2.5.2006
Wir haben die Gleichung ẍ + αφ(x)ẋ + x = βp(t) mit geradem φ(x) sowie φ < 0 für x < 1 und φ > 0 für x > 1. Die Funktion p(t) ist T -periodisch und α, β sind nichtnegativ.
Autonomisieren liefert das System ẋ = y αφ(x), ẏ = x + βp(θ), θ = 1. ( Ursprungssystem )
Wir wählen als konkrete Funktionen φ(x) = x 2 1, Φ(x) = 1 3 x 3 x, p(t) = cos(ωt).
Wir haben also (ẋ ) = ẏ ( ) ( y x 3 α x 3 x 0 ).
Rotationstransformation und Approximation (gem. Kap. 4) liefert in Polarkoordinaten ṙ = α r (1 r 2 ) + O(α 2 ), 2 4 φ = 0 + O(α 2 ).
Langfristig erhalten wir also r = 2 + O(α 2 ), φ = φ 0 + O(α 2 ). Für β = 0, α 1 hat das System also einen Grenzzyklus.
Wir betrachten dieselben Gleichungen ( ) 1 ẋ = y α 3 x 3 x, ẏ = x mit nun nicht mehr so kleinem α.
Transformation ŷ = 1 αy und Weglassen des Daches liefert ( ( )) 1 ẋ = α y 3 x 3 x, ẏ = 1 α x.
(0, 0) ist FP.
(0, 0) ist FP. α groß ẏ klein.
(0, 0) ist FP. α groß ẏ klein. Für y = x3 3 x (das sei Kurve c) ist ẋ = 0.
(0, 0) ist FP. α groß ẏ klein. Für y = x3 3 x (das sei Kurve c) ist ẋ = 0. Auf c haben wir ẏ = 1 α x.
(0, 0) ist FP. α groß ẏ klein. Für y = x3 3 x (das sei Kurve c) ist ẋ = 0. Auf c haben wir ẏ = 1 α x. Was passiert über/unter c?
(0, 0) ist FP. α groß ẏ klein. Für y = x3 3 x (das sei Kurve c) ist ẋ = 0. Auf c haben wir ẏ = 1 α x. Was passiert über/unter c? Scheinbar existiert ein periodisches Orbit!
(0, 0) ist FP. α groß ẏ klein. Für y = x3 3 x (das sei Kurve c) ist ẋ = 0. Auf c haben wir ẏ = 1 α x. Was passiert über/unter c? Scheinbar existiert ein periodisches Orbit! Numerik
(0, 0) ist FP. α groß ẏ klein. Für y = x3 3 x (das sei Kurve c) ist ẋ = 0. Auf c haben wir ẏ = 1 α x. Was passiert über/unter c? Scheinbar existiert ein periodisches Orbit! Numerik Beweis R, FP, Pc-B
Transformiere Ursprungssystem mit ( ) ( u cos(ωt) 1 = ω sin(ωt) ) ( ) x v sin(ωt) 1 ω cos(ωt) y und approximiere zu u = α ( u σv u ) 2 4 (u2 + v 2 ) + O(α 2 ), v = α ( σu + v v ) 2 4 (u2 + v 2 ) β 2ω + O(α2 ), mit σ = 1 ω2 αω. Noch ein Rechenschritt...
Skalieren von u, v mit 2 sowie t mit α 2 und Weglassen von O(α2 ) liefert u = u σv u(u 2 + v 2 ), v = σu + v v(u 2 + v 2 ) γ mit γ = β 2ω. Der Parameterraum besteht aus σ und γ. Wir betrachten...
Ausblick Cartwright: R4 = R4a R4b, R4a hat einen Grenzzyklus, R4b nicht, ergo existieren weitere Bifurkationspunkte.
Betrachte wieder ẋ = α (y Φ(x)), ẏ = 1 ( x + βp(t)). α
Ist α groß genug, kann ein Einzugsgebiet R R 2 gefunden werden.
