Lösbarkeit von Gleichungen

Lösbarkeit von Gleichungen

Inhaltsverzeichnis Inhaltsverzeichnis... 2 Impressum... 3 Lernziele... 4 Gleichungen... 5 Die Lösung als Bruch angeben, wenn die Rechnung nicht aufgeht... 5 Gleichungen mit negativen Werten als Lösungen... 8 Gleichungen mit Klammern... 11 Bruchgleichungen... 12 Lösbarkeit von Gleichungen... 15 Umstellen von Formeln... 17 Seite 2

Impressum Produktion: leitner.interactive, Äußere Buchleuthe 58, 87600 Kaufbeuren Herausgeber: e/t/s Didaktische Medien GmbH Kirchstraße 3 87642 Halblech Autor: Bfw Bad Pyrmont Rechte: Copyright 2006 e/t/s Didaktische Medien GmbH, Halblech. Alle Rechte vorbehalten. Kein Teil des Werkes darf in irgendeiner Form (durch Fotokopie, Mikrofilm oder ein anderes Verfahren) ohne schriftliche Genehmigung des Herausgebers reproduziert oder unter Verwendung elektronischer Systeme verarbeitet, vervielfältigt oder verbreitet werden. Auch die Rechte der Wiedergabe durch Vortrag, Funk und Fernsehen sind vorbehalten. Text, Abbildungen und Programme wurden mit größter Sorgfalt erarbeitet. Herausgeber, Programmierer und Autoren können jedoch für eventuell verbliebene fehlerhafte Angaben und deren Folgen weder eine juristische Verantwortung noch irgendeine Haftung übernehmen. Namensschutz: Die meisten in dieser Einheit erwähnten Soft- und Hardwarebezeichnungen sind auch eingetragene Marken und unterliegen als solche den gesetzlichen Bestimmungen. Microsoft, Windows und andere Namen von Produkten der Firma Microsoft, die in dieser Qualifizierungseinheit erwähnt werden, sind eingetragene Warenzeichen der Microsoft Corporation. Inhaltliche Verantwortung: Diese Qualifizierungseinheit enthält Verweise (sogenannte Hyperlinks) auf Seiten im World Wide Web. Wir möchten darauf hin weisen, dass wir keinen Einfluss auf die Gestaltung sowie die Inhalte der gelinkten Seiten haben. Deshalb distanzieren wir uns hiermit ausdrücklich von allen Inhalten der Seiten, auf die aus unserem Lerninhalt verwiesen wird. Diese Erklärung gilt für alle in diesem Lerninhalt ausgebrachten Links und für alle Inhalte der Seiten, zu denen Links oder Banner führen. Seite 3

Lernziele In den Qualifizierungseinheiten zu den Grundrechenarten Addition, Subtraktion, Multiplikation und Division sowie der Qualifizierungseinheit Rechengesetze haben Sie den praktischen Umgang mit Zahlen wiederholt, d.h. wie man Terme korrekt ausrechnet. Dabei müssen Sie bestimmte Gesetzmäßigkeiten beachten, beispielsweise die Vertauschbarkeit von Werten innerhalb einer Rechnung oder die Vorfahrtsregelungen Punkt-vor-Strich und Klammern zuerst. Diese Rechengesetze - und dazu noch einige mehr - kann man verallgemeinernd betrachten. Immer wenn es um mathematische Ausdrücke also Terme geht, gelten sie, beim Lösen von Gleichungen ebenso. In dieser Qualifizierungseinheit lernen Sie folgenden Gesetze kennen und in Termumformungen und Gleichungen anzuwenden: das Kommutativgesetz oder Vertauschungsgesetz das Assoziativgesetz oder Verbindungsgesetz das Distributivgesetz oder Verteilungsgesetz Sie lernen mit negativen Werten zu rechnen und die Vorzeichen bei Termumformungen zu berücksichtigen. Sie lernen Bruchgleichungen zu lösen. Sie lernen die Lösbarkeit und einschränkende Bedingungen einer Gleichung zu erkennen. Sie lernen Formeln umzustellen. Seite 4

