I Lineare Funktionen... 9.) Funktionen... 9.) Proportionale Funktionen... 9.) Lineare Funktionen... 9.4) Bestimmung von linearen Funktionen:... II) Systeme linearer Gleichungen... 9.5) Lineare Gleichungen mit Variablen... 9.6) Lineare Gleichungssysteme mit Variablen...4 9.7) Lineare Gleichungssysteme mit mehr als Variablen...5 9.8) Lineare Ungleichungen mit Variablen...5 9.9) Lineare Ungleichungssysteme...5 9.0) Wurzeln...5 9.) Irrationale Zahlen...6 IV) Rechnen mit Quadratwurzeln... 6 9.) Multiplizieren / Dividieren von Wurzeln...6 9.) Addieren / Subtrahieren von Wurzeln...6 9.4) Rationalmachen des Nenners...6 9.5) Lösen von Wurzelgleichungen:...6 V) Ähnlichkeit... 7 9.6) Zentrische Streckungen:...7 9.7) Eigenschaften zentrischer Streckungen...7 9.8) Strahlensätze...7 9.9) Ähnlichkeitsabbildungen...8 9.0) Ähnlichkeitssätze für Dreiecke...8 VI) Flächensätze am Dreieck... 8 9.) Flächengleiche Vielecke...8 9.) Bezeichnungen in rechtwinkligen Dreiecken...8 9.) Der Kathetensatz...9 9.4) Der Satz des Pythagoras...9 9.5) Der Höhensatz...9 9.6) Berechnungen an Figuren und Körpern...9 VII) Quadratische Funktionen... 0 9.7) Definitionen...0 9.8) Normalparabeln und verschobene Normalparabeln...0 9.9) Allgemeine Parabeln...0 9.0) Quadratwurzelfunktion... 9.) Allgemeine Quadratwurzelfunktion... VIII) Quadratische Gleichungen... 9.) Zeichnerisches Lösen... 9.) Rechnerisches Lösen... 9.4) Der Satz von Vieta... 9.5) Biquadratische Gleichungen... --
I) Lineare Funktionen 9.) Funktionen Eine Zuordnung, bei welcher jedem aus der Definitionsmenge genau ein y aus der Wertemenge zugeordnet wird, nennt man eine Funktion. Funktionen kann man auf verschiedene Arten angeben: Zuordnungsvorschrift f: + 4 Funktionsterm + 4 Funktionsgleichung f() = + 4 Zeichnet man in ein Koordinatensystem alle Punkte P(; f()) ein, so bilden diese Punkte zusammen den Graphen der Funktion. Definition (Nullstelle): Jede Stelle 0, bei der der Graph einer Funktion f die -Achse schneidet oder berührt, nennt man eine Nullstelle der Funktion f. Für die Nullstelle 0 gilt somit: f( 0 ) = 0 Über diesen Zusammenhang lassen sich Nullstellen einfach bestimmen, indem man die entstandene Gleichung nach auflöst. -4 - = - 0 - y - - - 4 m = - Bsp: f() = + + 0 = 0 0 = 0 = Die Definitionsmenge einer Funktion D f ist die Menge aller Werte, die man in die Funktion einsetzen darf. Die Wertemenge einer Funktion W f ist die Menge aller Zahlen y, welche als Funktionswerte entstehen können. 9.) Proportionale Funktionen Jede Funktion der Form f: m (m Q) nennt man eine proportionale Funktion. y Der Graph einer proportionalen Funktion ist eine Ursprungsgerade, der Faktor m heißt Steigung des Graphen von f. steigend m > 0 Der Graph ist die Achse, falls m = 0 fallend m < 0-4 - - - - - m = / 4 m = - --
9.) Lineare Funktionen Jede Funktion der Form f: m + n (m,n Q) nennt man eine lineare Funktion. Der Graph jeder linearen Funktion ist eine Gerade. Der Faktor m heißt Steigung des Graphen, n heißt y-achsenabschnitt (Ordinatenabschnitt). y f() = 0,5 +,5 steigend m > 0 Der Graph ist parallel zur -Achse, falls m = 0 fallend m < 0-4 - - - - - 4 9.4) Bestimmung von linearen Funktionen: Sind zwei verschiedene Punkte P( p ; f( p )) und Q( Q ; f( Q )) bekannt, kann man die Funktion bestimmen.. Schritt: Bestimmen der Steigung: m = f ( Q ) f ( Q P P ). Schritt: Bestimmen des y-achsenabschnitts: f() = m + n f( P ) = m P + n n = f( P ) - m P m einsetzen und einen Punkt (z.b. P) einsetzen nach n umstellen. Schritt: Angabe der Funktion, m und n in die allgemeine Form einsetzen Beispiel: f verläuft durch P(/4) und Q (5/). Schritt: 5 m = = 4. Schritt: f() = + n P einsetzen 4 = + n n = 4 - (-) = 7. Schritt: f() = - + 7 II) Systeme linearer Gleichungen 9.5) Lineare Gleichungen mit Variablen Eine Gleichung der Form a + by = c nennt man eine lineare Gleichung mit Variablen. Falls b 0 ist, so hat diese Gleichung unendlich viele Lösungen, jede dieser Lösungen ist ein Zahlenpaar ( y) Zeichnet man alle Lösungen in ein Koordinatensystem ein, so erhält man eine Gerade. Beispiel: 5 + y = 0 einige Lösungen sind (0 5), (,5), (6-0). --
9.6) Lineare Gleichungssysteme mit Variablen -4- Will man wissen, für welche Zahlenpaare ( y) Gleichungen gleichzeitig erfüllt sind, so muss man die Lösungsmenge eines linearen Gleichungssystems bestimmen. Diese besteht aus allen gemeinsamen Lösungen der einzelnen Gleichungen. Ein lineares Gleichungssystem (LGS) I) a + b y = c II) a + b y = c kann keine, genau eine oder unendlich viele Lösungen haben. Zum Bestimmen der Lösungen eines LGS gibt es rechnerische Verfahren: a) Das Gleichsetzungsverfahren Stelle beide Gleichungen nach der gleichen Variablen um und setze jeweils die rechten Seiten gleich. Du erhältst mögliche Lösungen für die übrig gebliebene Variable. Setze diese in eine der beiden Gleichungen ein und du erhältst die möglichen zugehörigen Lösungen für die andere Variable Bsp.: I) y = - 4 II) y = - + Umstellen: I) y = - II) y = - + Gleichsetzen: - = - + = Einsetzen in I): y = - y = - Lösungsmenge: L = {( -)} b) Das Einsetzungsverfahren Stelle eine Gleichung nach einer Variablen um und setze die rechte Seite in die andere Gleichung anstelle dieser Variablen ein. Bsp: I) y = - 4 II) -y = - Umstellen von II) nach y: y = - + Einsetzen für y in II) (-+) = - 4 Auflösen nach : -4 + = - 4 = Einsetzen in I): y = - y = - Lösungsmenge: L = {( -)} c) Das Additionsverfahren Addiere geeignete Vielfache der beiden Gleichungen, so dass in der neu entstandenen Gleichung eine Variable entfällt. Bestimme nun die Lösungen Bsp.: I) - y = 4 I II) -4 - y = - I*) 4-4y = 8 II) -4 y =- I* + II -5y = 5 y = - Einsetzen in I) = Lösungsmenge: L ={( -)}
9.7) Lineare Gleichungssysteme mit mehr als Variablen Die Lösungsmenge kann man bestimmen, indem man mit dem Additionsverfahren das LGS in Stufenform bringt. Hierbei darf man - eine Gleichung mit einer Zahl (außer 0) multiplizieren - eine Gleichung ersetzen durch die Summe von dieser und einer anderen Gleichung. 9.8) Lineare Ungleichungen mit Variablen Beachte: Die Multiplikation einer Ungleichung mit einer negativen Zahl kehrt das Relationszeichen um. Stellt man die Lösungsmenge einer linearen Ungleichung im Koordinatensystem dar, so erhält man eine Halbebene. Zur einfachen Bestimmung dieser Halbebene bestimmt man den Graphen der zugehörigen linearen Gleichung, denn dieser Graph teilt die Zeichenebene in Halbebenen, von denen eine die Lösungsmenge der Ungleichung darstellt. Bsp: 6 + 4y > y > -,5 + y Zugehörige lineare Gleichung: y = -,5 + alle Lösungen der Gleichung liegen auf der Geraden y > -,5 + Alle Lösungen der Ungleichung