Woche 2 3. Stunde: Lineare Gleichungen mit Formvariablen Es bietet sich an dieses Thema in zwei Schritten zu bearbeiten. Der erste Schritt wäre mit den SchülerInnen zu erarbeiten, wie man in gegebenen Gleichungen mit Formvariablen umgeht, der nächste wäre, wie man mit Textaufgaben, in denen Formvariablen vorkommen, umgeht. Dazu bedarf es natürlich auch noch einen Schritt 0, mit den SchülerInnen klären, was überhaupt Formvariablen sind und welche Eigenschaften sie haben/auf was man bei ihnen grundsätzlich achten muss. Schritt 0 Definitionen ins Heft übertragen Neben der Unbekannten kann eine Gleichung auch eine Formvariable (=Parameter) enthalten. Diesen bezeichnet wir mit a. Parameter sind unbestimmt Zahlen (Variable), die in der Rechnung wie Konstante behandelt werden. Das heißt die Gleichung wird weiterhin nach x gelöst, a nimmt dabei den Platz einer Zahl ein. Wir haben schon bei Gleichungen ohne Formvariable gelegentlich diverse Fälle betrachtet z.b. bei der Bestimmung der Definitonsmenge (Gleichungen mit Bruchthermen). Man gibt an in welchen Fall die Geleichung definiert ist und in welchen nicht. Beim Lösen von Gleichungen mit Formvariablen hat man nicht nur darauf zu achten, dass die gegebene Gleichung definiert ist, sondern auch darauf, ob der gewünschte Umformungsschritt für jeden Wert der Formvariablen ausgeführt werden kann. Dazu löst man die Gleichung wie gewohnt und überlegt sich dann für welche a die Lösung definiert ist (Sinn macht) und für welche nicht. Letztere sind dann auszuschließen. Formvariablen sind Parameter, unbestimmte Zahlen. Sie sind keine Unbekannten, nach denen die Gleichung gelöst wird! Die Variable (Unbekannte) ist damit abhängig von der Formvariable. Eine Gleichung muss nicht für alle Werte einer Formvariable lösbar sein. Formvariablen Martina Graner, Nadine Pacher, Andrea Berger Seite 1
Schritt I Formvariablen in gegebenen Gleichungen Beispiel: Dazu, dass eine Gleichung nicht für alle a (und x) definiert sein muss. Beispiel: Frage an die SchülerInnen: Für welche x ist diese Gleichung definiert? Antwort: für alle x 0 Weiterführende Frage an die SchülerInnen: Für welche a ist diese Gleichung nicht definiert? Antwort: für a 0 Für welche a und für welche x ist die Gleichung definiert? Für alle x 0 und für alle a 0 Konkretes Beispiel als Anschauung mit den SchülerInnen zu rechnen: Löse x 2 +2ax + (a 2 a + 3) = 0 nach x, in Abhängigkeit von der Formvariable a! Die Lösung ist für alle x und a definiert. Schritt 1: Lösen wie eine normale Gleichung nach x., 2 2 4 4 3, 3, 3 Formvariablen Martina Graner, Nadine Pacher, Andrea Berger Seite 2
Da die Wurzel nur dann gezogen werden kann, wenn (a-3)>0 ist, kann man nun mehrere Fälle für die Lösung unterscheiden, dabei muss der unmöglichen Fall in einbeziehen: Schritt 2: Lösungsfälle unterscheiden Fall 1: 3 0 3: 3, 3 Fall 2: 3 0 3:,, 3 Fall 3: 3 0 3: die Gleichung hat keine Lösung in 3, 3 ü 3, 3 ü 3 ü 3 Die Schwierigkeiten bestehen hier zuallererst im Erkennen der besten Formel zur Lösung der quadratischen Gleichung, hier die kleine Lösungsformel. Die nächste weitaus größere Schwierigkeit für die SchülerInnen besteht im erkennen, was in dieser Gleichung p und was q (Laut kleiner Lösungsformel) ist. Hier: p=2a und q=(a 2 a+ 3). Nachdem dies von den SchülerInnen erkannt worden ist, sollte das Anwenden der Formel kein Problem mehr sein. Dass die Diskriminante die Lösungsfälle einer quadratischen Gleichung bestimmt sollten die SchülerInnen in dieser Stunde bereits wissen. Hier erachte ich es nicht als Notwendig, eine Lösungsmenge aufzuschreiben. Viele Schulbücher verlangen hier eine Lösungsmenge, wenn aber gekennzeichnet ist, welcher Fall betrachtet wird, erscheint mir ein zusätzliches Angeben einer Lösungsmenge für die SchülerInnen nicht als notwendig, die