Formelsammlung Flächentragwerke

Universität Kassel Prof. Dr. Ing. F. Hartmann Fachgebiet Baustatik 3.. 3 Formelsammlung Flächentragwerke Der Stab u ε = EA ε N = N = p Verzerrungen Materialgesetz Gleichgewicht Eliminiert man ε und N, so erhält man die normale Gleichgewichtsbedingung, in der nur noch die Verschiebung u vorkommt EA u = p Der Schlüssel zu den Prinzipien der Statik und den Energiesätzen der Statik ist die partielle Integration u, û C (, l) l u û dx = [u û] l Bildet man mit zwei Funktionen u C (, l) und û C (, l) das Integral l EA u û dx l u û dx so erhält man durch Anwendung der partiellen Integration die Erste Greensche Identität G(u, û) = l Sie enthält die Gleichgewichtsbedingung H = u C (, l) G(u, ) = l und das Prinzip der virtuellen Verrückungen l EA u û dx + [N û] l N ˆN EA dx = EA u dx + [N ] l = l u C (, l), û C (, l) G(u, û) = EA u dx + N(l) N() =

Figure : Scheibenspannungen und das Prinzip der virtuellen Kräfte u C (, l), û C (, l) G(û, u) = Polynome wie u(x) = 3 x 3 + x u(x) = x + 5 x u(x) = e x = + x + x + 6 x3 +... sind also im Gleichgewicht (Ausprobieren!). Wir vereinbaren Kommanotation f, i := f x i u i, j := u i x j Tensorschreibweise 3 u i v i = u i v i = u v + u v + u 3 v 3 a ii = i= 3 a ii = a + a + a 33 i= Bei ebenen Problemen läuft der Index (meist) bis und bei räumlichen Problemen meist bis 3. Manche Autoren signalisieren das durch die Art der Indices Die Scheibe u α v α = u v + u v u i v i = u v + u v + u 3 v 3 Die Verformung einer Scheibe wird durch den Verschiebungsvektor [ ] [ ] u(x, y) u (x u(x, y) = =, x ) horizontale v(x, y) u (x, x ) vertikale Verschiebung Verschiebung beschrieben. Für die Höhe der Spannungen ist nicht die Größe der Verschiebungen maßgebend, sondern die Änderungen der Verschiebungen pro Schrittlänge, also der Gradient des Verschiebungsfeldes, d.h. die Verzerrungen ε xx = u x ε yy = v y Achtung! In der Literatur wird auch oft statt ε xy die Gleitung γ xy = v x + u y = ε xy ε xy = ( v x + u y ).

Figure : Hauptspannungen in einer Wandscheibe Figure 3: Hauptspannungen in einem Träger betrachtet. Liegt ein ebener Spannungszustand vor, sind also die Spannungen senkrecht zur Scheibe Null, wie in Wandscheiben, dann gilt σ xx = E ν (ε xx + ν ε yy ), σ yy = E ν (ε yy + ν ε xx ), σ xy = E ( + ν) ε xy. während in einem ebenen Verzerrungszustand, (keine Verzerrungen quer zur Scheibe), gilt E σ xx = ( + ν)( ν ) [( ν)ε xx + ν ε yy ] E σ yy = ( + ν)( ν ) [( ν)ε yy + ν ε xx ] σ xy = E ( + ν) ε xy. Hierbei ist E der Elastizitätsmodul und ν ist die Querdehnzahl des Werkstoffs. Multipliziert man die Spannungen mit der Scheibendicke, so erhält man die Membran- oder Normalkräfte n x, n y, n xy, die die Dimension kn/m haben. Dreht man das Koordinatensystem aus der Lage x, y um einen Winkel ϕ in eine neue Lage ξ, η, so erhält man andere Spannungen σ ξξ, σ ξη, σ ηη. σ ξξ = σ xx cos ϕ + σ yy sin ϕ + σ xy sin ϕ cos ϕ σ ηη = σ xx sin ϕ + σ yy cos ϕ σ xy sin ϕ cos ϕ σ ξη = (σ yy σ xx ) cos ϕ sin ϕ + σ xy (cos ϕ sin ϕ) Für den Winkel tan ϕ = σ xy σ xx σ yy

