Vorlesungsskript Turbulente Strömungen Prof. Dr.-Ing. H. E. Fiedler Bearbeitet 1 durch: Dipl. Phys. C. Kirmse 2 Dr.rer.nat. B. Sammler 2 Dr.rer.nat. G. Seifert 2 Dipl. Phys. C.J. Kähler 3 2 Technische Universität Berlin Hermann Föttinger Institut für Strömungsmechanik 3 Technische Universität Braunschweig Institut für Strömungsmechanik März 2003 1 Dieses Vorlesungsskript baut auf einer von Dr. Ing. D. Hilberg überarbeiteten Fassung einer älteren Vorlage auf. Dank gebührt allen Kollegen, die uns durch fachliche Zuarbeiten unterstützten.
Inhaltsverzeichnis 1 Einführung, Definition, Phänomenologie 1 1.1 Zum Problem der Strömungsturbulenz... 2 1.2 Definitionen der Turbulenz und Erklärungsmodelle... 3 1.3 GrundsätzlicheszurTurbulenzforschung... 7 1.3.1 Kurzer historischer Überblick... 7 1.3.2 Abschätzungen durch Dimensionsbetrachtungen......... 8 1.3.3 Stand des Wissens über turbulente Strömungen... 9 1.3.3.1 Halbempirische Turbulenzmodellierung (HTM).... 10 1.3.3.2 Direkte numerische Simulation (DNS)......... 13 1.3.3.3 Grobstruktursimulation(LES)... 14 1.3.3.4 Vergleich der Methoden zur Turbulenzmodellierung.. 17 1.3.3.5 ErgänzendeBemerkungen... 18 2 Turbulenzentstehung 21 2.1 Einführung... 21 2.2 ErstesStadium(stabil instabil)... 23 2.2.1 Lineare Stabilitätstheorie für Parallelströmungen... 23 2.2.1.1 Grundgleichungen.................... 23 2.2.1.2 Ansatz für die Störungsbewegung... 24 2.2.1.3 Störungsdifferentialgleichung... 25 2.2.1.4 Stabilitätsuntersuchung einer Strömung... 26 2.2.1.5 Instabilität bei Strömungen an gekrümmten Wänden. 27 2.2.1.6 Görtler-Wirbel... 30 2.2.2 Zusammenfassung... 31 2.2.3 Übersicht zum linearen Stabilitätsverhalten... 32 2.3 ZweitesStadium(instabil turbulent)... 33 2.4 Einige Sonderpunkte............................ 33 2.4.1 Druckgradient... 34 2.4.2 Absaugung... 34 2.4.3 Kompressibilität... 35 2.4.4 Wärmeübergang... 35 2.4.5 Schichtung... 36 2.4.6 Rauhigkeit... 37 i
ii INHALTSVERZEICHNIS 2.4.7 Turbulenzgrad der Grundströmung... 37 3 Grundlagen der ausgebildeten Turbulenz 39 3.1 Allgemeines... 39 3.2 Mittelwerte... 40 3.2.1 Ergodizität... 41 3.2.2 Rechenregeln fürmittelwerte... 41 3.3 Die Kontinuitätsgleichung... 42 3.4 DieBewegungsgleichungenvonReynolds... 43 3.5 DieGrenzschichtgleichungen... 50 3.6 Energiegleichung der turbulenten Bewegung............... 53 3.7 Die äußerentransportgleichungen... 63 4 Schließungsansätze (Turbulenzmodelle) 67 4.1 DerAnsatzvonBoussinesq... 67 4.2 DiePrandtlscheMischungsweghypothese... 69 4.3 Wirbeltransporttheorie........................... 73 4.4 KritikderMischungsweghypothesen... 77 4.5 Hypothesen für Schubspannungsansätze... 79 5 Statistische Theorie der Turbulenz 85 5.1 EinführungundZielsetzung... 85 5.2 BegriffeundDefinitionen... 86 5.2.1 IntensitätderTurbulenz... 86 5.2.2 Korrelationen... 89 5.2.2.1 Doppelkorrelationen... 90 5.2.2.2 Nähere Erläuterungen zu Geschwindigkeitskorrelationen 93 5.2.2.3 DieTaylor-Hypothese... 100 5.2.2.4 DieTripel-Korrelationen... 102 5.2.3 Die charakteristischen Längen der Turbulenzstruktur...... 102 5.2.3.1 Der Makro Maßstab................... 102 5.2.3.2 Der Mikro Maßstab................... 105 5.2.4 DasSpektrum... 110 5.2.4.1 Frequenz und Wellenzahlspektren........... 110 5.2.4.2 Spektralfunktion und charakteristische Länge..... 118 5.2.4.3 DasdreidimensionaleSpektrum... 122 5.2.4.4 Die turbulente Reynolds Zahl.............. 123 5.2.5 StatistischeFunktionen... 124 5.2.5.1 Verteilungsfunktion (Wahrscheinlichkeitsintegral)... 124 5.2.5.2 Häufigkeitsdichte... 125 5.2.5.3 StatistischeMomente... 128 5.2.5.4 Bezeichnung und Interpretation der Momente..... 129 5.2.5.5 ErgänzendeBemerkungen... 133
INHALTSVERZEICHNIS iii 5.3 DynamikinderstatistischenTurbulenztheorie... 136 5.3.1 IsotropeTurbulenz... 138 5.3.2 Das dreidimensionale Spektrum im isotropen Fall........ 151 5.3.3 DieDynamikdesEnergiespektrums... 159 5.3.3.1 Das Spektrum bei niedrigen Wellenzahlen....... 160 5.3.3.2 Das Spektrum bei hohen Wellenzahlen......... 160 5.3.3.3 ZurHypothesederLokalisotropie... 164 6 Scherströmungen 173 6.1 Typen von Scherströmungen... 173 6.2 Struktur der Scherströmungen... 178 6.2.1 Intermittenz... 178 6.2.2 Isotrope Eigenschaften bei Scherströmungen... 183 6.3 Berechnung mittlerer Geschwindigkeitsverteilungen........... 185 6.4 Allgemeine Ähnlichkeit und Selbst Ähnlichkeit... 193 6.4.1 Turbulenzstruktur Ausbildung des Gleichgewichts...... 195 6.4.2 Turbulenzstruktur im Gleichgewichtszustand........... 198 6.5 Diskussion spezieller Strömungen... 202 6.5.1 Der turbulente Freistrahl (rund).................. 204 6.5.2 Die ebene Nachlaufströmung... 211 6.5.3 DiefreieScherschicht... 213 6.5.4 DieebeneturbulenteWandgrenzschicht... 218 6.6 Die Wirbelzähigkeit in Scherströmungen... 229 6.6.1 Die Wirbelzähigkeit in freien Scherströmungen... 231 6.6.2 Die Wirbelzähigkeit für Strömungen in Wandnähe... 233 6.6.3 Verbesserte Ansätze für die Wirbelzähigkeit... 234 6.6.4 Definition einer charakteristischen Reynolds Zahl........ 236 7 Experimentelle Methoden 239 7.1 Einführung... 239 7.2 Erzeugung von speziellen Strömungsformen... 239 7.2.1 Erzeugung von isotropen turbulenten Strömungen... 240 7.2.2 Erzeugung von homologen turbulenten Strömungen... 244 7.2.3 Erzeugung eines definierten Luftstromes............. 244 7.3 Messungen in turbulenten Strömungen... 248 7.3.1 Strömungsmeßmethoden (Übersicht)... 248 7.3.1.1 Druckmessung... 248 7.3.1.2 Geschwindigkeitsmessung................ 248 7.3.1.3 Wandreibungsmessung.................. 249 7.3.1.4 Temperaturmessung... 249 7.3.1.5 Strömungssichtbarmachung (Visualisierung)...... 249 7.3.2 ManometrischeMeßverfahren... 250 7.3.3 Hitzdraht Anemometrie(HDA)... 253
iv INHALTSVERZEICHNIS 7.3.3.1 Einsatzcharakteristik... 253 7.3.3.2 Physikalische Grundlagen................ 254 7.3.3.3 Signalerzeugung... 256 7.3.3.4 Räumliches Übertragungsverhalten... 259 7.3.3.5 Beispiele für HDA Messungen in turbulenten Strömungen262 7.3.3.6 Pulsdrahtanemometrie... 269 7.3.4 Laser Doppler Anemometrie(LDA)... 270 7.3.4.1 Einsatzcharakteristik... 270 7.3.4.2 Physikalische Grundlagen................ 271 7.3.4.3 Signal unddatenverarbeitung... 276 7.3.4.4 Messgenauigkeit und Grenzen der LD Meßtechnik.. 276 7.3.5 Laserlichtschnittverfahren... 278 7.3.5.1 Physikalische Grundlage................. 278 7.3.5.2 Geschwindigkeitsmessung mit Tracer Partikeln.... 278 7.3.6 Das POD Auswertungsverfahren................. 285
