7 Grenzwerte und Stetigkeit

7 Grenzwerte und Stetigkeit 7.1 Zahlenfolgen 7.1.1 Grundbegriffe Definition 7.1. Eine Funktion f : Df) N R heißt reelle Zahlenfolge. Wenn Df) endlich ist, heißt f endliche Zahlenfolge, andernfalls heißt f unendliche Zahlenfolge. Bemerkung 7.2. 1. Durch eine Folge f : Df) N R wird jeder natürlichen Zahl n Df) ein Folgenglied fn) R zugeordnet. 2. Man kann auch komplexe Zahlenfolgen betrachten. 3. Anstelle von fn) schreibt man auch f n, d. h. f n := fn). Das Argument n wird auch Folgen)-Index genannt. 4. Typischerweise betrachten wir unendliche) Folgen f mit Df) = N n0 und speziell Df) = N bei n 0 = 0. Anstelle von f : N n0 R und f n ) n Df) schreibt man dann auch f n ) n n0. 5. Da Folgen Funktionen sind, können Folgen wie Funktionen beschrieben werden, z. B. durch explizite Angabe aller Paare n, f n ), n N n0. Hinzu kommt hier noch die rekursive Definition einer Folge. Beispiel 7.3. Beachte die unterschiedlichen Schreibweisen! i) f : N R oder f n ) n N mit f n = n + 1,... für n 0. ii) f : N R oder f n ) n N mit f 0 = 1 und f n = 1 n,... für n 1. ) iii) f : N 2 R oder f n ) n N 2 mit f n = 1) n 5 n für n 2. n 2 1 iv) Fibonacci-Folge f : N R oder f n ) n N, welche rekursiv definiert wird durch f 0 = 1, f 1 = 1 und f n = f n 1 + f n 2 für n 2. 127

7 Grenzwerte und Stetigkeit Bemerkung 7.4. Ohne Beschränkung der Allgemeinheit kann man eine Folge a n ) n N n0 stets auf eine Folge b n ) n N zurückführen: b n := a n0 +n für n 0. Viele Eigenschaften werden daher der Einfachheit halber nur für Folgen a n ) n N formuliert. 7.1.2 Spezielle Folgen Arithmetische Folgen f n ) n N sind Folgen mit der Bildungsvorschrift f n = a + n d für n N mit vorgegebenen Startwert a R und vorgegebenem Zuwachs d R. Rekursive Definition: f 0 = a, f n+1 = f n + d für n N. Geometrische Folgen f n ) n N sind Folgen mit der Bildungsvorschrift f n = a q n für n N mit vorgegebenen Startwert a R und vorgegebenem Faktor q R \ {0}. Rekursive Definition: f 0 = a, f n+1 = qf n für n N. Beispiel 7.5. Sparschwein. Zum Anfangszeitpunkt sei das Kapital k 0 vorhanden. Wöchentlich werde ein fester Geldbetrag g in das Sparschwein eingeworfen. Nach einer Woche Jahr hat man damit k 1 = k 0 + g, nach zwei Wochen k 2 = k 1 + g = k 0 + 2g, allgemein beträgt das Kapital nach n Wochen k n = k 0 + ng. Das Kapital in Abhängigkeit von der Sparzeit verhält sich hier wie eine arithmetische Folge. Beispiel 7.6. Verzinsung eines Kapitals. Zum Anfangszeitpunkt sei das Kapital k 0 vorhanden. Jährlich werde mit dem Zinssatz p verzinst. Nach einem Jahr hat man damit k 1 = k 0 + k 0 p = k 0 1 + p), nach zwei Jahren k 2 = k 1 + k 1 p = k 1 1 + p) = k 0 1 + p) 2, 128

7.1 Zahlenfolgen allgemein beträgt das Kapital nach n Jahren k n = k 0 1 + p) n. Das Kapital in Abhängigkeit von der Sparzeit verhält sich hier wie eine geometrische Folge. 7.1.3 Rekursive Definition und lineare Differenzengleichungen Beispiel 7.7. Cobweb-Modell) Ein Gut werde zu diskreten Zeitpunkten n N zu möglicherweise verschiedenen Preisen p n gehandelt. Wir treffen folgende Annahmen: Das Angebot yn A zum Zeitpunkt n ist abhängig vom alten Preis p n 1 und gegeben durch yn A = ap n 1 b, a, b > 0. Die Nachfrage y N n zum Zeitpunkt n ist abhängig vom aktuellen Preis p n und ist gegeben durch y N n = c dp n, c, d > 0. Zu jedem Zeitpunkt n stellt sich ein Gleichgewicht zwischen Angebot und Nachfrage ein, d. h. es gilt y A n = y N n. Durch Einsetzen folgt ap n 1 b = c dp n, also nach Umformen p n = b + c d a d p n 1. 7.1) Wir erhalten so eine Rekursionsformel für die Folge p n ) n N der Preise. Offenbar benötigen wir zur Bestimmung der Preisfolge noch den Anfangspreis p 0. Gleichung 7.1) ist Spezialfall einer Gleichung der Form f n = α n f n 1 + β n 7.2) oder f n f n 1 = γ n f n 1 + β n 7.3) mit reellen Folgen α n ) n N, β n ) n N und γ n = α n 1. 129

7 Grenzwerte und Stetigkeit Die Gleichungen 7.2) bzw. 7.3 heißen lineare Rekursionsgleichung bzw. lineare Differenzengleichung erster Ordnung. Wenn β n = 0 für alle n, so heißen 7.2) bzw. 7.3) homogen, andernfalls inhomogen. Eine Folge ϕ n ) n N heißt Lösung von 7.2) bzw. 7.3), wenn ϕ n = α n ϕ n 1 + β n für alle n N gilt. Sie genügt der Anfangsbedingung wenn ϕ 0 = a gilt. f 0 = a, 7.4) Satz 7.8 Lösungsstruktur). a) Für jede Lösung ϕ der inhomogenen Gleichung 7.2) und jede Lösung ψ der homogenen Gleichung f n = α n f n 1 7.5) ist ϕ + ψ = ϕ n + ψ n ) n N eine Lösung der inhomogenen Gleichung 7.2). b) Für je zwei Lösungen ϕ, ψ der inhomogenen Gleichung 7.2) ist ϕ ψ = ϕ n ψ n ) n N eine Lösung der homogenen Gleichung 7.5). c) Die Lösungen der homogenen Gleichung 7.5) bilden einen Vektorraum der Dimension 1. d) Die Lösung ϕ zur Gleichung 7.2) mit der Anfangsbedingung 7.4) ist gegeben durch n 1 ϕ n = a i=0 α i + n 1 j=0 β j n 1 α i, i=j+1 wobei k α i = 1, i=m k δ i = 0 für k < m. i=m Beispiel 7.9. Wir setzen Beispiel 7.7 fort. Nach Satz 7.8 und mit folgen p n = p 0 a ) n + b + c d d ) n = b + c a + d + a d α n = a d, n 1 j=0 p 0 b + c a + d β n = b + c d a k = p 0 d) a ) n + b + c d d ) 1 a/d)n 1 + a/d) und weiter y A n = y N n = ac bd a + d d a ) n d p 0 b + c a + d Wie verhält sich nun p n in Abhängigkeit vom Anfangswert p 0 und den Parameterwerten a, b, c und d? ). 130

7.1 Zahlenfolgen Wenn p 0 = b+c a+d gilt, dann ergibt sich p n = b+c a+d für alle n N. Preise, Angebot und Nachfrage bleiben konstant. Wenn p 0 b+c a+d und a = d gelten, dann gilt p n = p 0 für gerades n und p n = p 0 + 2 b+c a+d für ungerades n. Der Preis und damit auch Angebot und Nachfrage) wechselt zwischen zwei Werten periodisch hin und her. Wenn p 0 b+c a+d und a > d gelten, dann werden die Preise mit geradem Index immer größer und die mit ungeradem Index immer kleiner bis ein Preis negativ wird und spätestens damit unser Modell nicht mehr realistisch ist. Was passiert bei p 0 b+c a+d und a < d? Diese Frage werden wir später beantworten. Bemerkung 7.10. Viele weitere, einfache Modelle in der Wirtschaft führen auf lineare Differenzengleichungen erster Ordnung, welche mit Satz 7.8 vollständig behandelbar sind. Kompliziertere Modelle führen auf lineare Differenzengleichungen höherer Ordnung oder gar auf nichtlineare Differenzengleichungen. Dies werden wir hier nicht behandeln. Andere Modelle mit kontinuierlicher Zeit führen zu Differentialgleichungen, zu denen später einige Ausführungen kommen werden. 7.1.4 Konvergenz von Folgen Wir betrachten die Folge a n ) n N 1 mit a n = 1 n und den Abstand a n 0 der Folgenglieder zu 0. Es gilt a n 0 = a n = 1 für n 1. n Damit wird dieser Abstand immer kleiner. Er wird auch kleiner als jede beliebige positive Zahl ε. Sei nämlich ε > 0 gegeben. Dann gilt a n < ε 1 n < ε n > 1 ε. Nun gibt es zu jeder reellen Zahl r stets eine natürliche Zahl n > r. Angewandt auf unser Problem gibt es eine Zahl N N mit N > 1 ε und damit gilt hier auch n > 1 ε für n N. Damit haben wir a n = 1 n 1 N < ε für n N. Offensichtlich hängt N von der Wahl von ε ab. Diese Tatsache, dass der Betrag a n beliebig klein wird, wenn wir nur Indizes n ab einem bestimmten Index betrachten formulieren wir nun allgemein: Definition 7.11. Eine reelle Folge a = a n ) n Da) strebt gegen 0 oder konvergiert gegen 0 oder ist eine Nullfolge, wenn es zu beliebiger Genauigkeitsgrenze ε > 0 immer einen Folgenindex Nε) gibt, so dass die Beträge der Folgenglieder kleiner als ε sind für alle Indizes größer oder gleich Nε), ε > 0 N N n Da): n N = a n < ε. 131

