Allgemeine Vorgehensweise 1. Skizze zeichnen und Systemgrenze ziehen 2. Art des Systems festlegen (offen, geschlossen, abgeschlossen) und Eigenschaften charakterisieren (z.b. adiabat, stationär, ruhend...) 3. Massen- und Energieströme einzeichnen 4. Bilanzen aufstellen - 1. HS der Thermodynamik zeitliche Änderung der Systemenergie = Summe der Wärmeströme + Summe der Arbeitsströme + Summe der Enthalpieströme de Sys = i Q i + i Ẇ i + k ṁ k h tot,k de Sys = depot + de kin + du Sys ṁk h tot,k = ṁ ein (h+gz + 1 2 c2) ṁ aus (h+gz + 1 2 c2) egozentrische Betrachtung: Ströme ins System positives Vorzeichen Ströme aus dem System heraus neg. Vorzeichen Integration zwischen den Zeitpunkten τ 1 und τ 2 : E 2 E 1 = Q 12,i + W 12,i + m 12,i (h i +gz i + 1 2 c2 i i i i ) - Massenbilanz dm Sys = i ṁ i 1
5. Welche Größen sind zur Beschreibung des Systems notwendig? Alle anderen Größen aus den Bilanzen streichen z.b. - geschlossenes System: ṁ i = 0 - adiabates System: Q i = 0 - keine Vorrichtung: Ẇ t = 0 - stationäres System: de Sys = 0 ; d () = 0 6. Falls nötig, Zustandsgleichungen aufstellen - ideales Gas: p V = m R T - Wirkungsgrad: η = Nutzen Aufwand - quasistatische Zustandsänderung isotherm T = const isochor v = const isobar p = const isentrop s = const 7. Lösen der Gleichung Themenschwerpunkt: Geschlossene Systeme Einleitende Fragen: 1. Wie sind Prozess- und Zustandsgröße definiert? Prozessgrößen werden durch Differenzen zwischen zwei Zeitpunkten bestimmt. Sie sind wegabhängig. z.b.: Arbeit W, Wärme Q Zustandsgrößen sind nur für einen bestimmten Zeitpunkt definiert. Diese sind wegunabhängig. z.b.: Masse m, Volumen V, Dichte ρ 2
2. Nennen Sie thermische und kalorische Zustandsgrößen! thermische: Druck p, spez. Volumen v, Temperatur T kalorische: innere Energie U, Enthalpie h 3. Nennen Sie die thermische Zustandsgleichung des idealen Gases. Unter welchen Voraussetzungen darf in der Praxis mit dieser Gleichung gerechnet werden? p V = m R T Mit dieser Gleichung darf nur bei idealem oder perfektem Gas gerechnet werden. 4. Beschreiben Sie den Zusammenhang zwischen der Regel von Avogadro und dem Begriff Normzustand! Die Avogadro-Zahl gibt an, dass 1 mol 6,022 10 23 Teilchen sind. Im Normzustand haben 1 mol Gas immer ein Volumen von 22,4 l. 5. Wie erklärt man den Gasdruck bei einer kinetischen Interpretation des Temperaturbegriffes? Wenn man die Temperatur in einem mit Gas gefüllten System erhöht, so steigert sich die Energie der Gasteilchen. Die Gasmoleküle schwingen und bewegen sich mehr und besitzen dadurch einen größeren Impuls. Dadurch wird ein größere Druck in dem System aufgebaut. 6. Ein ideales Gas soll (a) isobar (b) isochor um T erwärmt werden. Wie unterscheiden sich die erforderlichen Wärmemengen? (a) Q 12 = m c p (T 2 T 1 ) (b) Q 12 = m c v (T 2 T 1 ) 7. Für welche der aufgeführten Größen ist ein positives Vorzeichen vereinbart worden? (a) zugeführte Wärme (b) abgegebene technische Arbeit (c) abgegebene Wärme (d) zugeführte technische Arbeit Da wir uns im egozentrischen System befinden, haben a) und d) ein positives Vorzeichen. b) und c) hätten in diesem Fall, aufgrund das sie abgegeben werden, ein negatives Vorzeichen. 3