Abbildungsverzeichnis 1.1 Geschwindigkeits-Zeit-Verlauf... 3 1.2 Wirbelmodell nach Albring... 4 1.3 Scherstromwirbel... 5 1.4 Wirbelfaden... 5 1.5 Wirbelkaskade... 6 2.1 Überganglaminar/turbulent... 22 2.2 Taylorwirbel... 27 2.3 Strömung zwischen gekrümmten Wänden... 27 2.4 Fallunterscheidung - Taylorwirbel..................... 29 2.5 Couette-Strömung... 30 2.6 Görtler-Wirbel... 30 2.7 Krümmung der Strömung... 31 2.8 Induktionsinstabilität... 31 2.9 Induktions- und Reibungsinstabilität... 32 2.10 Turbulenzentstehung: Ebene Platte und Scherschicht.......... 33 2.11Absaugung... 34 2.12Stolperdraht... 37 2.13 Einfluß des Turbulenzgrades........................ 37 3.1 Zweidimensionale Scherströmung... 45 3.2 Schubspannung in Parallelströmung... 46 3.3 Lösungsstrategien bei turbulenten Strömungsproblemen... 48 3.4 Beispiele für Grenzschichtströmungen... 50 3.5 StrömungsrelevanteBewegungsformen... 57 3.6 Energieübertragung im turbulenten Freistrahl.............. 58 4.1 Zur Herleitung der Prandtlschen Mischungsweghypothese........ 69 4.2 Turbulente Prandtl Zahl in einer Rohrströmung... 75 4.3 VergleichzwischenrelativerundabsoluterAbszisse... 77 4.4 WirbelzähigkeitbeiWandstrahlen... 80 4.5 Turbulente Wandgrenzschicht (Photographie).............. 82 4.6 Turbulente Wandgrenzschicht (Skizze).................. 82 4.7 MeßsignalbeiIntermittenz... 83 v
vi ABBILDUNGSVERZEICHNIS 5.1 GeschwindigkeitsprofileinesFreistrahles... 87 5.2 Beispiele fürkorrelationen... 89 5.3 Raumkorrelationsmessung im turbulenten Freistrahl........... 92 5.4 Autokorrelations Kennlinie... 93 5.5 BeispieleinesKreuzkorrelogramms... 94 5.6 Transportgeschwindigkeit... 95 5.7 Kreuzkorrelogramm einer realen Strömung... 95 5.8 Isoplethen Darstellung eines Kreuzkorrelogramms............ 96 5.9 KreuzkorrelogrammeinesruhendenMediums... 97 5.10TransporteinesEigenschaftssprungs... 97 5.11 Zur Messung der Eigenschaftsverschiebung in einer Strömung... 98 5.12MessungbeifestgehaltenerZeit... 98 5.13MessungbeifestgehaltenemOrt... 99 5.14KorrelogrammeinesFreistrahls... 99 5.15 Definition der integralen Korrelationslänge... 102 5.16ZusammengesetzteKorrelationen... 104 5.17KorrelationskurveundWirbeldurchmesser... 104 5.18 Zur Ableitung der Mikro Strukturlängen... 105 5.19 Geometrische Deutung der Dissipationslänge... 107 5.20 Praktische Ermittlung der Dissipationslänge... 108 5.21 MaßstäbeineinemFreistrahl Versuch... 108 5.22 Korrelationen und Spektralfunktionen im runden Freistrahl....... 117 5.23Dissipationsspektrum... 119 5.24WeißesRauschsignal... 119 5.25 Rauschsignal mit Grenzfrequenz f 0... 119 5.26 Sinussignal mit Frequenz f 0... 120 5.27 Sinussignal mit f 0 undstochastischessignal... 120 5.28HarmonischesSignal... 120 5.29 Längswirbel... 122 5.30 Stochastische Zeitfunktion u(t)... 124 5.31 Zur Ableitung der Verteilungsfunktion F (c)... 124 5.32EinfacheSinusfunktion... 125 5.33 Verteilungsfunktion und pdf einer Sinusfunktion............. 126 5.34 Verteilungsfunktion und pdf einer Sägezahnkurve... 126 5.35 Verteilungsfunktion und pdf einer Funktion u =0... 127 5.36 Schwerpunkt einer Häufigkeitsdichte... 129 5.37ZurDefinitionderSchiefe(skewness)... 130 5.38ZurDefinitionderKurtosis(flatnessfactor)... 130 5.39 Beispielkurven für höheremomente... 131 5.40MomenteeinerGauß Verteilung... 131 5.41 Zur Überprüfung von F (c) auf Gauß Ähnlichkeit... 132 5.42 Beispiele fürnicht GaußscheVerteilungen... 133 5.43 Gemessene Momente in einer Siebströmung... 134
ABBILDUNGSVERZEICHNIS vii 5.44 Spektrum einer turbulenten Strömung mit periodischer Komponente.. 135 5.45 Definition der Punkte A und B... 139 5.46LongitudinaleundlateraleKorrelation... 140 5.47 Zur Definition der Korrelationen in unserem Beispiel.......... 141 5.48 Zur Volumenstrombilanz an der Halbkugel................ 142 5.49KorrelationenineinemWirbel... 144 5.50 Gemessene Korrelationen in einer Gitterströmung... 145 5.51TripelkorrelationeninisotroperTurbulenz... 149 5.52 Gemessene Tripelkorrelationen in einer Siebströmung... 150 5.53 Zur ErläuterungderWellenzahl... 155 5.54 Näherung für f(r) beigroßenre Zahlen... 155 5.55 Spektra bei großen Re Zahlen (vgl. Abb. 5.54).............. 156 5.56 Dreidimensionales Spektrum mit F (k)... 159 5.57 Dreidimensionales Spektrum mit F (k)... 160 5.58 Näherungsform für die Längskorrelation... 162 5.59Spektralverteilungen... 163 5.60 Gemessene Längskorrelation... 164 5.61 Energieverteilung in AbhängigkeitvonderRe Zahl... 164 5.62 Spektrale Energieverteilung bei isotroper Turbulenz........... 168 5.63 Zeitliche AbhängigkeitderSpektralfunktion... 169 6.1 Scherung zweier Strömungen... 174 6.2 Strömungsaustritt in ruhende Umgebung................. 174 6.3 Familie der Impulsströme... 176 6.4 Formen der Wandströmung... 177 6.5 GemesseneIntermittenzfunktionen... 180 6.6 Modell der Grenzflächenstruktur einer turbulenten Grenzschicht.... 180 6.7 Geschwindigkeitsverteilung einer turbulenten Wandgrenzschicht.... 181 6.8 Simultane Temperaturverläufe in einer Scherschicht........... 183 6.9 MeßergebnissezurLokalisotropie... 184 6.10 Ebener Freistrahl in ruhender Umgebung................. 186 6.11 Ebener Freistrahl in gleichförmig mitbewegter Umgebung........ 188 6.12 Ausbildung des Gleichgewichtes beim runden Freistrahl......... 195 6.13 Prozeß der Ausbildung der Gleichgewichtsstruktur............ 196 6.14Geschwindigkeits Druck Korrelation... 197 6.15 Korrelationsverlauf in Abhängigkeit von Re D0... 200 6.16 Bereichsabhängigkeit der Ähnlichkeit... 201 6.17TurbulenzgradamStrahlrand... 203 6.18TurbulenzgradimturbulentenNachlauf... 203 6.19 Geschwindigkeitsprofile beim turbulenten Freistrahl........... 204 6.20 Geschwindigkeitsprofile: Vergleich Theorie Experiment........ 205 6.21 Radiale AbhängigkeitdesMischungsweges... 206 6.22 Intensität der u Fluktuationen im runden Strahl............ 206
