hill, New York, (1993) 154