Repetitorium Mathematik 2016 Diese Zusammenfassung dient der Kontrolle, ob alle wichtigen Punkte aus dem Maturastoff verstanden sind. Die Seitenzahlen, die hinter den einzelnen Themen in Klammern stehen, geben an, wo im Fundamentum die entsprechenden Formeln zu finden sind. 1 Analysis Im Folgenden steht f immer für eine beliebige Funktion. Wenn wir in Funktionen einen x-wert einsetzen, bekommen wir den zugehörigen y-wert raus. 1.1 Allgemeines zu Funktionen 1. Definitionsbereich: Der Definitionsbereich gibt an, für welche x die Funktion f definiert ist. (S. 13) 2. Nullstellen: Diese befinden sich dort, wo der Graph von f die x-achse schneidet. (S. 13) 3. y-achsenabschnitt: Das ist die Stelle auf der y-achse, an welcher der Graph von f diese Achse schneidet. 4. Polstellen : Dort geht der Graph der Funktion gegen oder gegen +. 5. Asymptoten: Als Asymptoten bezeichnet man diejenigen Geraden, welchen sich der Graph der Funktion für sehr grosse oder sehr kleine x annähert. (S. 50) 6. Wir kennen zwei Arten von Symmetrien (S. 50): (a) achsensymmetrisch: f(-x)=f(x) (b) punktsymmetrisch: f(-x)=-f(x) 1
1.2 Differentialrechnung 1. Die erste Ableitungsfunktion von f ist eine Funktion, welche die Steigung von f in verschiedenen Punkten angibt. Wenn wir also einen x- Wert in die Ableitungsfunktion f einsetzen, bekommen wir die Steigung der Funktion f im Punkt x. (S. 55) 2. Die Ableitungsregeln helfen, die Ableitung einer Funktion zu finden. (S. 56 und S. 60) (a) Potenzregel: f(x) = x n (n N) = f (x) = nx n 1. (b) Summenregel: Besteht eine Funktion aus mehreren durch Addition verbundenen Funktionen, dürfen diese Funktionen separat abgeleitet werden. (c) Faktorregel: Stehen Zahlen vor der abzuleitenden Funktion, ändern sich diese mit der Ableitung nicht. (d) Produkteregel: Diese wird verwendet, wenn die abzuleitende Funktion ein Produkt aus zwei Funktionen ist. (e) Quotientenregel: Diese wird gebraucht, wenn eine abzuleitende Funktion ein Bruch aus zwei Funktionen ist. (f) Kettenregel: Diese wird angewendet, wenn die abzuleitende Funktion eine Verkettung von zwei anderen Funktionen ist. 3. Schnittwinkel: Um den Schnittwinkel zwischen zwei Funktionsgraphen zu berechnen reicht es, wenn man die Steigungen der Graphen im Schnittpunkt kennt. (S. 42) tan(α) = m 2 m 1 1+m 1 m 2 Die Graphen stehen senkrecht, wenn m 1 m 2 = 1. 4. Zweite Ableitung: Berechnen kann man die zweite Ableitung einfach, indem man die erste Ableitung noch einmal ableitet. Die zweite Ableitung gibt an, ob der Graph der Funktion eine Links- oder eine Rechtskurve macht. (S. 57) 5. Wendepunkt: Als Wendepunkte bezeichnet man diejenigen Punkte auf den Graphen, an welchen der Graph weder links- noch rechtsgekrümmt ist. (S. 57) 2
6. Extrema: Als Extremum bezeichnet man all diejenigen Punkte, an welchen der Graph der Funktion die Steigung null hat. (S. 57) Wir unterscheiden drei Arten von Extrema: (a) Maximum (b) Minimum (c) Sattelpunkt: Der Sattelpunkt ist kein eigentliches Extremum. Vielmehr handelt es sich dabei um einen Wendepunkt, in welchem der Graph die Steigung null hat. 1.3 Aufgabenvarianten 1. Kurvendiskussionen (S. 57): Bei einer Kurvendiskussion wir der Graph einer Funktion auf einen Teil der oben beschriebenen besonderen Stellen untersucht. Das Ziel einer Kurvendiskussion ist es, den Graphen der Funktion möglichst genau zeichnen zu können. 2. Extremalprobleme: Bei dieser Art Aufgaben soll jeweils eine Grösse (Hauptbedingung) unter gewissen Nebenbedingungen möglichst gross oder möglichst klein werden. 