7 Grenzwerte und Stetigkeit Beispiel 7.12. Die Folge a n ) n 1 mit a n = 1 n ist also eine spezielle Nullfolge. Durch den folgenden Satz bekommt man weitere Beispiele für Nullfolgen. Satz 7.13 Vergleichskriterium). Seien a n ) n N, b n ) n N zwei Folgen. Ist b eine reelle Nullfolge und gibt es einen Index N mit so ist auch a eine Nullfolge. 0 a n b n für n N, Beispiel 7.14. 1. Die Folge a n ) n 1 mit a n = 1 für n 1 ist eine Nullfolge, da 0 n 2 1 n 1 2 n für n 1. 2. Die Folge a n ) n 1 mit a n = 1)n n für n 1 ist eine Nullfolge, da 0 1) n 1 n = 1 n für n 1. 3. Die Folge a n ) n N mit a n = n 2 n für n 0 ist eine Nullfolge wegen 0 n 2 n 1 n für n 3 nachprüfen über vollständige Induktion!) Es sind nicht nur Nullfolgen von Interesse. Definition 7.15. Sei a eine reelle Zahl. Eine reelle Folge a n ) n Da) strebt gegen a oder konvergiert gegen a, wenn die Folge b n ) n Da) mit b n := a n a eine Nullfolge ist, ε > 0 N N n Da) : n N = a n a < ε. Die Zahl a heißt dann Grenzwert der Folge a. Besitzt eine Folge einen Grenzwert so heißt sie konvergent, andernfalls divergent. Bemerkung 7.16. 1. Um die Konvergenz einer Folge entsprechend der Definition nachweisen zu können, braucht man zuerst eine Zahl a, die Grenzwert sein könnte. 2. Eine Folge a n ) n Da) kann nur höchstens einen Grenzwert haben: Seien a ã zwei Grenzwerte. Für ε = 1 2 a ã gibt es nun N und Ñ mit a n a < ε für n N und a n ã < ε für n Ñ. Damit gilt mit Hilfe der Dreiecksungleichung a ã a a n + a n ã n < 2ε für n max{n, Ñ}. Wegen 2ε = a ã ist dies aber ein Widerspruch zu a ã. 3. Wenn ein Grenzwert a einer Folge a = a n ) n N existiert, ist er also eindeutig bestimmt. Wir schreiben daher auch a = lim a = lim n a n oder a n a für n. 132

7.1 Zahlenfolgen Beispiel 7.17. 1. a n = n 1 n n 1) strebt gegen a = 1: Es gilt a n 1 = n 1 1 n = n 1 n n = 1 n = 1 n Mit Satz 7.13 folgt die Behauptung. 2. a n = 2n2 n 2 +1 n 1) strebt gegen a = 2: Es gilt 2n 2 n 2 + 1 2 = 2n 2 2n 2 + 1) n 2 + 1 = 2 n 2 + 1 1 n Mit Satz 7.13 folgt die Behauptung. für n 1. für n 1. Weitere Konvergenzkriterien von Folgen liefert der folgende Satz. Dafür brauchen wir noch einige Bezeichnungen. Definition 7.18. Eine Folge a = a n ) n N heißt beschränkt, wenn ein K R existiert, so dass a n K für alle n N gilt. Eine reelle Folge a = a n ) n N heißt monoton, wenn a 0 a 1 a 2 a n monoton wachsend) oder a 0 a 1 a 2 a n monoton fallend). Satz 7.19. i) Notwendiges Kriterium) Jede konvergente Folge ist beschränkt. ii) Jede beschränkte, monotone reelle Folge konvergiert. iii) Das Produkt einer beschränkten Folge mit einer Nullfolge ist eine Nullfolge. iv) Cauchy-Kriterium) Eine reelle Folge a n ) n Da) konvergiert genau dann, wenn ε > 0 N N n, m Da): n, m N = a n a m < ε. Beispiel 7.20. Wir zeigen die Konvergenz der Folge y n ) n N 1 mit y n = 1 + n) 1 n+1. Wir zeigen dazu zuerst, dass y monoton fällt: ) n ) n y n 1 1 + 1 n 1+1 n 1 n 1 = ) y n+1 = ) n+1 = n 1 + 1 n n+1 n n 2n+1 n 1) n n + 1) n+1 n 1)n 2n+2 = n [n 1)n + 1)] n+1 = n 1 n 2 n n 2 1 ) > n 1 1 1 + n + 1) n n 2 = n 1 1 n = 1, ) n+1 = n 1 n 1 + 1 n 1 ) = n 1 n 1 + 1 ) n+1 n 2 1 n n 1 133

7 Grenzwerte und Stetigkeit das heißt y n < y n 1 für alle n 2. Da y n 1 für alle n 1, ist y beschränkt und damit konvergent gegen eine reelle Zahl y. 7.1.5 Rechnen mit Grenzwerten Aus der Definition des Grenzwertes können nun folgende Rechengesetze abgeleitet werden, die das Rechnen mit Grenzwerten bzw. mit konvergenten Folgen) enorm erleichtern. Satz 7.21. Seien a n ) n D und b n ) n D konvergente Folgen und sei c R. Dann gilt: i) a n + b n ) n D konvergiert und lim a n ± b n ) = lim a n ± lim b n. n n ) n ) ii) a n b n ) n D konvergiert und lim a n b n ) = lim a n lim b n. n n n iii) ca n ) n D konvergiert und lim c a n) = c lim a n. n n iv) Wenn lim a 0 und wenn a n 0 für n n 0, so konvergiert die Folge c = 1 a n ) n D n0 und es gilt lim c 1 n =. n lim n a n Bemerkung 7.22. Es kann nicht rückwärts auf die Konvergenz von a oder b geschlossen werden: Zum Beispiel folgt aus der Konvergenz von a n + b n ) n D nicht die Konvergenz von a oder b. Betrachte zum Beispiel eine divergente Folge a und b = a). Beispiel 7.23. Wir setzen Beispiel 7.9 fort und betrachten mit a, b, c, d > 0, p 0 b+c a+d p n = b + c a + d + a ) n p 0 b + c ) d a + d und a < d. Dann sind ) b + c a + d n N und p 0 b + c ) a + d n n N konstante Folgen und a ) n ) d ist eine Nullfolge. Es gilt somit n N Im Fall p 0 b+c a+d Beispiel 7.24. 1. lim p b + c n = lim n n a + d + lim = lim n b + c a + d + lim n = b + c a + d + 0x a ) n p 0 b + c )) n d a + d a n lim p 0 d) b + c n a + d p 0 b + c ) = b + c a + d a + d. und a < d stabilisiert sich der Preis im Coweb-Modell also auf b+c ) ) lim 1 + 1 n n = lim 1 + lim 1 n n n = 1 + 0 = 1. ) a+d. 134

7.2 Zahlenreihen 2. Wir betrachten die Folge x n ) n N 1 mit 1 Offensichtlich gilt x n = y n 1+ 1 n ein y y 2.71828. x n = mit y n = 1 + 1 n) n. 1 + 1 n) n+1. Der erste Faktor konvergiert gegen R Beispiel 7.20), der zweite gegen 1. Damit konvergiert auch x auch gegen Achtung: Es gilt lim 1 + 1 n n n) lim n 1 + 1 n)) n = 1. ) n ) Definition 7.25. Der Grenzwert der Folge 1 + 1 n wird Eulersche Zahl genannt n N 1 und mit e bezeichnet: e := lim 1 + 1 n n n). 7.2 Zahlenreihen 7.2.1 Bezeichnungen Eine wichtige Spezialform von Folgen sind unendliche) Zahlen-)Reihen. Definition 7.26. Sei a n ) n N eine Zahlenfolge. Dann heißt s n mit n s n = a i i=0 n-te Partialsumme der Folge a, und die Folge s n ) n N heißt Partialsummenfolge der Folge a. Bezeichung: Die Partialsummenfolge n i=0 a i ) n N zur Folge a n ) n N wird auch als unendliche Reihe zur Folge a n ) n N bezeichnet: n ) a i := a i. 7.6) i=0 i=0 n N Bemerkung 7.27. i=0 a i ist also eine Bezeichung für die Folge der Partialsummen s n. Bemerkung 7.28. Jede Zahlenfolge s n ) n N ist auch eine Partialsummenfolge zu einer Folge a n ) n N : Setze a 0 = s 0 und a n = s n s n 1 für n 1. 135

