Klausurvorbereitung Lösungen I. Funktionen Funktionen und ihre Eigenschaften S. 14 Aufg. 2 f(-2)=0,5 f(0,1)=-10 f(78)= 1 78 g(-2)=-7 g(0,1)=-2,8 g(78)=153 h(-2)=57 h(0,1)=23,82 h(78)=11257 D f = R/{0} D g = R D h = R Wertetabellen und Graphen zu den Funktionen f, g und h siehe Abbildungen 1 und 2. W f = R/{0} W g = R W h = [7; ) d) Es gelten f(1) = 1 und f(5, 5) 0, 18, d.h. dass Punkt P auf dem Graphen von f liegt, Punkt Q aber nicht. Es gelten g(1) = 1 und g(5, 5) = 8, d.h. Punkte P und Q liegen beide auf dem Graphen von g. Es gelten h(1) = 15 und h(5, 5) = 19, 5, d.h. Punkte P und Q liegen beide nicht auf dem Graphen von h. 1
Abbildung 1: Wertetabelle zu den Funktionen f, g und h Abbildung 2: Graphen zu den Funktionen f (blau), g (rot) und h (grün) 2
S. 14 Aufg. 3 u(-2)=-46 u(0,1)=-12,82 u(78)=-11246 v(-2)=0,5 v(0,1) 0,24 v(78) 0,012 w(-2) -0,33 w(0,1) -1,11 w(78) 0,013 D u = R D v = R/{-4} D w = R/{1} Wertetabellen und Graphen zu den Funktionen u, v und w siehe Abbildungen 3 und 4. W u = ( ; 4] W v = R/{0} W w = R/{0} d) Es gelten u(1) = 4 und u(5, 5) = 8, 5 sowie v(1) = 0, 2 und v(5, 5) 0, 11. Ferner ist w(1) nicht definiert und w(5, 5) 0, 22. Diese Ergebnisse bedeuten, dass keiner der Punkte P und Q auf den Graphen der Funktionen u, v und w liegen. 3
Abbildung 3: Wertetabellen zu den Funktionen u, v und w Abbildung 4: Graphen zu den Funktionen u (blau), v (rot) und w (grün) 4
S. 15 Aufg. 1 Die Lösung dieser Aufgabe finden Sie im Buch auf der Seite 255. Lineare und quadratische Funktionen Bitte beachten Sie hier die Aufgabenzettel, die Sie im Unterricht bekommen haben und die Lösungen, die Sie erarbeitet und besprochen haben. Potenzfunktionen S. 21 Aufg. 2 Im Folgenden sind in den Abbildungen 5 bis 7 die Wertetabellen bzw. die Funktionsplots für die Graphen von,, und d) aufgeführt. Abbildung 5: Wertetabelle für in blau und in rot 5
Abbildung 6: Wertetabelle für in grün und d) in lila Abbildung 7: Graphen zu Funktionen in in blau, in rot, in grün und d) in lila 6
S. 21 Aufg. 3 Zur Funktion f gehört der Graph C. Da der Exponent gerade ist, haben alle Funktionswerte das gleiche Vorzeichen. Hier sind sie immer positiv. Es gibt nur zwei Funktionsgleichungen mit geradem Exponenten. Der Graph der Funktion j mit j(x) = x 1 0 verläuft wesentlich steiler als der Graph zu f mit f(x) = 0, 01x 4, weshalb C zur Funktion f gehört. Zur Funktion g gehört der Graph D. Da der Exponent ungerade ist, wechseln die Funktionswerte das Vorzeichen bei x = 0. Hier sind sie für x < 0 negativ und für x > 0 positiv. Es kommen daher nur die Graphen B und D infrage. Eine Punktprobe für x = 2 ergibt: g(x) = 4. Dies ist nur beim Graphen D richtig. Zur Funktion h gehört der Graph B. Siehe Begründung zum Aufgabenteil. d) Zur Funktion j gehört der Graph A. Siehe Begründung zum Aufgabenteil. S. 22 Aufg. 5 Abbildung 8: Funktionsplots zu f (blau), g (rot), h (grün) und j (lil 7
