Hounsfield, 1969 Zusätzliche Literatur: W.A. Kalender: Computertomographie Publicis MCD Verlag, 2000
Entwicklung der CT im historischen Überblick 1895 W.C. Röntgen entdeckt eine 'neue Art von Strahlen', die später nach ihm als Röntgenstrahlen benannt werden 1917 J.H. Radon entwickelt die mathematischen Grundlagen zur Errechnung von Querschnittsbildern aus Transmissionsmessungen 1960/1970 Verbesserung der Computertechnologie 1972 G.N. Hounsfield und J. Ambrose führen erste klinische Untersuchungen mit Computertomographie durch 1975 erster Ganzkörpertomograph im klinischen Einsatz 1979 Verleihung des Nobelpreises an Hounsfield und Cormack 1989 erste klinische Untersuchungen mit Spiral-CT 1998 erste klinische Untersuchungen mit Mehrzeilen-Spiral-CT 2000 ca. 30 000 klinische Spiral-CT- Installationen weltweit
1974 1994
1974 Bildmatrix: 80 x 80 2000 Bildmatrix: 512 x 512 Spiral-CT
Hounsfield, 1969 moderner CT-Scanner
Probleme der Projektionsradiographie: Röntgenbild: - modulierte Verteilung der durch Gewebe transmittierten Röntgenquanten - 2D Projektion der Schwächungseigenschaften des Gewebes - Überlagerungsbild: alle durchstrahlten Volumenelemente tragen zur Schwächung bei? - Linienintegral der Abschwächung: = µ( x, y, z JD J0 e )dl - Kontrast: Strukturen mit großem µ (Knochen) bzw. Dickenunterschiede; Weichteilgewebe nicht darstellbar - Projektionsradiographie ist nicht tomographisch
homogenes Objekt; mono-chromatische Strahlung J D = J 0 e µ d P = ln J J 0 D = µ d J 0 µ = 1 d ln J J 0 D J D P = Projektionswert
inhomogenes Objekt; mono-chromatische Strahlung?? ln 0... 0 3 3 2 2 1 1 = = = = = = i i i i D ds d d d d d J J P e J e J e J J d i i i µ µ µ µ µ µ µ 0 0 0 D J 0 J D
inhomogenes Objekt; poly-chromatische Strahlung J 0 J D P µ ( x, y) = = = E max 0 J J ln J?? 0 0 D ( E) e d 0 µ d s de J D
Prinzipien der Röntgen-Computertomographie
Prinzip der Computertomographie: - messe räumliche Verteilung einer physikalischen Eigenschaft [µ(x,y)] des zu untersuchenden Objekts - errechne aus Meßwerten überlagerungsfreie Bilder (Radon-Transformation und Fourier-Scheiben-Theorem)
Idee: Aufnahme einzelner Schichten betrachte menschlicher Körper als ein aus endlich vielen diskreten Volumenelementen zusammengesetztes Objekt in grober Auflösung: - einzelne transversale Schichten der Dicke s - Schichten zusammengesetzt aus diskreten quaderförmigen Volumenelementen x Volumenelement: Bildelement: Voxel (volume element) Pixel (picture element)
Messung von Schichtbildern und inverses Problem Inverses Problem: Gegeben eine Menge N p von Messungen (Schichtbilder) außerhalb eines Objektes, bestimme die Verteilung der physikalischen Kenngröße µ innerhalb des Objektes J. Radon (1917): Die 2D-Verteilung einer Objekteigenschaft kann exakt beschrieben werden, wenn eine unendliche Anzahl von Linienintegralen vorliegt. Durch eine endliche Anzahl N p von Messungen kann die Verteilung µ(x,y) ausreichend approximiert werden Vorwärtsproblem: gegeben µ(x,y) innerhalb des Objekts, bestimme Ergebnis der Messung außerhalb des Objekts.