7 Grenzwerte und Stetigkeit Wie bei Folgen kann man hier die Frage stellen, ob eine Partialsummenfolge konvergiert. Bemerkung 7.29. Eine unendliche Reihe i=0 a n konvergiert also genau dann wenn die Folge der Partialsummen n i=0 a i ) n N konvergiert da beides die gleichen Objekte sind!). Bezeichung: Falls die unendliche Reihe i=0 a i konvergiert, so wird ihr Grenzwert auch Summe genannt und mit i=0 a i bezeichnet: n a i := lim a i. 7.7) n i=0 i=0 Bemerkung 7.30. Je nach Zusammenhang bezeichnet i=0 a i also die Folge der Partialsummen, wie in 7.6), oder ihren Grenzwert, wie in 7.7). So bezieht sich die Aufgabe Untersuche die Konvergenz von i=0 a i! auf die Folge der Partialsummen, die Aufgabe Bestimme i=0 a i! auf den Grenzwert. 7.2.2 Allgemeine Konvergenzkriterien Da Reihen Folgen sind, kann man die Konvergenzkriterien von Folgen auf Reihen übertragen. Satz 7.31 Cauchy-Konvergenzkriterium für Reihen). Die Reihe i=0 a i konvergiert genau dann, wenn ε > 0 N N m, n N : m m n N = a i < ε. 7.8) i=n Beweis. Für die Partialsummen s n gilt m s n s m = a i. i=n+1 Folgerung 7.32 Notwendige Bedingung). Ist i=0 a i konvergent, dann a n 0 für n. Beweis. Wähle m = n in 7.8). Bemerkung 7.33. Die Konvergenz a n 0 für n ist nicht hinreichend für die Konvergenz! Betrachte z.b. i=0 a i mit a 0 = 0, a n = 1 n für n > 0, d.h., i 1 i=1. Dann gilt a n 0, aber auch s n = 1 + 1 + + 1 1 > n = n. 1 2 n n 136

7.2 Zahlenreihen Satz 7.34. Eine Reihe mit nichtnegativen Summanden konvergiert genau dann, wenn die Folge der Partialsummen beschränkt ist. Satz 7.35. Seien i=0 a i und i=0 b i konvergente Reihen. Dann gelten: 1. i=0 a i + b i ) = i=0 a i + i=0 b i. 2. i=0 ca i ) = c i=0 a i ) für c R. Satz 7.36. Wenn man in einer Reihe eine beliebige endliche Anzahl von Gliedern weglässt, ersetzt oder beifügt, dann bleibt ihre Konvergenz oder Divergenz) erhalten. 7.2.3 Spezielle Reihen Die folgenden Reihen treten häufig auf und sind von spezieller Bedeutung für Vergleichskriterien. Definition 7.37. Sei q R. Dann heißt n=0 q n geometrische Reihe. Lemma 7.38. Die geometrische Reihe n=0 q n konvergiert genau dann, wenn q < 1 gilt. Für q < 1 gilt q n = 1 1 q. n=0 Beweis. a) Sei q < 1. Dann gilt für s n = n i=0 q i 1 q)s n = 1 q)1 + q + q 2 + + q n ) = 1 + q + q 2 + + q n q q 2 q n+1 = 1 q n+1, d. h., s n = 1 qn+1 1 q = 1 1 q qn+1 1 q 1 1 q für n. b) Sei q 1. Dann gilt q i = q i 1, d. h., q i ) i=1 ist keine Nullfolge. Nach Folgerung 7.32 kann die Reihe also nicht konvergieren. Definition 7.39. Sei α > 0. Dann heißt n=1 1 n α Offenbar ist die notwendige Bedingung wegen 1 n α harmonische Reihe. 0 stets erfüllt. 137

7 Grenzwerte und Stetigkeit Lemma 7.40. Die harmonische Reihe n=1 1 n α konvergiert genau dann, wenn α > 1 gilt. Anstelle eines vollständigen Beweises betrachten wir nur die folgenden Beispiele: Beispiel 7.41. 1. Wir betrachten den Spezialfall α = 1, d. h., Dann gilt s 2 m = 1 + 1 ) 2 n=1 1 n. + 1 3 + 1 4) + 1 5 + 1 6 + 1 7 + 1 8) }{{}}{{} >2 1 4 = 1 >4 1 2 8 = 1 2 > 1 2 m für m. + + Damit ist die Folge der Partialsummen bestimmt) divergent. 2. Es gilt n=1 1 n 2 = lim N N n=1 1 n 2 = π2 6. 1 2 m 1 + 1 + + 1 ) 2 }{{ m } >2 m 1 1 2 m = 1 2 Definition 7.42. Sei a: N R 0 eine Folge in R 0. Dann heißen 1) n a n n=0 und 1) n+1 a n n=0 alternierende Reihen. Satz 7.43 Leibniz-Kriterium für alternierende Reihen). Wenn a: N R 0 eine monoton fallende Nullfolge in R 0 ist, dann konvergieren n=0 1) n a n und n=0 1) n+1 a n und für ihre Summe s gilt 2n+1 i=0 1) i a i = s 2n+1 a 2n+1 s s 2n = 2n i=0 1) i a i beziehungsweise 2n 1) i+1 a i = s 2n s s 2n+1 = 2n+1 i=0 i=0 1) i+1 a i. Damit ist die Summe einer alternierenden Reihe durch die n-te Partialsumme bis auf einen Fehler von höchstens a n bestimmt. 138

7.2 Zahlenreihen Beispiel 7.44. Wir betrachten a 0 = 0 und a n = 1 n für n N >0 und damit die Reihe 1) n+1 1 n. n=1 Da a n 0, konvergiert die Reihe nach dem Leibnizkriterium. Weiter haben wir die Abschätzungen 1 1 2 = 1 2 1 1 2 + 1 3 1 4 = 7 12 1) n+1 1 n 1 1 2 + 1 3 = 5 6 1. n=1 Man kann zeigen: 1) n+1 1 n = ln 2. n=1 Bemerkung 7.45. Wichtig für die Konvergenz einer alternierenden Reihe ist, dass die Summanden eine monotone Nullfolge bilden! 7.2.4 Quotienten- und Wurzelkriterium Auf den Vergleich mit der geometrischen Reihe basieren die beiden folgenden Kriterien. Als Spezialfall enthalten sie Konvergenzaussagen für positive Reihen. Satz 7.46 Cauchysches Wurzelkriterium). Sei a: N R eine reelle Folge. 1. Wenn ein q < 1 und ein N N existieren mit n a n q für alle n N, dann konvergieren die Reihen n=1 a n und n=1 a n. 2. Existiert ein N N mit n a n 1 für alle n N, dann divergiert die Reihe n=1 a n. Beispiel 7.47. Betrachte n=1 1 1 n) n 2 ). Dann gilt Damit konvergiert die Reihe. n 1 1 ) n 2 ) n = 1 1 ) n 1 n = ) n 1 1 + 1 e < 1. n 1 139

7 Grenzwerte und Stetigkeit Satz 7.48 D Alambertsches Quotientenkriterium). Sei a: N R eine reelle Folge mit a n 0 für n N. Dann gilt: 1. Wenn ein q < 1 und ein N N existieren mit a n+1 a n q für alle n N, dann konvergieren die Reihen n=1 a n und n=1 a n. 2. Existiert ein N N mit dann divergiert die Reihe n=1 a n. a n+1 a n 1 für alle n N, Beispiel 7.49. Betrachte die Reihe n=0 x n n! für fixiertes x R. Mit a n = xn n! und folgt die Konvergenz. a n+1 a n = x n+1 n + 1)! x n n! = x n + 1 0 < 1 Bemerkung 7.50. 1. Man kann zeigen: Wenn eine Reihe nach dem Quotientenkriterium konvergiert, so konvergiert sie auch nach dem Wurzelkriterium. Umgekehrt gibt es Reihen, die nach dem Wurzelkriterium konvergieren, deren Konvergenz mit dem Quotientenkriterium aber nicht gezeigt werden kann. Man könnte daher meinen, dass das Wurzelkriterium ausreichend ist. 2. In der praktischen Rechnung erweist sich das Quotientenkriterium z. B. als günstig, wenn die Summanden Vielfache von Fakultäten des Indizes sind. Das Wurzelkriterium ist meist günstig, wenn die Summanden Potenzen bezüglich des Indizes enthalten. 7.3 Stetigkeit von Funktionen in einem Punkt 7.3.1 Definition und Grundeigenschaften Beispiel 7.51. Wir betrachten eine mechanische Uhr. Ziel ist eine möglichst hohe Ganggenauigkeit. An einem Rädchen kann die Schwingungsfrequenz variiert werden. Der Einstellwinkel des Rädchens ist die Eingangsgrößen, die Abweichung von 24 h nach 24 h ist die Ausgangsgröße. Diese Abweichung soll möglichst klein werden. Die Frage ist, ob die eingebaute Mechanik dies auch zulässt. 140

