Prof. Dr. G. Meinhardt Statistik & Mathematische und statistische Methoden I Sprechstunde jederzeit nach Vereinbarung und nach der Vorlesung Wallstr. 3, 6. Stock, Raum 06-206 Dr. Malte Persike persike@uni-mainz.de lordsofthebortz.de twitter.com/methodenlehre tinyurl.com/gplusmethodenlehre Folie 1 WiSe 2011/2012 Fachbereich Sozialwissenschaften Psychologisches Institut Johannes Gutenberg Universität Mainz
Merkmale & Grundlagen Eigenschaften, deren Werte bei den statistischen Einheiten beobachtet werden, heißen Merkmale Die Werte, die ein Merkmal annehmen kann, heißen Ausprägungen Die Ausprägungen eines Merkmals können beliebiger Art sein (z.b. Worte, Formen, Farben etc.) Eine Variable wird definiert, indem den Ausprägungen des Merkmals Zahlen zugeordnet werden. Diese Zahlen heißen Realisationen oder Werte. Folie 2 Merkmal Punkte auf Fläche 2 5 Variable Zahlen
Merkmale & werden mit Großbuchstaben symbolisiert, häufig verwendet man X und Y Die Realisationen einer werden dann mit den entsprechenden Kleinbuchstaben gekennzeichnet, also x und y Die Menge aller möglichen Realisationen ist der Wertebereich einer Folie 3
Definition werden immer über eine mathematische Formulierung definiert, z.b. Merkmal X Variable x: 1 1, 0, wenn x: 2 1, 2, wenn x: 6 5, 6, wenn Die extensionale Definition zählt alle Realisationen der auf. Folie 4
Definition werden immer über eine mathematische Formulierung definiert, z.b. Merkmal Variable X 0 Die intensionale Definition gibt eine Vorschrift an, die die Variable eindeutig spezifiziert. Folie 5
& Messungen Grundlagen Folie 6 Die empirische Feststellung der Realisation einer wird als Messung bezeichnet Dabei ist zu unterscheiden zwischen der Beobachtung der Ausprägung des Merkmals und der Messung der Realisation der Denn: Die Beobachtung kann eine Information in beliebiger Form erheben (z.b. verbal, bildlich), die Messung liefert immer eine Zahl. Die gemessenen Zahlen heißen Messwerte oder Ergebnisse
Unterscheidung nach Art der Daten Eine wesentliche Unterscheidung von Typen von trennt diskrete von stetigen Eine diskrete Variable besitzt zumeist endlich viele und feste Ausprägungen, die man über Ganzzahlen beschreiben kann Dichtome haben genau zwei diskrete Ausprägungen Polytome haben mehr als zwei diskrete Ausprägungen Eine stetige (kontinuierliche) Variable kann (unendlich viele) beliebige Ausprägungen annehmen, die man über reelle Zahlen beschreibt Folie 7
Unterscheidung nach Art der Daten Achtung: Es sind streng Typen von Merkmalen und Typen von zu unterscheiden. Alter ist ein kontinuierliches bzw. stetiges Merkmal. Eine Variable Alter kann nun aber diskret definiert werden als x 1: 0, wenn <18 Alter X x 2: 1, wenn <68 x 3: 2, wenn 68 Folie 8 Gleiches gilt z.b. für Intelligenz, Schulleistung, Sehvermögen, Fahreignung
Definition Definition der Skala (oder richtiger: Skale) Eine Skale ist die Festlegung von Einheiten, in denen ein gegebenes Merkmal gemessen wird Die Einheiten sind zumeist numerisch (Zahlen), können aber auch beliebige andere Symbole sein Nur, die auf derselben Skale gemessen wurden, sind direkt miteinander vergleichbar In allen anderen Fällen müssen die sofern möglich ineinander überführt werden (transformation). Folie 9
Vom Merkmal zur Skale Zusammenfassung am Beispiel der CAPS (Blake, 1996) Konstrukt: PTSD Merkmal: Kreuze im CAPS? Skale 39 X x 1: 0, wenn 0 ja x 2: 1, wenn 1 ja x 135: 136, wenn 136 ja Folie 10 Messung Variable: CAPS-Score
Vom Merkmal zur Skale Zusammenfassung am Beispiel der CAPS (Blake, 1996) Y=0: Keine PTSD Y=1: Leichte PTSD (nicht krankheitswertig) Y=2: Mittlere PTSD, (krankheitswertig) Y=3: Schwere PTSD Y=4: Extreme PTSD Konstrukt: PTSD transformation Merkmal: Kreuze im CAPS y1: 0, X 0,19 y2: 1, X 20,39 Y( X) y3: 2, X 40,59 y4: 3, X 60,79 y5: 4, X 80,136 39 X 0, wenn 0 ja 1, wenn 1 ja 136, wenn 136 ja Variable: Schweregrad Messung Variable: CAPS-Score Folie 11