Gleichungen In diesem Kapitel werden Probleme im Umgang mit linearen Gleichungen behandelt, die mit Hilfe Ihrer Kenntnisse der Rechengesetze und Ihrem erfolgreichen Umgang mit Vorzeichen gelöst werden können. Grundwissen über das Lösen einer Gleichung mit einer der vier Grundrechenarten aus dem LB Gleichungen 1 setzen wir voruaus. Die Lösung als Bruch angeben, wenn die Rechnung nicht aufgeht Ist der letzte Schritt zur Lösung einer Gleichung eine Division, die oft ja nicht aufgeht, lässt man üblicherweise das Ergebnis als Bruch stehen. Nur wenn ein Problem mit konkreten Größen gelöst werden soll, das Ergebnis beispielsweise einen Geldbetrag oder ein Längenmaß darstellt, dürfen Sie runden. In allgemeinen Gleichungen dürfen Sie niemals runden, sonst stimmt die Probe nicht exakt. Es heißt ja Gleich-ung und nicht Ungefähr-ung! Beispiel: 7 x = 5 / : 7 Die Gleichung wird durch 7 geteilt. x = 5 : 7 x = 5 7 L = { 5 7 } Das könnte man ausrechnen, die Rechnung geht aber nicht auf! Also wird die Division mit Hilfe des Bruchstrichs notiert: So kann das Ergebnis bleiben! So gibt man auf gut Mathematisch die Lösung als Lösungsmenge an! 7 5 7 = 7 5 7 = 5 wahre Aussage, also ist die Gleichung richtig gelöst worden. Beispiel: 1,4 x = 0,6 Die Gleichung wird durch 1,4 geteilt. x = 0,6 1,4 x = 6 14 Das Ergebnis steht als Bruch, muss nun mit 10 erweitert werden, damit keine Kommazahlen mehr vorkommen. Nun kürzen Sie! (Hier durch 2!) x = 3 7 Seite 5

L = { 3 7 } 1,4 3 7 = 1,4 3 7 = 4,2 : 7 = 0,6 wahre Aussage, also ist die Gleichung richtig gelöst worden. Seite 6

Übung Lösen Sie die folgenden Gleichungen und geben Sie die Ergebnisse als Bruch oder gemischte Zahl an. Denken Sie daran, das Ergebnis in der vollständig gekürzten Form anzugeben und nur ganze Zahlen in Zähler und Nenner zu belassen. Machen Sie jeweils auch die 15 x = 14 14 x = 15 x = x = 12 x = 10 65 x = 15 x = x = 36 x = 15 39 x = 102 x = x = 19 x = 21 121 x = 22 x = x = 1,5 x = 0,8 0,18 x = 1 8 x = x = 2,9 x = 0,03 22,5 x = 50 x = x = Seite 7

Gleichungen mit negativen Werten als Lösungen Peter hat 11 Äpfel. Wie viele hat ihm seine Tante noch dazu gegeben, wenn er hinterher 8 Äpfel hat? Hier stimmt ja wohl etwas nicht! Peter hat nichts bekommen, er hat weniger Äpfel, also hat er welche gegessen oder abgegeben! Übersetzen Sie trotzdem die Aufgabe in eine Gleichung, dann sieht das so aus: 11 + x = 8 Wenden Sie Ihre Kenntnisse zum Lösen einer Gleichung an und Sie erhalten folgende Lösung: x = 8 11 x = 3 Es gibt also eine rechnerische Lösung : x = -3. Sie machen die Probe, indem Sie den Wert (-3) an die Stelle des x in die Gleichung einsetzen. 11 + (-3) = 8 11 3 = 8 wahre Aussage! Bezogen auf die Aufgabe mit Peter und seinen Äpfeln gibt es diese Lösung nicht, weil es keine 3 Äpfel gibt! Stückzahlen beziehen sich auf den Zahlenraum der natürlichen Zahlen Ν. Erweitert man den Zahlenraum für mögliche Lösungen jedoch nicht nur auf die Menge aller positiven, sondern auch aller negativen rationalen Zahlen (Q), dann ergibt sich eine mathematische Lösung dieser Gleichung. Im Folgenden sind für alle Aufgaben Lösungen aus dem gesamten Zahlenraum Q möglich. Beispiel: 4 x = 9... -4 - x = 9 4 Seite 8