liegen also oberhalb der Geraden, da das Relationszeichen ">" lautet. -4 - - - - - 4 y = -,5 + 9.9) Lineare Ungleichungssysteme Lineare Ungleichungssysteme können wir graphisch lösen, indem wir für jede der Ungleichungen die Lösungsmenge zeichnen und dann jenes Gebiet im Koordinatensystem hervorheben, für welches alle Ungleichungen gleichzeitig erfüllt sind. y Bsp.: I) y < - II) y -0,5 + -4 - - - 4 - - III) Reelle Zahlen 9.0) Wurzeln Die Wurzel aus einer nichtnegativen Zahl a ist jene nichtnegative Zahl, deren Quadrat gerade a ist: a = wenn a = Bsp.: 6 = 4, weil 6 = 4-5-
9.) Irrationale Zahlen Die Wurzel aus einer Zahl kann auch irrational sein, d.h. sich nicht als Bruch b a schreiben lassen. Bsp.: ist nicht rational, sondern irrational. Deshalb lässt sich nicht genau angeben, sondern nur annähern:,44 Die rationalen Zahlen und die irrationalen Zahlen bilden zusammen die Menge der reellen Zahlen R. IV) Rechnen mit Quadratwurzeln 9.) Multiplizieren / Dividieren von Wurzeln a b = a b (a, b 0) a a = (a 0, b > 0) b b 9.) Addieren / Subtrahieren von Wurzeln Es gilt das Distributivgesetz: a c ± b c = ( a ± b) c Achtung! a + b a + b 9.4) Rationalmachen des Nenners (Wurzeln aus dem Nenner entfernen) Durch geschicktes Erweitern kann man Wurzeln aus dem Nenner entfernen. a) Im Nenner steht eine Wurzel Erweitere mit eben dieser Wurzel, dann ist der Nenner wurzelfrei 5 5 7 5 7 Bsp.: = = 7 7 7 7 b) im Nenner steht eine Summe / Differenz, die eine Wurzel enthält. Erweitere so, dass du die. binomische Formel benutzen kannst. Bsp: = + 4 ( 4) = = ( + 4)( 4) 6 4 9.5) Lösen von Wurzelgleichungen: Stelle die Gleichung so um, dass eine Wurzel allein steht. Quadriere nun die Gleichung Führe diese beiden Schritte so oft aus, bis keine Wurzel mehr vorhanden ist Löse nun die Gleichung und mache die Probe! + + 6 Pr obe : 6 = 4 + = 6 + 8 + = 8 = = 6 wahr -6-
V) Ähnlichkeit 9.6) Zentrische Streckungen: Eine Abbildung nennt man zentrische Streckung Z S,k mit dem Streckzentrum S und dem Streckfaktor k 0, wenn jedem Punkt P ein Bildpunkt P zugeordnet wird, so dass gilt: Falls P nicht das Streckzentrum ist, so liegt P auf der Geraden durch S und P. Ist k > 0, so liegt P auf der selben Seite von S wie P, ist k < 0, so liegt P auf der anderen Seite von S wie P. Für die Abstände gilt: SP' = k SP S wird auf sich selbst abgebildet Ist k >, so ist das Bild größer als das Original, ist hingegen 0 < k <, so ist es kleiner. Beispiele: a) k = b) k = P S P P P S 9.7) Eigenschaften zentrischer Streckungen: Jede zentrische Streckung hat folgende Eigenschaften: Das Bild einer Geraden g ist wieder eine Gerade g, g und g sind zueinander parallel Das Bild einer Strecke AB ist eine Strecke A ' B', welche k mal so lang ist wie AB. Längenverhältnisse bleiben erhalten Winkelgrößen bleiben erhalten Der Flächeninhalt der Bildfigur ist k² mal so groß, wie der der Originalfigur: A = k²a 9.8) Strahlensätze: Bei jeder Strahlensatzfigur gelten folgenden Zusammenhänge. Strahlensatz: Die Abschnitte auf dem einen Strahl (auf der einen Geraden) verhalten sich wie die zugehörigen Abschnitte auf dem anderen Strahl (der anderen Geraden). S A B A B SA ' SB' AA' BB = und = SA SB SA SB'. Strahlensatz: Die Abschnitte auf den Parallelen verhalten sich wie die von S beginnenden zugehörigen Strahlenabschnitte (Geradenabschnitte). A' B' AB SA' = und SA A ' B' AB SB' = SB B A S A B -7-
