Angewandte Strömungssimulation

Transkript

1 Angewandte Strömungssimulation 3. Vorlesung Stefan Hickel

2 Reynolds Averaged Navier Stokes (RANS) Modelle

3 Numerische Strömungsberechnung Physikalische Modellierung Mathematische Modellierung Numerische Modellierung Lösung Auswertung Parameter und Kennzahlen Gleichungssystem Turbulenzmodell Randbedingungen Diskrete Operatoren Lösungsalgorithmen Rechengitter Programmierung Berechnung Visualisierung Validierung CFX Pre -> Parameterdatei ICEM CFD -> Gitter CFX Solver -> Ergebnisdatei CFX Post -> Bilder und Erkenntnis Stefan Hickel - Angewandte Strömungssimulation 3

4 CFD für Ingenieure! CFD für praktische Anwendungen basiert auf dem Weglassen überflüssiger Detailfülle.! Weglassen bedeutet Modellierung!! Idee: aus den Grundgleichungen für turbulente Strömungen Gleichungen ableiten, deren Lösung unmittelbar die relevanten Strömungsgrößen ergeben.! Die gebräuchlichsten Ansätze sind» Lösung der Gleichungen für die zeitlichen Mittelwerte -> RANS» Lösung der Gleichungen ausschließlich für die räumlich großen Skalen -> LES» Eine Erweiterung von RANS ist die Lösung der Gleichungen für die langsamen Skalen -> URANS» Zusätzlich gibt es zonale / hybride Verfahren. Stefan Hickel - Angewandte Strömungssimulation 4

5 Reynoldsmittelung! Ensemblegemittelte Lösung u'! für statistisch stationäre Probleme: u! Aufspalten der Lösung in Mittelwert und Fluktuation:! Reynolds-Mittelung ist eine orthogonale Projection: Stefan Hickel - Angewandte Strömungssimulation 5

6 Reynoldsmittelung! Rechenregeln u + v = u + v au = a u u x = u x u v = u u'= u u u' = 0 u v' = 0 v, a = const Stefan Hickel - Angewandte Strömungssimulation 6

7 Reynold-averaged Navier-Stokes! Setzt man die Summe aus Mittelwert und Fluktuation in die Navier-Stokes Gleichungen und führt eine zeitliche Mittelung durch, folgen die Reynolds-averaged Navier-Stokes (RANS) Gleichungen t u i + u j j u i = 1 ρ i p + ν kk u i j τ ij Tafel i u i = 0 Tensor der Reynoldsspannungen! Schließungsproblem:» mehr Unbekannte als Gleichungen» der Reynoldsspannungstensor muss mit Hilfe von Turbulenzmodellen beschrieben werden. Stefan Hickel - Angewandte Strömungssimulation 7

8 RANS! für die Reynoldsspannungen lässt sich eine exakte Transportgleichung (RST) herleiten! Zunächst wird die Impulsgleichung für die u i -Geschwindigkeitskomponete mit u j multipliziert und gemittelt. Anschließend wird dies für die u j -Komponente wiederholt.! die beiden Gleichungen werden arithmetisch gemittelt und es folgt die Reynoldsspannungs-Transportgleichung (RST)! Die meisten Terme in der RST beinhalten jedoch weitere Unbekannte und müssen daher modelliert werden. Stefan Hickel - Angewandte Strömungssimulation 8

9 RANS Stefan Hickel - Angewandte Strömungssimulation 9

10 RANS Stefan Hickel - Angewandte Strömungssimulation 10

11 RANS! Für jede dieser unbekannten Korrelationen in der RST-Gleichung kann wiederum eine Transportgleichung hergeleitet werden, die jedoch erneut unbekannte Korrelationen enthält! Die Ordnung der vorkommenden Tensoren erhöht sich dabei. So enthält die RST einen den Tensor. Eine Bilanzgleichung für diese Tripelkorrelation würde einen Tensor 4. Stufe enthalten -> Fazit: das Schließungsproblem lässt sich auf diesem Weg nicht lösen, da immer mehr Unbekannte als Gleichungen zur Verfügung stehen. -> Einziger möglicher Weg sind halbempirische Schließungsannahmen» Wirbelviskositätsmodelle» Reynoldsspannungsmodelle Stefan Hickel - Angewandte Strömungssimulation 11