Einfachstes Meßprinzip der CT Mit Radon Vorgabe: erst Translation (ergibt Projektion) dann Rotation (min. 180 ) Nadelstrahl Moderne CT-Scanner: 800-1500 Projektionen mit ca. 600-1200 Meßwerten pro Projektion
Radon-Transformation (I) J. Radon (1917): Die 2D-Verteilung einer Objekteigenschaft kann exakt beschrieben werden, wenn eine unendliche Anzahl von Linienintegralen vorliegt. sei f(x,y) beliebige integrierbare Funktion beschreibe f(x,y) durch alle geraden Linienintegrale durch Definitionsgebiet von f(x,y): + ( x( l), y( l ) f ) dl
Radon-Transformation (II) naiver Ansatz: integriere nacheinander durch alle Punkte über alle Richtungen einige Linienintegrale sind identisch wähle geeignetes Ordnungsschema, so dass alle Linienintegrale nur einmal vorkommen (Hesse Normalform) r r e = s r e = Θ = f ( x, y) dl = p( Θ, s) Θ Einheitsve ktor in Richtung Winkel zwischen Integrationslinie undnormalen durchnull
Radon-Transformation (III) mit Θ [0,180 ] und mit allen s: (s min < s < s max ) alle möglichen Linienintegrale p(θ,s) über Funktion f(x,y) Radon-Transformation: Übertragung der Werte der Linienintegrale in p(q,s)-diagramm Eine Linie in der Radontransformierten mit Θ =const nennt man Projektion p Θ (s) p Θ (s) = Zahlenfolge aller Linienintegrale über f(x,y) mit Θ =const und variablem Abstand s zum Koordinatenursprung
Radon-Transformation (III- 1) Berechnung der Radontransformierten für Θ=0
Radon-Transformation (III- 2) Berechnung der Radontransformierten für Θ 0
Fourier-Scheiben-Theorem (I) - Messung mit Nadelstrahl für gegebenen Winkel Θ und Abstand s vom Koordinatenursprung (Projektionswerte p Θ (s)) entspricht der Radontransformierten des Bildes. - Mit Hilfe des Fourier-Scheiben-Theorems läßt sich aus der Radontransformierten die Funktion f(x,y) bestimmen (d.h. µ(x,y)) Zusammenhang zwischen Radon- und Fourier-Transformation (Projektionssatz oder Fourier -Scheiben-Theorem): r sei Rf(e, s) = G( α) = F( u, v) für mit G( α) = F1 F( u, v) = F { RΘ f ( s) } { f ( x, y) } 2 r r e r r f ( ) d Radontransformierte des Objekts ( u, v) = α (cosθ,sin Θ) µ(x,y) durch inverse 2D-FT f
Fourier-Scheiben-Theorem (Bew e i s f ü r Q =0) Projektion zum Winkel Θ=0
Fourier-Scheiben-Theorem (Bew e i s f ü r Q =0) Def.: 1D-FT(p Θ=0 (s)) ergibt Werte der 2D-FT von f(x,y) auf der u-achse
Fourier-Scheiben-Theorem (Bew e i s f ü r Q 0) Projektion für Θ 0
Fourier-Scheiben-Theorem (Bew e i s f ü r Q 0) Projektion p Θ (s) kann als Projektion auf der x -Achse eines gedrehten Koordinatensystems aufgefaßt werden. Es gilt die gleiche Herleitung wie für Θ=0: 1D-FT(p Θ (s)) ergibt Werte der 2D-FT von f(x,y) auf der u -Achse Allgemein gilt: Die FT einer um den Winkel Θ gedrehten Funktion f(x,y) ist um den genau den gleichen Winkel Θ gegenüber der FT F(u,v) verdreht q.e.d.
Fourier-Scheiben-Theorem (II) Θ=0 Θ 0
Fourier-Scheiben-Theorem (III) Sei eine Funktion f(x,y) gegeben und F(u,v) deren 2D-Fouriertransformierte Sei weiter p Θ (s) eine Projektion von f(x,y) und P Θ (w) deren 1D-Fouriertransformierte Dann beschreibt P Θ (w) die Werte von F(u,v) auf einem Radialstrahl zum Winkel Θ.