viii ABBILDUNGSVERZEICHNIS 6.23 Intensität der v Fluktuationen im runden Strahl............ 207 6.24 Intensität der w Fluktuationen im runden Strahl............ 207 6.25Schubspannungsverteilung... 208 6.26VerteilungdesEnergieflusses... 208 6.27VerteilungdesIntermittenzfaktors... 209 6.28 Kurtosis im Außen und Innenbereich des Strahls............ 210 6.29VergleichzwischenFreistrahlundNachlauf... 211 6.30 Geschwindigkeitsverteilung in einer Nachlaufströmung... 212 6.31EnergiebilanzimasymptotischenNachlauf... 212 6.32ZurGeometriederfreienScherschicht... 213 6.33 Mittlere Geschwindigkeitsverteilung in einer Scherschicht........ 213 6.34AxialeGeschwindigkeitsfluktuationen... 214 6.35 Laterale und transversale Geschwindigkeitsfluktuationen........ 214 6.36 Intermittenzfunktion und Geschwindigkeitsprofile............ 215 6.37 Verteilung der gemittelten Axialgeschwindigkeiten............ 216 6.38 Meßergebnisse nach Phillips (1955)... 216 6.39EnergiebilanzderfreienScherschicht... 217 6.40 Geometrie der Wandgrenzschichtströmung... 218 6.41 Darstellung des Außen und Wandgesetzes................ 220 6.42MeßergebnissezumWandgesetz... 221 6.43 Nachlauffunktion nach Coles... 222 6.44 Grenzschichtprofile bei verschiedenen Druckgradienten......... 223 6.45 Geschwindigkeitsprofile bei verschiedenen Formparametern....... 225 6.46 Wandgrenzschicht: Verteilung der Turbulenzintensitäten... 226 6.47 Wandgrenzschicht: Verteilung der turbulenten Schubspannung..... 226 6.48 Wandgrenzschicht: Energie Transportmechanismus und Energiebilanz. 227 6.49 Sichtbarmachung von Längsstreifen in Wandnähe nach Kline... 227 6.50Viskogramm... 229 6.51 Meßergebnisse zur Wirbelzähigkeit in Scherströmungen... 231 6.52 Schubspannung in einer freien Scherschicht................ 233 6.53 Gemessene Schubspannungen in einer Scherschicht............ 236 6.54Nachlauf... 237 6.55 Charakteristische Re Zahl bei Freistrahl und Nachlauf......... 238 6.56 Charakteristische turbulente Re Zahl................... 238 7.1 GedankenversuchzurisotropenTurbulenz... 240 7.2 Erzeugung isotroper Turbulenz hinter durchströmten Gittern...... 241 7.3 AufbaueinesMaschengitters... 241 7.4 Wirkung des Verblockungsgrades auf den Turbulenzgrad........ 243 7.5 Versuchsaufbau zur Erzeugung homologer Turbulenz.......... 244 7.6 AufbaueinerLuftstrom-Erzeugungsstrecke(Prinzip)... 245 7.7 SiebundPrallplatte... 245 7.8 WirkungsweiseeinesSiebes... 247
ABBILDUNGSVERZEICHNIS ix 7.9 StatischeDrucksonde... 251 7.10 Prinzipschaltbild eines CT Anemometers................. 257 7.11 Übertragungsfunktionen für den querangeströmtenhitzdraht... 258 7.12Unterschrift... 259 7.13ZurHerleitungdesKosinusgesetzes... 259 7.14 Typische Winkelcharakteristik für Hitzdrahtsonden........... 260 7.15 Drehwinkel α und Schwenkwinkel β... 261 7.16 Räumliche Charakteristik einer Schrägdrahtsonde... 261 7.17 Normalsonde senkrecht zur mittleren Strömungsrichtung........ 262 7.18X Draht Sonde... 263 7.19 Geometrische Verhältnisse am 1. Draht der X Sonde.......... 264 7.20 Geometrische Verhältnisse am 2. Draht der X Sonde.......... 264 7.21 Geometrische Verhältnisse einer um 45 gedrehten X Sonde...... 265 7.22 Sondendrehung um 90... 266 7.23PrinzipskizzeeinerPulsdrahtsonde... 269 7.24 Prinzipieller Aufbau eines Zweistrahl Laser Doppler Anemometers.. 271 7.25 Oszillogramm eines Dopplerburst Signals ( u und v)... 272 7.26 Vektordiagramm zur Lichtstreuung am Partikel............. 273 7.27 Vektordiagramm zum Zweistrahl LD Anemometer........... 274 7.28 Komponenten der LDA Auswertungselektronik............. 276 7.29 Geschwindigkeitsmessung mit Tracer Partikeln.............. 279 7.30VerschiedenePartikelkonzentrationen... 280 7.31OptischeAutokorrelation... 282 7.32 Differenzbild einer Doppelbelichtung (Freistrahl)............. 283 7.33 Zu Abbildung 7.32 gehörendesvektorfeld... 284 7.34 Meßpunkte beim POD Verfahren (Beispiel: Stufenströmung)... 285 7.35 Beispiel für Unterraum mit N<M... 287 7.36 Beispiel für Unterraum mit N = M... 287 7.37 Beispiel fürdenvieldeutigkeitsspielraum... 288
x ABBILDUNGSVERZEICHNIS
Kapitel 1 Einführung, Definition, Phänomenologie In Natur und Technik sind die Strömungen im allgemeinen turbulent. Betrachtet man z.b. eine Wasserströmung durch ein Rohr mit einem Durchmesser von d = 2cm, so ergibt sich die kritische Reynolds Zahl von Re = 2300 bereits bei einer Strömungsgeschwindigkeit von u = 11.5 cm/s. Jede Wasserströmung durch dieses Rohr mit einer größeren Strömungsgeschwindigkeit ist turbulent. In vielen Fachbereichen sind turbulente Strömungsvorgänge von großer Bedeutung für Forschung, Entwicklung und Produktion; die folgende Aufzählung kann deshalb nur Beispiele auflisten: Verkehrstechnik (Kraftfahrzeuge, Schiffe) Strömungsmaschinenbau Kosmogonie (Sternbildung, Spiralnebel etc.) Weizsäcker (1944) Meteorologie (Clear Air Turbulenz, Wetter, Wolken) Schadstoffausbreitung in der Atmosphäre und in Gewässern Gebäudeaerodynamik, Bodengrenzschichten, Böen Flugaerodynamik (Umströmung von Flugzeugen) Strömungsakustik (Fluglärm) Verfahrenstechnik (Wärme und Stoffdiffusion, Mischung etc.) Typische phänomenologische Beispiele turbulenter Vorgänge sind z.b.: Der aperiodisch flukturierende Wind, ein schnell ausfließender Wasserstrahl, aufsteigender Zigarettenrauch (nach einer bestimmten glatten Steighöhe wird der Rauch dann deutlich sichtbar turbulent). 1
2 KAPITEL 1. EINFÜHRUNG, DEFINITION, PHÄNOMENOLOGIE 1.1 Allgemeine Fragestellungen zum Problem der Strömungsturbulenz Wir wollen uns zunächst einigen grundsätzlichen Fragen zuwenden: 1. Was ist Turbulenz? Zunächst bezeichnen wir einen chaotischen Strömungszustand als turbulent, wobei unter chaotisch zu verstehen ist, daß einer mittleren Hauptbewegung des Fluids unregelmäßige Störbewegungen überlagert sind (siehe Abschnitt 1.2). 2. Wie entsteht Turbulenz? Diese Frage hat zwei Aspekte (Stabilitätsfrage): Entstehung von Turbulenz aus einer anfänglich laminaren Strömung Entstehung bzw. Aufrechterhaltung der Turbulenz (Produktion) in einer bereits turbulenten Strömung 3. Wie wirkt sich die Turbulenz aus? Lange vor dem eigentlichen Studium des Turbulenzphänomens war eine der wesentlichen Eigenschaften turbulenter Strömungen dem Rohrhydrauliker bekannt: der erhöhte Druckverlust in turbulent durchströmten Rohren aufgrund der scheinbaren Zähigkeit, ein Effekt, hervorgerufen durch turbulente Diffusion. Diese verstärkte Diffusion ist wohl die hervorragendste Eigenschaft turbulenter Strömungen. Sie liegt im allgemeinen um mehrere Zehnerpotenzen über den molekularen Werten. Diffundiert werden vektorielle (Impuls) und skalare Größen (Energie, Wärme etc.). 