Gemeinsamkeiten: Alle Graphen verlaufen durch den Ursprung, weil es sich um Potenzfunktionen handelt. Die Graphen von den Funktionen f und h haben nur positive Funktionswerte, weil der Exponent jeweils gerade ist und der Vorfaktor mit 0,1 positiv ist. Die Funktionswerte von den Funktionen g und j wechseln bei x = 0 ihr Vorzeichen. Hier sind sie für x < 0 negativ und x > 0 positiv, weil der Vorfaktor mit 0,1 positiv ist. Unterschiede: Je höher der Exponent in der Funktionsgleichung ist, desto steiler verläuft der Graph. S. 22 Aufg. 7 Setzt man den Punkt P in f(x) = a x n ein, ergibt sich: 0, 5 = a 1 n Da 1 n = 1 für alle n R gilt, egal was man für n einsetzt, ist a = 0, 5. Es folgt: 32 = 0, 5 ( 2) n 64 = ( 2) n 64 = ( 2) 6 So ist n = 6. Man hat nun n und a gefunden und es ergibt sich für die Funktionsgleichung: y = 0, 5 x 6 Mit derselben Methode wie in ergibt sich für die Funktionsgleichung y = 0, 25 x 7. Mit derselben Methode wie in ergibt sich für die Funktionsgleichung y = 2 x 4. d) Mit derselben Methode wie in ergibt sich für die Funktionsgleichung y = 0, 4 x 3. e) Mit derselben Methode wie in ergibt sich für die Funktionsgleichung y = 3 x 5. f) Mit derselben Methode wie in ergibt sich für die Funktionsgleichung y = 7 x 4. 8
S. 22 Aufg. 11 Für das Volumen V eines Würfels gilt V = x 3, wobei x die Kantenlänge des Würfels darstellt. Diese Formel kann man in der Formelsammlung nachschlagen, falls sie nicht mehr parat ist. Ein Würfel mit der Kantenlänge x = 3 cm wiegt 3 g. Die allgemeine Form einer Potenzfunktion ist y = a x n. Das bedeutet für den Würfel mathematisch: 3 = a 1, 5 3 Man setzt also für y = 3, da sich nach dem Wiegen des Würfels das Gewicht gleich 3 ergeben soll. Die Kantenlänge ist x, also x = 1, 5. Dies setzt man auch in die allgemeine Form der Potenzfunktion ein. Den Faktor a kennt man nicht, man muss es nun ermitteln: 3 = a 1, 5 3 3 = a 27 8 3 27 8 = a a = 24 27 Setzt man nun a in die allgemeine Form, so ergibt sich die endgültige Gleichung für das Gewicht des Würfels: y = 24 27 x3 Berechne nun das Gewicht für die Kantenlänge 1,5 cm und zusätzlich die für 3 cm und 1,5 cm: y = 24 27 1, 53 = 3 y = 24 27 33 = 24 y = 24 27 1503 = 3000000 Antwort: Der Würfel mit der Kantenlänge 1,5 cm wiegt 3 g, wie in der Aufgabe vorgegeben. Der Würfel mit der Kantenlänge 3 cm wiegt 24 g und der Würfel mit der Kantenlänge 150 cm wiegt 3000000 g bzw. 3000 kg. 9