niveaus Übersicht Es gibt verschiedene Typen von, die als niveaus bezeichnet werden. qualitativ Ordinalskala Intervallskala Verhältnisskala quantitativ (Ratioskala) Absolutskala Bortz, S. 12 15 Der Informationsgehalt nimmt von der zur Absolutskala hin zu Bei Messungen kognitiver Merkmale kommen die Verhältnis- und die Absolutskala so gut wie nie vor Folie 12
niveaus Folie 13 Frage: Warum ist die Kenntnis des niveaus so wichtig für die psychologische Forschung? 1. Das niveau bestimmt die erlaubten mathematischen Operationen (=,, <, > etc.) 2. Das niveau bestimmt, welche mathematischen Transformationen auf die Messwerte einer angewandt werden dürfen, ohne Informationen zu verlieren. Beispiele: Hat eine Person mit X=40 eine doppelt so schwere PTSD wie jemand mit X=20? Hat eine Person mit Y=2 eine doppelt so schwere PTSD wie jemand mit Y=1? Verliert man durch die Transformation Y(X) Informationen?
niveaus Frage: Warum ist die Kenntnis des niveaus so wichtig für die psychologische Forschung? 1. Das niveau bestimmt die erlaubten mathematischen Operationen (=,, <, > etc.) 2. Das niveau bestimmt, welche mathematischen Transformationen auf die Messwerte einer angewandt werden dürfen, ohne Informationen zu verlieren. 3. Das niveau bestimmt damit auch, welche statistischen Verfahren überhaupt auf Daten angewandt werden dürfen. Also: Ohne niveau keine Statistik Folie 14
Definition Bortz, S. 12 Bei einer werden den Realisationen einer Zahlen mit dem Ziel zugeordnet, Kategorien zu unterscheiden Die Zahlen selbst sind vollständig beliebig und damit nicht interpretierbar Die Anwendung mathematischer Operationen auf die Werte einer nominalskalierten ist unter bestimmten Voraussetzungen möglich, aber zumeist nicht sinnvoll. Folie 15
Beispiele Konstitutionstypen a) Leptosomer Typ b) Athletischer Typ c) Pyknischer Typ Temperamentstypen Folie 16
Zulässige Operationen Zulässige Operationen sind ausschließlich Äquivalenzrelationen, d.h. Gleich und Ungleich Jede andere Aussage als A ist gleich/ungleich B ist bei einer nominalskalierten Variable unzulässig! Folie 17
Zulässige Transformationen Zulässige Transformationen sind eineindeutige Abbildungen, so dass die Unterscheidbarkeit der Realisationen erhalten bleibt. Folie 18
Exkurs: Indizierung von Realisationen und Merkmalsträgern Frage: Wie werden Realisationen formal kodiert? Ziel: Eine symbolische Schreibweise für Der Wert der vierten Ausprägung von X zu finden Hat eine Variable X genau k mögliche Realisationen, so werden diese mit x 1, x 2,, x k indiziert Laufindizes (oft i oder j) helfen, die einzelnen Realisationen symbolisch zu adressieren (Beginn bei 1). x1: 1, wenn <18 Alter X x2: 2, wenn <68 x3: 3, wenn 68 y1: 0, wenn <18 Alter Y y2: 18, wenn <68 y3: 68, wenn 68 Folie 19
Exkurs: Indizierung von Realisationen und Merkmalsträgern Folie 20 Frage: Wie werden Realisationen formal kodiert? Ziel: Eine symbolische Schreibweise für Der Wert der vierten Ausprägung von X zu finden Hat eine Variable X genau k mögliche Realisationen, so werden diese mit x 1, x 2,, x k indiziert Laufindizes (oft i oder j) helfen, die einzelnen Realisationen symbolisch zu adressieren (Beginn bei 1). Das Symbol x j mit j = 1 k bezeichnet dann die j-te Realisation der Zufallsvariablen X. Diese Indizierung ist nur für diskrete sinnvoll, da stetige unendlich viele Realisationen haben
Exkurs: Indizierung von Realisationen und Merkmalsträgern Folie 21 Frage: Wie werden Merkmalsträger formal kodiert? Ziel: Eine symbolische Schreibweise für Der Wert der vierten Person in der Stichprobe zu finden Konvention: Für die Gesamtzahl von Personen wird nahezu immer das Zeichen n (oder N) benutzt. Für die Gesamtzahl von Realisationen werden andere Kleinbuchstaben verwendet (z.b. k) Dann dient wieder ein Laufindex dazu, die einzelnen Personen zu adressieren Das Symbol x i mit i = 1 n bezeichnet dann die i-te Messung der Zufallsvariablen X.