4. Wie wird die Turbulenz beschrieben? Die Beschreibung einer turbulenten Strömungsstruktur erfolgt im allgemeinen durch statistische Größen wie z.b. mittlere Strömungsgeschwindigkeit, mittlere Schwankungsintensität, Spektren, charakteristische Längen, Wahrscheinlichkeitsverteilungen, Korrelationen etc. (siehe Kapitel 5). Eine Einteilung turbulenter Strömungen nach charakteristischen Merkmalen führt zu folgender Klassifizierung: Isotrope Turbulenz Alle statistischen Eigenschaften der Strömung (Mittelwerte) sind überall im Strömungsfeld gleich und richtungsunabhängig (Translations- und Rotationsinvarianz). Isotrope Turbulenz ist im Experiment angenähert realisierbar. Sie ist die einfachste, d.h. idealisierteste turbulente Strömungsform.
1.2. DEFINITIONEN DER TURBULENZ UND ERKLÄRUNGSMODELLE 3 Homogene Turbulenz Alle statistischen Eigenschaften der Strömung sind an jedem Ort gleich (Translationsinvarianz). Homogene Turbulenz ist experimentell annähernd realisierbar, z.b. in Windkanälen. Scherturbulenz Das ist der Normalfall einer in der Praxis auftretenden turbulenten Strömung. Die gemittelten Größen und die Gradienten der Strömung sind ungleich null. Einfache Beispiele sind der Freistrahl, der Nachlauf, die Grenzschicht etc. Die physikalische Durchdringung und theoretische Behandlung der Scherturbulenz ist äußerst schwierig. Diese Strömungen sind daher noch weitgehend unverstanden. 1.2 Definitionen der Turbulenz und Erklärungsmodelle Turbulenz ist eine Strömungseigenschaft, die sich oberhalb eines bestimmten kritischen Strömungsparameters (z.b. der Reynolds Zahl) durch Instabilität ausbildet und dadurch gekennzeichnet ist, daß dreidimensionale stochastische Schwankungsbewegungen einer mittleren Strömungsbewegung überlagert gedacht werden können: Die Strömung wird instationär im Detail. Die turbulente Bewegung ist stets rotationsbehaftet. Ein stochastischer Prozeß ist ein physikalischer Vorgang, dessen Verlauf durch Wahrscheinlichkeitsgesetze beschrieben werden kann. Die Prozeßvariablen sind Zufallsgrößen, die durch Wahrscheinlichkeitsverteilungen und daraus abgeleitete statistische Größen (z.b. Ensemble Mittelwert, Schwankungsintensität etc.) beschrieben werden. Betrachten wir z.b. den Geschwindigkeitsverlauf u(r, t) an einem festen Ort r in der Strömung als Funktion der Zeit t: Abbildung 1.1: Geschwindigkeits-Zeit-Verlauf
4 KAPITEL 1. EINFÜHRUNG, DEFINITION, PHÄNOMENOLOGIE Nach einem Vorschlag von Osborne Reynolds werden die Momentanwerte der Strömungsparameter einer turbulenten Strömung in mittlere Werte und momentane Schwankungswerte aufgespalten (siehe Abschnitt 3.2). Für den Fall, daß die Ensemble Mittelwerte zeitunabhängig sind, bezeichnet man die turbulente Strömung als im Mittel stationär und die Reynoldssche Zerlegung lautet: c(r,t)=c(r)+c (r,t) (1.1) In Komponentenschreibweise erhält man: u(r,t) = u(r)+u (r,t) v(r,t) = v(r)+v (r,t) w(r,t) = w(r)+w (r,t) (1.2) p(r,t) = p(r)+p (r,t) (1.3) ϱ(r,t) = ϱ(r) = const. (inkompressibel) (1.4) Die Ensemble Mittelwerte u, v etc. können selbst auch Funktionen der Zeit sein. In einem solchen Fall bezeichnen wir die Strömung als im Mittel instationär oder als statistisch instationär. Die Momentanwerte u, v, w, und p sind stochastische Funktionen und über die Bewegungsgleichung miteinander verknüpft. Das turbulente Geschwindigkeitsfeld und damit auch die übrigen Strömungsparameter in zwei räumlich und/oder zeitlich voneinander getrennten Punkten innerhalb eines zusammenhängenden Strömungsfeldes sind prinzipiell niemals unverknüpft. Eine gewisse (wennauchnochsogeringe)kohärenz ist stets vorhanden. Zur Erklärung des Turbulenzphänomens betrachten wir einige einfache Modelle: Modell nach Albring (1970): Ausgangspunkte sind ein kurzwelliges und ein langwelliges Wirbelfeld, die beide laminar fließen. Durch Überlagerung beider Felder wird deren Gleichgewicht gestört und der turbulente Zustand herbeigeführt. Abbildung 1.2: Wirbelmodell nach Albring
1.2. DEFINITIONEN DER TURBULENZ UND ERKLÄRUNGSMODELLE 5 Wirbel in einer Scherströmung: Dieses Modell ist die Grundlage vieler Turbulenzvorstellungen. Abbildung 1.3: Scherstromwirbel Jede kleinste Ausbeulung des Wirbels wird verstärkt und führt zu einer Streckung (wegen ωa = const. (Helmholtz (1858))) und dadurch zu einer Verbreiterung des ursprünglichen Linienspektrums. Gedankenexperiment zum Streckungsmechanismus von Wirbeln (nach Bradshaw (1971)) Annahme: Gegeben sei ein Wirbelfaden in der z Achse, der sich in der (x, y) Ebene dreht. Abbildung 1.4: Wirbelfaden Streckt man diesen Wirbel in der z-richtung, so nimmt sein Durchmesser ab. Wegen ωa = const. vergrößert sich die Rotation ω, d.h. seine Bewegungsinten-
6 KAPITEL 1. EINFÜHRUNG, DEFINITION, PHÄNOMENOLOGIE sität in der (x, y) Ebene nimmt zu. Diese in x und y verstärkte Intensität führt ihrerseits zu einer Streckung horizontaler Wirbel im Strömungsfeld. Die Folge der ursprünglich ausgelenkten Bewegung in z Richtung ist dann eine kaskadenförmige Vergleichmäßigung der Energieverteilungen und der Richtungen der dabei stets kleiner bzw. dünner werdenden Wirbel im gesamten Strömungsfeld: Abbildung 1.5: Wirbelkaskade Damit ergibt sich eine weitere Definition für die Turbulenz: Turbulenz ist eine dreidimensionale, zeitabhängige Bewegung, in der durch den Mechanismus der Wirbelstreckung Geschwindigkeitsfluktuationen über alle Wellenlängen verteilt werden. Dabei ist eine obere Grenze der Wellenlänge durch die äußeren Randbedingungen der Strömung und eine untere durch die Zähigkeit gegeben. Diese Bewegungsform beschreibt das normale Verhalten von Strömungen bei großen Reynolds Zahlen. Im Gegensatz zu deterministischen, d.h. durch Anfangs- und Randbedingungen vollständig bestimmten Strömungsformen (z.b. die Kármánsche Wirbelstraße), existiert für turbulente Strömungen kein Relativsystem, von dem aus die Strömung stationär erscheint.