Rekonstruktion von f(x,y) = µ(x,y) aus Radon-Transformation
Radon-Transformation und Computertomographie Durchgang eines nadelförmigen Rö.-Strahls durch Körper
Radon-Transformation und Computertomographie
Radon-Transformation und Computertomographie Caveat: - Daten liegen als Werte auf Radialstrahlen vor! - Schnelle Fouriertransformation (FFT) benötigt Uminterpolation auf quadratisches Gitter (Polarkoordinaten kartesische Koordinaten) - Uminterpolation kann zu schwerwiegenden Artefakten führen! (moderne Scanner ermöglichen Abtastung im kartesischen Raster)
Iterative CT- Rekonstruktion (I) - gesuchte Verteilung µ(x,y) liegt nach Messung nur in Form der Projektionswerte (Radon-Transformierte) vor. - finde Rücktransformation um µ(x,y) zu erhalten einfachster Ansatz: gesucht: N x N Bildpunkte der Matrix: N 2 Werte gegeben: M = N p x N d = Anzahl Projektionen x Anzahl Werte/Projektion wenn M N: über-bestimmtes Problem lösbar!
Iterative CT- Rekonstruktion (II) Allgemeiner Fall: sei f(x,y) = µ(x,y) Für digitale Verarbeitung: Hintereinandersetzen der Zeilen der Bildmatrix ergibt Zahlenfolge mit einzelnem Index: f i Messung mit Nadelstrahl j liefert Integral über Werte f i, die auf dem Strahl liegen: - Funktionswerte f i werden mit Gewichtsfaktor w ij multipliziert u. addiert - w ij gibt Flächenanteil vom Nadelstrahl j zum Pixel i an (wg. Nadelstrahl sind die meisten w ij =0)
Iterative CT- Rekonstruktion (III) N MN M M M N N N N f w f w f w p f w f w f w p f w f w f w p + + + = + + + = + + + = L M L L 2 2 1 1 2 2 22 1 21 2 1 2 12 1 11 1 Meßwerte p i (Linienintegrale) lassen sich darstellen als: lineare Abbildung!! Beispiel: Bildgröße: 512x512 N = 262144 gegeben: 1000 Projektionen mit jeweils 800 Detektoren M = 1000 x 800 = 800000 (über-bestimmtes Problem) 800000 Gleichungen mit 262144 Unbekannten!!
Iterative CT- Rekonstruktion (IV) Lösen des linearen Gleichungssystems: (1) direkte Methoden z.b. Gauß-Elimination unpraktikabel bei großen Matrizen (2) iterative Methoden:
Iterative CT- Rekonstruktion (V) - Verfahren konvergiert immer - Verfahren wird bei der Röntgen-CT heute nicht mehr verwendet - Verfahren findet jedoch bei PET/SPECT immer mehr Anwendung
C T -Rekonstruktion mit gefilterter Rückprojektion Wiederholung: Messung mit Nadelstrahl für gegebenen Winkel Θ und Abstand s vom Koordinatenursprung (Projektionswerte p Θ (s)) entspricht der Radon- Transformierten des Bildes µ(x,y). Mit Fourier-Scheiben-Theorem gilt: - durch 1D-FT der gemessenen Projektion erhält man die 2D-FT von µ(x,y) auf einer Geraden in Richtung Θ. - Rekonstruktion von µ(x,y) durch inverse 2D-FT möglich Problem: Daten liegen in Polarkoordinaten vor; FFT benötigt kartesische Koordinaten
C T -Rekonstruktion mit gefilterter Rückprojektion (I) Rückprojektion: Messwerte (Projektionswerte p Θ (s)) sind Linienintegrale von µ(x,y). Jedoch: Integralwert = Summe aller Beiträge und ohne Ortsinformation Ansatz: R ückprojektion: gleichmäßige Verteilung des Integralwerts entlang des ursprünglichen Integrationsweges Überlagerung aller Projektionsgeraden im Punkt (x,y) µ(x,y) näherungsweise