Ganzrationale Funktionen S. 26 Aufg. 4 Es gelten lim Es gelten lim Es gelten lim d) Es gelten lim x f(x) = und lim x x f(x) = und lim x x f(x) = und lim x x f(x) = und lim x f(x) =. f(x) =. f(x) =. f(x) =. e) Es gelten lim f(x) = und lim f(x) =. x x f) Es gelten lim f(x) = und lim f(x) =. x x S. 26 Aufg. 6 Der Graph der Funktion g gehört zum Graphen in Fig. 1, da der y-achsenabschnitt bei 2 liegt und dies der einzige Graph ist, bei dem dies gilt. Es gelten außerdem lim g(x) = x und lim g(x) =. x Der Graph der Funktion f gehört zum Graphen in Fig. 2, da der Graph durch den Ursprung verläuft. Es gelten außerdem lim f(x) = und lim f(x) =. x x Der Graph der Funktion k gehört zum Graphen in Fig. 3, da der y-achsenabschnitt bei 1 liegt und dies der einzige Graph ist, bei dem dies gilt. Es gelten außerdem lim k(x) = x und lim k(x) =. x Der Graph der Funktion h gehört zum Graphen in Fig. 4, da der Graph durch den Ursprung verläuft. Es gelten außerdem lim h(x) = und lim h(x) =. x x S. 26 Aufg. 7 Die Funktion h mit h(t) = 8t 3 +60t 2 +50t+600 gibt an, in welcher Höhe sich die Gondel zum Zeitpunkt t befindet. Hier ist t die Variable und wird in Minuten angegeben. h wird in Metern angegeben. Möchte man die Berghöhe ermitteln, muss man die Zeit betrachten, die die Gondel bis zur Berghöhe braucht. Dies sind 5 Minuten und 20 Sekunden. Umgerechnet in Minuten 10
folgt: Daraus folgt für die Höhe: 320 60 = 16 3 h(t) = 8t 3 + 60t 2 + 50t + 600 h( 16 3 ) = 8 (16 3 3 ) 1360 + 60 ( 16 3 ) 2 + 50 16 3 + 600 Antwort: Die Bergstation befindet sich in ungefähr 1360 Meter Höhe. Möchte man die Zeit für die 2000-m-Grenze ermitteln, setzt man für h(t) = 2000 ein und berechnet t. Es folgt: h(t) = 8t 3 + 60t 2 + 50t + 600 2000 = 8t 3 + 60t 2 + 50t + 600 0 = 8t 3 + 60t 2 + 50t 1400 0 = t 3 15 2 t2 25 4 t + 175 Man löse diese Gleichung mit dem ClassPad. (Erinnerung: Definieren Sie sich eine Funktion mit dem Befehl define und lösen Sie diese mit dem Befehl solve). Diese Gleichung hat nur eine Lösung (dreifache Lösung), nämlich t 4, 15 Eine negative Zeit ergibt keinen Sinn, sodass man mit der Funktion h folgern kann, dass die Gondel nie bis in die 2000 Meter Höhe fährt. Vergleicht man den Graphen der Funktion (s. Abb. 9) mit dieser Vermutung, dann findet man eine Bestätigung. Die Gondel fährt maximal nur bis in die 1361 Meter Höhe. Antwort: Die Gondel durchbricht nie die 2000-m-Grenze! Da die Gondel bei 600 Meter Höhe startet und nur bis ungefähr 1361 Meter Höhe fährt, ist eine sinnvolle Definitionsmenge D f = {x R 0 < x < 8}. Auf die 8 Minuten kommt man, weil der Graph für den Wert 600 zwei x-werte hat, nämlich die 0 und ungefähr 8. Man kann in der Abbildung 9 beobachten, dass bei 0 Metern die Gondel an der 11
Abbildung 9: Der Graph der Funktion h. Talstation startet und bei 5,39 Minuten an der Bergstation ist und nach 8 Minuten wieder unten an der Talstation. Die Gondel fährt somit schneller abwärts als aufwärts. Auch diesen Bereich (bis x = 8) muss man also berücksichtigen. Somit ist die Eingrenzung der Bewegung der Gondel auf den Definitionsbereich D f = {x R 0 < x < 8} sinnvoll. S. 27 Aufg. 1 Die Lösung finden Sie im Buch auf der Seite 255. S. 27 Aufg. 8 lim f(x) = und lim f(x) = x x lim f(x) = und lim f(x) = x x lim f(x) = und lim f(x) = x x d) lim f(x) = und lim f(x) = x x 12