1.3. GRUNDSÄTZLICHES ZUR TURBULENZFORSCHUNG 7 1.3 Grundsätzliches zur Turbulenzforschung Die Erforschung der turbulenten Vorgänge ist aufgrund ihrer hohen Komplexität trotz jahrzehntelanger Bemühungen noch weit von einer echten Durchdringung des Problems entfernt. Praktisches Ziel dieser Forschung ist letztlich, Zusammenhänge zwischen den Schwankungseigenschaften und den mittleren bzw. integralen Strömungseigenschaften aufzufinden, um somit eine Theorie im Sinne einer zuverlässigen Berechnungsgrundlage zu erhalten. Für diese Zusammenhänge werden bis heute Hypothesen benutzt, die zwar physikalisch anschaulich oder dimensionsanalytisch plausibel gemacht werden können, die aber nicht streng aus den physikalischen Grundprinzipien hergeleitet werden können. Sie enthalten meist auch empirische Elemente, z.b. mehr oder weniger universelle Konstanten, die etwa aus experimentellen Daten zu bestimmen sind. Die statistische Theorie der Turbulenz (siehe Kapitel 5) ist lediglich ein mathematisches Fundament zur Beschreibung von Zusammenhängen innerhalb der stochastischen Vorgänge selbst. Sie kann exakte Zusammenhänge der oben erwähnten Art genauso wenig liefern wie andere Turbulenztheorien, auch nicht für die idealisierten Fälle der homogenen bzw. isotropen Turbulenz. Das Experiment in der Turbulenzforschung besitzt deshalb eine sehr große Bedeutung bei der Validierung von Turbulenzhypothesen. Das Zusammenwirken von Theorie und Experiment kann insbesondere bei der Bearbeitung praxisrelevanter Probleme geradezu als ein Charakteristikum gegenwärtiger Turbulenzforschung gelten. 1.3.1 Kurzer historischer Überblick Die ersten Beschreibungen von turbulenten Erscheinungen erfolgten durch O. Reynolds (1883). Danach versuchte man, die Turbulenz bzw. ihre Wirkung phänomenologisch zu erfassen. Die phänomenologische Theorie, die insbesondere in den Jahren 1900 1915 ausgebaut wurde, ist auf das engste mit L. Prandtl verknüpft. Als ihr eigentlicher Begründer gilt jedoch Boussinesq (1877). Die phänomenologische Theorie baut hauptsächlich auf der molekularen Theorie der Gase auf, die sie auf den makroskopischen Vorgang der Turbulenz zu erweitern versucht (Mischungsweghypothese). Sie ist physikalisch nicht sehr realistisch, erwies sich aber als sehr einfach in der Anwendung und erfolgreich in der Beschreibung der Turbulenzeffekte im Zusammenhang mit Transporteigenschaften (Impuls, Wärme, Stoff etc.). Solange es allein um die Beschreibung von mittleren Strömungsgrößen geht, wird die phänomenologische Theorie auch heute noch erfolgreich angewandt, allerdings vorwiegend bei Strömungen mit relativ einfachen geometrischen Randbedingungen. Die phänomenologische Theorien von L. Prandtl und v. Kármán (1931) haben ungeachtet ihrer Unzulänglichkeiten ein sehr wichtiges Ergebnis gehabt: Über gewisse Annahmen gelang es damit, das sog. logarithmische Wandgesetz zu formulieren. Dieses universelle Gesetz, das die Verteilung der mittleren Geschwindigkeit in einem gewissen
8 KAPITEL 1. EINFÜHRUNG, DEFINITION, PHÄNOMENOLOGIE Bereich turbulenter Wandgrenzschichten beschreibt, ist bis heute in zahlreichen Arbeiten experimentell bestätigt worden. Die Vorstellung von der Geschwindigkeit als Zufallsfunktion in Raum und Zeit wurde von G.I. Taylor (1921) eingeführt. Damit legte er das Fundament für die statistische Theorie der Turbulenz, deren Grundlagen 1935 durch mehrere inzwischen klassisch gewordene Arbeiten von ihm geschaffen wurden. Diese Theorie ist im Vergleich zur phänomenologischen Theorie tieferliegend, indem kompliziertere statistische Kenngrößen (Korrelationsfunktionen, Tripelkorrelationen usw.) in die Beschreibung der Zufallsfelder einbezogen werden. Im engeren Sinne bezieht sie sich auf homogene bzw. isotrope Turbulenz. Sie ist mathematisch bedeutend aufwendiger. In den letzten Jahrzehnten wurden sehr viele experimentelle Untersuchungen zur Turbulenzstruktur durchgeführt, wobei die Ermittlung der statistischen Eigenschaften der Turbulenzfluktuationen im Vordergrund stand. Seit etwa 1970 konzentrieren sich viele Arbeiten auf die Kohärenzeigenschaften turbulenter Strömungen (kohärente Strukturen). 1.3.2 Abschätzungen durch Dimensionsbetrachtungen Eine in der Turbulenztheorie häufige Vorgehensweise ist die Anwendung der Dimensionsanalyse zur Bestimmung einfacher funktionaler Zusammenhänge. Beispiel: In einem Gefäß mit der charakteristischen Abmessung L befinde sich ein Fluid, dessen mittlere Bewegungsgeschwindigkeit c = 0 ist. Zur Zeit T 0 sei eine bestimmte Temperaturinhomogenität im Fluid vorausgesetzt. Gefragt wird nach dem Verhältnis T T /T M, wobei T T die erforderliche Zeit für den Temperaturausgleich in Anwesenheit einer effektiven fluktuierenden Mischbewegung der Größe v eff und T M die Zeit für den vollständigen Temperaturausgleich aufgrund alleiniger molekularer Diffusion bezeichnet. Aus der Diffusionsgleichung in der allgemeinen Form Θ t = a 2 Θ x 2 (1.5) mit der Diffusionskonstanten a = λ ϱc p (1.6) erhält man für die rein molekulare Mischung (mit T M = f(l, a)) den Dimensionszusammenhang T M L2 a. (1.7)
1.3. GRUNDSÄTZLICHES ZUR TURBULENZFORSCHUNG 9 Für den Fall der turbulenten Mischung (mit T T = f(l, v eff )) gilt: T T L v eff L2 v eff L (1.8) ε = a turb,eff = v eff L. (1.9) Damit erhält man mit und Re = v effl ν Pr = ν a (1.10) (1.11) für das Verhältnis der Ausgleichszeiten: T T T M L v eff a L 1 2 Re Pr (1.12) Da für Strömungen in Wasser oder Luft Pr 1 ist, ergibt sich für hinreichend große Re Zahlen: T T /T M 1. 1.3.3 Stand des Wissens über turbulente Strömungen Im folgenden Überblick beschränken wir uns im wesentlichen auf turbulente Scherströmungen inkompressibler Fluide. Einige der benutzten Begriffe werden erst im weiteren Verlauf der Vorlesung verständlich werden oder überschreiten sogar ihren Rahmen. Aber es erscheint an dieser Stelle doch geboten, die Ziele zu markieren, zu denen die Vorlesung letztlich einen Weg zeigen soll. Grundsätzlich muß zunächst noch einmal betont werden (vgl.1.3), daß eine echte theoretische Durchdringung der turbulenten Bewegungsvorgänge noch nicht gelungen ist und daß das Turbulenzproblem in vielen Varianten auch gegenwärtig aktueller Forschungsgegenstand von Wissenschaftlern in zahlreichen Ländern ist. Dabei finden vor allem Ingenieure, Physiker, Mathematiker, Numeriker, Meteorologen, Meeresforscher und Verfahrenstechniker interessante Teilaufgaben im Rahmen der Bearbeitung eines nach wie vor ungelösten Problems der klassischen Physik. Die meisten Untersuchungen zu turbulenten Strömungen haben allerdings weniger diesen Grundlagenaspekt, sondern vielmehr konkrete Anwendungen zum Ziel. Charakteristisch für das aktuelle Herangehen ist das Zusammenwirken von Theorie und Experiment. Wir gehen davon aus, daß sich der Stand unseres Wissens über turbulente Strömungen hauptsächlich darin dokumentiert, inwieweit wir Eigenschaften dieser Strömungen theoretisch vorhersagen bzw. berechnen können. Damit beschränkt sich der Inhalt des