12 Wirbelviskositätsmodelle Wirbelviskositätshypothese! Der Impulsaustausch zwischen Turbulenzballen so genannte turbulente Scheinspannungen.! Die Reynoldspannungen werden proportional zur mittleren Scherrate gesetzt.! Als Proportionalitätsgröße dient eine neue Größe, die Wirbelviskosität ν t.! Die Wirbelviskosität ist eine Feldgröße, und keine Stoffgröße wie die kinematische Viskosität.! Das Prandtl sche (1925) Mischungswegmodell: S ij = 1 u i 2 x j k = 1 2 u i u i + u j x i Scherrate = 1 ( 2 u 1 u 1 + u 2 u 2 + u 3 u 3 ) Stefan Hickel - Angewandte Strömungssimulation 12

13 Wirbelviskositätsmodelle! Einfügen des Ansatzes für die Reynoldsspannungen in die RANS Gleichungen ergibt u i t + u j u i x j = x i p ρ k + x i ν + ν t ( )S ij ( )! Das Modellierungsziel wird bei der Wirbelviskositätshypothese wird von den Komponenten des Reynoldsschen Spannungstensors auf die Modellierung einer einzigen skalaren Größe, der Wirbelviskosität ν t, verlagert.! Die Wirbelviskositätsannahme kann bei Strömungen mit einer ausgeprägten Hauptströmungsrichtung experimentell bestätigt werden.! ν t kann auf fast beliebige Weise mit dem Strömungsfeld verbunden sein. Stefan Hickel - Angewandte Strömungssimulation 13

14 Wirbelviskositätsmodelle! mit Hilfe dimensionsanalytischer Untersuchungen können verschiedene Modellansätze zur Berechnung der Feldgröße Wirbelviskosität hergeleitet werden: Nullgleichungsmodell: Eingleichungsmodell: Zweigleichungsmodell: die Anzahl der verwendeten DGL bestimmt den Modelltyp -> Wirbelviskositätsmodelle Stefan Hickel - Angewandte Strömungssimulation 14

15 Grenzschichtmethode (0-Gleichungsmodell)! Im äußeren Bereich einer Wand-Grenzschicht ist die Wirbelviskosität näherungsweise konstant.! In der Nähe von Wänden werden die turbulenten Längenskalen kleiner. -> Modellierung: van Karman Konstante van Driest Dämpfungsfunktion Grenzschichtdicke! Im äußeren Bereich oft mit Intermittenzfaktor multipliziert.! Da das Model auf Grenzschichtgrößen basiert, ist es kaum auf komplexere Strömungen erweiterbar. Stefan Hickel - Angewandte Strömungssimulation 15

16 K-ε-Modell (2-Gleichungsmodell)! Jones & Launder (1972)! Wahrscheinlich das am weitesten verbreitetes Modell.! Es wird angenommen, dass Turbulenzproduktion und Dissipation im Gleichgewicht sind. Für isotrope Turbulenz folgt eine lineare Beziehung für Reynoldsspannungen und Schubspannung. Man erhält:! Zur Berechnung der Wirbelviskosität wird jeweils eine partielle DGL für die Energie der turbulenten Schwankungsbewegung k und eine DGL für die turbulente Dissipationsrate ε gelöst.! Die Voraussetzung isotroper Turbulenz im Gleichgewicht wird in Grenzschichten nicht erfüllt. Stefan Hickel - Angewandte Strömungssimulation 16

17 K-ε-Modell (2-Gleichungsmodell) Transportgleichung für die Turbulente kinetische Energie K! Turbulente Kinetische Energie K ist definiert als die Spur des Reynoldsschen Spannungstensors: K = 1 2 u i ʹ u ʹ i = 1 2 ( u ʹ 2 + v ʹ 2 + w ʹ 2 )! eine Transportgleichung für K erhält man, indem man in der Reynoldspannungs-Transportgleichung i=j setzt und die Definition von K anwendet Konvektion Produktion turbulenter Transport Druck- Diffusion Dissipation! die Druck-Scher-Korrelation entfällt in der K-Transportgleichung Stefan Hickel - Angewandte Strömungssimulation 17

