. Aufgabe: Zwei bis drei Millionen deutsche Haushalte sind überschuldet. Einer der Hauptgründe für die Überschuldung privater Haushalte ist eine gescheiterte Selbstständigkeit. In einer Stichprobe von 800 überschuldeten Haushalten gaben 84 als Hauptgrund eine gescheiterte Selbstständigkeit an. Bestimmen Sie zum Konfidenzniveau 95% eine obere Konfidenzgrenze für den Anteil der Haushalte, bei denen die gescheiterte Selbstständigkeit der Hauptgrund der Überschuldung ist. n = 800, x = 84, α = 0, 05 = z 0,95 =, 645. g o = = x + ) xn x) n + z 2 2 z2 + z α α + n 4 z2 α α 84 + ) 84800 84) 800 +, 645 2 2, 6452 +, 645 + 800 4, 6452 = 0, 242 = 2, 42% 2. Aufgabe: Die Druckfestigkeit in 0 N cm 2 ) zweier Betonsorten wird überprüft. Dabei ergaben sich folgende Werte: Sorte 85 86 84 86 85 87 86 87 85 Sorte 2 83 82 85 82 8 79 Die Schätzung der Varianzen ergibt s 2 = und s 2 2 = 4. Lässt sich unter der Voraussetzung, dass die Druckfestigkeit normalverteilt ist, ein signifikanter Unterschied α = 0, 05) in der erwarteten Druckfestigkeit der beiden Sorten nachweisen? Welch-Test n = 9, x = 85, 667, s 2 =, n 2 = 6, x 2 = 82, s 2 2 = 4. m = t = x x 2 = s 2 n + s2 2 n 2 s 2 n + s2 2 n 2 ) 2 s 2 n ) 2 n + s 2 2 n 2 ) 2 n 2 int 85, 667 82 9 + 4 6 = + 4 2 9 6) 9) 2 + 4 6) 2 8 5 = 4, 576 int = [6, 69] int = 6. t m, α 2 = t 6,0.975 = 2, 45 < 4, 576 = t = t K = H 0 wird abgelehnt. Die Erwartungswerte der Druckfestigkeiten der beiden Betonsorten unterscheiden sich signifikant. 3. Aufgabe: Ein Betrieb bezieht Spezialschrauben von einem Zulieferer. Für die Kontrolle der Qualität soll ein n, c)-stichprobenplan verwendet werden. Eine Lieferung mit höchstens 0,5% Ausschuss ist ein guter Posten und eine mit mehr als 2% Ausschuss ist ein schlechter Posten. Dabei fordert der Zulieferer, dass ein guter Posten höchstens mit einer Wahrscheinlichkeit von 3% abgelehnt wird. Die Forderung des Betriebes ist, dass ein schlechter Posten höchstens mit einer Wahrscheinlichkeit von % angenommen wird.
p α = 0, 005, α = 0, 03 = z α = z 0,97 =, 88 p β = 0, 02, β = 0, 0 = z β = z 0,99 = 2, 33. a) Prüfen Sie, ob es für n = 750 und n = 050 einen n, c)-stichprobenplan gibt, der beide Bedingungen erfüllt. Falls ja, dann geben Sie den Stichprobenplan an. n, c) = 050, 0). n np α + z α npα p α ) np β z β npβ p β ) c 750 7,38 6,07-050 9,54 0,43 0 b) Verwendet man bei der Prüfung einen sequentiellen Stichprobenplan, so erhält man als Annahmegerade 3, 26 + 0, 0084 k und als Ablehnungsgerade 2, 49 + 0, 0084 k. Wie groß ist beim sequentiellen Stichprobenplan der erwartete Stichprobenumfang bei einem Ausschussanteil von 0, 5%? a = 3, 26, b = 2, 49 und c s = 0, 0084. p = p α = 0, 005 Lp α ) = α = 0, 97 EN = b a + b)lp) p c s = 2, 49 3, 26 + 2, 49) 0, 97 0, 005 0, 0084 = 528, 68 4. Aufgabe: Die Geburten- und die Sterberate je 000 Einwohner) von 0 Ländern ist in der folgenden Tabelle zu finden: Land Geburtenrate Sterberate Argentinien 6,53 7,55 China 3,45 7 Deutschland 8,2 0,7 Frankreich 2,9 8,55 Israel 7,7 6,7 Japan 8, 8,98 Kanada 0,75 7,86 Marokko 2,64 5,54 Schweden 0,2 0,27 USA 4,6 8,26 Schätzen Sie aus dieser Stichprobe den Rangkorrelationskoeffizienten von Kendall.
