Kreditrisiko-Modellierung für Versicherungsunternehmen Tamer Yilmaz 21. November 2007
Zielsetzung Die Ermittlung der Eigenkapitalhinterlegung für das Kreditrisiko, die auf das Versicherungsunternehmen bei Ausfall von Rückversicherern zukommt. 2
Motivation zur quantitativ ausgerichteten Kreditrisiko-Modellierung für VU Eigenkapitalhinterlegung nach Solvency II Solvency I zu Solvency II Grund: mehr Verantwortung an die VU abgeben 3-Säulen-Prinzip von Bedeutung 1.Säule: EK-Anforderungen Standardansatz und internes Modell von Bedeutung internes Modell, um eine genauere Abschätzung des Risikos abzugeben Beziehung zwischen Erst- und Rückversicherern 3
Grundlegende Komponente für die Kreditrisiko-Modellierung Ausfallwahrscheinlichkeiten (PD) Migrationswahrscheinlichkeiten Verlustquote (LGD) bzw. Rückzahlungsrate (RR) Ausfallbedrohter Betrag (EAD) 4
Ausfallwahrscheinlichkeiten (PD) Berechnung der Ausfallwahrscheinlichkeit von Moody s erfolgt anhand der Formel: PD X AnzahlderDefault-Unternehmenin X-Klasse = PX( D = 1) = Gesamtanzahlder Unternehmenin X-Klasse Die Ermittlung vom Erwartungswert und der zugehörigen Standardabweichung der einzelnen Ratingklassen aus den Moody s Daten, um die empirischen Verteilungen zu bilden und in das Modell zu integrieren. 5
Migrationswahrscheinlichkeiten Theorie erfolgt nach homogenen Markov-Ketten für diskrete Zeit Praxis erfolgt nach Aufteilung der N(0;1) und darauf folgende Simulation 6
Verlustquote (LGD) bzw. Rückzahlungsrate (RR) Berechnung der Verlustquote mit der Formel LGD = 1 RR = 1 Rückzahlungen Nominalwert Rückzahlungsraten werden nach Priorität untergliedert: Senior Secured Senior Unsecured Senior Subordinated Subordinated Junior Subordinated 7
Ausfallbedrohter Betrag (EAD) Rückstellungen der Rückversicherer: Beitragsüberträge (UPR) Abrechnungsforderungen (Ledger) Deckungsrückstellungen (O/S) Rückstellungen für noch nicht abgewickelte Versicherungsfälle (IBNR) Sonstige Rückstellungen Zuordnung der Rückstellungen auf die Schuldarten, wie zum Beispiel die Beitragsüberträge werden mit Senior Secured simuliert. 8
Risikomaße für die Eigenkapitalhinterlegung Erwartungswert als absolutes Mindestkapital (MCR) Value-at-Risk 99,5 % Tail-Value-at-Risk 99,5 % als Zielkapital (SCR) Nur Tail-Value-at-Risk erfüllt alle Eigenschaften (Subadditivität, Positive Homogenität, Monotonie, Translationsinvarianz) für ein kohärentes Risikomaß 9
Theorie und Praxis der Kreditrisikomessung Wahrscheinlichkeitsverteilungen, Momentenmethode Monte-Carlo-Simulation Basis-Modell ohne Berücksichtigung von Korrelationsfaktoren Ein-Faktor-Modell zur Berücksichtigung eines einzigen Korrelationsfaktors Multi-Faktor-Modell zur Berücksichtigung der Korrelationen Migration-Modell zur Berücksichtigung des Migrationsrisikos 10
Wahrscheinlichkeitsverteilungen Monte-Carlo-Simulation Verwendung der Betaverteilung der modifizierten Betaverteilung der Gammaverteilung mit der Herleitung zur zugehörigen Momentenmethode Stochastische Simulation, die mit einer großen Anzahl von Simulationsläufen zum Mittelwert konvergiert. Die Formel für den erwarteten Verlust lautet: EL Für das Portfolio gilt: = PD LGD EAD = PD (1 RR) EAD n P i i i i i= 1 i= 1 11 n = = EL EL EAD LGD PD
Ein-Faktor-Modell Gleichung des Ein-Faktor-Modells: Y = ς F + 1 ς U ( i = 1,..., m) i i i i mit FU, N(0,1) ; Assetkorrelation i ς i wird anhand einer empirischen Verteilung, die die Assetvolatilität der repräsentativen Unternehmen beschreiben, simuliert Mittelwert Std.Abw. Minimum Maximum Assetvolatilität 0,2435 0,1316 0,0161 0,7556 12
Multi-Faktor-Modell Die Gleichung wird erweitert Y = ς F + U i i i i mit F = wg; j 0 J i ij j j= 1 J mit w = w = 1 und G wird mit N(0,1) simuliert ij ij j j= 1 j= j + 1 0 13
Technische Fachhochschule Berlin 14 Tamer Yilmaz 21. November 2007 Realistisches Portfolio 515.500 45.000 245.000 127.500 90.000 8.000 Total 2.800 0.000 0.500 1.000 1.000 0.300 Aa3 XL 6.350 1.350 3.250 1.000 0.000 0.750 Aa3 Transatlantic 55.500 7.500 35.000 12.500 0.000 0.500 Aa2 Swiss 12.300 1.450 3.750 4.250 2.500 0.350 B1 Singapoure 21.550 2.300 1.000 15.000 2.000 0.750 Baa3 Scottish 17.750 2.750 12.000 1.250 1.500 0.250 Aa3 AXA 10.440 1.000 3.500 0.750 5.000 0.190 A1 ACE Total Sonstige IBNR O/S Ledger UPR Rating Rückversicherer
anhand eines realistischen Portfolios Portfolio mit einem Gesamtexposure in Höhe von 515.500.000,00 In Basis-Modell Mittelwert E(X) 691.768,29 VaR 99,5% 2.559.031,05 Ein-Faktor-Modell 862.157,96 5.222.925,08 Multi-Faktor-Modell 1.255.590,86 13.019.108,38 + etwa 10% Migrationsrisiko 15