18 K-ε-Modell (2-Gleichungsmodell)! Die im Produktionsterm der exakten Transportgleichung für k auftretenden Reynoldsspannungen werden mit dem folgenden Ansatz modelliert.! Die Modellierung der Druck-Diffusion und des turbulenten Transports erfolgt ebenfalls über einen Wirbelviskositätsansatz! mit diesen Vereinfachungen resultiert für die Modell- Transportgleichung der turbulenten kinetischen Energie Stefan Hickel - Angewandte Strömungssimulation 18

19 K-ε-Modell (2-Gleichungsmodell)! Für die Dissipationsrate ε kann ebenfalls eine exakte Transportgleichung hergeleitet werden.! Aufgrund der Komplexität dieser Gleichung sind nur schwer physikalisch motivierte Ansätze für eine Modellierung der einzelnen Terme zu finden.! Aus diesem Grund wird eine in der Struktur zur Transportgleichung von k ähnliche Transportgleichung für ε postuliert. Stefan Hickel - Angewandte Strömungssimulation 19

20 K-ε-Modell (2-Gleichungsmodell)! Die Konstanten in den Modell-Transportgleichungen sind C 3 =0,09 Pr k =1,0 Pr ε =1,3 C ε1 =1,44 C ε2 =1,92! zur Kalibrierung der Koeffizienten werden einfache Referenzströmungen betrachtet, bei denen verschiedene Terme in den Transportgleichungen für k und ε entfallen oder vernachlässigt werden können! Die Konsistenz mit einfachen Referenzströmungen garantiert aber nicht, dass das Modell auch bei komplexen Strömungen korrekte Vorhersagen trifft! es existieren verschiedene Modellvarianten, z.b. das k-ω-modell Stefan Hickel - Angewandte Strömungssimulation 20

21 Beurteilung K-ε-Modell (2-Gleichungsmodell)! Aufgrund der stark vereinfachenden Annahmen der Wirbelviskositätshypothese sind die Anwendungsbereiche des k-ε- Modells auf einfache Strömungen ohne starke Druckgradienten und Ablösung beschränkt.! Die Wirbelviskositätshypothese geht von der Proportionalität zwischen Reynoldsspannungen und mittlerer Scherrate aus. Direkte Einflüsse auf einzelne Komponenten des Spannungstensors können nicht erfasst werden. Diese anisotropen Einflüsse können unter anderem starke Stromlinienkrümmung, Volumenkräfte und Geschichtseinflüsse sein.! geringer Rechenzeitaufwand, nur 2 zusätzliche DGL müssen gelöst werden Stefan Hickel - Angewandte Strömungssimulation 21

22 Reynoldsspannungsmodelle Ansatz! Ein grundsätzlich anders Vorgehen bei Reynoldsspannungsmodellen besteht in der direkten Bildung von Modell-Transportgleichungen für den unbekannten Reynoldsspannungstensor.! Ausgehend von den exakten Bilanzgleichungen (RST) für den Reynoldsschen Spannungstensor werden wie zuvor Modelltransportgleichungen hergeleitet. Stefan Hickel - Angewandte Strömungssimulation 22

23 Reynoldsspannungsmodelle Vereinfachungen! Aus experimentellen Untersuchungen ist bekannt, dass der Einfluss der Druck-Diffusion D p,ij auf den Reynoldsschen Spannungstensor als vernachlässigbar klein eingeschätzt werden kann. Dieser Term entfällt bei der Vereinfachung der Transportgleichungen.! die Tripelkorrelation im turbulenten Transport T ij wird mit einem Ansatz von Hanjalic und Launder modelliert Stefan Hickel - Angewandte Strömungssimulation 23