7.3 Stetigkeit von Funktionen in einem Punkt Wir haben hier eine Menge von Eingangsgrößen Winkel) X R, eine Menge von Ausgangsgrößen Y R Abweichung von Sollzeit) und eine Abbildung f : Df) X Y, welche Eingangsgrößen die entsprechende Ausgangsgröße zuordnet. Ziel ist die Ausgangsgröße y 0 hier mit y 0 = 0), welche zur Eingangsgröße x 0 gehört, y 0 = fx 0 ). Leider lässt die Mechanik mit Stellrädern nicht zu, dass wir sicher den Solleingang x 0 treffen. Wir können nur versuchen, den Eingang x möglichst nahe an x 0 zu bringen, und hoffen, dass der Ausgang fx) auch nahe am Soll fx 0 ) = y 0 liegt. Wir können uns nun die Frage stellen, ob es zu einer vorgegebenen Genauigkeit ε im Ausgang eine Genauigkeit δ im Eingang gibt, mit der Eigenschaft, wenn der Eingang nicht mehr als δ vom Solleingang abweicht, dann weicht der Ausgang nicht mehr als um ε vom Sollausgang ab. Wir können uns dann fragen, ob dies mit verschieden großen Genauigkeiten für den Ausgang geht. Schließlich können wir uns fragen, ob dies mit jeder Genauigkeit für den Ausgang geht. Da uns dieser Begriff wichtig erscheint, geben wir ihm einen Namen. Definition 7.52. Sei f : Df) R R und sei x 0 Df). Wir nennen f stetig in x 0, wenn ε > 0 δ > 0 x Df) : x x 0 < δ = fx) fx 0 ) < ε. Andernfalls nennen wir f unstetig in x 0. y y f f a x 0 b x a x 0 b x Funktion, die in x 0 stetig ist Funktion, die in x 0 unstetig ist Die Stetigkeit oder Unstetigkeit wird also nur in Punkten des Definitionsbereiches betrachtet. Definition 7.53. Sei f : Df) R R und sei x 0 Df). Wir nennen f linksseitig stetig in x 0, wenn die Einschränkung f Df) x0 von f auf Df) x0 = Df) ], x 0 ] stetig ist. Wenn f Df) x0 stetig ist, nennen wir f rechtsseitig stetig in x 0. 141

7 Grenzwerte und Stetigkeit Satz 7.54. Eine Funktion f : Df) R R ist genau dann stetig in x 0 Df), wenn f links- und rechtsseitig stetig in x 0 ist. Beispiel 7.55. 1. Die Funktion f : R R mit fx) = x, ist in jedem Punkt x 0 R stetig: Sei x 0 R. Dann gilt fx) fx 0 ) = x x 0. Zu ε > 0 können wir also zum Beispiel δ = ε wählen. Beachte: Hier kann δ unabhängig von x 0 gewählt werden. 2. Die Funktion f : R R mit fx) = x 2 ist in jedem Punkt x 0 R stetig: Sei x 0 R. Dann gilt fx) fx 0 ) = x 2 x 2 0 = x + x 0 x x 0 = x x 0 + 2x 0 x x 0 < 2 x 0 + δ)δ, wenn x x 0 < δ. Wir können fx) fx 0 ) kleiner als ε machen, indem wir δ mit 2 x 0 + δ)δ < ε wählen, z.b., δ < 1 mit δ < ε 2 x 0 +1. Beachte: Hier kann δ nicht unabhängig von x 0 gewählt werden. 3. Die Vorzeichen-Funktion sgn: R R mit sgn x = 1 für x < 0, sgn 0 = 0, sgn x = 1 für x > 0 ist stetig in jedem Punkt x 0 0. Sie ist in 0 weder links- noch rechtsseitig stetig und damit in 0 unstetig. 4. Die Heaviside-Funktion h: R R mit hx) = 0 für x 0 und hx) = 1 für x > 0 ist stetig in jedem Punkt x 0 0. Sie ist in 0 links- aber nicht rechtsseitig stetig und damit in 0 unstetig. 1 1 0 0-1 -1 Satz 7.56. Sei f : Df) R R und sei x 0 Df).Dann ist f in x 0 genau dann stetig, wenn für jede Folge ξ i ) i N aus Df) mit x 0 = lim i ξ i auch die Folge fξ i )) i N gegen fx 0 ) konvergiert: Folge ξ : N Df) : lim ξ i = x 0 = lim fξ i ) = fx 0 ). i i 142

7.4 Stetige Funktionen und ihre Eigenschaften Bemerkung 7.57. Satz 7.56 stellt nur dann eine Forderung, wenn x 0 Häufungspunkt von Df) ist. Dabei ist x 0 ein Häufungspunkt von Df), wenn für jedes ε > 0 ein x Df) ]x 0 ε, x 0 + ε[ existiert. Ein x 0 Df), welches kein Häufungspunkt von Df) ist, heißt isolierter Punkt von Df) Ein isolierter Punkt ist dadurch charakterisiert, dass es ein ε > 0 gibt mit Df) ]x 0 ε, x 0 + ε[ =.In isolierten Punkten ist eine Funktion stets stetig. Der folgende Satz vereinfacht die Untersuchung der Stetigkeit bei zusammengesetzten Funktionen. Satz 7.58. i) Sind f : Df) R R und g : Dg) R R in einem Punkt x 0 Df) Dg) stetig, so gilt dies auch für f + g, α f α R) und f g. Ist gx 0 ) 0, so ist auch f g stetig in x 0. ii) Sei f : Df) R R stetig in x 0 Df) und sei g : Dg) R R stetig in fx 0 ) Dg). Dann ist auch g f stetig in x 0. Bemerkung 7.59. Der Nachweis der Stetigkeit einer Funktion wird häufig so geführt, indem die Stetigkeit direkt anhand der Definition gezeigt wird, siehe Beispiel 7.55, oder mit Hilfe von Satz 7.58 von einfacheren Funktionen auf komplizierte vererbt wird.um die Unstetigkeit einer Funktion an einer Stelle zu zeigen, ist die Definition oder Satz 7.56 hilfreich. Bei Satz 7.56 genügt es nämlich beim Unstetigkeitsnachweis eine geeignete Folge zu finden. Beispiel 7.60. Wir betrachten die Funktion f : R R mit f0) = 0 und fx) = sin 1 x für x 0. Dann ist ξ k ) k N mit ξ k = π 2 + 2kπ) 1 für k N eine gegen 0 konvergente Folge. Es gilt fξ k ) = sin π 2 + 2kπ) = 1, weswegen fξ k) f0) für k gilt. Die Funktion f ist also unstetig in 0. 7.4 Stetige Funktionen und ihre Eigenschaften 7.4.1 Stetige Funktionen Viele der bisher betrachteten Funktionen sind in jedem Punkt des Definitionsbereiches stetig. Da diese Klasse von Funktionen von besonderem Interesse ist, definieren wir: Definition 7.61. Sei f : Df) R R. Wir nennen f stetig oder stetige Funktion, wenn f in allen x 0 Df) stetig ist. Für die Zusammensetzung stetiger Funktionen können wir als Folgerung aus Satz 7.58 den folgenden Satz formulieren: 143

7 Grenzwerte und Stetigkeit Satz 7.62. i) Sind f : Df) R R und g : Dg) R R stetig, so gilt dies auch für f + g, α f α R) und f g. Gilt zusätzlich gx) 0 für alle x Df) Dg) so ist auch f g stetig. ii) Seien f : Df) R R und g : Dg) R R stetig. Dann ist auch g f stetig. 7.4.2 Natürliche Potenzfunktionen Definition 7.63. Die Potenzfunktion pot n zum Exponenten n N ist definiert durch pot n : Dpot n ) = R R, x x n. Offenbar ist die konstante Funktion pot 0 stetig auf ganz R. Die Identität pot 1 ist nach Beispiel 7.55 ebenfalls steig auf ganz R. Somit sind pot 0 und pot 1 stetige Funktionen. Mit Satz 7.62 folgt: Satz 7.64. Die natürlichen Potenzfunktionen pot n : R R, pot n x = x n, mit n N sind stetige Funktionen. 7.4.3 Polynome 7.4.3.1 Definition und Stetigkeit Definition 7.65. Seien n N, a 0,..., a n R. Dann heißt p: R R mit px) = a n x n + a n 1 x n 1 + + a 1 x + a 0 ein Polynom. Gilt a n 0 oder n = 0, so heißt n der Grad des Polynoms. Gilt px 0 ) = 0, so heißt x 0 eine Nullstelle von p. Beispiel 7.66. f : R R mit fx) = 2 ist ein Polynom nullten Grades, g : R R mit gx) = 3x 2 + 5 ist ein Polynom zweiten Grades. Mit den Sätzen 7.64 und 7.62 folgt: Satz 7.67. Polynome sind stetige Funktionen. 7.4.3.2 Spezielle Eigenschaften von Polynomen Polynome sind in ihrer Darstellung eindeutig: 144