3. Parabelgleichungen: Dabei werden Funktionsgleichungen von Parabeln gesucht, von denen einige spezielle Punkte bekannt sind. 4. Tangentengleichungen: Es soll die Funktionsgleichung (y=mx+q) einer Tangente an einen Graphen in einem bestimmten Punkt gefunden werden. 1.4 Integralrechnung 1. Unbestimmtes Integral: Die Menge aller Stammfunktionen von f (also F(x)+c) heisst das unbestimmte Integral von f. (S. 59) 2. Bestimmtes Integral: Mit dem bestimmten Integral berechnet man die Fläche zwischen dem Graphen von f und der x-achse. (S. 58) 3. Auch für das Integral gibt es einige wichtige Rechenregeln: (a) Hauptsatz der Integralrechnung (S. 59 - Achtung, der Satz steht unter Bestimmtes Integral und Stammfunktion ) (b) Integration von Potenzfunktionen (S. 60) (c) Summen- bzw. Differenzenregel (S. 59) 3
(d) Faktorenregel (S. 59) (e) Substitution (S. 59) (f) Integration spezieller Funktionen (S. 60) 4. Rotationskörper (S. 61) 5. Uneigentliches Integral: So nennt man ein Integral, bei welchem das Integrationsintervall nicht beschränkt ist. 1.5 Aufgabenvarianten 1. Berechnung von Flächen zwischen einem Funktionsgraphen und der x-achse. 2. Berechnung von Flächen zwischen zwei Graphen. 3. Berechnung von Volumina von Rotationskörpern (Rotiert werden Flächen zwischen dem Graph und der x-achse oder die Fläche zwischen zwei Graphen). 4
2 Vektorgeometrie 2.1 Allgemeines zur Vektorgeometrie 1. Vektor: Ein Vektor ist ein Pfeil, der eine Länge und eine Richtung, aber keine feste Lage hat. (S. 33) 2. Gegenvektor: Dies ist ein Vektor, der in die genau entgegengesetzte Richtung zeigt, wie der ursprüngliche Vektor. Seine Komponenten haben im Vergleich mit dem ursprünglichen Vektor genau die engegengesetzten Vorzeichen. (S. 33) 3. Addition von Vektoren: Durch die Addition von zwei Vektoren bekommt man einen neuen Vektor, welcher vom Anfang des ersten Vektors zur Spitze des zweiten Vektors geht. (S. 34 und S. 46) 4. Kollinear: Zwei Vektoren sind kollinear, wenn sie in die gleiche Richtung zeigen. Dabei kann die Länge unterschiedlich sein. Um zu überprüfen, ob zwei Vektoren kollinear sind, schaut man, ob es eine Zahl gibt, mit welcher man den ersten Vektor multiplizieren kann, damit man den zweiten Vektor bekommt. (S. 34 und S. 46) 5. Komponenten eines Vektors: Die Komponenten eines Vektors geben an, wie stark der Pfeil in die Richtung der einzelnen Koordinatenachsen geneigt ist. Ist eine Komponente null, steht der Vektor senkrecht zu der entsprechenden Achse. (S. 45 - Freier Vektor) 6. Betrag: Der Betrag eines Vektors gibt seine Länge an. (S. 45) 7. Punkte im Koordinatensystem: Um Punkte von Vektoren unterscheiden zu können, schreibt man die Koordinaten eines Punktes auf einer Zeile hintereinander. 8. Vektor zwischen zwei Punkten: Sind zwei Punkte gegeben, kann man einfach den Vektor zwischen diesen zwei Punkten berechnen, indem man die Koordinaten des Anfangspunktes von den Koordinaten des Endpunktes abzieht. (S. 45) 9. Abstand zwischen zwei Punkten: Um so einen Abstand zu berechnen, kann man entweder zuerst den Vektor zwischen den beiden Punkten berechnen und dann von diesem Vektor den Betrag nehmen, oder man benutzt die Formel zur Berechnung des Abstandes zwischen zwei Punkten. (S. 45) 5