9.9) Ähnlichkeitsabbildungen: Zwei Figuren F und G nennt man zueinander ähnlich, wenn entweder F und G zueinander kongruent sind oder wenn man F durch eine zentrische Streckung so abbilden kann, dass das Bild F zu G kongruent ist. Man schreibt dann: F ~ G Eigenschaften zueinander ähnlicher Figuren: Entsprechende Winkel sind gleich groß Entsprechende Längenverhältnisse sind gleich Verhalten sich entsprechende Längen wie k :, so verhalten sich entsprechende Flächeninhalte wie k² :. Die Hintereinanderausführung einer zentrischen Streckung und einer Kongruenzabbildung (Drehung, Spiegelung, Verschiebung oder deren Kombination) nennt man eine Ähnlichkeitsabbildung. 9.0) Ähnlichkeitssätze für Dreiecke: Zwei Dreiecke sind zueinander ähnlich, wenn sie in entsprechenden Winkeln übereinstimmen. Zwei Dreiecke sind zueinander ähnlich, wenn sie in entsprechenden Seitenverhältnissen übereinstimmen: a a' a a' b b' = und = und = b b' c c' c c' A B C c b b c A C B a VI) Flächensätze am Dreieck 9.) Flächengleiche Vielecke Parallelogramme (Dreiecke), die in einer Seite und der dazugehörigen Höhe übereinstimmen, haben den gleichen Flächeninhalt, sind also flächengleich. h g g 9.) Bezeichnungen in rechtwinkligen Dreiecken Die dem rechten Winkel gegenüberliegende Seite nennt man Hypotenuse, die am rechten Winkel anliegenden Seiten nennt man Katheten. Die Höhe über der Hypotenuse teilt die Hypotenuse in Teile, die Hypotenusenabschnitte. Kathete b Höhe h Hypotenusenabschnitte q p Kathete a Hypotenuse c -8-
9.) Der Kathetensatz Für jedes rechtwinklige Dreieck gilt: Das Quadrat über einer Kathete ist flächengleich zum Rechteck aus Hypotenuse c und dem anliegenden Hypotenusenabschnitt. Es gilt: a = c p b = c q 9.4) Der Satz des Pythagoras Für jedes rechtwinklige Dreieck gilt: Die Quadrate über den Katheten haben zusammen den gleichen Flächeninhalt wie das Quadrat über der Hypotenuse. Es gilt: a + b = c a b Umkehrung des Satzes von Pythagoras c Wenn in einem Dreieck mit den Seiten a, b und c gilt: a + b = c, dann ist das Dreieck rechtwinklig mit der Hypotenuse c 9.5) Der Höhensatz Für jedes rechtwinklige Dreieck gilt: Das Quadrat über der Höhe ist flächengleich zum Rechteck aus den beiden Hypotenusenabschnitten. Es gilt: h = p q 9.6) Berechnungen an Figuren und Körpern Diagonale eines Quadrates: Höhe im gleichseitigen Dreieck: d h a d = a -9- a h = a
Räumliche Diagonale eines Würfels: d d = a d a VII) Quadratische Funktionen 9.7) Definitionen Jede Funktion der Form f: a² + b + c (a 0) und jede Funktion, die sich auf diese Form bringen lässt, nennt man eine quadratische Funktion. Die Graphen von quadratischen Funktionen nennt man Parabeln. 9.8) Normalparabeln und verschobene Normalparabeln Die einfachste quadratische Funktion hat die Form f: ². Deren Graph nennt man die Normalparabel. Diese verläuft durch den Ursprung und ist symmetrisch zur y-achse. Der Scheitel der Normalparabel liegt im Ursprung. Eine quadratische Funktion der Form f: ( - d)² + e hat als Graphen eine verschobene Normalparabel, deren Scheitel die Koordinaten S (d, e) hat. Weil man dieser Form den Scheitel direkt entnehmen kann, nennt man diese Form auch Scheitelform. Jede quadratische Funktion lässt sich in Scheitelform bringen. (Im Beispiel: f: (-)² +, Scheitel S( )) 9.9) allgemeine Parabeln Eine quadratische Funktion der Form f: a( - d)² + e hat als Graphen eine verschobene und gestreckte / gestauchte Normalparabel, deren Scheitel die Koordinaten S (d, e) hat. enger a > Die Parabel ist als die Normalparabel, wenn ist, weiter a < sie ist nach oben geöffnet, wenn unten a > 0 a < 0 ist. (Im Beispiel: f: 0,5(-)²- und g: -(+)²+5 ) -0-