- x = 5 (-1) Das x mit dem verkehrten x = -5 Vorzeichen (-x) ist 5, also multiplizieren Sie die Gleichung mit 1! 4 (-5) = 9 4 + 5 = 9 wahre Aussage! Seite 9

Übung Lösen Sie folgende Gleichungen und machen Sie die Probe 45 x = 55,2 x + 23 = -13 15 x = -4,5-3x = 12 2,5 x = -22,5-44 + x = - 65-65 x = 20 2x = -77 x : (-3) = 9 x : 5 = -7 15 x = 17 + x - x 2 = 12 x + 26 = - 13 x 0 = x + 11 Seite 10

Gleichungen mit Klammern Im LB Gleichungen haben Sie gelernt, einfache Gleichungen zu lösen. Sind Gleichungen aus größeren Termen zusammengesetzt, müssen Sie sämtliche Rechengesetze berücksichtigen. Punkt vor Strich bedeutet in der Gleichungslehre, dass die Punktrechenarten die Terme fester zusammenhalten als die Strichrechenarten. Deshalb müssen die Strichrechenarten zuerst von der Variablen gelöst werden. Klammern können ausmultipliziert werden, um die Terme übersichtlicher zu gestalten. Beispiele:... x (2x 6) 2 =... Lösen Sie zuerst die Klammern auf, bevor Sie die Gleichungen lösen! Beachten Sie hierbei, was Sie im Umgang mit Klammern und Vorzeichen gelernt haben: 1. Ein + vor der Klammerbedeutet, die Klammer kann weggelassen werden, ohne dass sich + oder verändern. 2. ein -" vor der Klammer bedeutet, dass sich + und umkehren. 3. Ein Faktor vor oder hinter der Klammer bedeutet, dass ausmultipliziert werden muss. x 4x + 12 =... Zusammenfassen! 3x + 12 =... +3x Alle Elemente mit x auf der Seite sammeln, wo mehr sind,... - 2 die Zahlen auf der anderen.... :4... 2,5 (2,5 2 6) 2 = 2,5 + 2 2,5 (5 6) 2 = 4,5 2,5 (-1) 2 = 4,5 2,5 + 2 = 4,5 wahre Aussage! Übung Lösen Sie folgenden Gleichungen: 5 (2x +2) = x + 28 (x + 1) 7 5 = 8x 10 (1 x) = 8 2 (2 1,5x) = 8 Seite 11

2x (-x 1) 3 = 3 (x + 2) 2 = (x + 3) 3 - (x +2) = (x + 3) 3 (16 x 8) : 4 = x + 6 (x+2) (x 2) = x 2 x (x 5) 2 = x 2 + 5 (10 + x ) 2 = x 2 Bruchgleichungen Beachten Sie folgende Regeln der Bruchrechnung: Gleichnamige Brüche werden addiert bzw. subtrahiert, indem die Zähler addiert bzw. subtrahiert werden und der Nenner bleibt. Ungleichnamige Brüche müssen auf den Hauptnenner erweitert werden. Wenden Sie diese Regel auch im Umgang mit Brüchen in Gleichungen an! Beispiel: 2x 3 - x 4 4 2x 4 3-3x 3 4 = 40 = 40 Hauptnenner ist 12. Erweitern Sie! 8x-3x 12 = 40 Mit dem Hauptnenner multiplizieren. 5x = 40 12 5x = 480 : 5 x = 96 Tipp : Sie können die Gleichung auch sofort mit dem Hauptnenner multiplizieren, das sieht dann so aus und geht schneller: 2x 3 x 4 = 40 Multiplizieren Sie beide Seiten der Gleichung mit dem Hauptnenner 12. 4 3 12 2x 3 12 x 4 = 12 40 Kürzen! Seite 12