10 KAPITEL 1. EINFÜHRUNG, DEFINITION, PHÄNOMENOLOGIE vorliegenden Abschnitts auf einen Überblick über ausgewählte theoretische Arbeitsrichtungen. Zum vorhandenen Wissen über turbulente Strömungen gehört natürlich wesentlich mehr: Es sind z.b. Modellbildungen und Erkenntnisse einzubeziehen, die das Phänomen der Turbulenz als physikalischen Vorgang betreffen und nicht unmittelbar zur theoretischen Vorhersage von Strömungen führen. Hierzu zählt etwa das umfangreiche experimentelle Material, das primär mit dem Ziel der Aufdeckung bestimmter Wirkungsmechanismen (z.b. gezielte Beeinflussung turbulenter Strömungen zwecks Widerstandsverminderung, Reduzierung der Schallabstrahlung usw.) gewonnen wurde. Auch experimentelle Ergebnisse, mit denen ganz konkrete Fragen aus der Praxis beantwortet wurden, gehören natürlich zum vorhandenen Wissen über turbulente Strömungen. 1.3.3.1 Halbempirische Turbulenzmodellierung (HTM) Im Vergleich zu den praxisrelevanten turbulenten Scherströmungen spielen idealisierte turbulente Bewegungsformen, wie isotrope und homogene Turbulenz, hauptsächlich bei der Erforschung wichtiger allgemeiner Eigenschaften der Turbulenz eine Rolle. Ein Beispiel ist die Energieübertragung im Spektrum. Allerdings hat die Theorie der isotropen Turbulenz auch Beiträge zur Aufdeckung von wichtigen Eigenschaften der Scherturbulenz (bei hohen Reynolds Zahlen) geleistet, und zwar durch das Konzept der Lokalisotropie (Kolmogorov (1941)). Zur Beschreibung der vielfältigen Formen turbulenter Scherströmungen aus der Praxis stehen heute vor allem die sog. halbempirischen Turbulenzmodelle (in der Literatur meist schlechthin Turbulenzmodelle ) zur Verfügung. Ausgangspunkt dieser Entwicklung sind die klassischen Schließungsansätze von Boussinesq (1877) und Prandtl (1925), vgl. 4.1, 4.2. Solche Schließungsansätze sind generell erforderlich, wenn man bei der Beschreibung turbulenter Strömungen die momentanen Strömungsparameter additiv in geglättete (mittlere bzw. großskalige) und schnell veränderliche (Schwankungs bzw. kleinskalige) Werte zerlegt. Aus den nichtlinearen Navier Stokes Gleichungen (vgl.3.7) entstehen dann nach ihrer Mittelung Systeme von Gleichungen für gemittelte Strömungsparameter (vgl. 3.10), die mehr Unbekannte als Gleichungen enthalten (Schließungs oder Abschlußproblem, closure problem). Die Schließungsansätze sind rein formal betrachtet zusätzliche Gleichungen, nach deren Hinzufügen die Anzahl der Gleichungen mit der Anzahl der Unbekannten übereinstimmt. Mit dieser Hinzufügung ist das Schließungsproblem zunächst mal formal gelöst. Die frühen Ansätze wurden inzwischen weitgehend verallgemeinert, so daß damit jetzt turbulente Scherströmungen mit einer großen Vielfalt an geometrischen Randbedingungen und Zusatzeinflüssen, wie Wärme und Stoffaustausch, Auftriebseffekte usw. bearbeitet werden können. Die Grundformen der Modelle werden i.allg. unter der Voraussetzung großer Reynolds Zahlen entwickelt. Für das Auffinden neuer Schließungsansätze wird oft das Hilfsmittel der Dimensionsanalyse eingesetzt.
1.3. GRUNDSÄTZLICHES ZUR TURBULENZFORSCHUNG 11 Je nachdem, wie viele Strömungsparameter zusätzlich zu mittlerer Strömungsgeschwindigkeit und mittlerem Druck in einem Modell benutzt werden, spricht man von Null, Ein, Zwei, und Mehrparametermodellen. Oft klassifiziert man auch nach der Anzahl der zusätzlich zu den Reynoldsschen Gleichungen auftretenden Differentialgleichungen: Null, Ein, Zwei, und Mehrgleichungsmodelle. Es ist heute fast unmöglich, einen einigermaßen vollständigen Überblick über die unterschiedlichen Turbulenzmodelle und ihre Modifikationen zu gewinnen, die von verschiedenen Autoren und Schulen angeboten und benutzt werden. Das mathematische Fundament bilden Systeme nichtlinearer partieller Differentialgleichungen. Die Weiterentwicklung dieser Modellierungsrichtung war und ist deshalb eng mit der Verfügbarkeit geeigneter Rechentechnik und numerischer Methoden verknüpft. Empirische Elemente (zu bestimmende Modellkonstanten, von vornherein unbekannte Funktionen der Reynolds Zahl usw.) sind in diesen neueren Modellen ebenso i.allg. in noch größerer Anzahl vorhanden wie in den klassischen Schließungsansätzen. Die physikalischen Begründungen sind oft unzureichend. Man erhält aber in vielen Fällen Näherungen für mittlere Parameter (z.b. mittlere Strömungsgeschwindigkeit) turbulenter Scherströmungen, die für die Anforderungen der Praxis ausreichend genau sind. Die Verifikation der numerischen Ergebnisse erfolgt i.allg. durch Vergleich mit experimentellen Daten. Ein Zweigleichungs Turbulenzmodell, das in der ingenieurwissenschaftlichen Praxis heute weit verbreitet ist, ist das sog. k, ε Modell (k : mittlere kinetische Energie der turbulenten Schwankungsbewegung pro Masseneinheit; ε : im Mittel pro Zeit und Masseneinheit infolge Zähigkeitswirkung in Wärme umgewandelte Schwankungsenergie, d.h. turbulente Dissipation). Bei dreidimensionalen Scherströmungen besteht es insgesamt (d.h. unter Einschluß der 3 Reynoldsschen Gleichungen und der Kontinuitätsgleichung) aus 6 gekoppelten partiellen Differentialgleichungen für die drei Komponenten der mittleren Strömungsgeschwindigkeit, den mittleren statischen Druck und die Parameter k und ε. Es liefert den z.z.wohl bestmöglichen Kompromiß zwischen numerischem Aufwand, Genauigkeit der Ergebnisse und Umfang des Anwendungsbereichs. Bestimmte Schwächen dieses Modells sind durchaus bekannt und geben zu aktuellen Weiterentwicklungen Anlaß. Daneben sind in der Praxis nach wie vor auch Null und Eingleichungsmodelle in Gebrauch. Einige Beispiele für turbulente Scherströmungen, die gegenwärtig durch solche halbempirischen Turbulenzmodelle (mehr oder weniger genau) berechenbar sind: Freistrahlen (rund, eben, mit Drall, in Querströmung) Mischungsschichten Grenzschichten (auch mit Einblasen bzw. Absaugen, an gekrümmten Wänden, mit von Null verschiedenem Druckgradient)