C T -Rekonstruktion mit gefilterter Rückprojektion (II) Rückprojektion: 0. Rückprojektion 1. Rückprojektion 3. Rückprojektion Schwächungsprofil: µ(x) N. Rückprojektion x Schwächungsprofil nach N Rückprojektionen
C T -Rekonstruktion mit gefilterter Rückprojektion (III) Rückprojektion: Durch Rückprojektion entsteht eine Punktbildfunktion (PBF) der Form 1/r 1/r Jedem Bildpunkt kann eine derartige PBF zugeordnet werden, gewichtet mit dem lokalen µ(x,y) Rückprojektion = 1/r * µ(x,y) (Faltung) Rückprojektion führt zu Verwischung, dadurch keine Kontrastunterschiede und keine Feinstrukturen erkennbar
C T -Rekonstruktion mit gefilterter Rückprojektion (IV) Gefilterte Rückprojektion: Idee: Modifiziere Punktbildfunktion derart, dass Verwischung minimiert (ideal: verhindert) wird. Ansatz: Faltung des Schwächungsprofils mit geeignetem Filter (Faltungskern)
C T -Rekonstruktion mit gefilterter Rückprojektion (V) Gefilterte Rückprojektion: Originalprofil Faltungskern = gefiltertes Profil
C T -Rekonstruktion mit gefilterter Rückprojektion (VI) Gefilterte Rückprojektion: 0. Rückprojektion 1. Rückprojektion 3. Rückprojektion Schwächungsprofil: µ(x) N. Rückprojektion x Schwächungsprofil nach N Rückprojektionen
Einfluß des Faltungskerns glättend Standard Kanten betonend
Einfluß des Faltungskerns glättend soft Standard Kanten betonend bone
C T -Rekonstruktion mit gefilterter Rückprojektion (VII) Gesucht: f(x,y) = µ(x,y) aus der inversen 2D-FT von F(u,v) mit Zylinderkoordinaten im Fourierraum u = w. cos Θ v = w. sin Θ dudv = w. dw. dθ folgt
C T -Rekonstruktion mit gefilterter Rückprojektion (VIII) Reduktion der Integrationsfläche auf [0,π] (w.g. Hesse Normalform) Absolutbetrag von w, da in dieser Form negative Radien vorkommen.
C T -Rekonstruktion mit gefilterter Rückprojektion (IX) Ersetze Wäre w nicht im Integral enthalten, bräuchte nur die inverse FT angewendet werden, um die Originale Projektion p Θ (s) zu erhalten. Durch Multiplikation im Fourierraum mit w wird die Projektion p Θ (s) gefiltert ~ p Θ (s) ist gefilterte Projektion (Faltung im Ortsraum = Multiplikation im Fourierraum). h(s) ist Impulsantwort des Filters (=Faltungskern)
C T -Rekonstruktion mit gefilterter Rückprojektion (X) Welche Funktion h(s) gehört zur FT von w? Problem: h(s) nur im Grenzübergang definierbar Ansatz: w w. exp(-ε w ) Inverse FT von w. exp(-ε w ) hierfür gilt: Betrachte Übergang ε 0: rhs geht über in w lhs geht über in -1/2πs 2 peak bei s=0 wird umso schmaler und höher je kleiner ε
C T -Rekonstruktion mit gefilterter Rückprojektion (XI) Was bedeutet das Integral über Θ? Rückprojektion: Um den Wert von f(x,y)=µ(x,y) an einem gegebenen Punkt (x,y) zu erhalten, nimm von allen gefilterten Projektionen ~ p Q (s) an der Stelle xcosq + ysinq und summiere diese Werte auf.
C T -Rekonstruktion mit gefilterter Rückprojektion (XII)
C T -Rekonstruktion mit gefilterter Rückprojektion (XIII)
C T -Rekonstruktion mit gefilterter Rückprojektion (XIV) Bei der Rückprojektion trifft der Projektionsstrahl nicht immer auf die Mitte der quadratisch angeordneten Pixel. Rückwärts vorgehen: ziele vom Zentrum des Pixels unter Winkel Θ auf die gefilterte Projektion Dann: lineare Interpolation zwischen benachbarten Werten, um Meßort des Detektors zu approximieren.