Exkurs: Indizierung von Realisationen und Merkmalsträgern Problem: Das Symbol x 3 kann die dritte Realisation der Zufallsvariablen X sein oder auch der Wert der 3. Person in der Stichprobe Also: Es muss vorher definiert sein, was der Laufindex bedeutet, z.b. Die Variable X habe k Realisationen und sei an n Personen gemessen worden. x i x j Folie 22 mit i = 1 n mit j = 1 k
Exkurs: Indizierung von Realisationen und Merkmalsträgern Folie 23 In psychologischen Experimenten gibt es oft viele, die als UV oder AV erhoben werden. Beispiel: An einer Stichprobe von Personen verschiedenen Geschlechts wird der durchschnittliche Alkoholkonsum über einen Monat hinweg gemessen. Man hat hier offenbar 3 sowie mehrere Messungen verschiedener Merkmalsträger IQ als AV: (X) Geschlecht als UV (Y) Alkoholabhängigkeit als UV (Z) Frage: Wie indiziert man z.b. Die IQ-Messung des 4. Mannes in der Gruppe der Alkoholiker?
Exkurs: Indizierung von Realisationen und Merkmalsträgern Die Variable Geschlecht (Y) wird in k=2 Ausprägungen gemessen: y 1 : 0 = männlich y 2 : 1 = weiblich Die Variable Alkoholkonsum (Z) wird diskretisiert in m=5 Ausprägungen (Jelinek, 1951) gemessen: z 1 : 0 = Kein Alkoholkonsum z 2 : 1 = Konflikt-/Erleichterungstrinken z 3 : 2 = Gelegenheitstrinken z 4 : 3 = Rauschtrinken (Alkoholiker) z 5 : 4 = Periodisches Trinken (Alkoholiker) Folie 24 Es nehmen insgesamt n=220 Personen teil
Exkurs: Indizierung von Realisationen und Merkmalsträgern Die AV ist der IQ. Dies ist die Variable, deren Realisation im Experiment bei den Merkmalsträgern gemessen wird. Die beiden anderen sind UVen, deren Realisationen vor dem Experiment bereits feststehen, bzw. erhoben werden. Zur eindeutigen Indizierung des IQ eines Merkmalsträgers werden nun mehrere Laufindizes benötigt Folie 25
Exkurs: Indizierung von Realisationen und Merkmalsträgern Eine Person fällt immer in eine der km = 25 = 10 Gruppen von Geschlecht und Alkoholkonsum Der Laufindex für Geschlecht sei r = 1 k und für Alkoholkonsum s = 1 m Jede der 10 Gruppen hat also n rs Mitglieder Jede Person kann eindeutig identifiziert werden über x irs mit i=1 n rs r=1 k, s=1 m Folie 26 So ist z.b. x 4,1,3 der vierte Mann unter den Gelegenheitstrinkern
Exkurs: Indizierung von Realisationen und Merkmalsträgern Oft möchte man über einen der Indizes aggregieren (z.b. mitteln) Beispiel: Alle weiblichen Rauschtrinker Dann kommt die Punktnotation zum Einsatz x rs hier: x,2,5 Der Punkt symbolisiert Alle, in diesem Fall also Alle Personen in Gruppe Y=y r, Z=z s. Folie 27
Bortz, S. 47 Häufigkeiten Numerische Beschreibung: Häufigkeiten Kreuztabellen Kennwerte Grafische Darstellung Nominalskalierte sind praktisch immer diskret und endlich Die empirische beobachtete Häufigkeit des Auftretens einer Ausprägung X = x wird als h(x = x) oder vereinfacht h(x) geschrieben. h(x) bezeichnet man als absolute Häufigkeit Die relative Häufigkeit f(x = x) bzw. f(x) ist dann definiert als der Quotient aus absoluter Häufigkeit und der Anzahl n aller Beobachtungen hx ( ) f ( x) h( x) f( x) n n Achtung: Relative Häufigkeiten sind nicht Wahrscheinlichkeiten Folie 28