Überlegungen haben sie ja schließlich bereits vollständig und konkret durchgeführt. Beim ersten Vorrechnen an der Tafel ist es aber sinnvoll sie noch anzugeben, damit die SchülerInnen wissen, was das Schulbuch verlangen würde. Außerdem kann es immer sein, dass für das nächste Schuljahr ein LehrerInnenwechsel stattfindet und der nächste Lehrer/die nächste Lehrerin eine Lösungsmenge verlangt. Die SchülerInnen sollen nun noch für a konkrete Zahlen einsetzen, um das Verständnis der Formvariable zu vertiefen, um zu verstehen, dass sie wirklich als Platzhalter für eine Zahl dient. Setzt nun ein: (1) a = 0, (2) a = 3, (3) a=7 Formvariablen Martina Graner, Nadine Pacher, Andrea Berger Seite 3
Nun sollen SchülerInnen selbständig ähnliche Aufgaben lösen. Arbeitsauftrag: Löst die folgenden Aufgaben aus dem Buch und setzt je zwei der angegeben expliziten Werte für a ein. 2.60 a) 2 0 2.63 b) 7 3 7 3 0 Schritt II - Textaufgaben Der nächste Schritt besteht darin, dass die SchülerInnen Formvariablen auch in Textaufgaben anwenden können beziehungsweise auch aus Textaufgaben Gleichungen mit Formvariablen herleiten können. Dazu betrachten wir folgendes Beispiel: Beispiel: Bernhard behauptet: In meiner Klasse gibt es um die Hälfte mehr Burschen als Mädchen, insgesamt 24 Schüler. Wie viele Mädchen gehen in seine Klasse? Gleichung nach x: x Anzahl der Mädchen 1 24 2 5 24 2 9,6 Das kann aber nicht stimmen, weil x eine natürliche Zahl sein muss, da es sich um die Anzahl der Mädchen in Bernhards Klasse handelt. Und 9 Mädchen und 0,6 eines Mädchens ist unrealistisch, das leuchtet Schülern ein. Formvariablen Martina Graner, Nadine Pacher, Andrea Berger Seite 4
Die Schwierigkeiten können sich hier natürlich beim Aufstellen der Gleichung ergeben, da viele SchülerInnen Schwierigkeiten haben, aus einem Text eine Gleichung aufzustellen. Textgleichungen wurden aber in der Stunde davor behandelt, die Schwierigkeiten der SchülerInnen sollten sich also in relativen Grenzen halten. Suchen wir also eine ganzzahlige Lösung und gehen davon aus, dass sich Bernhard bei der Anzahl seiner Mitschüler vertan hat, aus welchem Grund auch immer. Suchen jetzt Lösung in Abhängigkeit zur SchülerInnenzahl der Klasse. 1 2 : 2 5 a muss also ein Vielfaches von 5 sein. Die Schwierigkeit kann hier vor allem im letzten Schritt passieren, da in diesem Beispiel keine Fallunterscheidung gemacht wird, da es nur einen Fall geben kann. Dieser lautete, dass a ein Vielfaches von 5 sein muss. SchülerInnen können hier Schwierigkeiten beim Verständnis sein und fragen: Warum muss a ein Vielfaches von 5 sein. Den SchülerInnen muss hier klar gemacht werden, dass sie hier darauf achten müssen, wofür die Formvariable steht. Da sie in diesem Fall für Personen, die SchülerInnenanzahl einer Klasse steht, muss sie eine ganze Zahl sein, sogar eine natürliche Zahl. Da x aber ebenfalls für eine Personenanzahl steht, muss auch x eine natürliche Zahl sein. Um das zu erreichen muss a ein Vielfaches von 5 sein, ansonsten kann x nie eine natürliche Zahl sein, es würde eine Kommazahl entstehen, der Nenner sich nicht wegkürzen. Dann sollen die SchülerInnen noch ähnliche Beispiele aus dem Buch rechnen. Hausübung werden sowohl gegebene Gleichungen mit Formvariablen, als auch Textaufgaben mit Formvariablen sein. Formvariablen Martina Graner, Nadine Pacher, Andrea Berger Seite 5
Lernzielkontrolle (zu Woche 2 3. Stunde, Lineare Gleichungen mit Formvariablen) Beispiel Gegeben ist eine quadratische Gleichung: Aufgabenstellung: 4 1 0, 0 Gib alle Werte von a an, für die die quadratische Gleichung zwei reelle Lösungen, genau eine reelle Lösung, keine reelle Lösung hat: zwei reelle Lösungen genau eine reelle Lösung keine reelle Lösung für a für a für a Formvariablen Martina Graner, Nadine Pacher, Andrea Berger Seite 6