Figure 4: Druck- und Zugspannungen in einer Wandscheibe. Die Position der Resultierenden der Druckspannungen beschreibt einen Bogen. werden die Normalspannungen in der einen Richtung maximal und in der anderen Richtung minimal. Diese beiden Normalspannungen sind die sogenannten Hauptspannungen σ I,II = σ xx + σ yy ± ( σ xx σ yy ) + σxy Schubspannungen treten längs der zugeordneten Schnittkanten in dieser Achslage nicht auf. Trägt man diese sich von Punkt zu Punkt ändernden Hauptspannungsrichtungen auf, so erhält man die Spannungstrajektorien, s. Bild 3, die sehr anschaulich das Tragverhalten einer Wandscheibe wiedergeben. Idealerweise würde die Bewehrungsrichtung immer mit diesen Hauptspannungsrichtungen zusammenfallen. Durch die unvermeidbaren Winkelabweichungen kommt es zu einem Mehrbedarf an Stahl. Die Gleichgewichtsbedingungen lauten σ, +σ, = p σ, +σ, = p Horizontale Volumenkräfte Vertikale Volumenkräfte Systematischer kann man all diese Gleichungen zu einem System zusammenfassen (u i, j +u j, i ) ε ij = 4 Gleichungen C ijkl ε kl σ ij = 4 Gleichungen σ ij, j = Gleichungen wobei der Tensor C ijkl der sogenannte Elastizitätstensor ist. Beim Stab ist er das EA und beim Balken das EI. Er ist vierfach indiziert: Es gibt also Terme C 34, C etc., die aber fast alle Null sind. Wesentlich für die Statik der Flächentragwerke sind zwei Sorten von Differentialoperatoren: Gradient und Divergenz. f, f, f, f 3, f = {f, i } = f, f = [f i, j ] = f, f, f 3, f, 3 f, 3 f, 3 f 3, 3 σ j, j σ, +σ, +σ 3, 3 divf = f i, i = f, +f, +f 3, 3 div S = {σ ij, j } = σ j, j = σ, +σ, +σ 3, 3 σ 3j, j σ 3, +σ 3, +σ 33, 3

Der Gradient macht aus einer skalarwertigen Funktion f eine vektorwertige Funktion und aus einer vektorwertigen Funktion eine Matrix-wertige Funktion. Die Divergenz macht aus einer Matrix einen Vektor und aus einem Vektor einen Skalar. Führen wir die Symbole E = [ε ij ] S = [σ ij ] Elastizitätstensor Spannungstensor E(u) = ( u + ut ) Operator ein, dann kann man das obige System in einer absoluten Notation noch kürzer schreiben E(u) E = Null-Matrix () C[E] S = Null-Matrix () div S = p Vektor der Volumenkräfte (3) wobei C[] angewandt auf einen Elastizitätstensor E den Spannungstensor liefert, C[E] = µ E + λ(tr E) I λ = µ ν ν tr E = ε ii = ε + ε trace = Spur also die Spannungen, die auftreten, wenn die Verzerrungen ε ij vorhanden sind: Beim Stab EA ε = N, beim Balken EI w = M. Das Gegenstück ist der compliance tensor C [S] = µ {S ν (tr S) I} = E, + ν der die Spannungen in Verzerrungen rückrechnet. Setzt man, wie beim Stab, alles ineinander ein, dann erhält man ein Differentialgleichungssystem für den Verschiebungsvektor u einer Scheibe (eines elastischen Volumens) L u := [µ u + µ div u] = p ν Der Buchstabe L soll hier als Abkürzung für das DGL-System stehen, das auf das Feld u wirkt. Beim Stab ist Lu = EA d dx u. Auch das System L ist von zweiter Ordnung. Es ist ein Differentialgleichungssystem zweiter Ordnung für das Verschiebungsfeld u einer Scheibe. Randbedingungen In jedem Punkt einer Scheibe gibt es drei Spannungen, σ xx, σ yy und σ xy, aber in einem Schnitt durch die Scheibe sieht man nur zwei davon: Die Spannung normal zum Schnitt und tangential zum Schnitt. Diese bilden den sogenannten Spannungsvektor [ ] [ ] [ ] σxx σ S n = t xy nx tx = σ yx Hierbei ist n die Schnittnormale. In einem vertikalen Schnitt, n = [, ] T, sieht man also die erste Spalte des Spannungstensors, in einem horizontalen Schnitt, n = [, ] T, die zweite Spalte und in einem schrägen Schnitt eine Linearkombination der beiden Spalten. σ yy n y t y