Aufgabe 10 In einer senkrecht angeordneten Zylinder-Kolben-Kombination mit einem freien Volumen V = 100 cm 3, einer Querschnittsfläche A = 10 cm 2 und einer Kolbenmasse m K = 10 kg, befindet sich reiner Stickstoff mit der Temperatur T 1 = 300 K. Hinweise: Stickstoff soll näherungsweise als perfektes Gas betrachtet werden. Die innere Energie des Stickstoffs ändert sich mit der Temperatur entsprechend U U 0 = m c V (T T 0 ), wobei c V = 0,74 kj ist. Der Druck der Umgebung beträgt p U = 1,0 bar. Molmasse des Stickstoffs M N2 = 28,013 kg kmol Gaskonstante des Stickstoffs R N2 = 0,297 kj Gegeben: V 1 = 100 cm 3 = 100 10 6 m 3 A = 10 cm 2 = 10 10 4 m 2 m K = 10 kg T 2 = 600 K T 1 = 300 K a ) Welches Volumen nimmt der Stickstoff nach einer Erwärmung auf T 2 = 600 K ein? Der Stickstoff dehnt sich aus, dadurch wird der Kolben nach oben bewegt, sodass der Druck im Gas immer kanstant bleibt. p 1 = p 2 = p = const isobare Änderung p V = m R T, mit p, m und R = const V T = const V 1 T 1 = V 2 T 2 T V 2 = V 2 1 T 1 = 100 cm 3 600 K 300 K = 200 cm3 4
b ) Welche Volumenänderungsarbeit gibt der Stickstoff aufgrund der Temperaturerhöhung ab? δw V = F ds = (Kraft Weg) F = p A δw V = p A ds = p dv Druck aus Kräfte-Gleichgewicht am Kolben: F p = F g,k +F pu p A = m K g + p U A p = m K g A + p U Kompression Volumenabnahme dv < 0 Arbeit am System und Erhöhung seiner Energie, δw V > 0 Expansion Volumenzunahme dv > 0 Das System leistet Arbeit gegen den äußeren Druck, δw V < 0 δw = p dv W 12 = 2 p dv 1 = p (V 2 V 1 ) = ( p U + m ) K g A (V2 V 1 ) ( = 1 10 5 Pa+ 10 kg 9,81 m s 2 = 19,81 J 10 10 4 m 2 ) (200 100) 10 6 m 3 Anmerkung: 1 cm = 10 2 m 1 cm 2 = 10 4 m 2 1 cm 3 = 10 6 m 3 c ) Welche Wärme muss dem Stickstoff dabei zugeführt werden? 1. Hauptsatz geschlossenes System: de pot } {{ } 0 + de kin } {{ } 0 + du Sys U 2 U 1 = Q 12 + W 12 Q 12 = U 2 U 1 W 12 = i Q i + j W j = m c V (T 2 T 1 ) W 12 5
m = p 1 V 1 R T 1 p 1 = p U + m K g A = 1 10 5 Pa+ 10kg 9,81 m s 2 10 10 4 m 2 = 198100 Pa m = p 1 V 1 R T 1 = 198100 Pa 100 10 6 m 3 297 J 300 K = 2,223 10 4 kg Q 12 = 2,301 10 4 kg 740 J (600 K 300 K) ( 19,81 J) = 69,168 J > 0 Wärme muss zugeführt werden! Aufgabe 11 In dem Druckkessel (Durchmesser 400 mm) einer Hauswasserversorgung befindet sich Luft mit einem Druck von 3 bar (Einschaltdruck der Pumpe). Die Luftsäule hat eine Höhe von 1000 mm. Gegeben: p 1 = 3 bar p 2 = 7 bar h 1 = 1 m d = 400 mm = 0,4 m a ) Wie hoch ist die Luftsäule, wenn durch die Pumpe ein Druck von 7 bar hergesstellt wurde? Die Temperatur bleibt konstant (isotherme Zustandsänderung) p V = m R T T = p V m R T 1 = T 2 p 1 V 1 m R = p 2 V 2 m R 6
