GIBB Gewerblich-Industrielle Berufsschule Bern Berufsmaturitätsschule Berufsmaturitätsprüfung 2009 Mathematik Zeit: 180 Minuten Hilfsmittel: Formel- und Tabellensammlung ohne gelöste Beispiele, Taschenrechner Hinweise: Die Lösungen werden nur bewertet, wenn der Lösungsweg vollständig und klar ersichtlich ist. Punkte: Die maimale Punktzahl beträgt 30 Punkte (Teil 1 je 1.5 Punkte, Teil 2 je 3 Punkte pro Aufgabe) Teil 1 (je 1.5 Punkte) 1. Aus einem Stück Draht der Länge l = 60 cm soll ein Kreissektor geformt werden. Wie gross muss der Radius r gewählt werden, damit die grösstmögliche Sektorfläche entsteht? 2. Eine Gerade h mit Definitionsmenge D = { R 2 < 8 }verläuft durch den Punkt Q(2/3) und hat eine Nullstelle bei 0 = 6. (a) Bestimmen Sie die Funktionsgleichung h(). (b) Berechnen Sie den positiven Winkel α mit der -Achse (c) P(4/p) soll unterhalb von h() liegen. Welche Bedingung muss p erfüllen? 3. Ermitteln Sie für D = { R 0 2π } sämtliche Lösungen der goniometrischen Gleichung: π sin + = 0.5 4 4. Bestimmen Sie die Funktionsvorschrift derjenigen Sinusfunktion f mit der Definitionsmenge D f = { R 90 540 }, die untenstehend gezeichneten Graphen besitzt.. Die Funktion hat im Punkt A (60 /4) ein Maimum und im Punkt B (300 /-2) ein Minimum. Die Einheiten auf der -Achse sind Grad.
5 4 3 f( ) 2 1 60 0 60 120 180 240 300 360 420 1 2 5. Die Punkte A, B, C und D im dreidimensionalen Raum haben die Koordinaten: A(1/0/0); B(3/0/2); C(2/1/0); D(/2/2) Berechnen Sie die Koordinate vom Punkt D so, damit die vier Punkte in einer Ebene liegen. 6. Bestimmen Sie die Lösungsmenge für : (D = R) 16 2 2 = 2 3 2 7. Bestimmen Sie die Lösungsmenge für : (Grundmenge G = R) lg ( + 4) + lg = 2 lg ( + 1) 8. Welche Zahl ist grösser? 12 999 oder 4 1998 Begründen Sie Ihre Antwort! 9. Bestimmen Sie die Lösungsmenge für : (Grundmenge G = R) 4 + 1 = 1 10. Eine Kugel wird in 12 cm Abstand vom Mittelpunkt von einer Ebene geschnitten. Die Schnittfläche ist 300 cm 2 gross. Wie gross ist der Oberflächeninhalt der ursprünglichen ganzen Kugel? 11. Wie gross ist der Zentriwinkel α eines Kreissektors, dessen Inhalt gleich gross ist wie das dem Kreis eingeschriebene Quadrat mit der Seite s?
α r s 12. Gegeben ist ein Dreieck mit den Seiten a = 5; b = 7 und dem Winkel β = 20. Berechnen Sie die Höhe h a des Dreiecks. Teil 2 (je 3 Punkte) 13. Der Graph g einer linearen Funktion mit D = { R 2 < 9 }geht durch die Punkte A (-2/14) und B (3/7). (a) Bestimmen Sie die Funktionsgleichung g(). (b) Bestimmen Sie die Länge der Strecke, welche von der Geraden g im ersten Quadranten liegt. (c) Bestimmen Sie den Schnittpunkt S der senkrechten Geraden zu g(), welche durch den Koordinatenursprung führt. 14. Ermitteln Sie für D α = { α R 0 α 360 } sämtliche Lösungen der goniometrischen Gleichung: sin( α 45 ) + cos α + 135 = 2 tan α ( ) ( ) 15. Im Dreieck ABC ist AD die Winkelhalbierende des Winkels α (= Winkel CAB). Sie misst 10cm. Es gilt: DC =3 BD C Berechnen Sie den Winkel α und die Strecke BD. D A B 16. Gegeben ist der Punkt C (1/2/1) sowie eine Gerade g() = 2 + 1 in der -y- Koordinatenebene.