8x 3x = 480 5x = 480 x = 96 2 96 3 96 4... = 40 64 24... = 40 Übung Lösen Sie folgenden Gleichungen ebenso: 5x 2 + 8x 3 = 62 x 2 2x 7 = 3 x 3 x 5 = 16 x 8 + 8 = x 10 + 2 Wenn der Zähler (oder auch der Nenner) eine Strichrechenart enthält, müssen Sie aufpassen, dass Sie beim Multiplizieren eine Klammer um den jeweiligen Term setzen müssen! Beispiel: x-2 3 + 2-x 2 = -2 Multiplizieren Sie mit dem Hauptnenner! Setzen Sie die Zähler in Klammern! 2 3 6(x-2) 3 Kürzen! + 6(2-x) 2 = -2 6... 2x 4 + 6 3x = 12 2 x = 12 x = 14 x = 14 14-2 3 + 2-14 2 = -2 12 3 + -12 2 = -2 4 6 = -2 Seite 13

Übung Lösen Sie folgenden Gleichungen ebenso: x-3 7 = 2+x 7-5-x 7 b 5-2 = b 3 2-3x 4 + 5+2x 5 = x 3x 2 + 2x 3 = 1 2(x+3) 6-2(x-3) 9 = 4 Seite 14

Lösbarkeit von Gleichungen x + 3 = 1 ist nur lösbar, wenn x nicht darauf begrenzt ist, eine positive Zahl zu sein; denn x = -2. Für x muss die sogenannte Grundmenge definiert sein und x muss dann ein Element aus dieser Menge sein. In unserem Zusammenhang wollen wir x immer aus der Menge der rationalen Zahlen (Q) wählen, das sind die Zahlen, die sich als Bruch schreiben lassen. Wir wollen folgende Gleichung lösen: x + 1 = x 1 - x + 1 = - 1... Was bedeutet das? Diese Aussage ist eindeutig falsch! Vielleicht probieren wir es anders?...x + 1 = x 1...... - 1 x = x 2... - x 0 = - 2... Was bedeutet das? Diese Aussage ist eindeutig falsch! Wie Sie es auch angehen, es entsteht eine falsche Aussage. Das bedeutet, unsere Ausgangsgleichung ist nicht lösbar! Die Lösungsmenge ist leer. Man schreibt L = { } Lösen Sie nun diese Gleichung: 2x x = x x = x... -x 0 = 0 Das stimmt! Aber welchen Wert hat x? Sie gelangen zu einer allgemeingültigen Aussage, die unabhängig von der Wahl für den Wert von x ist. Das heißt, egal wie Sie den Wert für x wählen, es entsteht immer eine wahre Aussage. Probieren Sie es! 2x x = x Seite 15

x = 1 2 1 1 = 1 x = 2 2 2 2 = 2 x = 3 2 3 3 = 3 x = 0 2 0 0 = 0 x = -1 2 (-1) (-1) = -1 x = -2 2 (-2) (-2) = -2 Die Gleichung ist allgemeingültig und hat unendlich viele Lösungen. Man schreibt L = Q Alle anderen Gleichungen dieser Lerneinheit haben nur ein Ergebnis. Beispiel: x + 5 = 0,5 x = 0,5 5 x = -4,5...Die Gleichung ist eindeutig lösbar. Man schreibt L = {-4,5} Aufpassen müssen Sie noch, wenn in einer Gleichung durch eine Variable dividiert wird oder durch einen Term mit der Variablen, denn das Teilen durch 0 ist nicht definiert! In solch einem Fall darf der Term, durch den geteilt wird, niemals den Wert 0 annehmen. Beispiel: 18 x+1 = 20... x + 1 0; also x -1 18 = 20(x+1) 18 = 20x + 20 18 20 = 20 x -2 = 20x -2 20 = x -1 10 = x L = { -1 10 } Übung: Geben Sie die Lösungsmenge an und die einschränkenden Bedingungen für x: 3x + 3 = 3x 3... L = 5x 4x = x L = 2(x+1) 2x = 2... L = Seite 16