7.4 Stetige Funktionen und ihre Eigenschaften Satz 7.68 Eindeutigkeit der Darstellung). Seien f, g : R R Polynome mit fx) = a 0 + a 1 x + + a n x n, gx) = b 0 + b 1 x + + b m x m. Dann sind die folgenden Aussagen äquivalent: Beide Polynome sind gleich, f = g. Beide Polynome stimmen in n + 1 paarweise verschiedenen Stellen überein. Die entsprechenden Koeffizienten von f und g stimmen überein, d.h., es gilt m = n, a i = b i für alle i = 0,..., n. Die im Satz beschriebene Feststellung der Gleichheit der Koeffizienten beider Polynome nennt man Koeffizientenvergleich. Satz 7.69 Faktorisierungssatz). Jedes Polynom n-ten Grades, n 1, besitzt eine Darstellung fx) = x x 1 ) l1 x x 2 ) l2 x x s ) ls gx), wobei x 1,..., x s genau die Nullstellen von f sind, l 1 + + l s n gilt und g ein nullstellenfreies Polynom vom Grad n l 1 + l 2 + + l s ) ist. Diese Darstellung ist bis auf Vertauschung der Faktoren eindeutig. Bezeichnung: Wir nennen die Faktoren x x i ), i = 1,..., s, die Linearfaktoren des Polynoms. Ferner nennen wir l j die Vielfachheit der Nullstelle x j von f. Folgerung 7.70. Jedes Polynom n-ten Grades, n 1, hat höchstens n Nullstellen. Folgerung 7.71. Jedes Polynom ungeraden Grades besitzt mindestens eine Nullstelle. Lassen wir auch komplexe Nullstellen zu, so gilt jedoch: Satz 7.72 Fundamentalsatz der Algebra). Jedes Polynom n-ten Grades mit n N >0 hat genau n komplexe Nullstellen, wenn diese entsprechend ihrer Vielfachheit gezählt werden. Satz 7.73 Faktorisierungssatz). Jedes Polynom n-ten Grades, n 1, besitzt eine Darstellung r k r k fx) = a x x i ) ri x 2 + b i x + c i ) k i, r i + 2 k i = n, i=1 i=1 wobei x 1,..., x s die reellen Nullstellen von f mit den Vielfachheiten r i sind, und die k quadratischen Polynome zu nichtreellen, konjugiert komplexen Paaren komplexer Nullstellen der Vielfachheiten k i gehören. i=1 i=1 145

7 Grenzwerte und Stetigkeit 7.4.4 Rationale Funktionen Addiert, subtrahiert oder multipliziert man Polynome, so entstehen wieder Polynome. Anders ist dies bei der Division. Definition 7.74. Eine Funktion f : Df) R R heißt gebrochen-rationale Funktion, wenn Polynome p und q existieren, so dass fx) = px) qx) für x Df) = R \ {x: qx) = 0}. f heißt echt-gebrochen, wenn der Grad von p kleiner als der Grad von q ist. Polynome sind spezielle rationale Funktionen, die mit qx) = 1 entstehen. Beispiel 7.75. Die Produktionskosten für die Herstellung von x Einheiten eines Gutes seien gegeben durch die Kostenfunktion K : ]0, [ R mit Kx) = ax 2 + bx + c mit a < 0 < b, c R. Dann sind die Stückkosten durch die rationale Funktion k : ]0, [ R mit gegeben. kx) = ax2 + bx + c x Fragen, die wir hier nicht beantworten: Vereinfachung des Bruches Zerlegung in ganzen Anteil und echt gebrochenen Anteil, Kürzen) Nullstellen, Polstellen Zerlegung in Elementarbrüche Partialbruchzerlegung).) Mit den Sätzen 7.67 und 7.62 folgt: Satz 7.76. Rationale Funktionen sind stetige Funktionen. Beachte: In den Nullstellen des Nennerpolynoms q ist die rationale Funktion nicht definiert und somit dort weder stetig noch unstetig. 146

7.4 Stetige Funktionen und ihre Eigenschaften 7.4.5 Potenzreihen Definition 7.77. Seien a n R, n N und x 0 R. Dann heißt die Folge p n ) n N der Polynome p n : R R mit n p n x) = a k x x 0 ) k k=0 eine Potenzreihe um x 0 mit den Koeffizienten a n Beachte hier wieder 1 = 0 0 ). Die Grenzfunktion P : DP ) R R mit P x) = a n x x 0 ) n für x DP ) := {y R: n=0 a n y x 0 ) n konvergiert} n=0 heißt ebenfalls Potenzreihe oder auch Summe der Potenzreihe. Beispiel 7.78. Eine wichtige Potenzreihe ist z. B. n=0 1 n! xn. Satz 7.79. Für jede Potenzreihe n=0 a n x x 0 ) n existiert genau ein ρ R 0 { } mit den folgenden Eigenschaften: 1. Die Potenzreihe konvergiert für alle x R mit x x 0 < ρ. 2. Sie divergiert für alle x R mit x > ρ. Diese Zahl ρ heißt Konvergenzradius dieser Reihe. Er kann mit Hilfe des Quotienten- bzw. Wurzelkriteriums berechnet werden. Definition 7.80. Eine Funktion f : Df) R R heißt in eine Potenzreihe entwickelbar, wenn es eine Potenzreihe n=0 a n x x 0 ) n mir Konvergenzradius ρ > 0 gibt mit Df) {x R: x x 0 < ρ}, fx) = a n x x 0 ) n für x Df). n=0 Satz 7.81. Jede in eine Potenzreihe entwickelbare Funktion ist stetig. 7.4.6 Exponentialfunktion 7.4.6.1 Definition und elementare Eigenschaften Die Potenzreihe k=0 1 k! xk konvergiert dem Quotientenkriterium für alle x R, hat also den Konvergenzradius ρ =. 147

7 Grenzwerte und Stetigkeit Definition 7.82. Die durch exp x := k=0 1 k! xk für x R definierte Funktion exp: R R heißt natürliche) Exponentialfunktion. Nach Satz 7.81 gilt: Satz 7.83. Die Exponentialfunktion exp ist stetig. Man kann zeigen: Satz 7.84. 1. Für alle x, y R gilt 2. Für alle x R gilt Insbesondere gilt also expx + y) = exp x exp y. exp x = lim 1 + x n > 0. n n) exp n = e n für n N. 3. Die Exponentialfunktion ist streng monoton wachsend mit lim exp x = 0, x lim exp x =. x Auf Grundlage von Satz 7.84 definieren wir e x := exp x für x R. Bemerkung 7.85. Mit dem später definiertem natürlichen Logarithmus ln kann man auch reelle Potenzen positiver Basen und damit Exponenentialfunktionen mit positiven Basen definieren: exp b x = b x := expx ln b) = e x ln b für x R, b > 0. 7.4.6.2 Wachstumsprozesse Heuristik: Zahlreiche Wachstums- oder Abnahmeprozesse für eine zeitabhängige Größe ut) können innerhalb einer kurzen Zeitspanne Δt näherungsweise nach dem Gesetz ut + Δt) ut) α ut) Δt, ut + Δt) 1 + αδt) ut) 148