12 KAPITEL 1. EINFÜHRUNG, DEFINITION, PHÄNOMENOLOGIE Umströmung von verschiedenen Körpern (z.b. schräg angeströmtes Rotationsellipsoid) Strömungen in Kanälen und Rohren (auch gekrümmt, offen) Strömungen mit Ablösung (plötzliche Rohrerweiterung, Hindernisse auf ebener Platte, Gebäudeumströmung) Strömungen mit chemischen Reaktionen Strömungen in Brennkammern Strömungen mit Auftriebseffekten Strömungen im Transitionsbereich (laminar/turbulent) Strömungen mit Beimengungen (Schadstoffe) Raumströmungen (Klimatisierung, Reinraumtechnik) Automobilumströmung Tragflügelumströmung Die dabei im Einzelnen auftretenden Probleme sind keineswegs sämtlich zufriedenstellend gelöst. Insbesondere zu folgenden Fragen wird gegenwärtig Forschungsarbeit geleistet, um die halbempirischen Modelle zu verbessern und zu verallgemeinern: Auftriebseffekte, Stromlinienkrümmung, Sekundärströmungen, Ablösen und Wiederanlegen, chemische Reaktionen, wandnahe Bereiche, niedrige Reynoldszahlen, Außenturbulenz, Kompressibilität, Entwicklung von Mehrgleichungsmodellen, z.b. Mean Reynolds Stress (MRS) Modelle. Als führende Einrichtungen auf dem Gebiet der HTM seien genannt: UMIST Manchester (UK) Imperial College London University of California (Davis, USA) In Deutschland: Universität Karlsruhe DLR Institut für Entwurfsaerodynamik Braunschweig Da Aufgaben aus der HTM nicht unbedingt den allerhöchsten Stand der Rechentechnik voraussetzen, wird an zahlreichen weiteren Universitäten, Forschungseinrichtungen sowie in der Industrie in diesem Bereich gearbeitet.
1.3. GRUNDSÄTZLICHES ZUR TURBULENZFORSCHUNG 13 1.3.3.2 Direkte numerische Simulation (DNS) Das Ziel der theoretischen Turbulenzforschung müßte eigentlich sein, beliebige turbulente Strömungen unter alleiniger Verwendung der strömungsmechanischen Bilanzgleichungen (Navier Stokes Gleichungen, Kontinuitätsgleichung) und ggf. weiterer physikalisch strenger Beziehungen (Stofftransportgleichung, Wärmetransportgleichung, Reaktionsgleichung usw.) zu berechnen. Dann wäre die Benutzung von Schließungshypothesen überflüssig. Das Ergebnis solcher Rechnungen wären Realisierungen des stochastischen Prozesses der Turbulenz unter bestimmten Anfangs und Randbedingungen. Nachdem die Gleichungen gelöst sind, könnten dann aus den Realisierungen beliebige statistische Parameter (Mittelwerte, Korrelationen usw.) des stochastischen Prozesses berechnet werden. Diese Richtung, in der englischsprachigen Literatur Direct Numerical Simulation (DNS) genannt, wird tatsächlich etwa seit Anfang der 80er Jahre in wachsendem Maße verfolgt. Der rechentechnische Aufwand ist allerdings enorm. Das ist vor allem durch die hohe räumliche und zeitliche Auflösung bedingt, die erforderlich ist, wenn man jede Einzelheit der Bewegung numerisch erfassen will. Es kommt hinzu, daß es sich bei den turbulenten Strömungen im Detail (d.h. bei den Realisierungen) stets um räumlich dreidimensionale und instationäre Bewegungen handelt (vgl. 1.2). Insbesondere bei Strömungen mit höheren Reynolds Zahlen führt dies auf numerische Probleme, die mit den gegenwärtig existierenden Computern nicht in vernünftigen Zeiten abarbeitbar sind. Prognosen zeigen, daß eine DNS für Strömungen mit (hohen) Reynolds Zahlen, wie sie in der Praxis meist auftreten, trotz der zu erwartenden Weiterentwicklung der Rechentechnik auch in absehbarer Zukunft nicht möglich sein wird. Daher beziehen sich die gegenwärtig vorliegenden Ergebnisse solcher Simulationen vor allem auf ausgebildete Strömungen mit relativ kleinen Reynolds Zahlen und einfachen geometrischen Randbedingungen (z.b. Kanalströmung) sowie auf Fragen des laminar turbulenten Übergangs (Transition). Die Ergebnisse der aufwendigen Rechnungen werden dabei meist in Datenbanken abgespeichert und stehen dann für statistische Auswertungen bereit. Trotz dieser Einschränkungen leisten die erzielten Ergebnisse auch gegenwärtig schon originäre Beiträge zum Erkenntnisfortschritt: Sie greifen z.b. gerade dort ein, wo die HTM nach wie vor Probleme hat, nämlich bei der Turbulenz in der Nähe einer festen Wand. Dort sind die (lokalen) Reynolds Zahlen immer klein, und die DNS kann zur Verifikation von in diesen Bereichen eingesetzten Schließungsansätzen genutzt werden. Mittels DNS kann man auch Korrelationen berechnen, die dem Experiment bisher nicht oder nur schwer zugänglich sind, z.b. die Korrelation zwischen
14 KAPITEL 1. EINFÜHRUNG, DEFINITION, PHÄNOMENOLOGIE Schwankungen des statischen Drucks und den Schwankungen von Geschwindigkeitsgradienten an demselben Punkt. Die DNS hat bereits wichtige Beiträge zu Grundlagenfragen erbracht: Aufdeckung von Transitionsmechanismen; Energieübertragung im Spektrum, d.h. zwischen Turbulenzelementen unterschiedlicher Größe. Die mittelfristige Perspektive der DNS dürfte schwerpunktmäßig im Bereich der Grundlagenforschung liegen. Einige Beispiele für Strömungen, die bisher mittels DNS behandelt wurden: ausgebildete Rohr und Kanalströmungen (Reynolds Zahl 7000), Transition der Kanalströmung; Transition der inkompressiblen Grenzschicht an der ebenen Platte, Beeinflussung durch Einblasen und Absaugen, Einfluß einer Querströmung (dreidimensionale Grenzschicht); Transition der kompressiblen Plattengrenzschicht (Mach Zahl 2). Aktuelle Forschungsgegenstände sind z.b. Anwendung auf kompliziertere Geometrien; Festlegung von Randbedingungen für die Geschwindigkeitsfelder an Ein und Ausströmrändern; Weiterentwicklung der numerischen Methoden zur Lösung der Navier Stokes Gleichungen, insbesondere im Hinblick auf die Nutzung der leistungsfähigsten Rechentechnik, z.b. Parallelrechner. 1.3.3.3 Grobstruktursimulation (LES) Auch in der deutschsprachigen Literatur wird weitgehend die englische Version Large Eddy Simulation, abgekürzt LES, benutzt. Die LES nimmt eine Zwischenstellung zwischen der HTM (1.3.3.1) und der DNS (1.3.3.2) ein. Um die Einschränkungen der DNS hinsichtlich der Reynolds Zahl zu umgehen, unterwirft man die sehr rauhen ( chaotischen ) momentanen Strömungsparameter der turbulenten Bewegung zunächst einem gewissen Glättungsprozeß, genauer einer Filterung (Tiefpaßfilter). Die Filterung bewirkt die additive Zerlegung der Momentanwerte (Realisierungen) in ein Grobstrukturfeld, bei dem die kleinskaligen Anteile unterdrückt sind (große Wirbel, large eddy field, resolved field), und ein Restfeld, daß vorwiegend die kleinskaligen Anteile enthält (small eddy field, residual field). Das Grobstrukturfeld wird aus Differentialgleichungen bestimmt, die durch Filterung aus den Navier Stokes Gleichungen gewonnen werden. Diese Felder bleiben stets dreidimensional und instationär, auch bei Strömungen, wo die Ensemble Mittelwerte (vgl. HTM)