1 x + 2 = 2 x... L = 10 2x - 1 = 1 x... L = 1 x - 1 = 0 x... L = Umstellen von Formeln Formeln stellen Kochrezepte zur Berechnung verschiedenster Sachverhalte dar: Flächen-, Körperberechnungen in der Geometrie, Prozente und Zinsen, physikalische Zusammenhänge werden in ihrer Allgemeinheit als Formel dargestellt. Platzhalter geben an, wie welche Größen miteinander durch Rechenoperationen verknüpft werden. Beispiel: V = s t Formel zur Berechnung der Geschwindigkeit V = Geschwindigkeit s = zurückgelegte Strecke t = Zeit Um die Geschwindigkeit zu berechnen, teilt man also die Strecke durch die Zeit. Zeit und Strecke müssen bekannt sein. Die Formel muss umgestellt werden, sobald nicht V, sondern s oder t unbekannt sind. Dazu benutzen Sie Ihre Kenntnisse aus der Gleichungslehre. Ist s unbekannt, müssen Sie die Gleichung nach s auflösen, d.h. s muss allein auf einer Seite der Gleichung übrig sein: V = s t t...multiplizieren Sie mit t! V t = s Stellen Sie nun nach t um: Schon sind Sie fertig! Sie haben nun die Formel, wie Sie s mit Hilfe von V und t berechnen können. V t = s Seite 17

Übrigens dürfen hier s, t und V nicht die Werte 0 annehmen! Da es sich um konkrete Größen handelt, brauchen Sie keine Bedenken zu haben. Geschwindigkeit findet nur statt, wenn tatsächlich Zeit vergangen ist oder eine Strecke zurückgelegt wurde! Viele Formeln bestehen nur aus Multiplikationen und Divisionen, müssen daher nur durch Division oder Multiplikation hin und her geschoben werden. Übung: Lösen Sie folgende Formeln zu den angegebenen Variablen auf: Fläche eine Rechtecks: A = a b a = Länge b = Breite a = b = Volumen eine Quaders: V = a b h a = Länge b = Breite h = Höhe a = b = h = Prozentwert: W = G p 100 G = Grundwert p = Prozentsatz G = p = Volumen einer Rechteckpyramide: V = a b h 3 a = a = Länge b = Breite Seite 18

b = h = Höhe h = Umfang eines Kreises: U = 2 π r r = Radius r = π = Kreiskonstante Sobald Formeln auch Strichrechenarten oder Klammern enthalten, müssen Sie die geltenden Rechengesetze beachten! Strichrechenarten binden die Terme schwächer, also Strichrechenarten zuerst lösen. Klammern halten den Term fest zusammen, also keine Elemente aus einer Klammer herausreißen! Klammern so weit wie möglich lösen, z.b. ausmultiplizieren, oder als Gesamtheit behandeln! Beispiel: Umfang eines Rechtecks: U = 2 (a + b) a = Länge b = Breite Lösen Sie nach a auf! U = 2 (a + b) : 2 U 2 = (a + b) Nun dürfen Sie die Klammer weglassen! U 2 U 2 - b = a = a + b - b oder : U = 2 (a + b) Sie lösen hier die Klammer auf! U = 2a + 2b - 2b U 2b = 2a : 2 U-2b 2 = a Seite 19

Beide Varianten sind identisch, denn U-2b 2 = (U 2b) : 2 = U 2 - b Übung: Lösen Sie folgende Formeln zu den angegebenen Variablen auf: Mittellinie eines Trapez: Fläche eines Trapez: m = a+c 2 a = c = A = a+c 2 h a = h = Mantelfläche des Quaders: M = 2 h (a + b) h = a = Linsengleichung g = f b b-f f = b = f = Brennweite g = Gegenstandsweite b = Bildweite Seite 20