Berechnen Sie den Punkt Q auf der Geraden g mit minimalem Abstand zum Punkt C. 17. Gegeben ist eine gerade Pyramide. Die Grundfläche ist ein Quadrat mit einer Seitenlänge von 4 cm. Die Höhe der Pyramide beträgt 8cm. Die Ecke A hat die Koordinaten A(0/0/0). a) Bestimmen Sie die Koordinaten der Ecken B, C und der Spitze E? b) Berechnen Sie die Vektoren EB und EC. c) Berechnen Sie vom Dreieck BCE alle Innenwinkel. d) Berechne Sie den Winkel zwischen EB und der y-z-koordinatenebene. z E A D y B C 18. Bei einem Federpendel nimmt die Amplitude (Entfernung des Umkehrpunktes von der Ruhelage) eponentiell mit der Zeit ab. Nach 1 min beträgt die Amplitude 9 cm, nach 3 min noch 4 cm. a) Bestimmen Sie die Funktionsgleichung s = f(t). b) Nach welcher Zeit ist die Amplitude noch ein Viertel so hoch wie zu Beginn (t = 0 min)? 19. Die Spannung U (V) eines Kondensators - der über einen Widerstand an eine Betriebsspannung von 12 V geschaltet wird - beträgt während des Einschaltvorganges im kt Zeitpunkt t (s): U ( t) = 12 (1 e ). Man misst U (0,1) = 10.22 V.
a) Berechnen Sie die Konstante k für t = 0,1 s. b) Welches ist die Spannung im Zeitpunkt t = 0,2 s? c) In welchem Zeitpunkt t beträgt die Spannung 6 V? 20. Vorbemerkung zu unserem Zahlensystem: die Zahl 34 besteht aus den Ziffern 3 und 4, ihre Quersumme ist 7. Die Quersumme einer dreistelligen Zahl ist 15. Vertauscht man die zweite Ziffer mit der ersten, verkleinert sich die Zahl um 90. Vertauscht man von der ursprünglichen Zahl die zweite Ziffer mit der dritten, vergrössert sich die Zahl um 18. Bestimmen Sie die ursprüngliche Zahl rechnerisch. 21. Ein Metallstück mit H-Profil wiegt 40 kg und ist 2 m lang. Das verwendete Material hat die Dichte ρ = 6.32 kg/dm 3. Berechnen Sie d. 22. Ein kegelförmiger Trichter mit 20 cm Öffnungsweite (oberster Durchmesser) und einem Spitzenwinkel von 68 ist zu fünf Achtel des Volumens mit Wasser gefüllt. a) Welchen Durchmesser hat die Wasseroberfläche? b) Wie breit ist der unbenetzte Rand des Trichters? Unbenetzter Rand Wasser 23. Auf einem Berggipfel G steht ein h Meter hoher Sendemast (h = 75 m). Von einem Ort A im Tal sieht man den Fußpunkt des Mastes unter dem Höhenwinkel α (α = 17,7 ), die Spitze unter dem Höhenwinkel β (β = 24,3 ). Wie hoch ist der Berg ()? Berechnen Sie auch die horizontale Distanz d zwischen A und dem in die Horizontale projizierten Berggipfel G.
h G β A α d G' 24. Von einem Sehnenviereck (Viereck mit Umkreis) ABCD kennen wir die Seiten a = AB = 5 cm und c = CD = 4.3 cm, die Diagonale e = AC = 5.4 cm und der Winkel β = 94 in der Ecke B. Gesucht wird die Länge der Seite b und der Winkel α in der Ecke A. 12.08. / Wy