Häufigkeiten Kreuztabellen Kennwerte Grafische Darstellung Numerische Beschreibung: univariate Kreuztabellen Die Sammlung der Werte der h(x = x j ) und f(x = x j ) für alle möglichen j = 1 k wird als diskrete Häufigkeitsverteilung bezeichnet Wert von X h(x = x j ) f(x = x j ) x 1 h(x 1 ) f(x 1 ) x 2 h(x 2 ) f(x 2 ) x i h(x i ) f(x i ) x k h(x k ) f(x k ) Tabellarische Darstellung über Kreuztabellen (oder Kontingenztabellen) Folie 29
Häufigkeiten Numerische Beschreibung: bivariate Kreuztabellen Kreuztabellen Kennwerte Grafische Darstellung Oft betrachtet man Häufigkeiten für das gemeinsame Auftreten zweier Merkmale Beispiel: Frauen/Männer, die unter-/normal- /übergewichtig sind In diesem Fall werden 2 betrachtet: X: Geschlecht (x 1, x 2 ) Y: Gewichtsstatus (y 1, y 2, y 3 ) Die Häufigkeiten sind nun so genannte Verbundhäufigkeiten, die das Vorkommen jeder möglichen Kombination aus x und y beschreiben Folie 30
Häufigkeiten Kreuztabellen Kennwerte Grafische Darstellung Folie 31 Numerische Beschreibung: bivariate Kreuztabellen Absolute Verbundhäufigkeiten werden im bivariaten Fall symbolisiert als h(x=x, Y=y) bzw. h(x, y) Relative Verbundhäufigkeiten als f(x=x, Y=y) bzw. f(x, y) Tabellarische Darstellung über bivariate Kreuztabellen Geschlecht Männlich (x 1 ) Weiblich (x 2 ) Σ Unter (y 1 ) f(x 1,y 1 ) f(x 2,y 1 ) f(,y 1 ) Gewicht Normal (y 2 ) f(x 1,y 2 ) f(x 2,y 2 ) f(,y 2 ) Über (y 3 ) f(x 1,y 3 ) f(x 2,y 3 ) f(,y 3 ) Σ f(x 1, ) f(x 2, ) f(, ) Randhäufigkeiten
Häufigkeiten Numerische Beschreibung: multivariate Kreuztabellen Kreuztabellen Kennwerte Grafische Darstellung Auch das gemeinsame Vorkommen von mehr als zwei Merkmalen ist über Kreuztabellen darstellbar Beispiel: Frauen/Männer, die unter-/normal- /übergewichtig sind und Stricken/World of Warcraft spielen In diesem Fall werden 3 betrachtet: X: Geschlecht (x 1, x 2 ) Y: Gewichtsstatus (y 1, y 2, y 3 ) Z: Freizeitbeschäftigung (z 1, z 2 ) Folie 32
Häufigkeiten Numerische Beschreibung: multivariate Kreuztabellen Kreuztabellen Kennwerte Absolute Verbundhäufigkeiten werden im multivariaten Fall symbolisiert als h(x=x, Y=y, ) bzw. h(x, y, ) Relative Verbundhäufigkeiten als f(x=x, Y=y, ) bzw. f(x, y, ) Grafische Darstellung Tabellarische Darstellung über geschachtelte (oder genestete ) Kreuztabellen Geschlecht Männlich (x 1 ) Weiblich (x 2 ) Freizeit Stricken (z 1 ) WoW (z 2 ) Stricken (z 1 ) WoW (z 2 ) Unter (y 1 ) f(x 1,y 1,z 1 ) f(x 1,y 1,z 2 ) f(x 2,y 1,z 1 ) f(x 2,y 1,z 2 ) Gewicht Normal (y 2 ) f(x 1,y 2,z 1 ) f(x 1,y 2,z 2 ) f(x 2,y 2,z 1 ) f(x 2,y 2,z 2 ) Über (y 3 ) f(x 1,y 3,z 1 ) f(x 1,y 3,z 2 ) f(x 2,y 3,z 1 ) f(x 2,y 3,z 2 ) Folie 33
Häufigkeiten Numerische Beschreibung: Kennwerte Kreuztabellen Kennwerte Grafische Darstellung Als Kennwert bezeichnet man ein statistisches Maß, das eine Menge von Beobachtungen über zumeist nur eine Zahl beschreibt Kennwerte dienen damit der Datenreduktion Kennwerte charakterisieren lediglich bestimmte Eigenschaften der gegebenen Menge von Beobachtungen, sie bedeuten als einen Informationsverlust Folie 34