Symmetrie S. 29 Aufg. 2 Es gelten die Bedingungen f( x) = f(x) für Achsensymmetrie zur y-achse und weiter f( x) = f(x) für Punktsymmetrie zum Ursprung (0 0). f ist gerade, der Graph von f verläuft achsensymmetrisch zur y-achse. Es gilt: f( x) = ( x) 4 = x 4 = f(x) f ist weder gerade noch ungerade, der Graph von f verläuft weder achsensymmetrisch zur y-achse noch punktsymmetrisch zum Ursprung. Es gelten: f( x) = 2( x) + 3 = 2x + 3 f(x) f( x) f hat nur gerade Exponenten und ist gerade, der Graph von f verläuft achsensymmetrisch zur y-achse. Es gilt: f( x) = 7 ( x) 4 + 2( x) 6 = 7 x 4 + 2x 6 = f(x) d) f ist weder gerade noch ungerade, der Graph von f verläuft weder achsensymmetrisch zur y-achse noch punktsymmetrisch zum Ursprung. Es gelten: f( x) = 4( x) 3 + 1 = 4x 3 + 1 f(x) f(x) e) f hat nur gerade Exponenten und ist gerade, der Graph von f verläuft achsensymmetrisch zur y-achse. Es gilt: f( x) = 1 6 ( x)6 ( x) 2 2 + 1 = 1 6 x6 x 2 2 + 1 = f(x) f) f hat nur ungerade Exponenten und ist ungerade, der Graph von f verläuft punktsymmetrisch zum Ursprung. Es gilt: f( x) = ( x) 3 ( x + 1)( x 1) = x 3 ( x + 1)( x 1) = [x 3 (x + 1)(x 1)] = f(x) S. 29 Aufg. 4 Diese Aufgabe muss rechnerisch und graphisch gelöst werden. Zu der Graphischen Lösung schauen Sie bitte in den Abbildungen 10 und 11 nach. 13
f ist ungerade, der Graph von f verläuft punktsymmetrisch zum Ursprung. Es gilt: f( x) = 1 x = 1 x = f(x) f ist gerade, der Graph von f verläuft achsensymmetrisch zur y-achse. Es gilt: f( x) = 1 ( x) 2 = 1 x 2 = f(x) f ist weder gerade noch ungerade, der Graph von f verläuft weder achsensymmetrisch zur y-achse noch punktsymmetrisch zum Ursprung. Es gilt: f( x) = 1 f(x) f(x) x + 1 Abbildung 10: Graphen zu den Funktionen in blau, rot und grün d) f ist gerade, der Graph von f ist achsensymmetrisch zur y-achse. Es gilt: f( x) = 1 ( x) 2 = 1 x 2 = f(x) 14
e) f ist ungerade, der Graph von f verläuft punktsymmetrisch zum Ursprung. Es gilt: x f( x) = ( x) 2 + 1 = x x 2 + 1 = [ x x 2 + 1 ] = f(x) d) f ist gerade, der Graph von f ist achsensymmetrisch zur y-achse. Es gilt: 5 f( x) = ( x) 4 + ( x) = 5 2 x 4 + x = f(x) 2 Abbildung 11: Graphen zu den Funktionen in d) lila, e) schwarz und f) blau S. 30 Aufg. 2 Die Lösung zu dieser Aufgabe finden Sie im Buch auf der Seite 256. S. 30 Aufg. 7 Aussagen 1) und 5) treffen für die Funktion f zu. Aussagen 2); 3); 4) und 5) treffen für die Funktion g zu. 15