10. Mittelpunkt einer Strecke: Auch um die Mitte zwischen zwei Punkten zu berechnen gibt es eine einfache Formel. (S. 45) 11. Skalarprodukt: Dieses Produkt verwenden wir hauptsächlich zur Berechnung von Winkeln. Es ist hilfreich zu wissen, dass das Skalarprodukt von zwei Vektoren, die senkrecht aufeinander stehen, immer null ist. (S. 46 - Skalarprodukt und Spezialfall) 12. Winkel zwischen zwei Vektoren (S. 46) 13. Vektorprodukt: Das Vektorprodukt hat zwei Eigenschaften. Einerseits ist das Vektorprodukt aus zwei Vektoren ein Vektor, der senkrecht auf den beiden Ausgangsvektoren steht, andererseits hat dieser senkrechte Vektor noch die Eigenschaft, dass seine Länge gleich gross ist, wie die Fläche des Parallelogramms, welches von den beiden Ausgangsvektoren aufgespannt wird. (S. 46) 2.2 Geradengleichung 1. Geradengleichung: Für viele Aufgaben ist es wichtig, den Aufbau dieser Gleichung zu verstehen. Sie setzt sich zusammen aus einem Ortsvektor und einem Richtungsvektor. (S. 47) 2. Punkteschreibweise: Für viele Aufgabentypen ist es hilfreich, wenn man die Punkteschreibweise einer Geraden verwendet. 3. Spurpunkte: Als Spurpunkte bezeichnet man diejenigen Punkte, wo eine Gerade eine Koordinatenebene durchstösst. Bei einem Spurpunkt ist immer eine Koordinate null. (S. 47) 4. Gegenseitige Lage von Geraden: Zwei Geraden können zusammenfallend, parallel, schneidend oder windschief sein. (S. 47) 5. Abstand eines Punktes von einer Geraden: Um diesen Abstand zu berechnen brauchen wir das Vektorprodukt. 6. Winkel zwischen zwei Geraden: Zur Berechnung des Winkels zwischen zwei Geraden kann man die gleiche Formel verwenden, wie zur Berechnung des Winkels zwischen zwei Vektoren. Man braucht dazu einfach die Richtungsvektoren der beiden Geraden. (S. 47) 6
2.3 Ebenengleichung 1. Koordinatenform: Die Koordinatenform der Ebenengleichung hat die günstige Eigenschaft, dass die Zahlen, welche in dieser Gleichung vor x, y und z stehen, genau die Komponenten eines Vektors sind, der senkrecht auf der Ebene steht (Normalenvektor). (S. 48) 2. Spurgeraden: Als Spurgeraden bezeichnet man die Schnittgeraden der Ebene mit den Koordinatenebenen. Um diese zu berechnen, sucht man zuerst die Achsenabschnitte (Punkte, bei denen zwei Koordinaten null sind) und stellt dann die Gleichung einer Geraden auf, die durch zwei dieser Achsenabschnitte geht. (S. 48) 3. Gegenseitige Lage von Ebenen: Zwei Ebenen können parallel oder identisch sein (dann sind ihre Normalenvektoren kollinear) oder sie können sich schneiden. 4. Spezielle Lage von Ebenen: Wenn eine Ebene parallel zu einer Koordinatenachse oder parallel zu einer Koordinatenebene ist, spricht man von einer speziellen Lage. (S. 48) 5. Neigungswinkel: Als Neigungswinkel bezeichnet man den Winkel zwischen einer Geraden und einer Ebene. (S. 49) 6. Durchstosspunkt: Den Durchstosspunkt einer Geraden mit einer Ebene ist ein Punkt, der sowohl auf der Geraden, als auch auf der Ebene liegt. Man berechnet ihn, indem man die Gerade in der Punktdarstellung schreibt und diese dann in die Ebenengleichung einsetzt. 7. Schnittwinkel zwischen zwei Ebenen: Sind zwei Ebenen nicht identisch oder parallel, kann der Winkel zwischen ihnen berechnet werden. (S. 49) 8. Schnittgerade: Die Schnittgerade zwischen zwei sich schneidenden Ebenen berechnet man, indem man einen Punkt sucht, der auf beiden Ebenen liegt (dieser ergibt dann den Ortsvektor der Geraden) und das Vektorprodukt der Normalenvektoren der beiden Ebenen berechnet (dieses entspricht dem Richtungsvektor der Geraden). 9. Abstand eines Punktes von einer Ebene: Diese Abstandsformel ist auch im Fundamentum zu finden. (S. 49) 7
2.4 Aufgabenvarianten In der Vektorgeometrie gibt es so viele verschiedene Aufgabentypen, dass es kaum möglich ist, Schwerpunkte anzugeben. Alle Aufgaben sind aber mit den oben aufgeführten Formeln zu lösen. 8
