A2.1 Lineare Optimierung mit dem Simplexverfahren Wenn ein Unternehmen ermitteln möchte, wie viele Mengeneinheiten von verschiedenen Produkten zu produzieren sind, damit bei gegebenen Verkaufspreisen der Gewinn maximal wird, werden die Produktionsmöglichkeiten durch Absatzbedingungen, Kapazitätsbeschränkungen und Finanzierungsengpässe eingeschränkt. Die lineare Optimierung ist ein Anwendungsgebiet der linearen Algebra und hat große Bedeutung in der Lösung von Optimierungsproblemen in Wirtschaft, Technik und Verwaltung. Es geht bei der linearen Optimierung darum, einen Wert unter bestimmten einschränkenden Bedingungen zu maximieren oder zu minimieren. Ein optimaler Wert ist also Extremwert unter bestimmten Bedingungen. Wenn es zwei Unbekannte Parameter optimiert werden sollen, dann gibt es einen graphisch Nachzuvollziehenden Algorithmus für die Optimierung (s. Beispiel 1), jedoch bei mehr als zwei Unbekannte Parameter wird der Simplex-Algorithmus angewandt (s. Beispiel 2). Beispiel 1 Ein Landwirtschaftsbetrieb besitzt 2000m 2 = 20 a (Einheitszeichen für Ar; a = 100m 2 ) Land für den Anbau von zwei Gemüsesorten G 1 und G 2. Das Saatgut für G 1 kostet pro Ar 24 und Sorte G 2 kostet 16 pro Ar. Für Saatgut stehen höchstens 400 zur Verfügung. Um das Gemüse anzubauen, benötigt der Betrieb für die Sorte G 1 durchschnittlich 5,6 Stunden, für die Sorte G 2 8 Stunden, wobei der Betrieb maximal 150 Stunden aufwenden kann. Wie viel Ar von jeder Sorte sollte der Betrieb anbauen, wenn der Verkauf der Sorte G 1 187,5 pro Ar und für Sorte G 2 150 pro Ar beträgt, wenn das Ziel ist einen möglichst großen Gesamtgewinn Z zu machen? Sei x > 0 die Anbaufläche in a für G 1 und y > 0die Anbaufläche in a für G 2. Es gelten folgende Bedingungen (Einschränkungen) vor : x + y 20 y x + 20 ; LB 1 = Bereich unterhalb der Geraden 24x + 16y 400 y 1,5x + 25 ; LB 2 = Bereich unterhalb der Geraden 5,6x + 8y 150 y 0,7x + 18,75 ; LB 3 = Bereich unterhalb der Geraden Z = 187,5x + 150y Z y = 1,25x + y (Z ist die Zielfunktion) 150 Seite - 1 -
Für die graphische Lösung des System der Ungleichungen werden die Ränder, d.h. Geraden in eingeeignetes KKS eingezeichnet (s. Abb. 1). Es sind relativ leicht Abzulesen die beiden Eckpunkte des Lösungsbereichs LB = LB = LB1 LB2 LB3 der Ungleichungen, und zwar P 1 ( 4 16) und P 2 (10 10). Für P 2 liefert Z den größten Wert, so dass Z max = 3375 Beispiel 2 Abb. 1 In einer Fabrik werden 3 Endprodukte E 1, E 2 und E 3 von 4 Automaten A 1, A 2, A 3 und A 4 in einer Schicht angefertigt. Die Arbeitszeitverteilung in Minuten ist in der folgenden Tabelle vorgegeben: E 1 E 2 E 3 Max. Kapazität A 1 2 4 0 100 A 2 1 0 4 120 A 3 2 2 5 125 A 4 0 2 4 120 Am Markt erzielen die Endprodukte E 1, E 2 und E 3 Preise von 50, 80 und 100. Sei x 1 N die Anzahl an Endprodukte E 1. Sei x 2 N die Anzahl an Endprodukte E 2. Sei x 3 N die Anzahl an Endprodukte E 3. Gesucht wird eine optimale Verteilung x 1, x 2 und x 3, so dass der Verkaufsertrag Z maximal wird. Es ergibt sich folgendes Lineare Optimierungssystem (LOP): Seite - 2 -