Einzugsgebiet R R 2
Einzugsgebiet R R 2 Poincaré-Abbildung P mit P(R) R
Einzugsgebiet R R 2 Poincaré-Abbildung P mit P(R) R Attraktorenmenge A = P n (R) n 0
Einzugsgebiet R R 2 Poincaré-Abbildung P mit P(R) R Attraktorenmenge A = P n (R) n 0 Ist A eine geschlossene Kurve?
Ein Rechteck R + bewegt sich im Kreis. Auf y = Φ(x) langsame Bewegung. Horizontalbewegung schnell ( Jump ). Symmetrie, P ist nun ein Jump.
P 2 (R + ) ist ein Umlauf von R +. Levi zeigte, daß dabei einiges passiert...
R + wird gestreckt, gefaltet und verbogen:
Eine Darstellung der Abbildung als Kreisabbildung interpretiert: Definiere Folge {x k }, x k = f k (x 0 ).
4er-Übergangsmatrix
4er-Übergangsmatrix Beschränke auf I 1, I 2
4er-Übergangsmatrix Beschränke auf I 1, I 2 Folgen {a k }
4er-Übergangsmatrix Beschränke auf I 1, I 2 Folgen {a k } Shift σ
Kreisabbildung f ist expansiv, zwei sehr nahe Folgen {x k } 1,2 werden also irgendwann in verschiedene Intervalle abgebildet, also sind die zugehörigen {a k } 1,2 verschieden.
Kreisabbildung f ist expansiv, zwei sehr nahe Folgen {x k } 1,2 werden also irgendwann in verschiedene Intervalle abgebildet, also sind die zugehörigen {a k } 1,2 verschieden. Zwei verschiedene {a k } 1,2 gehören sicher nicht zu gleichen Folgen {x k } 1,2.
Kreisabbildung f ist expansiv, zwei sehr nahe Folgen {x k } 1,2 werden also irgendwann in verschiedene Intervalle abgebildet, also sind die zugehörigen {a k } 1,2 verschieden. Zwei verschiedene {a k } 1,2 gehören sicher nicht zu gleichen Folgen {x k } 1,2. Bijektivität.
Nun können wir periodische Symbolfolgen auf endlichem Alphabet abzählen: Perioden- Anzahl Symbollänge Orbits Folgen 1 2 1..., 2... 2 1 12... 3 2 112..., 122... 4 3 1112..., 1122..., 1222... 5 6 11112..., 11122..., 11222..., 12222... 12121..., 21212...
Die Invariantenmenge, also die Punkte, die unter f stets in I 1 I 2 bleiben, besteht aus abzählbar unendlich vielen periodischen Punkten und überabzählbar vielen nicht-periodischen Punkten.
Wir linearisieren die Kreisabbildung zu 1 18 4 (2 x) x [0, 41 ] 10x 4 x [ 18 f (x) = 41, 1 2 ] 10x 5 x [ 1 2, 23 41 ] 1 23 4 (3 x) x [ 41, 1] Das schauen wir uns an...
... und erkennen vier Fixpunkte...
... und werfen sie in den Rechner. Ergebnis: Die Folgen konvergieren wie vermutet gegen (einige) Fixpunkte.
... und werfen sie in den Rechner. Ergebnis: Die Folgen konvergieren wie vermutet gegen (einige) Fixpunkte. Sie konvergieren für unterschiedliche Startwerte in unterschiedliche Fixpunkte.
... und werfen sie in den Rechner. Ergebnis: Die Folgen konvergieren wie vermutet gegen (einige) Fixpunkte. Sie konvergieren für unterschiedliche Startwerte in unterschiedliche Fixpunkte. Extreme Datensensibilität: Betrachte die Startpunkte x i = x 0 + i 10 11, i {0, 3, 6}. Für i = 0 und i = 6 konvergieren die Folgen gegen denselben Fixpunkt, für i = 3 jedoch gegen einen anderen!