Bortz, S. 28 29 Häufigkeiten Numerische Beschreibung: Kennwerte Kreuztabellen Kennwerte Grafische Darstellung Ein Kennwert für nominalskalierte Daten ist der Modalwert (oder Modus ) Er bezeichnet die unter den Beobachtungen am häufigsten vorkommende Ausprägung x : x f( x) max. mod Wichtig: Der Modalwert ist nicht die Häufigkeit, sondern der Wert der häufigsten Ausprägung. Folie 35 Bei mehreren Maxima sinkt die Aussagekraft von x mod
Bortz, S. 45 46 Häufigkeiten Kreuztabellen Kennwerte Grafische Darstellung Grafische Beschreibung: Kreisdiagramm Das Kreis- oder Tortendiagramm stellt die absoluten oder relativen Häufigkeiten von Klassen als Kreissegmente eines Vollkreises ( Tortenstücke ) dar. Der Öffnungswinkel α eines Tortenstücks ist dabei durch den Anteil der Klassenelemente an allen Elementen definiert und wird berechnet als hx ( ) 360 360 f ( x) n Die Summe der Öffnungswinkel aller Kreissegmente sollte wieder 360 ergeben Folie 36
Häufigkeiten Kreuztabellen Grafische Beschreibung: Kreisdiagramm Beispiel: Von den 43.371.190 Wahlgängern der Bundestagswahl 2009 haben gewählt: Kennwerte 5161172 11.9% 2602271 6.0% Grafische Darstellung Folie 37 4640717 10.7% 6332194 14.6% 9975374 23.0% 14659462 33.8% SPD CDU/CSU FDP Grüne Linke Sonstige
Häufigkeiten Grafische Beschreibung: Säulendiagramm Kreuztabellen Kennwerte Grafische Darstellung Das Balken- oder Säulendiagramm stellt die absoluten oder relativen Häufigkeiten von Ausprägungen als Balken (waagerecht) oder Säulen (senkrecht) dar. Die verschiedenen möglichen Ausprägungen werden auch als Klassen bezeichnet Der Länge der Säulen bzw. Balken ist dabei durch den Anteil der Klassenelemente am Ganzen bzw. die absolute Anzahl definiert. Die Breite der Balken variiert niemals innerhalb eines Balkendiagramms Folie 38
Häufigkeiten Kreuztabellen Grafische Beschreibung: Säulendiagramm Beispiel: Von den 43.371.190 Wahlgängern der Bundestagswahl 2009 haben gewählt: Kennwerte Grafische Darstellung Folie 39
Häufigkeiten Kreuztabellen Grafische Beschreibung: Säulendiagramm Warum gleiche Säulenbreiten? Kennwerte Grafische Darstellung Folie 40 Menschen neigen zur Größenbewertung anhand der Fläche.
Grafische Beschreibung How-not -to Folie 41 Quelle: www.fc-bayern.de
Ordinaldaten Intervalldaten Grafische Beschreibung How-not -to Bild fragt: Brauchen wir eine Ausländerquote an deutschen Schulen? als Reaktion auf PISA 2008 Folie 42
Grafische Beschreibung How-not -to Quelle: www.engadget.com Folie 43
Grafische Beschreibung How-not -to Keine Geschlechterlücke mehr beim Gehalt von Führungskräften Folie 44
Relevante Excel Funktionen Häufigkeitsberechnungen Grundrechenarten: +, -,, / Formeln: SUMME(), PRODUKT() Häufigkeitsdarstellungen ANZAHL2() ZÄHLENWENN(), ZÄHLENWENNS() HÄUFIGKEIT() Diagramme: Kreisdiagramm, Säulen-/Balkendiagramm Kennwerte MODUS.EINF() Folie 45