1.3. GRUNDSÄTZLICHES ZUR TURBULENZFORSCHUNG 15 zeitunabhängig sind und/oder bestimmte räumliche Symmetrieeigenschaften (z.b. im Mittel zweidimensionale Strömung) haben. Daher werden mit dem Grobstrukturfeld feinere Turbulenzeigenschaften beschrieben als mit der nach O.Reynolds definierten mittleren Strömung im Rahmen der HTM. Da aber die kleinskaligen Anteile durch die Filterung unterdrückt werden, bedeutet die Betrachtung des Grobstrukturfeldes gegenüber der Beibehaltung sämtlicher Skalen in der DNS eine Vergröberung in der Beschreibung. Die Wechselwirkung zwischen small eddy field und large eddy field muß nun, analog zur HTM, mit Hilfe geeigneter Schließungsansätze beschrieben werden (subgrid scale Modelle, SGS Modelle). Man ist davon überzeugt, bei der LES mit relativ einfachen Schließungshypothesen auskommen zu können. Das liegt daran, daß die Filterbreite mit der numerisch erreichbaren räumlichen Auflösung in Zusammenhang gebracht werden kann: Je besser die numerische Auflösung, umso mehr kleinskalige Anteile können in das Grobstrukturfeld mit einbezogen werden, d.h. umso kleiner kann die Filterbreite sein. Das residual field wird mit Erhöhung der numerischen Auflösung immer bedeutungsloser für die Grobstruktur, so daß Fehler in den Schließungsansätzen von immer geringerem Einfluß auf die großen Wirbel sein sollten. In diesem Sinne kann sich die LES der fortschreitenden Entwicklung der Rechentechnik anpassen. Die ersten Arbeiten zur LES bezogen sich auf Strömungen in der Atmosphäre (Lilly (1967)). Smagorinsky (1963) formulierte einen Schließungsansatz, der eine Analogie zum Boussinesq Ansatz darstellt und auch heute noch eine wichtige Rolle spielt. Daneben gibt es inzwischen auch verfeinerte SGS Modelle. Der Ansatz von Smagorinsky enthält einen empirischen Koeffizienten, der lange Zeit als ein im Strömungsfeld konstanter Wert vorgegeben wurde. In den letzten Jahren gelang es, diesen Koeffizienten im Laufe der Rechnung als orts und zeitabhängige Größe näherungsweise mit zu bestimmen und damit den empirischen input zu verringern (dynamisches SGS Modell von Germano et al. (1990)). Neben den atmosphärischen Bewegungen, wo die LES seit etwa 20 Jahren (mit entsprechend angepaßten leistungsfähigen SGS Modellen) im Rahmen der Wettervorhersage eingesetzt wird, werden jetzt zunehmend auch Strömungen der ingenieurwissenschaftlichen Praxis mittels LES untersucht. Allerdings ist die LES in der Industrie heute noch kein Standardverfahren wie etwa die Anwendung des k, ε Turbulenzmodells. Sie könnte in absehbarer Zukunft eine solche Stellung erlangen und die HTM ergänzen. Da im zu berechnenden Grobstrukturfeld die kleinskaligen Anteile der Momentanbewegung unterdrückt sind, werden geringere Anforderungen an die numerische Auflösung gestellt, und man kann relativ zur DNS höhere Reynolds Zahlen zulassen, aber nicht beliebig große. Rechentechnische Beschränkungen ergeben sich weiter daraus, daß die Rechnungen wie bei der DNS stets räumlich dreidimensional und instationär ausgeführt werden müssen.
16 KAPITEL 1. EINFÜHRUNG, DEFINITION, PHÄNOMENOLOGIE Beispiele für Strömungen, die mittels LES behandelt worden sind: Ausgebildete Kanal und Rohrströmung (z.b. Re = 5 10 4 ) Strömung durch gerade Kanäle mit Einbauten (z.b. wandgebundener Würfel) Strömungen durch gekrümmte Kanäle (z.b. quadratischer Querschnitt, 180 Umlenkung bei Re 5.7 10 4 ) Transition der Plattengrenzschicht unter Einfluß von Außenturbulenz Rotierende Scherschicht Strömung bei plötzlichen Querschnittserweiterungen Grenzschicht mit plötzlich aufgeprägtem Drucksprung Rezirkulationsströmung in Hohlräumen (cavity) Turbulenz Stoß Wechselwirkung Strömungen mit chemischen Reaktionen (z.b. Verbrennung) spezielle kompressible Strömungen. Gegenwärtig wird insbesondere auf folgenden Gebieten zur LES geforscht: Entwicklung verbesserter SGS Modelle (speziell für wandnahe Bereiche) Randbedingungen an Ein und Ausströmrändern statistische Auswertung und Vergleiche mit dem Experiment (das large eddy field ist i.allg. kein unmittelbares Ergebnis eines Experiments!) Effektive numerische Methoden für die Navier Stokes Gleichungen (analog zur DNS) Einige Einrichtungen, in denen schwerpunktmäßig an LES und /oder DNS gearbeitet wird: Center for Turbulence Research (Stanford, California, USA) Stanford University (Stanford, California, USA) NASA Ames Research Center (Moffett Field, California, USA) National Center for Atmospheric Research (Boulder, USA) LEG/IMG Grenoble (Frankreich) University of Surrey (Guilford, UK) In Deutschland: Universität Stuttgart TU München Hochschule der Bundeswehr München Neubiberg DLR Institute (Institut für Physik der Atmosphäre Oberpfaffenhofen, Institut für Strömungsmechanik Göttingen) Universität Karlsruhe
1.3. GRUNDSÄTZLICHES ZUR TURBULENZFORSCHUNG 17 1.3.3.4 Vergleich der Methoden zur Turbulenzmodellierung Glättungsprozeß Zerlegung der Strömungsparameter Schließungsansätze Methode Anwendungsbereich Prognose für die absehbare Zukunft HTM LES DNS Ensemble bzw. Filterung (Tiefpaß) entfällt zeitliche Mittelung Mittelwert und Grobstruktur und entfällt Schwankungsgröße Feinstrukturvariable (resolved und residual field) unbedingt erforderlich. Zahlreiche, auch relativ komplizierte Ansätze mit vielen Varianten, physikalische Begründung oft unzureichend, umfangreicher empirischer input. Erst mitteln, dann Lösung von Gleichungen für die gemittelten Parameter. weitgespannt, praxisrelevante Strömungen mit hohen Reynoldszahlen behandelbar ist und bleibt die für die Praxis wichtigste Methode erforderlich. Einfluß sinkt mit Verbesserung der Rechentechnik, einfache Formen möglich, weniger empirischer input als bei HTM, physikalische Begründung problematisch. Erst filtern, dann Gleichungen für die Grobstrukturparameter lösen. einfache Strömungen der Praxis, mittlere Reynoldszahlen stärkere Einführung in Ingenieurwissenschaften zu erwarten nicht erforderlich. Erst Lösung der Bilanzgleichungen, dann ggf. mitteln. Strömungen mit spez. geometrischen Randbedingungen, kleine Reynoldszahlen, Transitionsprobleme; Anwendbarkeit auf praxisrelevante Strömungen mit großen Reynoldszahlen nicht zu erwarten; Grundlagenforschung