Der Spannungsvektor lässt sich aus S und n berechnen. Der Spannungstensor S hängt wiederum vom Verzerrungstensor E ab und dieser wieder vom Verschiebungsfeld u, so dass schließlich und endlich es auch möglich ist den Spannungsvektor t direkt aus u zu berechnen τ (u) := µ u n + µ n divu + µ(n rot u) = t ν Dies ist das Gegenstück zur Formel N = EA u beim Stab, also der Formel mit der man die Schnittkraft N aus u berechnet. Bevor wir nun die Erste Greensche Identität aufstellen, müssen wir noch etwas über die innere Energie unserer Bauteile sagen: Die innere Energie erhält man, wenn man die Spannungen mit den Verzerrungen überlagert bzw. die Momente mit den Krümmungen l σ ε dx = S E d = l M κ dx = M K d = l l N N EA dx σ ij ε ij d M M EI m ij κ ij d Stab Scheibe dx Balken Platte Genau genommen sind die Ausdrücke Bilinearformen, denn sie hängen von zwei Argumenten ab und sie sind in beiden Argumenten linear a(w, ŵ) = l EI w ŵ dx = l M ˆM EI dx Diese Bilinearformen schreibt man heute als a(, ) l a(u, û) = a(u, û) = l a(w, ŵ) = a(w, ŵ) = l N σ ˆε dx = ˆN EA dx = S Ê d = εˆ ij d M ˆκ dx = σ ij l M ˆK d = l M ˆM EI dx = m ij ˆκ ij d EA u û dx l EI w ŵ dx Auf der Diagonalen, u = û sind sie gerade die innere Energie A i (nach Multiplikation mit /) und auf der Nebendiagonalen stellen sie die Wechselwirkungsenergie, die virtuelle innere Energie dar. Erste Greensche Identität Die Rechenregel für die partielle Integration in höheren Dimensionen lautet u, i û d = u û n i ds u û, i d Damit erhält man die Erste Greensche Identität der Scheibe G(u, û) = L u û d + τ (u) û ds a(u, û) = Γ } {{ } } {{ } δa i δa a Γ

Eine etwas andere Schreibweise dieser Identität lautet div S û d = S n û ds Γ S Ê d mit Ê = E(û) = ( û + ût ) = Verzerrungstensor des Feldes û Die Erste Greensche Identität der Scheibe beinhaltet das Prinzip der virtuellen Verrückungen G(u, û) = für alle û den Energieerhaltungssatz das Prinzip der virtuellen Kräfte G(u, u) = G(û, u) = für alle û und den Satz von Betti Beispiel B(u, û) = G(u, û) G(u, û) = Eine Scheibe werde mit Volumenkräften p belastet, auf dem Rand Γ u festgehalten (Lagerrand) und auf dem freien Rand Γ t mit Randkräften t belastet L u = p in S n = τ (u) = t auf Γ t u = ū auf Γ u Γ t Γ u = Γ und das Vektorfeld u sei die Lösung dieses Randwertproblems. Die Lagerkräfte auf dem festgehaltenen Rand Γ u sind der Spannungsvektor t = S n dieses Verschiebungsfeldes. Gemäß der Ersten Greenschen Identität ist die Scheibe im Gleichgewicht G(u, e i ) = p e i d + t e i ds + t e i ds a(u, e i ) Γ t Γ u = p e i d + t e i ds + t e i ds Γ t Γ u = Summe Volumenkräfte i + Summe Randkräfte i = und gemäß dieser Identität wird die äußere Arbeit die Scheibe gibt nach, wenn sie belastet wird, so dass die Lasten Arbeit verrichten als Verzerrungsenergie gespeichert G(u, u) = p u d + t u ds S E d = Γ Platten Die Plattenstatik hat sich aus der Balkenstatik entwickelt. Auch heute noch werden Brücken als Gitterroste gerechnet [Bechert]. In der klassischen Balkenstatik (Bernoulli-Balken), EIw IV = p, vernachlässigen wir die Schubverformungen aus der Querkraft, d.h. wir rechnen, wie man sagt, die Balken schubstarr. Dies bedeutet: Eine Linie, die vor der Verformung senkrecht zur Balkenachse stand, steht auch nach der Verformung noch senkrecht auf der Achse. Beim einem schubweichen Balken (Timoshenko-Balken), verdreht sich jedoch der Querschnitt gegenüber der Senkrechten, s. Bild 5.