S. 30 Aufg. 9 Um die Symmetrie zu überprüfen, muss man die Symmetrieeigenschaften rechnerisch überprüfen. Überprüfen, ob punktsymmetrisch Es soll überprüft werden, wann f( x) = f(x) ist, damit Punktsymmetrie nachgewiesen werden kann. Es gelten: und Diese sollen gleich sein, also: f( x) = ( x) 3 + 2t( x) 2 + t( x) = x 3 + 2tx 2 tx f(x) = x 3 2tx 2 tx x 3 + 2tx 2 tx = x 3 2tx 2 tx Diese Gleichung stimmt nur, wenn t = 0 ist. Somit ist die Funktion f(x) punktsymmetrisch für t = 0. Überprüfen, ob achsensymmetrisch Nun muss man noch die Achsensymmetrie überprüfen, also f( x) = f(x). Es gelten: und Diese sollen gleich sein, also: f( x) = ( x) 3 + 2t( x) 2 + t( x) = x 3 + 2tx 2 tx f(x) = x 3 + 2tx 2 + tx x 3 + 2tx 2 tx = x 3 + 2tx 2 + tx Diese Gleichung ist nicht einmal gleich, wenn t = 0 ist, d.h. die Funktion f(x) kann nie achsensymmetrisch zur y-achse sein. Antwort: Die Funktion f(x) ist punktsymmetrisch zum Ursprung für t = 0. Sie ist aber nicht achsensymmetrisch zur y-achse. Mit der gleichen Methode wie in folgt: f ist achsensymmetrisch zur y-achse für t = 1. Mit der gleichen Methode wie in folgt: f ist punktsymmetrisch zum Ursprung für alle ungeraden t. d) Mit der gleichen Methode wie in folgt: f ist achsensymmetrisch zur y-achse für t = 2. 16
Transformationen: Verschiebung und Streckung von Graphen S. 39 Aufg. 1 Die Funktion g erhält man aus der Funktion f, wenn man f mit dem Faktor 2 streckt. Es gilt: g(x) = 2 f(x). Die Funktion g erhält man aus der Funktion f, wenn man f mit dem Faktor 3 2 streckt: Es gilt: g(x) = 3 2 f(x). Die Funktion g erhält man aus der Funktion f, wenn man f mit dem Faktor 1 6 staucht. Es gilt g(x) = 1 6 f(x). d) Die Funktion g erhält man aus der Funktion f, wenn man f an der x-achse spiegelt und dann mit dem Faktor 1 2 staucht. Es gilt: g(x) = 1 2 f(x). S. 40 Aufg. 1 Die Lösung dieser Aufgabe finden Sie im Buch auf der Seite 256. S. 40 Aufg. 2 (Mitte) Die Lösung dieser Aufgabe finden Sie im Buch auf der Seite 257. S. 40 Aufg. 4 Gegeben ist die Funktion f(x) mit f(x) = x 4 2x 2. g(x) = 2 f(x) 1 = 2(x 4 2x 2 ) 1 = 2x 4 4x 2 1 g(x) = f(x 1) = (x 1) 4 + 2(x 1) 2 = x 4 + 4x 3 4x 2 + 1 Zu den Graphen der Funktion g für und siehe Abbildungen 12 bzw. 13. 17
Abbildung 12: Graphen zu den Funktionen f (blau) und g (rot) in Aufgabe Abbildung 13: Graphen zu den Funktionen f (blau) und g (grün) in Aufgabe 18
S. 40 Aufg. 5 Gegeben ist die Funktion f(x) = x 3 2x 2. Abbildung 14: Graph der Funktion f (blau) und g (rot) Der Graph der Funktion g ist um 2 nach rechts und 3 nach oben verschoben, also sind a = 2 und b = 3. Somit ist g(x) = (x 2) 3 2(x 2) 2 + 3. 19
Abbildung 15: Graph der Funktion f (blau) und g (grün) Der Graph der Funktion g ist um 1 nach links und 4 nach oben verschoben, also sind a = 1 und b = 4. Somit ist g(x) = (x + 1) 3 2(x + 1) 2 + 4. 20
Abbildung 16: Graph der Funktion f (blau) und g (lil Der Graph der Funktion g ist um 2 nach links und 2 nach unten verschoben, also sind a = 2 und b = 2. Somit ist g(x) = (x + 2) 3 2(x + 2) 2 2. 21