7.4 Stetige Funktionen und ihre Eigenschaften Die Änderung ist in etwa proportional zur Größe und zur Zeitdauer ) beschrieben werden. Der Änderungsprozess ist dabei um so genauer, je kleiner Δt ist. Wir nehmen nun an, der Prozess u beginnt zum Zeitpunkt 0 mit dem Wert u 0. Gesucht ist der Wert zum Zeitpunkt T > 0. Um zu kurzen Zeitintervallen zu kommen, teilen wir das Intervall [0, T ] in n gleich lange Intervalle [t i 1, t i ] der Länge T n mit Wir erhalten dann näherungsweise t i = i n T. ut 1 ) 1 + αt n ) u 0, ut k ) 1 + αt n ) ut k 1 ) = 1 + αt n ) k u 0 und damit ut ) 1 + αt n ) n u 0. Die rechte Seite sollte nun den Wert ut ) um so besser beschreiben, je kleiner die Zeitschritte sind, das heißt je größer n ist. Man kann nun vermuten, dass T n ut ) = u 0 lim 1 + αt n n gilt, falls der Grenzwert auf der rechten Seite existiert. Analysis: Nach Satz Beispiel 7.84 gilt lim 1 + αt n n ) n ) n = e αt. Damit erhalten wir ut ) = u 0 e αt für unseren Wachstumsprozess, wobei sich die so genannte natürliche Basis e in natürlicher Weise ergeben hat. Anwendung: Wachstums- und Abnahmeprozesse kommen in vielfältiger Art vor. Einige einfache Prozesse können in obiger Weise beschrieben werden: Alterungs- und Zerfallprozesse z. B. Alterung von Farben, radioaktiver Zerfall) Wachstum von Populationen ohne Ressourcenmangel z. B. Wachstum von Pilzen) Kapitalverzinsung nicht nur nach vollen Jahren: Ist p der Jahreszinssatz, so wähle α mit e α 1 = p, d. h., α = ln1 + p). Dann könnte das Kapital entsprechend kt) = e αt k0) kontinuierlich verzinst werden. 149

7 Grenzwerte und Stetigkeit 7.4.7 Trigonometrische Funktionen Die Potenzreihen k=0 1) k x 2k+1 2k + 1)!, k=0 1) k x 2k 2k)! haben nach dem Quotientenkriterium den Konvergenzradius ρ = und definieren daher auf R definierte stetige Funktionen sin: R R, sin x = k=0 1) k x 2k+1 2k + 1)!, cos: R R, cos x = k=0 1) k x 2k 2k)!, Bemerkung 7.86. Man kann zeigen, dass sin und cos 2π-periodisch sind, die bekannten Additionstheoreme erfüllen und auch die anderen aus der Geometrie bekannten Eigenschaften des Sinus und Cosinus haben. Mit den Satz7.62 folgt: Satz 7.87. Die Sinus-Funktion sin, die Cosinus-Funktion cos sowie die Tangens-Funktion tan = sin cos cos und Cotangens-Funktion ctn = sin sind stetige Funktionen. 7.4.8 Weitere stetige Funktionen Die Zusammensetzung Verkettung) der elementaren Funktionen Potenzfunktionen, rationale Funktionen, Exponentialfunktion, trigonometrische und hyperbolische Funktionen) durch Addition, Subtraktion, Multiplikation, Division und Komposition führt wieder zu stetigen Funktionen mit dem sich natürlich ergebenden Definitionsbereich).pst ist als Komposition stetiger Funk- Beispiel 7.88. Die Funktion h: R R mit hx) = e x2 tionen stetig, da h = g f mit g = exp und f = pot 2. Unstetige Funktionen erhalten wir also nur, wenn wir die Klasse der allein durch Kombination von elementaren Funktionen beschreibbaren Funktionen verlassen, in dem wir sie zum Beispiel, wie bei der Vorzeichenfunktion getan, nur stückweise d. h., jeweils auf endlich vielen Teilintervallen des Definitionsbereiches) durch Kombination elementarer Funktionen beschreiben. Bemerkung 7.89. Es gibt viel mehr unstetige Funktionen als stetige Funktionen. Offen ist nun noch die Frage, ob es zu den obigen Funktion oder zumindest für geeignete Einschränkungen auch Umkehrfunktionen gibt und ob diese auch stetig sind. 150

7.4 Stetige Funktionen und ihre Eigenschaften 7.4.9 Wichtigste Eigenschaften stetiger Funktionen Satz 7.90. Sei f : Df) R R stetig und sei [a, b] Df) ein abgeschlossenes, beschränktes Intervall. Dann gilt: i) f ist auf [a, b] beschränkt, d. h. es gibt ein K R mit fx) K für alle x [a, b]. ii) Existenz von Maximum und Minimum) Es gibt x 1, x 2 [a, b] so, dass fx 1 ) fx) fx 2 ) für alle x [a, b], d. h., f nimmt auf [a, b] im Minimierer x 1 ein Minimum, im Maximierer x 2 ein Maximum an. Satz 7.91 Zwischenwertsatz). Sei f : Df) R R stetig und [x 1, x 2 ] Df) mit x 1 x 2. Dann gilt: Zu jedem Wert y zwischen fx 1 ) und fx 2 ) gibt es ein x [x 1, x 2 ] mit fx) = y. y x 1 x x 2 Folgerung 7.92 Nullstellensatz). Sei f : [a, b] R stetig und x 1, x 2 [a, b] mit fx 1 ) < 0 < fx 2 ). Dann gibt es ein x zwischen x 1 und x 2 mit fx) = 0. Bemerkung 7.93. Diese Folgerung ist u. a. Grundlage für das Intervallhalbierungsverfahren zur Nullstellenbestimmung. In Verallgemeinerung von Satz 7.91 gilt: Satz 7.94. Sei f : Df) R R stetig und sei M Df). 1. Wenn M ein Intervall ist, dann ist das Bild f[m] von M unter f wieder ein Intervall. 2. Wenn M ein abgeschlossenes, beschränktes Intervall ist, dann ist das Bild f[m] von M unter f wieder ein abgeschlossenes, beschränktes Intervall. 151

7 Grenzwerte und Stetigkeit Satz 7.95 Stetigkeit der inversen Funktion). Seien I, J R Intervalle und sei f : I J streng monoton mit f[i] = J. Dann existiert die inverse Funktion f 1 : J I und 1. f 1 ist streng monoton im gleichen Sinne wie f); 2. f 1 ist stetig. Folgerung 7.96. Die natürliche Exponentialfunktion exp: R R >0 ist invertierbar. Ihre Umkehrfunktion ln: R >0 R natürlicher Logarithmus genannt) ist stetig, streng monoton wachsend mit lim ln x =, lim x 0 ln x =, lnx y) = ln x ln y für x, y > 0. x Folgerung 7.97. Die trigonometrischen und hyperbolischen Funktionen sind auf Monotonie-Intervallen stetig invertierbar, d. h., die Arcus- Funktionen sind stetig. 7.5 Grenzwerte von Funktionen Wir betrachten nun einen Begriff, der dem Begriff der Stetigkeit ähnlich ist. 7.5.1 Der Begriff des Grenzwertes Definition 7.98. Eine Zahl c R heißt Grenzwert der Funktion f in x 0 R, wenn ε > 0 δ > 0 x Df) : x x 0 < δ = fx) c < ε. Bemerkung 7.99. 1. Der Grenzwert ist wenn er existiert) eindeutig. 2. Wenn f in x 0 definiert ist, müssen fx 0 ) und lim x0 f übereinstimmen. 3. Die Stelle x 0 muss nicht zum Definitionsbereich von f gehören. 4. Obige Definition entspricht der modernen Definition eines Grenzwertes. In älterer Literatur findet man noch die Definition des Grenzwertes, bei der Grenzwerte nur in Häufungspunkten x 0 des Definitionsbereiches betrachtet werden, der Funktionswert fx 0 ), falls er existiert, bei der Grenzwertbildung jedoch nicht betrachtet wird. Bezeichnung: lim x0 f = c oder lim x x 0 fx), gesprochen: Grenzwert von f an der Stelle x 0. 152

7.5 Grenzwerte von Funktionen Satz 7.100 Charakterisierung des Grenzwertes durch Folgen). Eine Funktion f : Df) R R besitzt in x 0 R den Grenzwert c genau dann, wenn für jede beliebige Folge ξ n ) n N in Df) mit ξ n x 0 die Folge fξ n )) n N gegen c konvergiert, Folge ξ : N Df) : lim ξ i = x 0 = lim fξ i ) = c. i i Folgerung 7.101. Wenn f : Df) R R in x 0 R einen Grenzwert besitzt, dann gehört x 0 zu Df) oder x 0 ist ein Häufungspunkt von Df). Durch Vergleich der Definitionen 7.52 und 7.98 ergibt sich: Satz 7.102. Die Funktion f : Df) R R ist stetig in x 0 Df) genau dann, wenn der Grenzwert lim f von f in x 0 existiert. x0 Insbesondere stimmen dann Funktionswert und Grenzwert in x 0 überein, fx 0 ) = limf. x0 Grenzwerte an Stetigkeitsstellen zu bestimmen ist somit trivial, da es einfach die Funktionswerte sind. Ebenso trivial ist die Bestimmung an Unstetigkeitsstellen: Der Grenzwert existiert nicht. Nichttrivial ist hingegen die Bestimmung von Grenzwerten an Stellen, die nicht zum Definitionsbereich gehören. Definition 7.103. Wenn der Grenzwert der Einschränkung f Df) [x0 von f auf, [ Df) >x0 := Df) [x 0, [ existiert, so heißt dieser rechtsseitiger Grenzwert von f in x 0 und wird mit lim fx) oder lim fx) bezeichnet, x x 0 x x 0 +0 lim fx) = lim fx) := lim f x x 0 +0 x x 0 x x 0 Df)>x0 x). Entsprechend ist der linksseitige Grenzwert lim fx) oder lim fx) definiert als x x 0 x x 0 0 lim fx) = x x 0 0 lim fx) := lim f x x 0 x x 0 Df)<x0 x). Satz 7.104. Sei f : Df) R R und sei x 0 Häufungspunkt von Df) <x0 und Df) >x0. Dann existiert der Grenzwert von f in x 0 genau dann, wenn linksseitiger und rechtsseitiger Grenzwert existieren und gleich sind und mit dem Funktionswert von fx 0 ) übereinstimmen, falls f in x 0 definiert ist. Wenn der Grenzwert existiert, dann gilt lim fx) = lim fx) = lim fx). x x 0 x x 0 x x 0 153