Figure 5: Kragarm und verschiedene FE-Modelle: a) Scheibe b) Schubweicher Träger c) Schubstarrer Träger Figure 6: Man kann eine (schubstarre) Platte nicht wie ein Blech falzen. Einen Kragträger wie in Bild 5 kann man einmal als Scheibe, als schubweichen Balken oder schließlich als schubstarren Balken rechnen. Nur das Scheibenmodell berücksichtigt auch die Verzerrungen ε zz in vertikaler Richtung. Bei den beiden Balkenmodellen bleibt dagegen der Abstand zwischen der Ober- und Unterkante des Balkens gleich. Beim schubweichen Träger kann sich der Querschnitt, also der vertikale Schnitt in dem Bild, gegenüber der Balkenachse verdrehen, während beim schubstarren Träger der Querschnitt immer senkrecht zur Balkenachse bleibt. Dem Bernoulli-Balken entspricht in der Plattenstatik die ebenfalls schubstarre Kirchhoffplatte, K w = p und dem Timoshenko-Balken entspricht die schubweiche Reissner-Mindlin-Platte. schubstarr Bernoulli-Balken, Kirchhoff-Platte schubweich Timoshenko-Balken, Reissner-Mindlin-Platte In der normalen Plattenstatik rechnen wir die Platten schubstarr. Die Werke von Rüsch, Czerny, Stiglat Wippel basieren alle auf der Kirchhoffschen Plattentheorie. Erst mit dem Aufkommen der finiten Elemente haben sich die Gewichte in Richtung der schubweichen Platte verschoben. Der Grund hierfür ist nicht ein Bedürfnis nach gestiegener Genauigkeit, sondern der Wunsch der Programmierer die strengen Anforderungen an die Güte der Ansatzfunktionen Stichwort C -Stetigkeit zu umgehen. In der Stabstatik ist die Beanspruchung des Materials proportional der Dehnung ε = u, während sie in einem Balken proportional der (technischen) Krümmung κ = w = M/EI ist. Dieser Unterschied markiert genau die Unterschiede zwischen Stab und Balken bzw. Scheibe und Platte. Der Stab wird gestreckt, der Balken wird gebogen. Dort, wo sich die Neigung w auf kurzem Wege stark ändert wenn wir etwa ein Eisen um einen Dorn biegen ist die Krümmung sehr groß und