Z = 50 x 1 + 80 x 2 +100 x 3 Z 50 x 1 80 x 2 100 x 3 = 0 2 x 1 + 4 x 2 100 2 x 1 + 4 x 2 +s 1 = 100 x 1 + 4 x 3 120 x 1 + 4 x 3 +s 2 = 120 2x 1 +2 x 2 + 5 x 3 125 x 1 + 2 x 2 + 5 x 3 +s 3 = 125 2x 2 + 4 x 3 120 2 x 2 + 4 x 3 +s 4 = 120 (die Zielfunktion) x 1, x 2 und x 3 werden als Strukturvariabeln bezeichnet. Die Hilfsvariabeln s 1, s 2, s 3 und s 4 als Schlupfvariabeln. Das Simplex-Tableau 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 x 1 x 2 x 3 s 1 s 2 s 3 s 4 RS Q 2 Z - 50-80 - 100 3 s 1 2 4 0 1 0 0 0 100 4 s 2 1 0 4 0 1 0 0 120 120/4=30 5 s 3 2 2 4 0 0 1 0 125 125/4=31,25 6 s 4 0 2 5 0 0 0 1 120 120/5=24 7 10 Z - 50-40 0 2400 11 s 1 2 4 0 100 100/2=50 12 s 2 1-1,6 0 24 24/1=24 13 s 3 2 0,4 0 29 29/2=14,5 14 x 3 0 0,4 1 24 15 16 Z 0-30 0 3125 17 s 1 0 3,6 0 71 71/3,6=19,2 18 s 2 0-1,8 0 9,5 19 x 1 1 0,2 0 14,5 14,5/0,2=70 20 x 3 0 0,4 1 24 24/0,4=60 21 22 Z 0 0 0 3701 23 x 2 0 1 0 19,2 24 s2 0 0 0-34,56 25 x 1 1 0 0 10,66 26 x 3 0 0 1 16,32 Kurze Erläuterung für das durchgeführte Simplexverfahren: Mit Hilfe von Äquivalenzumformungen werden die negativen Koeffizienten (s. Tableau- Elemente 24,25 und 26) der Zielfunktion auf Null oder einen positiven Wert gebracht. Dies wird in mehreren Arbeitsschritten erreicht. PS Pivot-Spalte suchen Es wird diejenige Spalte gewählt, deren Koeffizient in der Zielfunktionszeile den kleinsten Wert trägt, d.h. im Betrag am größten ist. (Im Beispiel 2 ist es die Spalte 4.) Seite - 3 -
PZ Pivot-Zeile und Pivot-Element suchen Als Pivot-Zeile wird diejenige Zeile gewählt, für die sich in der Spalte Q der kleinste positive Quotient ergibt. (Im Beispiel 2 ist es die Zeile 6.). Das Pivot-Element ist derjenige Koeffizient, der sich im Schnittpunkt von Pivot-Spalte und Pivot-Zeile befindet (Im Beispiel 2 ist es das Element an der Position 64.). PG Pivot-Schritte durchführen Wenn das Pivot-Element nicht 1 ist, dann wird es auf 1 gebracht, indem die Pivot-Zeile mit dem Kehrwert des Pivot-Elements multipliziert wird. Für die nächsten Rechenschritte wird die entsprechende Hilfsvariable durch die Strukturvariable der Pivot-Spalte ersetzt (Im Beispiel 2 ist wird s 4 zu x 3 s. Tableau-Zeile 14). Anschließend werden alle Koeffizienten der Pivot-Spalte in den übrigen Zeilen durch Addition eines Vielfachen der Pivot-Zeile auf Null gebracht (Die Verwandtschaft mit dem Gauß-Algorithmus ist deutlich erkennbar.). Die Arbeitsschritte PS, PZ und PG werden solange wiederholt bis alle Koeffizienten in der Zielfunktionszeile Null oder > 0 sind (Im Beispiel 2 noch