7 Grenzwerte und Stetigkeit 7.5.2 Rechnen mit Grenzwerten Zur bequemen Berechnung von Grenzwerten notieren wir wieder einige Rechenregeln, die aus der Definition und den entsprechenden Regeln für Folgen hergeleitet werden. Satz 7.105 Rechenregeln für Grenzwerte von Funktionen). Seien f : Df) R R, g : Dg) R R und sei x 0 ein Häufungspunkt von Df) Dg). Weiter nehmen wir an, dass lim fx) und lim gx) als endliche Grenzwerte) existieren. x x 0 x x 0 Dann gelten: lim fx) + gx)) = lim fx) + lim gx), x x 0 x x 0 x x 0 lim α fx)) = α lim fx) für alle α R, x x 0 x x 0 ) ) lim fx) gx)) = lim fx) lim gx), x x 0 x x 0 x x 0 lim x x 0 ) fx) = gx) lim fx) x x 0 lim gx), x x 0 falls lim gx) 0. x x 0 Satz 7.106 Satz von den zwei Milizionären). Seien f : Df) R R, g : Dg) R R, h: Dh) R R mit Dh) Df) Dg). Existiert ein ε > 0 mit fx) hx) gx) für alle x Dh) mit x x 0 < ε, und gilt lim fx) = lim gx) = c, so gilt auch lim hx) = x x 0 x x 0 x x 0 c. 7.5.3 Beispiele Folgerung 7.107. Für jedes Polynom p und jede Stelle x 0 R gilt: lim px) = px 0 ). x x 0 Beweis. Regeln i) iii) von Satz 7.105. Beispiel 7.108. Es gilt lim x 2 x 3 ) + 3x + 5 x 2 2x + 1 Dies folgt Folgerung 7.107 und Regel iv). = lim x 2 x 3 + 3x + 5 ) lim x 2 x 2 2x + 1) = 19 1. 154

7.5 Grenzwerte von Funktionen Beispiel 7.109. Sei f : Df) R R mit Df) = R \ {2} und fx) = x2 + x 6 x 2 Dann gilt wegen der Stetigkeit von Zähler und Nenner in x 0 = 4 lim fx) = lim x 4 x 4 x 2 + x 6 x 2. = lim x 4x 2 + x 6) = 14 lim x 4 x 2) 2 = 7. Dagegen kann der Grenzwert lim x 2 fx) nicht in ähnlicher Weise berechnet werden, da lim x 2 x 2) = 0. Sei dazu nun ξ n ) n N eine beliebige Folge in R \ {2} mit lim n ξ n = 2. Wegen x 2 + x 6 = x 2)x + 3) gilt dann lim fξ n)= lim n n ξ n 2)ξ n + 3) = lim ξ n 2 ξ n + 3)= 5 n und daher lim fx) = 5. x 2 Beispiel 7.110. Die Funktion f : Df) R R mit Df) = R \ {0} und fx) = sin 1 x ist stetig. Der Grenzwert in 0 existiert aber nicht: Seien z.b. ξ n ) n N und η n ) n N mit 1 ξ n = 2n+ 1 2 )π und η 1 n = 2n 1 )π. Dann gilt fξ n) = 1 und fη n ) = 1 für n N und daher 2 Beispiel 7.111. Wir zeigen Es gilt nämlich Aus folgt damit die Behauptung. 1 = lim n fξ n) lim n fη n) = 1. x + 1 1 = x x + 1 1 lim = 1 x 0 x 2. x + 1 ) 2 1 2 x x + 1 + 1 ) = 1 x + 1 + 1. lim = 1 = 1 x 0 x + 1 + 1 2 Lemma 7.112. Es gilt sin x lim x 0 x = 1 = lim x x 0 sin x. Beweis. Gemäß der Skizze 155

7 Grenzwerte und Stetigkeit sin x tan x x cos x 1 gilt bei Betrachtung der Flächeninhalte folgender Zusammenhang: 1 x sin x cos x 2 2π π 1 x tan x cos x 2 sin x 1 cos x. Mit Satz 7.106 schließen wir aus 1 lim cos x = 1 und lim x 0 x 0 cos x = 1 auf lim x 0 x sin x = 1 = lim sin x x 0 x. Lemma 7.113. Es gilt cos x 1 lim = 0. x 0 x Beweis. Es gilt cos x 1 cos x 1) cos x + 1) = = cos2 x 1 x x cos x + 1) x cos x + 1) sin 2 x = x cos x + 1) = sin x x 1 cos x + 1 sin x. cos x 1 Mit Lemma 7.112 und den Rechenregeln folgt lim = 0. x 0 x 7.5.4 Stetige Fortsetzung Eine wichtige Anwendung von Grenzwerten ist die stetige Fortsetzung stetiger Funktionen auf Häufungspunkte des Definitionsbereiches: Satz 7.114 Stetige Fortsetzung). Sei f : Df) R R und sei x 0 Df) ein Häufungspunkt von Df). Existiert der endliche) Grenzwert lim x x0 fx), dann ist die Funktion g : Dg) R mit Dg) = Df) {x 0 } und gx) = fx) für x Df), gx 0 ) = lim x x0 fx) stetig. 156

7.5 Grenzwerte von Funktionen Beispiel 7.115. In Beispiel 7.109 hatten wir f : Df) R R mit Df) = R \ {2} und betrachtet und fx) = x2 + x 6 x 2 lim x 2 fx) = 5 gezeigt. Nach Satz 7.114 ist die Funktion g : R R mit gx) = fx) für x 2 und gx) = 5 für x = 2 die stetige Fortsetzung von f auf R. Beachte, dass gx) = x + 3 für x R. Beispiel 7.116. Wir betrachten f : R \ {0} R mit fx) = sin x x für x 0. Wie in Lemma 7.112 gezeigt, gilt sin x lim x 0 x = 1. Damit ist g : R R mit gx) = sin x x für x 0 und g0) = 1 nach Satz 7.114 die stetige Fortsetzung von f auf R. Beispiel 7.117. Wie in Beispiel 7.110 gezeigt, ist die Funktion f : Df) R R mit Df) = R \ {0} und fx) = sin 1 x zwar stetig, besitzt aber keinen Grenzwert in 0. Sie kann folglich nicht stetig in 0 fortgesetzt werden. 157

7 Grenzwerte und Stetigkeit 158

Index Äquivalenz, 5 Äquivalenzrelation, 14 äquivalent, 6 Abbildung, 14, 16 Abbildung, affin-lineare, 60 Abbildung, identische, 20 Abbildung, lineare, 59 Abbildung, surjektive, 17 Abnahmeprozess, 148 Abstand, 131 Addition, 32, 105, 107, 109 Addition, komplexe, 112 Additionstheorem, 118 All-Quator, 7 Anfangsbedingung, 130 Antisymmetrie, 33 Arcus-Funktion, 152 Area-Funktionen, 152 Argument, 16, 118, 119, 123 Assoziativgesetz, 6, 12, 32, 105, 112, 113 Aussage, 5 Aussageform, 5 Aussagevariable, 5 Austauschregeln, 62 Basen, negative, 38 Basis, 109, 111 Basis, 90 Basis, kanonische, 108 Basisdarstellung, 90 Basisdarstellung, zulässige, 92 Basislösung, 90 Basisvariable, 90 Bereich, zulässiger, 81 beschränkt, 151 Betrag, 35, 119, 123, 131 Betrag einer komplexen Zahl, 116 Betrag, euklidischer), 110 Betragsungleichung, 36 Bijektion, 20 bijektiv, 20 Bild, 18 Cauchy-Konvergenzkriterium, 136 Cauchy-Kriterium, 133 Darstellung, 112 Definition, rekursive, 26, 127 Definitionsbereich, 141 Definitionsbereich, 17 Determinante, 42, 51 53, 56, 57 Determinante, Eigenschaften, 54 Determinate, 122 Differenz, 11 Differenz von Matrizen, 45 Differenz, symmetrische, 11 Differenzengleichung, lineare, 130 disjunkt, 11 Disjunktion, 5 Distributivgesetz, 6, 12, 112, 113 Divergenz, 132, 137 Division, 32 Drehung, 123 Dreieck, Pascalsches, 30 Dreiecksmatrix, 52 Dreiecksungleichung, 37, 132 Durchschnitt, 11, 13 durchschnittsfremd, 11 echt-gebrochen, 146 Einheitsmatrix, 44 Einheitsvektor, 107, 110 Einheitsvektoren, 111 Element, 112 Entwicklung, 53 Euler-Formel, 118, 119 159