9.0) Quadratwurzelfunktion Die Funktion f: nennt man die Quadratwurzelfunktion. + da der Radikand nicht negativ sein darf, gilt D f = R 0 Der Graph hat die Form einer halben Normalparabel, welche an der Winkelhalbierenden des. Quadranten gespiegelt wurde. 9.) allgemeine Quadratwurzelfunktionen Eine Funktion der Form f: d + e nennt man allgemeine Quadratwurzelfunktion. Für die Definitionsmenge gilt: D f = { R d} Den Graphen einer Funktion der Form f: d + e erhält man, indem man den Graphen der Quadratwurzelfunktion entlang der -Achse um d nach rechts (bei +d um d nach links) und entlang der y- Achse um e nach oben (bei e um e nach unten) verschiebt. Bsp.: f() = + Graph der Quadratwurzelfunktion um nach rechts und nach oben verschoben VIII) Quadratische Gleichungen 9.) Zeichnerisches Lösen DEF: Eine Gleichung der Form a² + b + c = 0 (a 0) nennt man eine quadratische Gleichung. Um diese Gleichung zu lösen, muss man die Nullstellen der zugehörigen quadratischen Funktion f() = a² + b + c bestimmen. Das kann man näherungsweise geometrisch bestimmen, indem man den Graphen von f zeichnet und die Schnittstellen mit der -Achse abliest. Bsp.: ²-- = 0 Wir lesen ab: L = {- ; } 9.) Rechnerisches Lösen a) reinquadratische Gleichungen Eine Gleichung der Form a² + c = 0 nennt man reinquadratisch. Bringt man sie in die Form ² = e, so kann man die Lösungsmenge direkt angeben: e < 0 { } Falls e = 0, so ist L = { 0} e > 0 e; e { } b) allgemeine quadratische Gleichungen Jede quadratische Gleichung a² + b + c = 0 lässt sich in die Form ² + p + q = 0 bringen. Eine Gleichung dieser Form lässt sich mit der p-q-formel lösen: --
p p p p = + q und = q, sofern der Term unter der Wurzel (Diskriminante) positiv ist. Ist die Diskriminante negativ, so hat die Gleichung keine Lösung, p hat die Diskriminante den Wert 0, so gibt es nur die Lösung =. Bsp: ² + - = 0 : ² +,5 - = 0 p =,5 ; q = - ( ) = = + 4 = 4 4 4 = + 4 4 5 6 5 6 ( ) = = L = {-; } 9.4) Der Satz von Vieta Sind und die Lösungen einer quadratischen Gleichung der Form ² + p + q = 0, so gilt: + = -p und = q Sind und die Lösungen einer quadratischen Gleichung der Form ² + p + q = 0, so lässt sich der Term ² + p + q faktorisieren: ² + p + q = ( )( ) Beispiel: ² - 5 + 6 = 0 Lösungen dieser Gleichung sind jene Zahlen, deren Summe 5 und deren Produkt 6 ist. = ; = ²- 5 + 6 = ( )( ) 9.5) Biquadratische Gleichungen DEF: Eine Gleichung der Form a 4 + b + c = 0 nennt man biquadratisch. Man kann deren Lösungsmenge bestimmen, indem man ² ersetzt (substituiert) durch z die Lösungsmenge der entstandenen quadratischen Gleichung az² + bz + c = 0 bestimmt z wieder ersetzt (resubstituiert) durch und die nun entstandenen reinquadratischen Gleichungen ² = z löst. Bsp.: 4-5² + 4 = 0 ² = z z² - 5z + 4 = 0 pq-formel z / =,5 ± 6,5 4 z / =,5 ±,5 z = 4 z = z = ² = = = - = - L = {-; -; ; } --
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