24 Reynoldsspannungsmodelle! Die turbulente Dissipation erfolgt im Vergleich zur Turbulenzproduktion in sehr kleinen Skalen. <E (ξ)> E uu (ξ) E vv (ξ) E ww (ξ) ξ! Der Dissipationstensor ε ij wird nach der Modellvorstellung von Rotta als isotrop angenommen und durch die skalare Größe ε dargestellt Stefan Hickel - Angewandte Strömungssimulation 24

25 Reynoldsspannungsmodelle! Druck-Scher-Korrelation Φ bewirkt eine Umverteilung der Komponenten des Reynoldsspannungsstensors.! Φ kann selbst keine turbulente kinetische Energie produzieren oder dissipieren, sondern beschreibt rein den Transfer von kinetischer Energie der Schwankungsbewegung zwischen den einzelnen Komponenten.! Die Druck-Scher-Korrelation ist somit in der Lage, die Anisotropie a ij des Reynoldsschen Spannungstensors zu verändern. Anisotropiemaß: Stefan Hickel - Angewandte Strömungssimulation 25

26 Reynoldsspannungsmodelle! Φ wird zerlegt in zwei Anteile: Slow-Term Φ S und Rapid-Term Φ R! Grundlegende Annahme: der Slow-Term Φ S treibt anisotrope Turbulenz zur Isotropie! Der Rapid-Term Φ R liefert nur in Strömungen mit nicht verschwindenden Gradienten der mittleren Strömungsgeschwindigkeit einen Beitrag. Der Reynoldssche Spannungstensor wird aufgrund der durch die mittleren Geschwindigkeitsgradienten hervorgerufen äußeren Kräfte verändert. Stefan Hickel - Angewandte Strömungssimulation 26

27 Reynoldsspannungsmodelle! Ansatz für den Slow-Term:! Die verschiedenen Modelle für den Slow-Term unterscheiden sich vorrangig nach der Anzahl der aus dem Ansatz für Φ S verwendeten Terme.! Bei den linearen Modellen, z.b. dem LRR-Reynoldspannungsmodell (Lauder, Reece und Rody) wird nur der erste Term aus dem Ansatz verwendet.! Der Wert der Konstanten C 1 schwankt zwischen C 1 =1,5 und C 1 =3,0.! Beim SSG-Reynoldsspannungsmodell nach Sarkar, Speziale und Gatzki wird der quadratische Term mit in den Ansatz einbezogen. Stefan Hickel - Angewandte Strömungssimulation 27

28 Reynoldsspannungsmodelle! allgemeiner Ansatz für den Rapid-Term! im LRR-Modell werden die quadratischen Abhängigkeiten des Rapid- Terms vom Anisotropietensor a ij vernachlässigt.! im SSG-Modell nach Speziale, Sarkar und Gatski wird der lineare Term aus dem LRR-Modell verwendet. Hinzu kommt ein quadratischer Term, so dass für die Modellgleichung folgt: Stefan Hickel - Angewandte Strömungssimulation 28

29 Reynoldsspannungsmodelle! Kalibrierung der Koeffizienten wiederum anhand einfacher Referenzströmungen! die Koeffizienten des SSG-Reynoldsspannungsmodells lauten: Stefan Hickel - Angewandte Strömungssimulation 29

30 Erfahrungen! Das k-ε-modell liefert gute Ergebnisse für Außenströmungen und zweidimensionale dünne Scherschichten.! Probleme bei Wirbelviskositätsmodellen:» Bei Grenzschichten mit starken Druckgradienten liefert das k-ε-modell eher schlechte Ergebnisse.» Mit dem k-ω-modell erhält man in Grenzschichten oft bessere Ergebnisse als mit dem k-ε-modell -> SST Modell kombiniert k-ω und k-ε.! Reynoldsspannungsmodelle (RSM) liefen in der Regel bessere Ergebnisse bei Strömungen mit Strömlinienkrümmung oder starkem Drall.! Probleme bei RSM:» numerisch aufwendiger ( min. 6 zusätzliche Transportgleichungen)» Stabilität. -> Explizite Algebraische RSM (EARSM) rekonstruieren Reynoldsspannungstensor aus reduzierten Satz an Transportgleichungen Stefan Hickel - Angewandte Strömungssimulation 30