d) Abbildung 17: Graph der Funktion f (blau) und g (schwarz) Der Graph der Funktion g ist um 1 nach rechts und 1 nach oben verschoben, also sind a = 1 und b = 1. Somit ist g(x) = (x 1) 3 2(x 1) 2 + 1. Wiederholen - Vertiefen - Vernetzen S. 41 Aufg. 1 D f = R lim x D f = R lim x f(x) = und lim x f(x) = und lim x D f = R/{0} lim x f(x) = f(x) = f(x) = 0 und lim x f(x) = 0 22
Abbildung 18: Graph der Funktion f in Aufgabe Abbildung 19: Graph der Funktion f in Aufgabe 23
Abbildung 20: Graph der Funktion f in Aufgabe S. 41 Aufg. 5 f(x) = x 3 Es gilt: g(x) = f(x 1) + 2 = (x 1) 3 + 2. Der Graph der Funktion f wurde um 1 nach rechts und 2 nach oben verschoben. Der Graph g ist somit nicht mehr punktsymmetrisch zum Ursprung, aber punktsymmetrisch zum Punkt P (0 2). Gegeben ist die Funktion h mit h(x) = x 4 + 8x 3 + 21x 2 + 20x + 5. Es soll gezeigt werden, dass h symmetrisch zur Geraden x = 2 ist. Um dies zu zeigen, soll gezeigt werden, dass wenn man den Graphen von h um 2 nach rechts verschiebt, sich eine Achsensymmetrie zur y-achse ergibt. Der um 2 nach rechts verschobene Graph von h soll z heißen. Dann gilt: z(x) = h(x 2) = (x 2) 4 + 8(x 2) 3 + 21(x 2) 2 + 20(x 2) + 5 Damit eine Achsensymmetrie zur y-achse vorliegt, muss die Bedingung z( x) = z(x) 24
gelten. Bilden Sie z( x): z( x) = ( x 2) 4 + 8( x 2) 3 + 21( x 2) 2 + 20( x 2) + 5 = ( (x + 2)) 4 + 8( (x + 2)) 3 + 21( (x + 2)) 2 + 20( (x + 2)) + 5 = (x + 2) 4 8(x + 2) 3 + 21(x + 2) 2 20(x + 2) + 5 = z(x) Der letzte Schritt, dass am Ende tatsächlich z(x) kann eventuell nicht sofort erkennbar sein. Zeichnen Sie in diesem Fall die beiden Graphen von z( x) und z(x). Sie sind tatsächlich gleich! Somit ist die Bedingung z( x) = z(x) wahr und die Achsensymmetrie zur y-achse ist gezeigt. S. 41 Aufg. 6 Der Graph der Funktion f ist achsensymmetrisch zur y-achse. Es gilt: f( x) = 1 8 ( x)4 ( x) 2 9 8 = 1 8 x4 x 2 9 8 = f(x) Folgende Schnittpunkte ergeben sich nach einer graphischen Lösung: Schnittpunkt mit der y-achse: S y (0 9 ). Graphische Lösung hierzu in der Abbildung 21. 8 Schnittpunkte mit der x-achse: S 1 ( 3 0) und S 2 (3 0). Graphische Lösungen hierzu in den Abbildungen 22 und 23. Man muss den Graphen um 9 8 sich dann: nach oben verschieben. Folgende Koordinaten ergeben S 1 ( 2 2 0), S 2 (0 0), S 3 (2 2 0) Graphische Lösung in der Abbildung 24. 25
Abbildung 21: y-achsenabschnitt Abbildung 22: Schnittpunkt von f an der x-achse 26
Abbildung 23: Schnittpunkt von f an der x-achse Abbildung 24: Funktion f verschoben um 9 8 nach oben 27
Training S. 47 Aufg. 4 Die Lösung zu dieser Aufgabe finden Sie im Buch auf der Seite 258. S. 47 Aufg. 5 Die Lösung zu dieser Aufgabe finden Sie im Buch auf der Seite 258. S. 47 Aufg. 6 Die Lösung zu dieser Aufgabe finden Sie im Buch auf der Seite 258. 28