C T -Rekonstruktion mit gefilterter Rückprojektion (XV) Einhalten des Abtast-Theorems und Rauschen: durch digitales Abtasten gibt es in den Projektionen p Θ (s) eine maximale Frequenz w max = 1/2 S, wobei S= Detektor-Abstand Da Raumfrequenzen oberhalb w max nicht bekannt sind, kann Projektionsverfahren in der Praxis nur schlechter sein (Überbewertung hoher Raumfrequenzen). Bei Raumfrequenzen w< w max wird das Spektrum P Θ (w) meist von Rauschen dominiert. Durch Multiplikation mit w wird Rauschen zusätzlich verstärkt
C T -Rekonstruktion mit gefilterter Rückprojektion (XV) Einhalten des Abtast-Theorems und Rauschen:
C T -Rekonstruktion mit gefilterter Rückprojektion (XVI) Alternative Filterfunktionen nach Shepp & Logan und Ramachandran & Lakshminarayan
C T -Rekonstruktion mit gefilterter Rückprojektion (XVI) Alternative Filterfunktionen nach Shepp & Logan und Ramachandran & Lakshminarayan
C T -Rekonstruktion mit gefilterter Rückprojektion (XVII) analoge und digitale Filterung:
C T -Rekonstruktion mit gefilterter Rückprojektion (XVII) analoge und digitale Rückprojektion: M = Zahl der Projektionen
Was wird im CT-Bild dargestellt?
Hounsfield -Skala Absorptions- oder Schwächungskoeffizient in der Kernphysik: [ µ ] = cm 1 µ abh. von Rö.-Energie!! in der Medizin: relative Hounsfield-Skala (CT-Zahl) µ rel = µ µ µ Wasser Wasser 1000 - Mensch besteht zu mehr als 60 % aus Wasser - die meisten körper-eigenen Substanzen unterscheiden sich nur wenig von µ Wasser, daher Darstellung der Abweichung in Promille
Hounsfield -Skala CT-Zahl
Hounsfield -Skala 70 50
Hounsfield -Skala Werte-Bereich: -1024 bis +3071 (entspricht 4096 Graustufen) in erster Näherung proportional zu Dichte der Gewebe: Luft/Gase ~-1000 Fett ~ -90 Wasser ~ 0 Weichteile ~ +20 Knochen > +250 Unterschiede Lunge bis Knochen groß Unterschiede bei Weichteilen, Fettgewebe, Wasser nur gering (typische Differenzierung durch Betrachtung: 60-80 Graustufen) Fenstertechnik
Hounsfield -Skala + Fenstertechnik +3000 Grauwertdarstellung Verbesserte Beurteilbarkeit der Bilder W C 0-1000 z.b. mit: Knochenfenster: C/W = 1000/2500 Mediastinalfenster: C/W = -50/ 400 Lungenfenster: C/W = -625/1250 C Fenstermitte (center) W Fensterbreite (width)
Hounsfield -Skala + Fenstertechnik
Hounsfield -Skala + Zwei-Spektren CT CT-Zahlen meist eindeutig interpretierbar (beachte: Addition aller Materialien und chemischen Elemente pro Voxel!!) Unklare Befunde (Beispiel): Beobachtung: Areal mit erhöhter Schwächung im Weichteilgewebe Frage: frischer Prozess (Blutung) oder alter Prozess (Kalkeinlagerung) Ausnutzung der ordnungszahlbedingten Energieabhängigkeit von µ µ = f(e,z) Zwei-Spektren CT: - zwei Aufnahmen mit unterschiedlichen Rö.-Energien - Subtraktion liefert materialselektive Bilder
Hounsfield -Skala + Zwei-Spektren CT
Homogenitätsbestimmung Toleranz: + 4HU vom Sollwert (Wasser: 0 HU)
Projektionsradiographie und Computertomographie: Beide Verfahren: - Bildgebung mit Röntgenstrahlen - vergleichbare Dosis (neuere CT-Geräte geringere Dosis) Projektionsradiographie: - Kontrast = Summe der Signalbeiträge (µ) entlang der Transmission - Kontrast abhängig von Z und Dosis Computertomographie - Kontrast = Werte benachbarter Voxel (nicht durch Summenoder Linienintegrale); lokale Zusammensetzung des Gewebes - kein Einfluß angrenzender oder überlappender Strukturen
CT-Bild Röntgen-Bild CT-Bild: hoher lokaler Kontrast K K = CT=J 1 -J 2 ~ 50 % Röntgen-Bild: niedriger Weichgewebekontrast K=(J 1 -J 2 )/((J 1 +J 2 )/2) ~ 0,23 %