Figure 7: Eine Dachfunktion ist nicht konform. In ihr ist unendlich viel Energie gespeichert. sind es damit auch die Momente. Wollte man den Stabstahl gar knicken, dann müsste man ihn zum Fließen bringen. Wenn nun die Ansätze, die wir für die Platten benutzen, die Beanspruchungen widerspiegeln, die wir den Platten zumuten jede Einheitsverformung ϕ i entspricht ja einem Einheitslastfall p i so ist es anschaulich klar, dass wir Knicke in den Einheitsverformungen vermeiden müssen, denn man kann eine schubstarre Platte nicht wie ein Blech falzen, s. Bild (6). Einfache Dachfunktionen wie in Bild 7 als Ansatzfunktionen für die Biegefläche w sind also nicht zulässig. Die Knicke würden Fließgelenken darstellen, und der Sinn einer FE-Berechnung kann es nicht sein, eine Wohnhausdecke mittels Fließgelenken in die richtige Form zu zwingen. Die Kirchhoffplatte ist eine Erweiterung des Bernoulli-Balkens (schubstarrer Balken) κ w = κ EI κ + M = M = p (Anfangskrümmungen z.bsp. κ = α T T h ) auf zwei Dimensionen K K(w) = K C[K] + M = M div M = p (Anfangskrümmungen z.bsp. K = α T T h I) (Anfangsmomente z.bsp. aus Vorspannung) Hierbei ist K = [κ ij ] der Krümmungstensor und K() der Operator und das Elastizitätsgesetz lautet [ ] w, w, K(w) = = w w, w, C[K] = K{( ν) K + ν tr(k) I} K = E h 3 ( ν ) mit tr(k) = κ + κ = Spur (= trace) von K. Setzt man die Gleichungen ineinander ein, so erhält man die Gleichung K(w, xxxx + w, xxyy +w, yyyy ) = K w = p Die Schubkräfte sind definiert als q = m, +m, q = m, +m, In jedem Randpunkt bilden die Randnormale n = {n, n } T und der dazu orthogonale Tangentenvektor t = {t, t } T = { n, n } T zwei charakteristische Richtungen von denen die Schnittgrößen

Figure 8: Die Querdehnung führt zur Aufweitung der Druckzone und Einschnürung der Zugzone. auf dem Rand abhängen m n = m n + m n n + m n = m ij n i n j = n T M n m nt = m (n n ) (m m ) n n = m ij n i t j = n T M t q n = q n + q n = m ij, j n i = div M n v n = d ds m nt + q n Kirchhoffschub Die Elemente des Momententensors lauten wir nehmen an, dass keine Anfangskrümmungen vorhanden sind m ij = K( ν)(w, ij + δ ij ν ν w, kk ) (Summe über k! und Kronecker-Delta) und somit kann man die Schnittgrößen auf dem Rand direkt durch w ausdrücken m n = K[(w, +ν w, ) n + ( ν) w, n n + (w, +ν w, ) n ] m nt = K[(w, (ν ) + w, ( ν))n n + ( ν) w, (n n )] v n = d ds m nt + (m ij ), i n j Die Erste Greensche Identität der Differentialgleichung K w lautet ŵ G(w, ŵ) = K w ŵ d + [v n ŵ m n n ] ds + [[m nt ŵ]] a(w, ŵ) = Γ mit der Wechselwirkungsenergie a(w, ŵ) = M ˆK d = m ij ˆκ ij d = K (w (ŵ + ν ŵ ) + ( ν) w, ŵ, +w, (ŵ + ν ŵ )) d die der Balkenenergie entspricht. a(w, ŵ) = l M ˆM EI dx = l M ˆκ dx = l EI w ŵ dx Die Doppelklammer [[f]] = f(x ) f(x + ) steht für die Differenz der Funktionswerte f in den Ecken. Solche Differenzen kommen beim Torsionsmoment m nt in den Ecken einer Platte vor. Die Differenz zwischen dem linken und rechten Torsionsmoment ist gerade die Eckkraft F [[m nt ]] = m nt (x ) m nt (x + ) = F

Figure 9: Schnittkräfte einer Platte Figure : Zerlegung des Torsionsmoments in Randkräfte und daher steht [[m nt ŵ]] = [[m nt ]] ŵ = F ŵ symbolisch für die virtuelle Arbeit aller Eckkräfte auf den Wegen ŵ der virtuellen Verrückungen. Freie Ränder sind streng genommen nicht kräftefrei. Längs eines etwa vertikal verlaufenden Plattenrandes, treten Querkräfte q x und Torsionsmomente m xy auf, die aber so aufeinander abgestimmt sind, dass die Änderung von m xy pro Schrittlänge dy durch q x ausgeglichen wird, so dass gesamthaft am freien Rand der Kirchhoffschub Null ist, v x = q x + dm xy dy =. Nur längs eingespannter Ränder fällt, wegen m nt =, die Querkraft q n mit dem Kirchhoffschub v n zusammen. Bei allen anderen Lagerbedingungen ist jedoch q n v n. Der Unterschied ist allerdings in der Regel nicht sehr groß, wie man an Hand der Czerny-Tafeln erkennt.