p 1 p 2 = V 2 V 1 = A h 2 A h 1 h 2 = h 1 p 1 p 2 = 1 m = 0,429 m 3 bar 7 bar b ) Welche Arbeit wurde zur Verdichtung der Luft aufgewendet? Das Anfangsvolumen beträgt V 1 = A h 1 = π 4 d2 h 1 = π 4 (0,4m)2 1 m = 0,1257 m 3 Die zuzuführende Arbeit zur Verdichtung der Luft beträgt W 12 = 2 = 1 p dv m R T V mit p = m R T V dv = [m R T lnv] 2 1 = (m R T lnv 2 m R T lnv 1 ) = m R T ln = p 1 V 1 ln = p 1 V 1 ln ( V1 V 2 ( ) V1 V 2 ( ) A h1 A h 2 ) m R T = p V = 3 10 5 N m 2 0,1257 m3 ln = 31,904 kj lnv 2 +lnv 1 = ln ( ) 1 0,429 ( ) V1 V 2 7
c ) Wieviel Wärme wurde durch das Wasser bzw. durch die Behälterwand abgeführt, wenn die Temperatur konstant bleibt? 1. Hauptsatz geschlossenes System: 12 U = Q 12 +W 12 Q 12 = 12 U W 12 Q 12 = m c V (T 2 T 1 ) W 12 mit 12 U = m c V (T 2 T 1 ) Q 12 = m c V (T 2 T 1 ) } {{ } 0, T=const Die abgeführte Wärme ergibt sich somit zu W 12 Q 12 = W 12 = 31,904 kj Aufgabe 12 Ein Kühlschrank stehe in einem gut wärmeisoliertem Zimmer. Dem Kühlschrank wird eine elektrische Leistung P el = 100 W zugeführt. Er nimmt von der Umgebung einen Wärmestrom von Q zu = 50 W auf. Die Luft im Zimmer habe die Masse von m L = 500 kg bei einer spezifischen Wärmekapazität von c V = 0,714 kj. Ermitteln Sie durch geeignete Wahl der Systemgrenzen den abgeführten Wärmestrom Q ab des Kühlschrankes im stationären Betrieb, sowie die Erwärmung T Luft der Zimmerluft pro Stunde. Gegeben: P el = 100 W Q zu = 50 W m L = 500 kg c V = 0,714 J 8
a ) Ermittlung von Q ab des Kühlschranks: (1. HS, geschl. System, stationärer Betrieb) de = }{{} i 0, stat. Betrieb Q i + j Ẇ j 0 = i Q i + j Ẇ j = Q zu Q ab + P el Q ( ) ab = Q zu +P el = 150 W Es wird ein Wärmestrom von Q ab = 150 W abgeführt. b ) Erwärmung der Zimmertemperatur pro Stunde: 1. Hauptsatz geschlossenes System (nun wird die Raumluft als System betrachtet): de pot } {{ } 0 + de kin } {{ } 0 + du = i du = Q ab Q zu Integration (U 2 U 1 ) = ( Q ab Q zu ) (τ 2 τ 1 ) ( m L c V T = Q ab Q ) zu τ ( T Q ab τ = Q ) zu m L c V Q i + Ẇ j j } {{ } 0 T τ = 150 J s 50 J s 500 kg 714 J 3600 s h = 1,008 K h ˆ= 1,008 C h ˆ= 2,801 10 4 K s 9