3 Stochastik 3.1 Allgemeines zur Stochastik 1. Laplace Wahrscheinlichkeit: Die Wahrscheinlichkeit beschreibt den Anteil von günstigen Ergebnissen an den möglichen Ergebnissen. Diese Art der Berechnung klappt nur dann, wenn alle Ergebnisse gleich wahrscheinlich sind. Die Wahrscheinlichkeit wird als eine Zahl zwischen null und eins angegeben. (S. 38) 2. Absolute Häufigkeit: So oft tritt ein Ereignis tatsächlich auf. 3. Relative Häufigkeit: Die relative Häufigkeit beschreibt den Anteil von günstigen Ergebnissen an den möglichen Ergebnissen. Im Unterschied zu Wahrscheinlichkeiten sind Häufigkeiten keine Vorhersagen. Aussagen über Häufigkeiten können erst gemacht werden, wenn der Versuch schon durchgeführt wurde. 4. Allgemeine Summenregel: Diese wird verwendet, wenn die Wahrscheinlichkeit von einer oder einer anderen Menge gesucht ist und sich diese beiden Mengen schneiden. (S. 39) 5. Komplementärregel: Diese sagt aus, dass die Wahrscheinlichkeit eines Ereignisses und die Wahrscheinlichkeit des zugehörigen Gegenereignisses zusammen eins ergeben müssen. Oft ist es einfacher die Wahrscheinlichkeit des Gegenereignisses zu berechnen. Dann ist diese Regel sehr hilfreich. (S. 39) 3.2 Baumdiagramm 1. Baumdiagramm: Zuerst sollte man sich die grobe Struktur des Diagrammes überlegen. Danach kann man die einzelnen Äste zeichnen und mit den zugehörigen Wahrscheinlichkeiten anschreiben. Oft hilft es, wenn man sich überlegt, nach was für Ergebnissen gefragt wird - so sieht man einfacher, wie das Baumdiagramm aussehen muss. (S. 39) 2. Rechenregeln im Baumdiagramm: Die Wahrscheinlichkeiten entlang eines Astes werden multipliziert. Hingegen addiert man Wahrscheinlichkeiten, wenn mehrere Äste für eine Lösung in Frage kommen. (S. 39) 3. Kontrollmöglichkeiten: Die Summe aller Wahrscheinlichkeiten nach jeder Verzweigung ist gleich eins und auch die Summe der Wahrscheinlichkeiten aller Pfade ist eins. 9
4. Mehrfeldertafeln: Resultate aus Baumdiagrammen können in Mehrfeldertafeln dargestellt werden und umgekehrt. 5. Abhängigkeit und Unabhängigkeit von Ergebnissen: Hängt die Wahrscheinlichkeit für das Teilergebnis einer Stufe vom Teilergebnis der vorherigen Stufe ab, dann sind diese Ergebnisse voneinander abhängig. Sonst bezeichnet man sie als unabhängig. 3.3 Kombinatorik Kombinatorik: Hier geht es darum, herauszufinden, wie viele Möglichkeiten es für eine Aufgabenstellung gibt. Bei Kombinatorik-Aufgaben muss man sich immer zwei Überlegungen machen: 1. Kann ein Element mehr als einmal gezogen werden? (Mit oder ohne Wiederholung?) 2. Ist die Reihenfolge wichtig? (Mit oder ohne Beachtung der Reihenfolge?) Wenn diese beiden Überlegungen gemacht sind, kann man einfach entscheiden, welche Formel angewendet werden muss. (S. 40) Zusätzlich kennen wir die Formel für die Permutation mit mehreren gleichen Elementen: P k = n! n 1!n 2!n 3!...n k! 3.4 Kombinatorik kombiniert mit Wahrscheinlichkeitsrechnung Oft werden Aufgaben gestellt, bei welchen man die Theorie von Kombinatorik und Wahrscheinlichkeitstheorie verbinden muss. Es bleibt die Formel günstige Ereignisse über mögliche Ereignisse. Um die Anzahl dieser Ereignissen zu ermitteln, werden dann die Formel der Kombinatorik angewendet. Beispiele für die Kombination von Kombinatorik und Wahrscheinlichkeit sind die Formel für ziehen aus einer Urne ohne Zurücklegen und das Bernoulli Experiment für Ziehungen mit zurücklegen. 10
3.5 Statistik Unter Mittelwert versteht man das, was wir umgangssprachlich als Durchschnitt bezeichnen. Die Varianz und die Standardabweichung sind Masse für die Streuung der betrachteten Werte. Folgende Formeln haben wir angeschaut (S. 37): 1. Mittelwert 2. Varianz einer Stichprobe 3. Varianz einer Vollerhebung 4. Standardabweichung einer Stichprobe 5. Standardabweichung einer Vollerhebung 11