zweimal in Tableau-Zeilen 16 bis 20 und 22 bis 26.). Das Endergebnis: Die optimale Verteilung: x 1 = 10 ; x 2 = 19 ; x 3 = 16 Der maximale Gewinn: Z max = 10 50 + 19 80 + 16 100 = 3620 A2 Übungsaufgaben (ÜA2) ÜA2.1.1 In einer Fabrikhalle werden zwei Produkte hergestellt, die mit Hilfe von drei Maschinen produziert werden. Die entsprechenden Daten sind der folgenden Tabelle zu entnehmen. Produkt 1 Produkt 2 Einheit max. Kapazität [Min] Maschine 1 4 2 Min/St 200 Maschine 2 2 4 Min/St 200 Maschine 3 2 2 Min/St 120 Ertrag pro Einheit 150 100 /St Seite - 4 -
Die Zielsetzung besteht darin, eine Verteilung der produzierten Stückzahlen x 1 und x 2 zu bestimmen, welche den maximalen Ertrag Z max bringt. Ergebnis: x 1 = 40 ; x 2 = 20 ; Z max = 8000 ÜA2.2.1 Ein Landwirt besitzt 100 ha Land, das er zum Anbau von Gerste, Kartoffeln und Raps nutzen möchte. Die vorhandenen Daten sind in der folgenden Tabelle zusammengefasst: Kartoffeln Gerste Raps Kapazität Anbaukosten in T /ha 1 2 3 150 T Arbeitstage d/ha 1 3 4 160 d Reingewinn T /ha Wie viel ha sind von den drei Arten anzubauen, damit der Reingewinn Z maximal wird? Ergebnis: 80 ha Kartoffeln ; 0 ha Gerste ; 20 ha Raps ; Z max = 220 000 ÜA2.3.1 Lösen Sie mit dem Simplexverfahren folgendes LOP : Z = 3x 1 + 4x 2 ; x 1 N ; x 2 N x 1 + 2x 2 80 ; x 2 30 ; 2x 1 + x 2 100 Ergebnis: x 1 = 20 ; x 2 = 40 ; Z max =200 ÜA2.4.1 Eine Papiermühle produziert 2 Sorten Papier P 1 und P 2. Der Ertrag (Deckungsbeitrag) beträgt 10 GE für P 1 und 7,50 GE für P 2. Für P 1 wird 1t Altpapier benötigt, für P 2 0,6t. Es stehen maximal 15t Altpapier zur Verfügung. Von der Sorte P 2 können maximal 20t abgesetzt werden. Bestimmen Sie die optimale Verteilung. d.h. die Produktion bei der ein maximaler Ertrag erzielt wird. Ergebnis: x 1 = 3t ; x 2 = 20t ; Z max =180 GE ÜA2.5.1 Lösen Sie folgendes LOP: Z = 20 x 1 + 10 x 2 3 1 30 x1 4 3 60 x 2 1 2 20 ÜA2.5.2 Formulieren Sie dazu eine entsprechende Textaufgabe. Seite - 5 -
ÜA2.6.1 Ein Transportflugzeug, das eine Ladekapazität von 40t und einen Rauminhalt von 100 m 3 hat, soll mit Ladegut A = 1,0t und Ladegut B = 0,2t beladen werden Beide Ladegüter benötigen jeweils 1,0 m 3 Rauminhalt. Bestimmen Sie die optimale Ladegutverteilung, für folgende Zielfunktion: Z = 480 x A + 80 x B - 700 Ergebnis: x A = 30 ; x B = 50 ; Z max = 17700 ÜA2.7.1 Ein Landwirt besitzt einen Stall für 10 Kühe und 20 ha Land. Pro Jahr kann er 2400 Arbeitsstunden (Ah) aufwenden. Um eine Kuh zu unterhalten benötigt er pro Jahr 0,5 ha Land, sowie 200 Ah. Der Anbau von 1,0 ha Weizen erfordert 100 Ah. Durch eine Kuh erzielt er im Jahr 350 und 1,0 ha Weizen bringt ihm im gleichen Zeitraum 260. In diesem Zusammenhang soll die Frage beantwortet werden, mit wie vielen Kühen und wie viel ha Weizen sein Gewinn maximal wird? Seite - 6 -