Aufgabe 13 - DVP vom 10.01.2002 EinAutoreifenmiteinemFassungsvermögenV A =20dm 3,indemderLuftdruckaufp 1 =1,5bar abgesunken ist und der Temperatur der Umgebung t 1 = t U = 10 C besitzt (Zustand 1), soll wieder aufgepumpt werden. Dabei strömt Luft aus einem großen Druckbehälter B, in dem der Druck p B und die Temperatur t B = 20 C herrscht, über ein adiabates Ventil in den Reifen. Die Luft wird auf den Druck im Reifen gedrosselt (Zustand 2). Nach dem Einfüllen der Luftmenge m und dem Temperaturausgleich mit der Umgebung soll im Autoreifen ein Druck p 3 = 2,2 bar (Zustand 3) herrschen. a ) Welche Luftmenge m muss dem Autoreifen beim Aufpumpen zugeführt werden? b ) WelcheTemperaturt 2 besitztdieluftimautoreifenunmittelbarnachdemaufpumpen, wenn während des Aufpumpens keine Wärme an die Umgebung abgegeben werden soll? c ) Auf welchen Druck p 2 muß der Autoreifen aufgepumpt werden? d ) Welche Wärme gibt die Luft im Autoreifen während der Abkühlung auf die Umgebungstemperatur (t 3 = t U ) an die Umgebung ab? Weitere Hinweise: und der spezifi- Die Luft soll als perfektes Gas mit der Gaskonstanten R L = 0,287 kj schen Wärmekapazität c V = 0,7175 kj betrachtet werden. Das Reifenvolumen V A kann als konstant angesehen werden. Die Wärmekapazität des Autoreifens soll vernachlässigt werden. Die Druckluft im Druckbehälter B soll als thermodynamisches Reservoir betrachtet werden. Änderungen der potenziellen und der kinetischen Energien sollen vernachlässigt werden. 10
Gegeben: V A = 20 dm 3 = 0,02 m 3 = const p 1 = 1,5 bar = 1,5 10 5 Pa t 1 = t 3 = t U = 10 C T U = 283,15 K p 3 = 2,2 bar = 2,2 10 5 Pa t B = 20 C R L = 0,287 kj c V = 717,5 J a ) gesucht: m Lösung: m = m 3 m 1 = p 3 V 3 R T 3 p 1 V 1 R T 1 = V A R T U (p 3 p 1 ) m = 0,02 m 3 287 J 283,15 K(2,2 1,5) 105 Pa m = 0,0172 kg b ) gesucht: t 2 Lösung: 1. Hauptsatzes (Energiebilanz für geschlossenes System) 12 E pot + adiabat 12 E kin + 12U = Q 12 + W 12 12 U Σ = 12 U I + 12 U II = W B W B ist hierbei die Volumenänderungsarbeit, die das Restgas im Druckreservoir aufbringt, um auf das volle Volumen des Druckbehälters zu expandieren. Diese Volumenarbeit entspricht der Arbeit, die aufgewendet werden muss, um den Reifen auf den Druck im Zustand 2 aufzupumpen. 1. W B = 2 1 p(v) dv mit p(v) = p B W B = p B 12 V = 12 m R T B 2. Unterteilung des Gesamtsystems Σ in homogene Teilsysteme, deren Masse konstant bleibt. 12 U Σ = 12 U I + 12 U II = 12 m c V (T 2 T B ) + m 1 c V (T 2 T 1 ) 12 m c V (T 2 T B ) + m 1 c V (T 2 T 1 ) = 12 m R L T B 12 m c V T 2 + m 1 c V T 2 = 12 m R L T B + 12 m c V T B +m 1 c V T 1 ( ) ) ( ) ) T 2 = 1 m 3 m T B (1+ R L c V +m 1 T 1 = R T 3 p 3 V A m T B (1+ R L c V + p 1 V A R L T 2 = 287 J 283,15 K 2,2 10 5 Pa 0,02 m 3 (0,017 kg 293,15 K T 2 = 323,58 K t 2 = 50,43 C (1+ 287 J J 717,5 ) ) + 1,5 105 Pa 0,02 m 3 J 287 11
c ) gesucht: p 2 Lösung: isochorer Abkühlvorgang von 2 3 V A = const m R T2 p 2 = m R T3 p 3 p 2 = p 3 T 2 T 3 = 2,2 bar 323,58K 283,15K = 2,514 bar d ) gesucht: Q 23 Lösung: 1. Hauptsatz geschlossenes System: 23 U = Q 23 + W 23 Q 23 = m 3 c V (T 3 T 2 ) = p 3 V A R T 3 c V (T 3 T 2 ) = 2,2 105 Pa 0,02 m 3 J 287 = -1571 J 283,15 K 717,5 J (283,15 K 323,58 K) 12