Land Geburtenrate x Rangx) Sterberate y Rangy) Argentinien 6,53 8 7,55 4 China 3,45 6 7 3 Deutschland 8,2 2 0,7 0 Frankreich 2,9 5 8,55 7 Israel 7,7 9 6,7 2 Japan 8, 8,98 8 Kanada 0,75 4 7,86 5 Marokko 2,64 0 5,54 Schweden 0,2 3 0,27 9 USA 4,6 7 8,26 6 j 2 3 4 5 6 7 8 9 0 Rangx i )=j 2 3 4 5 6 7 8 9 0 Rang y i ) 8 0 9 5 7 3 6 4 2 q j 7 8 7 4 5 2 3 2 0 4 n q j j= τ = nn ) = 4 39 = 0, 733 0 9 = 0 q j = 39 5. Aufgabe: Betrachtet man die Bevölkerung in Millionen) der USA in Abhängigkeit von der Zeit t =, 2,..., 22, 23 das entspricht den Jahreszahlen 790, 800,..., 2000, 200), so kann man folgende Regressionsfunktion schätzen. j= a) Wie lautet die geschätzte Regressionsfunktion? Y -Bevölkerung in Millionen) Ŷ t) = 8, 42847 2, 6382 t + 0, 676548 t 2
b) Welche Hypothesen werden getestet, und wie lauten die Testentscheidungen? H 0 : a = 0 gegen H A : a 0 H 0 : a 2 = 0 gegen H A : a 2 0 H 0 : a 3 = 0 gegen H A : a 3 0 p i < α = Alle Parameter sind signifikant von 0 verschieden. H 0 : a 2 = a 3 = 0 gegen H A : a i 0 für mindestens ein i {2, 3}. p < α = Das Modell beschreibt einen signifikanten Zusammenhang. c) Bestimmen Sie das Bestimmtheitsmaß. Wie beurteilen Sie diesen Wert? B = SSE SST = 203362 = 0, 999 203543 Sehr gute Anpassung. d) Schätzen Sie die Varianz des Fehlers. ˆσ 2 = n r SSR = 80, 742 = 9, 037 23 3 e) Welchen Wert würden Sie für die Zeit t = 24, d.h. für das Jahr 2020 mit der geschätzten Regressionsfunktion prognostizieren. Ŷ 24) = 8, 42847 2, 6382 24 + 0, 676548 24 2 = 334, 8 D.h.: 334.800.000. 6. Aufgabe: a) In der folgenden Korrelationsmatrix sind mindestens drei Angaben falsch! Welche und warum?, 00 0, 8 0, 67 0, 39 0, 0 0, 8, 00 0, 78, 28 0, 9 0, 67 0, 87, 00 0, 93 0, 78 0, 39, 28 0, 93, 00 0, 23 0, 0 0, 9 0, 78 0, 23 0, 50, 00 0, 8 0, 67 0, 39 0, 0 0, 8, 00 0, 78, 28 0, 9 0, 67 0, 87, 00 0, 93 0, 78 0, 39, 28 0, 93, 00 0, 23 0, 0 0, 9 0, 78 0, 23 0, 50 3 Fehler: Die Symmetrie ρ ij = ρ ji ) ist verletzt: ρ 32 = 0, 87 0, 78 = ρ 23. Die Korrelation liegt immer zwischen und + ρ ij ), aber hier ist ρ 42 = ρ 24 =, 28. Es ist immer ρ ii =, aber hier ist ρ 55 = 0, 5.
b) Für eine Stichprobe wurde der χ 2 -Anpassungstest durchgeführt. Wieviele Parameter der Verteilung wurden aus der Stichprobe geschätzt? k = Klassen, 7 d.f, d.h. 3 Parameter wurden geschätzt. 7 = k m = m = 3 c) Für eine Gut-Schlecht-Prüfung mit Ausschussanteil p liegen vier Prüfpläne zu folgenden Bedingungen vor: Welchen Plan zieht der Produzent vor? Plan-Nr. Produzentenrisiko α bei p α 0, 0 0, 0 2 0, 0 0, 02 3 0, 02 0, 0 4 0, 02 0.02 Plan 2: Hoher Ausschussanteil p α bei kleinem Risiko der Ablehnung. d) Von den beiden Merkmalen X und Y liegt eine Stichprobe vom Umfang n = 2 vor: i 2 X x x 2 wobei x x 2 und y y 2. Y y y 2 Es wird behauptet, dass dann sowohl der Pearsonsche Korrelationskoeffizient als auch der Rangkorrelationskoeffizient von Kendall nur + oder sein können. Stimmt das? Begründen Sie Ihre Antwort! Pearson: Nur Geraden y = a + bx mit b 0 sind möglich. b > 0, = r = und b < 0, = r =. Kendall: Das eine Paar ist entweder konkordant oder diskordant. n k =, = τ = und n d =, = τ =.
e) Zwischen den beiden Regressoren x und x 2 und dem Regressand bestehe näherungsweise der funktionale Zusammenhang y = a e αx +βx 2 ). Transformieren Sie diese Beziehung auf einen parameter-)linearen Regressionsansatz. y = a e αx +βx 2 ) lny) = lna) αx βx 2 ỹ = a + a 2 x + a 3 x 2 mit ỹ = lny), a = lna), a 2 = α, a 3 = β.