Index Existenz-Quantor, 7 Exponential-Darstellung, 119 Exponentialdarstellung, 119, 120 Exponentialfunktion, 118, 148 Fallunterscheidung, 36 Flächeninhalt, 156 Folge, 127, 132, 142 Folge, arithmetische, 128 Folge, beschränkte, 133 Folge, geometrische, 128 Folge, monotone, 133 Folgen, 127 Folgencharakterisierung, 153 Folgenglied, 127, 131 Folgenindex, 127, 131 Funktion, 14, 16, 127, 153 Funktion, beschränkte, 151 Funktion, eineindeutige, 18 Funktion, Einschränkung, 141, 153 Funktion, elementare, 150 Funktion, gebrochen-rationale, 146 Funktion, gleichheit, 17 Funktion, injektive, 18 Funktion, inverse, 152 Funktion, komplexe, 118 Funktion, linksseitig stetig in, 141, 142 Funktion, monotone, 152 Funktion, rationale, 146 Funktion, rechtsseitig stetig in, 141, 142 Funktion, stetig in, 141, 142 Funktion, stetige, 143, 144, 150, 152, 155 157 Funktion, stetige Fortsetzung, 157 Funktion, surjektive, 17 Funktion, trigonometrische, 118, 152 Funktion, unstetig in, 141 Funktion, unstetige, 150 Gaußsche Zahlenebene, 114, 117 Genauigkeitsgrenze, 131 Gerade, 122, 123 Gleichung, quadratische, 120 Gleichungssystem, allgemeines lineares, 59 Gleichungssystem, homogenes lineares, 56 Gleichungssystem, inhomogenes lineares, 56 Gleichungssystem, lineares, 42, 55, 58 Graph, 17 Grenzfunktion, 147 Grenzwert, 132, 134, 152 157 Grenzwert, linksseitiger, 153 Grenzwert, rechtsseitiger, 153 Häufungspunkt, 143, 153, 154, 156 Halbebene, obere, 123 Halbebene, rechte, 123 Hauptstützelement, 62 Heaviside-Funktion, 142 Hilfsproblem, 100 Hyperbelfunktion, 118 Hyperbelfunktionen, 152 Identität, 20 Imaginärteil, 115 Implikation, 5 Indexmenge, 13 Induktion, vollständige, 132 inhomogen, 130 Input-Output-Koeffizient, 41 Inverses, additives, 108 invertierbar, 50 Körper, 32, 105 Körper der komplexen Zahlen, 114 Körper, total angeordneter, 33 Kellerzeile, 64 Koeffizientenmatrix, 42 Koeffizientenvergleich, 145 Kombination, 29 Kombinationen, 29 Kommutativgesetz, 6, 12, 112, 113 Komplement, 12 komplex konjugiert, 117 Komposition, 18 Kongruenztransformation, 123 konjugiert, 116 Konjunktion, 5 Konvergenz, 131 134, 137 Konvergenzkriterium, 133, 136 Koordinate, 108, 109 160

Index Koordinatenvektor, 109 Kreislinie, 122 Länge, 110 Lösung, 42, 82 Lösung, maximale, 82 Lösung, minimale, 82 Lösung, optimale, 82 Lehrsatz, binomischer, 37 linear unabhängig, 109 Linearfaktoren, 145 Linearkombination, 108, 109 linkseindeutig, 15 linkstotal, 15 Logarithmengesetze, 38 Logarithmus, 38 Matrix, 39, 51, 53, 56 Matrix, inverse, 50 Matrix, invertierbare, 55 57 Matrix, quadratische, 44 Matrix, Rechenregeln, 51 Matrix, symmetrische, 44 Matrix, transponierte, 43 Matrixgleichung, 51 Matrizenaddition, 106 Matrizenmultiplikation, 106 Maximierer, 151 Maximum, 151 Menge, 7 Menge, leere, 10 Mengengleichheit, 9 Minimierer, 151 Minimum, 151 Moivre-Formel, 118 Multiplikation, 32, 105, 107, 109 Multiplikation, komplexe, 113 Nebenbedingung, 81 Negation, 5 Nichtbasisvariable, 90 Nichtnegativitätsbedingungen, 81 Norm, 109, 110 Norm,euklidische, 110 Normalform, 59 Normalform der linearen Optimierung, 86 Nullfolge, 131, 132, 137, 139 Nullmatrix, 43 Nullpunkt, 123 Nullstelle, 120, 144 Nullstellenbestimmung, 151 Nullvektor, 107, 108 Optimierungsproblem, lineares, 81 Ordnung, totale, 33 Ordnungsrelation, 14, 32 Ortsvektoren, 114 Output-Bilanz, 41 Paar, geordnetes, 13 paarweise orthogonal, 111 Partialsumme, 135, 138 Partialsummenfolge, 135 137 Permutation, 26 Pivotelement, 62 Pivotspalte, 62 Pivotzeile, 62 Polardarstellung, 119 Polardarstellung komplexer Zahlen, 117, 118 Polynom, 118, 120, 144, 147, 154 Polynom, nullstellenfreies, 145 Potenz, n-te, 37 Potenzen mit natürlichen Exponenten, 26 Potenzen mit rationalen Exponenten, 38 Potenzfunktion, 118 Potenzfunktion, 144 Potenzgesetze, 38 Potenzmenge, 37 Potenzmenge, 10 Potenzreihe, 147 Potenzreihe, Summe, 147 Prädikat, einstufiges, 6 Prädikat, zweistufiges, 6 Prinzip der vollständigen Induktion, 25 Produkt von Matrizen, 47 Produkt, kartesisches, 13, 14 Produktionskoeffizient, 41 Produktmatrix, 47 Produktzeichen, 36 Punkt, isolierter, 143 161

Index Quantifikator, restringierter, 7 Quotientenkriterium, 140 Raum, euklidischer, 110 Realteil, 115 rechtseindeutig, 15 Reflexivität, 33 Regel, Cramersche, 57, 58 Regeln, de Morgansche, 6, 12 Reihe, 135 Reihe, alternierende, 138, 139 Reihe, geometrische, 137 Reihe, harmonische, 137, 138 Reihe, unendliche, 135, 136 Reihenfolge, 26, 29 Rekursionsgleichung, lineare, 130 Relation, 14 Sarrus-Regel, 43 Seite, rechte, 42 Simplex, 85 Simplex-Regel, 95 Simplextableau, 92 Simplextableau, entscheidbares, 94 Simplextableau, nicht-entscheidbares, 94 Simplextableau, optimales, 93 Simplexverfahren, 95 Skalarprodukt, 106, 109, 110, 122 Skalarprodukt, 47 Skalarprodukt, euklidisches, 109, 111 Spalte, 40 Spaltenvektor, 107 Spaltenvektor, 40 Spiegeln, 116 Spiegelung, 117, 123, 124 Stetigkeit, 141, 155 Stetigkeitsstelle, 153 Subtraktion, 32 Summe, 107, 108 Summe von Matrizen, 45 Summenzeichen, 36 System linearer Funktionen, 60 Teilmenge, 9 Teilmengen, 30 Transitivgesetz, 33 Trichotomie-Eigenschaft, 33 trigonometrische Form, 118 Tupel, 107 Typ einer Matrix, 39 Umformungen, äquivalente, 34 Umkehrabbildung, 20 Ungleichung, Cauchy-Schwarz-Bunjakowski, 111 Unstetigkeit, 141 Urbild, 18 Variation, 28 Vektor, 108 111 Vektor, 40 Vektor der Absolutglieder, 42 Vektor der Unbekannten, 42 Vektor, entgegengesetzter, 108 Vektor, normiert, 111 Vektor, normierter, 110 Vektor, orthogonal, 111 Vektor, orthonormal, 111 Vektorprodukt, 106 Vektorraum, 105, 106, 108, 110, 114 Vektorraum der Koordinatenvektoren, 109 Vektorraum, n-dimensionaler, 109 Vereinigung, 11, 13 Verkettung, 18 Verschiebung, 114, 123 Verzinsung, 128 Vielfaches, 107, 108 Vielfachheit, 145 vollständig, 109 Vorzeichen-Funktion, 142 Wachstumsprozess, 148 Wahrheitswert, 5 Wertebereich, 17 werteverlaufsgleich, 6 Wiederholung, 26, 29 Winkel, 123 Wurzel, 120, 121 Wurzel, n-te, 37 Wurzelkriterium, 139 162